2019-2020学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷

2019-2020学年山东省枣庄市高三(上)期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合A={x|-IWXWI},则ACN=()

A..{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-I,0,1)

2.(5分)已知i是虚数单位，1+(a-1)z>0(aCR),复数z=a-2i,则|==()

z

A.AB.5C.返D.

55

3.(5分)函数y=/(x)是R上的奇函数，当x〈0时，/(x)=2*,则当x>0时，/(x)

=()

A.-2XB.2'xC.-2*D.2X

4.(5分)已知a€R,贝“OCaVl”是“Vx€R,ax2+2ax+\>0n的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(5分)已知向量2=(1,1),b=(-1，3),c=(2,1),且(a->b)〃c，则人=

()

A.3B.-3C.AD.」

77

6.(5分)将曲线y=/(x)cosZr上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得

到的曲线向右平移--个单位长度，得到曲线)，=cosZt,则f哈)=()

A.1B.-1C.V3D.-73

1nx1

7.(5分)已知/(x)=\)k，若函数y=/(x)-1恰有一个零点，则实数

f(2-x)+k,x<l

k的取值范围是()

A.(1,+8)B.[L+8)C.(-8,1)D.(-8,I]

8.(5分)已知直线/|：h+y=0(A6R)与直线勿x-6+2%-2=0相交于点A,点B是圆

(x+2)2+(y+3)2=2上的动点，则|AB|的最大值为()

A.入巧B.5A/2C.5+2A/2D.3+2V2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（5分）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面

的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）

男生女生

7816134557

35679171123

2318

219

A.女生身高的极差为12

B.男生身高的均值较大

C.女生身高的中位数为165

D.男生身高的方差较小

10.（5分）在平面直角坐标系xO），中，抛物线C：y1=2px（p>0）的焦点为F,准线为/.设

/与x轴的交点为K,P为C上异于。的任意一点，P在/上的射影为E,NEP尸的外角

平分线交x轴于点Q,过Q作于M,过。作QNLPE交线段EP的延长线于点

N,则（）

A.|PE|=|PflB.|PF|=|QQC.|PN=|MF|D.|PN=|Kfl

II.（5分）在正方体ABCO-4BiCi£）i中，N为底面ABC。的中心，P为线段45上的动

点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）

A.CM与PN是异面直线

B.CM>PN

C.平面aiN_L平面8£>。由1

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

12.（5分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2切?，从P点沿海岸正

东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km回步行的速度为5km/h,

时间，（单位：//）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处

距P点的距离，设uTx?+4+x'vTx?+4-x）则（）

小岛

A.函数u=/(")为减函数

B.15/-w-4v=32

C.当x=1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少

D.当x=4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3%

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、

《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看

《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃

及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数JJ5上的和表示2

3155

等.从工，1,工，…，工，上这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们

234100101

的和为1,这三个分数是.（按照从大到小的顺序排列）

14.（5分）在平面直角坐标系X0V中，角a的顶点是O,始边是x轴的非负半轴，0<a（如,

点P（l+tarr^|"，1-tan。）是a终边上一点，则a的值是.

22

15.（5分）已知F为双曲线C：—--^-=1（a>0,b>0）的右焦点，过F作C的渐近线

的垂线F£）,。为垂足，且|FD|=李|OF|（O为坐标原点），则c的离心率为.

16.（5分）如图，在三棱锥P-A8C中，PA1.AB,PCLBC,ABLBC,AB=2BC^2,PC=V5,

则PA与平面ABC所成角的大小为；三棱锥P-ABC外接球的表面积是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①M（bcosC-a）=csinB；@2a+c—2bcosC；③bsinA=V"§asirr^^■这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,b=2V3-a+c=4,

求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）已知等比数列（斯｝满足0,“2,a3-aI成等差数列，且。1的=。4；等差数列｛瓦｝

mm（n+1）log?an/

的刖n项和5门=-------——求：

（1）；

（2）数列｛斯瓦｝的前项和Tn.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AC=2百，AB=3,AP=M，AD//BC,AD

J_平面以B,NAPB=90°,点E满足钝

（1）证明：PEVDC-,

（2）求二面角A-PO-E的余弦值.

20.(12分)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资

商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018

年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实

物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是

否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p(0<pVl),

若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据

市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的

30%,且这两种情况发生的概率分别为p和1-p.

(1)若投资项目一，记Xi为盈利的天坑院的个数，求E(Xi)(用°表示)；

(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求E(X2)(用p表示)；

(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，

并说明理由.

21.(12分)设中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C过点庆(赤，尸为C的右焦点,

OF的方程为'+『-2«x#=0・

(1)求C的方程；

(2)若直线Ly=k(x-«)(左>0)与。。相切，与。尸交于例、N两点，与C交于P、

Q两点，其中M、P在第一象限，记的面积为S(k),求(WQ|-|HP|)・S(火)取最

大值时，直线/的方程.

22.(12分)已知函数/(x)=/〃(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=/(x)在点(1,/(D)

处的切线在y轴上的截距为1斓-2

3

(1)求a；

(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)二f(x)^—红-(]>。)的单调性；

2x+l

(3)设斯+1=/(〃〃)，求证：王二^---<一^-2<0(〃22).

152na”

2019-2020学年山东省枣庄市高三(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合4=国-IWXWI},则ACN=()

A..{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【分析】利用交集定义直接求解.

【解答】解：•.•集合A={x|-lWxWl},

.\AnN={0,1}.

故选：B.

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

2.(5分)已知i是虚数单位，1+(a-1)i>0(“WR),复数z=a-2i,则|==()

Z

A.AB.5C.返D.V5

55

【分析】先根据已知条件求出。；再根据长度定义即可求解.

【解答】解：因为：i是虚数单位，1+(a-1)J>0(«GR),

所以：a-l=0=>6F=l；

，z=l-2i,则=一粤一返；

zl-2i(l-2i)(l+2i)5

故选：C.

【点评】本题主要考察复数的定义以及长度；解决本题的关键在于由/-是虚数单位，1+

(a-1)z>0(a€R),得至lja=l.

3.(5分)函数y=/(x)是R上的奇函数，当x〈0时，/(X)=2。则当x>0时，f(x)

=()

A.-2*B.2rC.-2XD.2X

【分析】x>0时，-xVO,根据已知可求得了(-x),根据奇函数的性质=-/<-

x)即可求得/(x)的表达式.

【解答】解：x>0时，-x<0,时，f(x)=2X,

.•.当x>0时/(-x)=-2'x,

'：f(x)是R上的奇函数，

...当x>0时，f(x))=-f(-x)=-2x.

故选：C.

【点评】本题考查函数解析式的求解，利用了奇函数的性质/(x)=-f(-x),计算简

单，属于基础题.

4.(5分)已知“6R,贝I」是“Vx€R,ax+2cvc+l>OW的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

.2fa>0

【分析】“VATER,ax+2ax+\>0ff，或。=0,1>0,解得。范围即

A=4a2-4a<C0

可判断出结论.

2fa>0

【解答】解：“VXER,/+2公+]>o，，=1,或。=o,1>0,解得OWa

A=4a2_4a<C0

<1.

是“Vx6R,ax1+2ax+\>Q^^的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、二次函数的性质，考查了推

理能力与计算能力，属于基础题.

5.(5分)已知向量4=(1,1),b—(-1，3),c=(2,1),且(@-入b)〃c，则入=

()

A.3B.-3C.AD.」

77

【分析】利用(I-Ab)〃；列出含入的方程求解即可.

【解答】解：因为a-Ab=(1+入，1-3人)，又因为(a_Ab)〃c，

所以IX(1+A)-2X(1-3A)=7入-1=0,解得入=工，

7

故选：C.

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题

6.(5分)将曲线y=f(x)coslr上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得

到的曲线向右平移三-个单位长度，得到曲线)，=cos2r,则f*)=()

A.1B.-1C.V3D.-^3

【分析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一

步求出函数的值.

【解答】解：曲线cos2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得

到：y=f(Lf)cosx,

2

再把得到的曲线向右平移二个单位长度，得到:兀

y=)cos(x--^_)=cos^-Y,

4

2.2

cosx-sinx

所以/x2L)=V2(cosx-sinx)=2cos(x+^->

8-^•(cosx+sinx)

设工乂工二t，解得x=2什工，

284

所以f(r)=2cos(2t-^--**^-)==2cos(2r+-^-)=-2sin2r.

所以f(x)=-2sin2x.

所以f《)=2X(-*■)=-«，

0N

故选：D.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和

伸缩变换的应用，换元法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属

于基础题型.

7.(5分)己知f(x)=/,若函数y=/(x)-1恰有一个零点，则实数

f(2-x)+k,x<1

女的取值范围是()

A.(1,+°°)B.[1,+°°)C.(-8,1)D.(-8,1]

【分析】先画的图象单调递增，由/(尤)=/(2-x)是关于x=l对称可得f(2-x)

的图象，单调递减，而/(2-x)+Z是/(2-x)的图象上下平行移动得到，要使函数y

=f(x)-1恰有一个零点，只需将/(2-x)的图象向上平行移动，可得结果.

lnx,x》l

【解答】解:由/(x)=

f(2~x)+k,x<1

可得/(x)=/(2-x)为关于x=l对称，画出的图象，单调递增的,

由对称得/(2-x)的图象单调递减，

而f(2-x)+%是/(2-x)的图象上下平行移动得到，y=f(x)-1恰有一个零点即是

f(JC)=1的根，

所以可得上》1,

【点评】考查函数的对称性及函数的零点与函数的交点的关系，属于中档题.

8.(5分)已知直线小h+y=0(髭R)与直线七尸切+2h2=0相交于点4点B是圆

(x+2)2+(y+3)2=2上的动点，则|AB|的最大值为()

A.372B.572C.5+2&D.3+2加

【分析】由/i：依+y=0恒过定点0(0,0),直线2x-妗，+2&-2=0恒过定点C(2,

2)且/I_L/2，可知A在以OC为直径的圆力上，要求|48|的最大值，转化为在加上找一

点A,使AB最大，结合圆的性质可求.

【解答】解：因为线入依+y=0恒过定点O(0,0),直线京x-竹+2k-2=0恒过定

点C(2,2)且/I_L/2，

故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程。：(x-1)2+(y-1)2=2,

要求|AB|的最大值，转化为在D：(x-1)2+(y-1)2=2上找一点A,在£：(x+2)2+

(>3)2=2上找一点5,使A8最大，

根据题意可得两圆的圆心距4(1+2产+(1+3产=5,

贝iJ|AB|“g=5+2&.

故选：C.

【点评】本题综合考查了点的轨迹方程的求解及两圆位置关系的应用，体现了转化思想

的应用.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（5分）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面

的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）

男生女生

7816134557

35679171123

2318

219

A.女生身高的极差为12

B.男生身高的均值较大

C.女生身高的中位数为165

D.男生身高的方差较小

【分析】A、根据极差的公式：极差=最大值-最小值解答;

B、根据两组数据的取值范围判断均值大小;

C、根据中位数的定义求出数值；

。、根据两组数的据波动性大小；

【解答】解：A、找出所求数据中最大的值173,最小值161,再代入公式求值极差=173

-161=12,故本选项符合题意；

B、男生身高的数据在167〜192之间，女生身高数据在161〜173之间，所以男生身高的

均值较大，故本选项符合题意；

C、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167,

所以中位数是166,故本选项不符合题意；

。、抽取的学生中，男生身高的数据在167〜192之间，女生身高数据在161〜173之间，

男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意.

故选：AB.

【点评】本题考查了统计数据的分析与应用问题，是基础题.

10.（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=2*（p>0）的焦点为尸，准线为/.设

/与x轴的交点为K,尸为C上异于O的任意一点，P在/上的射影为E,NEPF的外角

平分线交x轴于点。，过Q作QMLPE于M,过。作QNLPE交线段EP的延长线于点

N,则（）

A.|PE|=|PF|B.\PF]=\QF]C.\PN\=\MF]D.|P/V|=|KF|

【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得A正确；角平分线性质及

平行线的性质可得B正确；由平行四边形的性质及直角三角形中边长的关系可得D正确；

假设C正确得到角PFQ为定值，而由题意可得户为动点，所以C不正确.

【解答】解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得|P，1二|PE|,

即A正确；

尸。为NEPF的外角平分线，所以NFPQ=NNPQ,

又EP〃FQ,所以NNPQ=/PQ凡

所以NFPQ=NPQF,所以|P/q=|QQ,所以B正确；

连接EF,由上面可得：PE=PF=QF,PE//FQ,所以四边形EFQP为平行四边形，所

以EF=PQ,EF//PQ

所以NEFK=NPQF=/QPM在△EFK中，KF=EF'cosZEFK,

△PQV中，PN=PQ*cosNQPN,

所以FK=PN；所以。正确；

C中，若PN=MF,而PM=PN,所以M是PF的中点，PMLPF,所以尸。=尸。，由上

面可知△PQF为等边三角形，即NP尸0=60°,而P为抛物线上任意一点，所以NPFQ

不一定为60°,所以C不正确；

【点评】考查抛物线的性质及外角平分线的性质，和直线与抛物线的综合应用，属于中

难题.

11.（5分）在正方体4BCD-A1B1G。］中，N为底面4BCD的中心，P为线段4功上的动

点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）

B.CM>PN

C.平面MAU平面BOQBi

D.过P,4,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

【分析】A.根据ANCPM共面，因此CM与PN不是异面直线，即可判断出正误；

B.由CM/C=QB,PN<A|C=JAA：+（孚即可判断

出正误.

C.利用线面垂直的判定定理可得：AN上平面BDD/1，因此平面平面BO5B1，

即可判断出正误；

D.过P,A,C三点的正方体的截面与相交于点Q,可得AC〃PQ,KPQ<AC,

可得一定是等腰梯形.

【解答】解：A.「ANCPM共面，因此CM与PN不是异面直线，不正确;

B.•；C7W24C=&AB,PN<A\N=AA：+（乎AAP2=冬4产亭B<扬8,

因此CM>PN,因此正确.

C.,.•AN_LB£>,AN_LB8i，BOnBBi=8,...AN_L平面8£>£>出1，.,.平面B4N_L平面BDD\B\,

因此正确；

D.过P,A,C三点的正方体的截面与Ci5相交于点。，贝IJAC〃PQ,且PQ<AC,因

此一定是等腰梯形，正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了正方体的性质、空间位置关系的判定、简易逻辑的判定方法，考查

了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.（5分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2&“，从P点沿海岸正

东12k〃i处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3kmlh,步行的速度为5km/h,

时间，（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处

距P点的距离•设u=J7Z+x，v=J77-x，则（）

小岛

A.函数u=/（〃）为减函数

B.15/-w-4v=32

C.当x=1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少

D.当x=4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3万

x2+412x

【分析】由题意可知，是减函数，故选项4正确，又：t=^.+~,0

vuX35

Wx<12,化简即可得到15f-〃-4i，36,故选项B错误，利用导数可得当x=3时，，（x）

2

最小，且最短时间为斗，故选项C正确，当x=4时，返十&〉3,故选项。错

1535

误.

【解答】解：u=VX2+4+X,V=VX2+4-X,,*-UV=（-\/X2+4+X）（VX^+4-X）=4,

AV=A,是减函数，故选项A正确，

u

由题意可知：±="+412-x,00W12,

r35

••15t=5不x2+4+3（12-x）=5Vx2+4-3x+36=（Vx2+4+x）+（4Vx^+4~4x）+36=

w+4v-36,

A15r-w-4v36,故选项8错误,

...VX2+412-X,12,

Z35

.，1、，2x15X-31X2+4

••+Z?X1--------二------------,——,

32Vx2+45157X2+4

令/1'=（）得，x——,

2

当（0,尚）时，，vo，r（x）单调递减；当*€,，⑵时，f>0,，（x）单调递

增，

.♦.当X=3时，f（X）最小，且最短时间为丝人故选项c正确，

215

当x=4时，♦=2返目〉3,故选项。错误，

35

故选：AC.

【点评】本题主要考查了函数的实际运用，以及利用导数研究函数的最值，是中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、

《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看

《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃

及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数工与工的和表示2

3155

等.从工，1,1,，这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们

234100101

的和为1,这三个分数是.（按照从大到小的顺序排列）

【分析】由工4d=i即可求出答案.

236

【解答】解：•••！」」■

236

...这三个分数是：1,11

23，T

故答案为：1,1,1.

236

【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题.

14.（5分）在平面直角坐标系X。），中，角a的顶点是O,始边是x轴的非负半轴，0<a<2m

点P（l+tan工，l-ta哈）是a终边上一点，则a的值是一年一

【分析】由已知利用任意角的三角函数定义求得tana的值，由题意可求1-tan2L>0,

12

结合范围0<aV如，可得0<a<2L,根据特殊角的三角函数值即可求解.

12

【解答】解：♦.•点p（l+tan^^，是a终边上一点，

兀兀兀,兀兀、2

1-tan-y^-C-sin五(cos『in旬

tana=------

71~~K7T-7T冗兀兀

l+tan五C。呃+sin五(cos—+sin—)(cos--sin^-)

JI

冗~

c。百

V0<—<2L,可得tan—<tan—=2Z1,可得1-tan—>1-返>0,

1261263123

又：0<a<2Tt,可得0VaV?L,

12

故答案为：2L.

6

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数定义，考查了计算能力

和转化思想，属于基础题.

15.（5分）已知产为双曲线C：4-4=1（“>0,*>0）的右焦点，过尸作C的渐近线

「bz

的垂线尸C,。为垂足，且|FDk亨|0F|（。为坐标原点），则c的离心率为2.

【分析】由题意画出图形，可得Z=tan60°=如，结合隐含条件及离心率公式求解.

a

【解答】解：如图，

F为双曲线C：—=l（a>0,h>0）的右焦点，FQ与直线y=耳:垂直，垂足为Q,

a2b2a

尸£>尸率Of],则/。OF=60°,可得.^-=tan60°=/§,

得自一=3,

2

a

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方

法，是中档题.

16.（5分）如图，在三棱锥P-A8C中，PAVAB,PCLBC,ABLBC,A8=2BC=2,PC=V5«

则PA与平面ABC所成角的大小为45°；三棱锥尸-A8C外接球的表面积是，

【分析】先确定三棱锥P-ABC外接球的球心为PB的中点，从而求出三棱锥P-ABC

外接球的表面积，再利用球心0找出南J•平面ABC,从而找出必与平面ABC所成角的

平面角，再利用勾股定理即可求出结果.

【解答】解：取PB的中点O,AC的中点。，连接2。并延长至点E,使得BD=DE,

连接AE,PE,0D,如图所示：

和△PCB是同斜边的直角三角形，.•.三棱锥P-ABC外接球的球心为PB的中

点，

又；PB=7（V5）2+12=V6''三棱锥p'ABC外接球的半径R=/PB卷，

三棱锥P-ABC外接球的表面积为：47Tx堂）2=6m

'CABA.BC,.,.点。为△ABC的外接圆圆心，0£>_L平面A8C,

又：点。是BE的中点，点0是PB的中点，...PE，。。，

m平面ABC,

ZPAE为PA与平面ABC所成角的平面角，

•.•在RtZXOBO中，OD=VoB^P=X

：.PE=20D=\,

•.•在Rt△必8中，PA=JpB2AB2=a，

.•.在中，，N»E=45°,

sin乙皿，?卜圾2

故答案为：45°,67r.

【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球，以及直线与平面所成夹角，是中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①百（bcosC-a）=csinB；②2"+c=2反osC；③bsinAuV^asirr^^•这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足①,b=2«,a+c=4,

求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式，求出B,再利用余弦

定理求出ac,从而求出三角形的面积.

【解答】解：①若在横线上填写“JE(bcosC-a)=csinB”，

则由正弦定理，得百(sinBcosC-sinA)=sinCsinE

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

得~V3cosBsinC=sinCsinE

由OVCVm得sinCNO.

所以~V3cosB=sinB.

又cosBWO(若cosB=0,则sinB=O,sin2B+cos2B=0这与sin2B+cos2B=1矛盾)，

所以tanB二

又0<B<m得

由余弦定理及b=2«,得(2«)2=a2+c2-2accos等，

即12=(〃+°)2-ac.将〃+c=4代入，解得ac=4,

所以SAABC=yacsinB=yX4X^y-=V3：

②若在横线上填写“2a+c=2反osC”，

则由正弦定理，得2sinA+sinC=2sinBcosC,

由2sin>4=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,得2cosBsinC+sinC=O,

由OVCVTT,得sinCWO,

所以cos3=->l,又BE(0,K),所以

23

由余弦定理及b=2Vs，得(2«)2=a2+c2-2accos与，

0

B|J12=(tz+c)2-ac,将〃+c=4代入，解得ac=4,

所以SAABC=yacsinB=yX4义喙=百；

③若在横线上填与‘"bsinA=J§asin*券"，

则由正弦定理，得sinBsinA=J§iinAsin312,

又AC(0,n),所以sin/IWO,

所以sinB=V^in2E^_=yco］，

B

co可

又0VB<m所以0<£<g所以电巧声0,

所以sin且=返，所以且=工，即BW~，

22233

由余弦定理及b=2«,得(2«)2=a2+c2-2accos与，

即12=(a+c)2-ac.将〃+c=4代入，解得〃c=4,

所以S/kABC=^acsinB=yX4、亨=仃

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题.

18.(12分)已知等比数列｛斯｝满足0,碘，的一刀成等差数列，且可的=。4；等差数列｛4｝

一乂v(n+1)loga4

的前n项和$=----------?9~2M_.求：

n2

(1)卬，bn；

(2)数列｛a〃瓦｝的前项和Tn.

【分析】(1)设｛斯｝的公比为q,由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式可得首项

和公比，进而得到所求；

(2)运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和.

【解答】解：⑴设｛斯｝的公比为夕.

因为。2,。3-〃1成等差数列，

所以2。2=。1+(〃3一。1)，即2〃2=〃3・

因为42r0，所以q」2=2.

a2

_aA

因为m〃3=〃4，所以a=-----=q=2.

1a3

因此an=a〃nT=2n.

n+1；1Qga

由题意，$J'2n=(n+l)n

n22

所以历=Si=L"+历=S2=3,从而历=2・

所以｛瓦｝的公差d—bi-b\-2-1=1.

所以bn—b\+(n-1)d=\+(〃-1)7=〃.

(2)令Cn=""b",则Cn=n“2n，

因此〃=C1+C2+…+Cn=IX2=2X22+3X23+…+(M-1)«2W''+W2n.

x234nn+1

2Tn=lX2+2X2+3X2+-+(n-l)-2-m-2

两式相减得-T=2+22+23+---+2n-n,2n<-1~—^--n>2n<-1~2>，+1-2-n*2>,+'—

n1-2

(1-n>2,,+'-2.

所以Tn=(nT)'2nH+Z

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减

法求和，化简运算能力，属于中档题.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，4。=2百，AB=3,AP=M，AD//BC,AD

J_平面以B,NAPB=90°,点E满足稀得而号说.

(1)证明：PELDC；

(2)求二面角A-PD-E的余弦值.

【分析】（1）根据边角关系，结合而=1•冠,而，求出PEA.AB,得到PEL平面ABCD,

所以PELDC；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面PZ）E的法向量为7,平面AP。的法向量为】利

用向量的夹角公式，求出即可.

【解答】（1）证明：在Rt△以B中，

由勾股定理，得FB=C蹲后三亚匚立云^=返.

因为PE卷证,而，AB=PB-PA>

所以PE-AB=(-1-PA-»jPB)•(PB-PA)=-jPA^PB^PA-PB=

4X(F)24X函)24x0=0，

000

所以说1版，

因为A£>_L平面布8,PEu平面布B,

所以PEA.AD,

又因为PE_LAB,ABPiAD=A,

所以PE_L平面ABCD,

又因为£>Cu平面ABCD,

所以PELDC；

WEB=2AE.

所以点E是靠近点4的线段AB的三等分点.

所以AE[AB=I-

o

分别以标，标i所在方向为），轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-QZ.

则A(0,0,0),D(o,0,2V§),E(0,I,0),P(V2>1>0)，

设平面PCE的法向量为IT=(m〃，c),而=(加,0,Q),而=(0,-1,2«)

由®%=。，得［收=0

,m-ED=0l-b+2近c=0

令c=L则2(0,-26,1)，

设平面APO的法向量为n=(x，»z),7p=(V2-1，0)'AD=(O,0,班)，

由0号。,得iL，

,n-AD=012yz=0

令x=l，则浸(1,-近，0)，

设向量夹角为。，

则cos8=丁咒=_/=_2V^.

Im|•|n|7(2V3)2+12x4F+(-&)213

所以二面角A-PD-E的余弦值为2迤.

13

【点评】考查直线和平面的垂直的判断定理和性质的应用，考查向量法求二面角的余弦

值，考查运算能力，中档题.

20.(12分)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资

商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018

年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实

物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是

否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p(0<pVl),

若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据

市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的

30%,且这两种情况发生的概率分别为p和1-p.

(1)若投资项目一，记Xi为盈利的天坑院的个数，求E(X|)(用p表示)；

(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求E(X2)(用p表示)；

(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，

并说明理由.

【分析】(1)由题意Xi〜B(20,p),由此能求出盈利的天坑院数的均值.

(2)若投资项目二，求出X2的分布列，由此能求出盈利的均值E(X2).

(3)若盈利，则每个天坑院盈利0.2X40