专题38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

专题38锐角三角函数及其应用【二十个题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1理解正弦、余弦、正切的概念】 3【题型2求角的三角函数值】 4【题型3由三角函数值求边长】 5【题型4求特殊角的三角函数值】 6【题型5由特殊角的三角函数值求角的度数】 7【题型6含特殊角的三角函数值的混合运算】 7【题型7由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 8【题型8已知角度比较三角函数值大小】 8【题型9根据三角函数值判断锐角的取值范围】 9【题型10利用同角三角函数关系求解】 10【题型11互余两角三角函数关系】 10【题型12构造直角三角形解直角三角形】 11【题型14在坐标系中解直角三角形】 14【题型15解直角三角形的相关计算】 16【题型16构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 17【题型17解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】 18【题型18解直角三角形的应用之方位角问题】 20【题型19解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 22【题型20解直角三角形的应用之实际生活模型】 23【知识点锐角三角函数】知识点1：锐角三角函数的概念1．锐角三角函数：①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦，余弦，正切，余切．②特殊角的三角函数值：三角函数无无③同角三角函数关系：，，．④互余角三角函数关系：若，则，．2．钝角三角函数：互补角三角函数：若，则，，．知识点2：解直角三角形1．解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．直角三角形的边角关系（1）三边之间的关系：．（勾股定理）（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：，，．3．解直角三角形的四种基本类型已知条件解法类型一条边和一个锐角斜边c和锐角，，直角边a和锐角，，两条边两条直角边a和b，，斜边c和直角边a，，4．解一般三角形（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．知识点3：解直角三角形的应用1．相关概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图1．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图2．（3）图1图2图32．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【题型1理解正弦、余弦、正切的概念】【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡缓程度与∠α的函数值无关【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A．5cos31° B．5sin31° C．【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（

）米．A．1cosα+C．cosα+2sinα【题型2求角的三角函数值】【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB=5，BD=2，那么【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．(1)若∠DCA=∠ECB(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD=13，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF=，

【题型3由三角函数值求边长】【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，∠C=90°且tanA=12，BC=8，CF∥AB

【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D、C、E三点共线．

(1)求证：BE∥AD．(2)若AD=6,cosE=1【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，sin∠DCB=35【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．

(1)求证：∠BAC=2∠D；(2)若BC=AC，且cos∠BAC=35(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=12，连接【题型4求特殊角的三角函数值】【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2cosA的结果为（A．1 B．2 C．3 D．2【变式4-1】（2023·广东河源·二模）(tan60°)【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y=kx的图象过点-2，sin30°【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα=32，则【题型5由特殊角的三角函数值求角的度数】【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=3，当PO

A．15° B．30∘ C．15°或105° D．30°或【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，cosB=22，直线EF分别交AB，BC于点E，F．则∠AEF+∠EFC

A．135° B．225° C．265° D．280°【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形顶角的度数为°．【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=23cm，则【题型6含特殊角的三角函数值的混合运算】【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：(1)12(2)sin45°⋅【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值：xx2【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：-12019【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算：sin30°⋅【题型7由特殊角的三角函数值判断三角形形状】【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sinA=32，tanB=3A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22，你认为△ABCA．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若3tanA-32+2cosA．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA-A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【题型8已知角度比较三角函数值大小】【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【变式8-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简sin28°-cos28°A．sin28°-cos28°C．cos28°-sin【变式8-2】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅cosα，阻力臂L2

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定【变式8-3】（2023·安徽·模拟预测）三角函数sin70°，cos70°，tan70°A．sin70°>cos70°>C．tan70°>sin70°>【题型9根据三角函数值判断锐角的取值范围】【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值．例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即BCAB就是∠A的正弦值．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（）A．30° B．50° C．40° D．70°【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cos∠A>32，则∠A【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（

）A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知12<cosα<sin80°A．30°<α<80° B．10°<α<80° C．60°<α<80° D．10°<α<60°【题型10利用同角三角函数关系求解】【例10】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF=4，sin∠EFC=35，则

【变式10-1】（2023·江苏·一模）如果α是锐角，且sin2α+cos248°=1【变式10-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是【变式10-3】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与BC相交于点D，与⊙O过点B的切线相交于点E．

(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；(2)若AB=4，BD=2，求AD的长．【题型11互余两角三角函数关系】【例11】（2023·湖南永州·校考三模）在Rt△ABC，∠C=90∘，sinB=35A．35 B．45 C．53【变式11-1】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【变式11-2】（2023·四川成都·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为【变式11-3】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，【题型12构造直角三角形解直角三角形】【例12】（2023·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【变式12-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为（

A．2 B．52 C．5 D．【变式12-2】（2023·山西吕梁·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，连接AD，BE，tan∠BAD=35，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若∠AGB=2∠CFD，AG=5，CF=25，则线段

【题型13网格中解直角三角形】【例13】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A．12 B．22 C．55【变式13-1】（2023·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC=．【变式13-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；

(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；

(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG=

【变式13-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=（

A．277 B．77 C．2【题型14在坐标系中解直角三角形】【例14】（2016·江苏无锡·统考一模）如图坐标系中，O(0，0)，A(6，63)，B(12，0)．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝245，则CE∶DE的值是【变式14-1】（2023·安徽·模拟预测）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为，点C的坐标．

【变式14-2】（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为0,3，点B在x轴上．(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法；(2)若函数y=kx的图象经过点M，且sin∠OAB=【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx-152交x轴于点A，交y轴于点B，（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．【题型15解直角三角形的相关计算】【例15】（2023·江西·校联考二模）在矩形ABCD中，AB=23，AD=6，点E是AD上，且AE=2，点F是矩形ABCD边上一个动点，连接EF，若EF与矩形ABCD的边构成30°角时，则此时EF=【变式15-1】（2023·江苏南通·三模）如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（

A．1sin2α+1 B．sin2α+1【变式15-2】（2023·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O，OE∥AD交CD于点E，且(1)求证：AB=AD．(2)如图2，延长DB至点F，连接FC，且FC=FO．①求证：FO②若BD=3FB，求sin∠BAC【变式15-3】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若EF=6,cos①求BF的长；②求⊙O的半径．【题型16构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】【例16】（2023·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A．34 B．32 C．3 D【变式16-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，∠DBC=30°，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若BD=BC，DE=8．则AD的长为．【变式16-2】（2023·浙江金华·统考一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）

A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【变式16-3】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=3,BC=4，点E，F分别是AD,CD的三等分点，连接BE,BF,EF，若四边形ABCD的面积9，则△BEF的面积是【题型17解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】【例17】（2023·山西朔州·校联考一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度AB为67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD为10.3米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）：①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台E，测得“木塔”顶部A的仰角为30°，测得“雕像”顶部C的仰角为45°；②测得测角仪的高度EF为1.3米；③测得点B,F,D在同一条直线上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,F,D．求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD．（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.7【变式17-1】（2023·陕西西安·校考一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度CD．（参考数据：3≈1.73，结果精确到0.1m【变式17-2】（2023·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面BC的高度．【变式17-3】（2023·四川眉山·统考一模）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin【题型18解直角三角形的应用之方位角问题】【例18】（2023·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为．（计算结果保留根号）【变式18-1】（2023·河南商丘·统考一模）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，【变式18-2】（2023·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈【变式18-3】（2023·陕西西安·校考一模）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西60°的方向上，且测得B、C两处的距离为202(1)求A、C两处的距离；(2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿DC方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西15°方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）【题型19解直角三角形的应用之坡度坡比问题】【例19】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知