专题07 几何模型之垂线模型专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题07几何模型之垂线模型专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（）A．100 B．80 C．60 D．50【标准答案】A【思路指引】首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．【详解详析】解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC=AB=60m，∵BC=160m，∴BE=100m，∴小华走的时间是100÷1=100（s），故选：A．【名师指路】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．2．如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+S△BDC+S△ADE，可得出m+n=5．【详解详析】解：作EF⊥AC，垂足为F∴∠EFD=∴∠BDC+∠DBC=90°∵三角形是等腰直角三角形，∴∠EDB=90°，∴∠EDF+∠BDC=90°，∴∠EDF=∠DBC在△DBC和△EDF中∴△DBC≌△EDF（AAS）∴CD=EF=m,∵AC=3,∴AD=AC-CD=3-m∵S△BDE+S△BDC+S△ADE∴=化简得：，∵n是的斜边，m是直角边∴n-m＞0∴故答案选：B【名师指路】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（）A．8 B．4 C．3 D．2【标准答案】C【思路指引】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．【详解详析】解：，，于，于，，，又，，．，，．故选：C．【名师指路】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．4．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是()A．50 B．44 C．38 D．32【标准答案】D【思路指引】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3，CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可．【详解详析】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，

∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，

∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，

∴∠FEA=∠BAM，

在△FEA和△MAB中，

∴△FEA≌△MAB（AAS），

∴AM=EF=6，AF=BM=3，

同理CM=DH=2，BM=CH=3，

∴FH=3+6+2+3=14，

∴梯形EFHD的面积===56，

∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC==32．

故选：D．【名师指路】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．5．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（）A．个 B．个 C．个 D．个【标准答案】C【思路指引】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得，，再由45°角可证△ABQ为等腰直角三角形，从而可得可得，进而证明，利用三角形的全等性质求解即可．【详解详析】解：如图所示：连接，延长交于点，延长交于，延长交于．，，，，点为两条高的交点，为边上的高，即：，由中位线定理可得，，，故①正确；，，，，，，根据以上条件得，，，故②正确；，，，故③成立；无法证明，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C．【名师指路】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明．二、填空题6．如图，是等边三角形，，点在上，，是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，当时，线段的长为__________.【标准答案】【思路指引】过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF=EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF∥BD时，AF的值为AP+HF=1+.【详解详析】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，

∵∠DEF=90°，

∴∠EDG+∠DEG=90°=∠HEF+∠DEG，

∴∠EDG=∠FEH，

又∵EF=DE，

∴△DEG≌△EFH（AAS），

∴HF=EG，

∵△ABC是等边三角形，AB=3，AE=AC，

∴AE=2，CE=1，∠AEH=∠CEG=30°，

∴CG=CE=，AP=AE=1，∴EG=CG=，∴HF=，∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，

∴当AF∥BD时，AF=AP+HF=1+，故答案为：1+.【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．7．如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为_______【标准答案】53cm2【思路指引】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC=BE=9cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．【详解详析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC=BE=9cm，∴AC===（cm），∴BC=cm，∴该零件的面积为：××=53（cm2）．故答案为53cm2．【名师指路】本题考查全等三角形的应用,等腰直角三角形以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法.8．如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0），B（0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC（其中∠ABC＝90°，且点C落在第一象限），则点C关于y轴的对称点C'的坐标为______．【标准答案】【思路指引】过点C向y轴，引垂线CD，利用△OAB≌△DBC，确定DC，DO的长度，即可确定点C的坐标，对称坐标自然确定.【详解详析】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，∵∠ABC=90°，∴∠DBC+∠OBA=90°，∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵AB=BC，∠BDC=∠AOB=90°∴△OAB≌△DBC，∴DC=OB，DB=OA，∵A（2，0），B（0，1）∴DC=OB=1，DB=OA=2，∴OD=3，∴点C（1,3），∴点C关于y轴的对称点坐标为（-1,3），故答案为：（-1,3）.【名师指路】本题考查了点的坐标及其对称点坐标的确定，熟练分解点的坐标，利用三角形全等，把坐标转化为线段的长度计算是解题的关键.9．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．【标准答案】3【思路指引】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．【详解详析】解：过点作交延长线于点，则∠DMC=90°=∠ABC，，，，，，，，，，．故填．【名师指路】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．10．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．【标准答案】8【思路指引】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解．【详解详析】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E故答案是：8．【名师指路】本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．11．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．【标准答案】8【思路指引】作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解.【详解详析】解：作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠∵DE’⊥AB，∠B=60°，∴BE’=BD×=2，∴E点和E’点重合，∴∠EDB=30°，∴∠EDB+∠PDF=90°，∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE，∴∠DPE=∠GFD∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP，∴△EPD≌△GDF，∴FG=DE，DG=PE，∴F点运动的路径与G点运动的路径平行，即与BC平行，由图可知，当P点在E点时，G点与D点重合，∵DG=PE，∴F点运动的距离与P点运动的距离相同，∴F点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，故答案为8.【名师指路】通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F点运动的路径，本题有一些难度.12．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.【标准答案】2【思路指引】过B作BE⊥AC于E,过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可.【详解详析】过B作BE⊥AC于E,过D作DF⊥AC于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD，DF⊥AC∴AF=∴BE=AF=∴∴AC=2故答案为2【名师指路】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.三、解答题13．（问题提出）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．【标准答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．【详解详析】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，AC=DF，CG=FH∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．14．如图所示，，，延长至，使，四边形为正方形，求点的坐标.【标准答案】【思路指引】作轴于G，过C作于F，易证≌，得，，故C（6,6）【详解详析】解：作轴于G，过C作于F，四边形ADCB为正方形，

所以，

，

​

≌，

又，，

，

．

【名师指路】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等构造K字型全等，通过证明三角形全等求得AG、GD、DF、CF的长是解题的关键．15．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．（1）若AM⊥BP于点E．①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA＝PM；②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP＝AM+MP．（2）如图3，若点N在AB上，AN＝CP，AM⊥PN，求的值．【标准答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）1.【思路指引】（1）①只要证明，利用角平分线的性质定理即可解决问题；②作交的延长线于．只要证明，，即可解决问题；（2）如图3中，作交于，连接，交于点．首先证明四边形是矩形，推出，，再证明，可得，推出即可解决问题；【详解详析】（1）①证明：如图1中，，，，平分，，，，，，，，垂直平分线段，，，，，，，平分，．②如图2中，作交的延长线于．，，，，，，，，，，，，．（2）解：如图3中，作交于，连接，交于点．，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，．【名师指路】本题是全等三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．16．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．【标准答案】（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD.理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示.见解析；线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.【思路指引】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE,∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;(2)在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.【详解详析】（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE=∠BCD.理由如下：∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD,∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF=.∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE.（2）依题意补全图形，如图3所示.在CE上截取CF=AE，连接DF∵CD⊥AD，AE⊥BC∴∠ADC=∠AEC=90°∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD∴∠EAD=∠DCF∵∠BAC=45°∴∠DCA=45°∴AD=CD又∵CF=AE∴△ADE≌△CDF∴ED=DF∠ADE=∠CDF∵∠CDF+∠ADF=90°∴∠ADE+∠ADF=90°∴∠EDF=90°∴△EDF是等腰直角三角形∴∵CE=CF+EF∴∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.故答案为：CE-DE=AE【名师指路】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键.17．已知：在中，，，是过点的一条直线，且于，于．（1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由；（2）当直线处于如图②的位置时，则、、的关系如何？请说明理由．【标准答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析【思路指引】（1）根据直角三角形的性质得到∠1=∠2，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明；（2）利用与（1）相同的证明方法证明即可．【详解详析】解：证明：（1）∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；（2）BD=DE-CE，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=DE-AD，∴BD=DE-CE．【名师指路】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接．（1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，若，，则HF=；（3）如图3，当时，连接，若，请求的面积．

【标准答案】（1），见解析；（2）3；（3）【思路指引】（1）先证明：从而可得结论；（2）在上截取，使，证明从而可得结论；（3）过作，交于，证明，设，则，，再求解，从而可得答案.【详解详析】解：（1）全等，理由如下：在中，∵，点是的中点，∴，∵∴∴在和中∴（ASA）（2）在上截取，使，在中，，∴在和中∴（SAS）∴由（1）∴∴∵∴∵∴故答案为：（3）过作，交于∴∵∴∴由（2）得，在和中∴（SAS）∴即设，则，∴【名师指路】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键.19．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．

（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【思路指引】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解详析】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．（3）DE=BE-AD；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠