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文档简介
2020-2021学年山西省晋中市祁县、灵石县八年级(下)期末数
学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分).
1.下面是某应用内的几个子频道图标,其中图案是中心对称图形的是()
2.下列是不等式2(x-1)+3<0的解的是()
A.4B.2C.3D.-3
3.如图是华为手机图库标志,这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,这个旋
转角至少为()
A.30°B.45°C.60°D.90°
4.下列由左到右的变形中,属于因式分解的是()
A.(。+1)(a-1)=a2-1B.a2-1=(a+1)(a-1)
C.a2-l+a=(a+1)(a-1)+aD.cP+a-1=a(a+1)-1
5.如图,正五边形A3CDE中,AC与BE相交于点R则/AEB的度数为()
B
C'D
A.100°B.108°C.120°D.135
6.如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分
式为“和谐分式”.下列分式中,属于“和谐分式”的是()
a-2bx-l
A-2,2B.Q
a-bx2+l
x+y2,2
C.22D.
x-y(a+b)2
7.如图,四边形ABC。和四边形AEFC是两个矩形,点B在即边上,若矩形ABC。和矩
形AEFC的面积分别是Si、&的大小关系是()
S1=S2C.S1<S2D.3si=28
8.随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型
5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30
万件产品,现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相
同.设更新技术前每天生产X万件产品,依题意得()
400_500.500
A.B.400=
x-30xXx+30
400_500_500
C.D.侬
xx-30x+30X
9.数学课上,老师出示了如下一道证明题.
如图,在△ABC中,点。、E分别是AB,BC的中点,延长OE至点居使EF=DE,连
接PC,求证:四边形ADFC是平行四边形.
证明:•.•点D,E分别是AB,的中点.
;.DE是AABC的①,
:.@DE=^-AC.
又.:EF=DE,
:.AC=DF.
四边形ADFC是平行四边形(③的四边形是平行四边形).
①②③分别代表()
A.中线、DE//AC,一组对边平行且相等
B.中位线、DE//AC,两组对边相等
C.中线、CF=AD,两组对边相等
D.中位线、DE//AC,•组对边平行且相等
10.如图,正方形ABCQ1、4282c孙、4383c3小、A484c40的边长分别为2、4、6、4,
四个正方形按照如图所示的方式摆放,点A2、A3、A4分别位于正方形A1B1GP、A2&C2O2、
A383c3。3对角线的交点,则阴影部分的面积和为()
A.12B.13C.14D.18
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)
11.分解因式:3y4-3/=.
22
12.已知比满足四一-9=0,则工—的值是.
m+3m-44-m
13.如图,直线(左>0)经过点P(T,1),当日+62-x时,x的取值范围为
14.如图,已知是AABC的角平分线,CE±AD,垂足为O,CE交AB于E,则下列命
题:@AE=AC,@CO=OE,@ZAEO=ZACO,®ED=DC,其中正确的是.
15.如图,在平行四边形ABC。中,AC与8。交于点M,点尸在A。上,AF=6cm,BF=
12cm,/FBM=NCBM,点E是BC的中点,若点P以1。"秒的速度从点A出发,沿
AD向点F运动;点。同时以2on/秒的速度从点C出发,沿CB向点2运动.点尸运动
到尸点时停止运动,点。也同时停止运动.当点尸运动秒时,以点P、Q、E、
尸为顶点的四边形是平行四边形.
B
三、解答题(本大题共8个小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.解分式方程:
⑴驾-六=2;
x-33-x
X8
(2)1=^-.
x-2X2-4
17.下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
x^-9_2x+l
x+6x+9'2x+6
(x+3)(x-3)2x+l
=(X+3)22(x+3)…弟一步
x-32x+l
…第二步
7^32(x+3)
2(x-3)_2x+ls=止
2(x+3)-2(x+3)…用二"
=2x-6-2x-1…第四步
=-7…第五步
任务一:
以上化简步骤中,第步是进行分式的通分,通分的依据是
任务二:
本题解答是否正确?
如果正确,请指出第四步变形的依据,如果错误,请写出该分式化简的正确步骤.
18.有四个式子:4〃,(尤+y)2,x+y,9b2,请你从中选出两个,使两者之差能按照以下要
求进行因式分解,并写出因式分解的结果.
(1)利用提公因式法.
(2)利用公式法.
19.作图与验证:
在平行四边形ABC。中,AD>AB,求作菱形,使点瓦点厂分别在BC、AD边上(尺规
作图,保留作图痕迹)
方法一:以点8为圆心,A8长为半径画弧交5c于点E,再分别以点A、E为圆心,大
于方AE的长为半径画弧,两弧交于点P;连接BP并延长交AO于点死连接EF则所
得四边形4BEF是菱形.
方法二:连接AC,分别以A、C为圆心,大于右4。的长为半径作弧,两弧交于M、N
两点;作直线MN,分别与BC、AD,AC交于£、F、。三点;连接AE、CF,则四边形
AECF是菱形.
任务:
填空:(1)“方法一”中,判别四边形是菱形的数学依据是.
(2)在图②中,根据“方法二”的作图方法,使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);
图①图②
20.中国是最早发现并利用茶的国家,形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以
“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开.晋商又以“万里茶道”著
称.晋商古街某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒,又用8400元购进B种茶叶若干
盒,若所购8种茶叶比A种茶叶多10盒,且2种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的
1.4倍;
(1)42两种茶叶每盒进价分别为多少元?
(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进4、2两种茶叶共100盒(A、8进价不变,
A种茶叶不少于20盒),A种茶叶的售价是每盒300元,2种茶叶的售价是每盒400元,
怎样进货才能获得最大利润?
21.对给定的一张矩形纸片ABC。进行如下操作先沿AE折叠,如图①,使点B落AO边上
的点夕处,再沿AF折叠、如图②这时发现点E恰好与点。重合.
(1)根据以上操作,发现:①AD:CD=;
②△OPC是三角形;
(2)将该矩形纸片展开,如图③,沿。E折叠该矩形纸片,点C恰好落在AE上的点G
22.自主探究:
在△ABC中,AB=AC,/BAC=90°,点。在射线3c上(与B、C两点不重合),以
AD为边作正方形ADE凡使点E与点、B在直线AD的异侧,射线BA与直线CF相交于
点G.
(1)当点。在线段BC上时,如图(1),判断:线段BC与线段CG的数量关系和位置
关系,并说明理由;
(2)当点。在线段BC的延长线上时,如图(2),写出线段BC与线段CG的数量关系
与位置关系,不必证明;
(3)在(2)的基础上,随着点。位置的变化,当G为CF中点,AB=如时,求出正
方形AOEF的边长.
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-X+4与X轴交于点A,与y轴交
于点3,点C在x轴负半轴上,S“BC=24.点P是线段C4上一动点.
(1)求直线的解析式;
(2)X是直线上点,在平面内是否存在一点K,使以点。,B、H,R为顶点的四边
形是菱形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分在每个小题给出的四个选项中,
只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.下面是某应用内的几个子频道图标,其中图案是中心对称图形的是()
【分析】把一个图形绕某一点旋转180。,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那
么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可.
解:A,是中心对称图形,故本选项符合题意;
B.不是中心对称图形,故本选项不合题意;
C.不是中心对称图形,故本选项不合题意;
D.不是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:A.
2.下列是不等式2(x-1)+3<0的解的是()
A.4B.2C.3D.-3
【分析】首先求出不等式的解集,然后判断哪个数在其解集范围之内即可.
解:解不等式2(x-1)+3<0,得
因为四个选项中只有-3<-所以只有-3是不等式2(x-1)+3<0的一个解,
故选:D.
3.如图是华为手机图库标志,这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,这个旋
转角至少为()
A.30°B.45°C.60°D.90°
【分析】根据图形的对称性,用360。除以6计算即可得解.
解:V36004-6=60",
...旋转角是60。的整数倍,
,旋转角至少是60°.
故选:C.
4.下列由左到右的变形中,属于因式分解的是()
A.(a+1)(a-1)=a2-1B.a2-1=(a+1)(cz-1)
C.a2-\+a=(a+1)(a-1)+aD.a2+a-\=a(a+1)-1
【分析】根据因式分解的概念逐项判断即可.
解:A,是整式乘法,不是因式分解,故本选项不合题意;
B.把一个多项式化成几个整式积的形式,是因式分解,故本选项符合题意;
C.等式的右边不是几个整式积的形式,不是因式分解,故本选项不合题意;
D.等式的右边不是几个整式积的形式,不是因式分解,故本选项不合题意;
故选:B.
5.如图,正五边形A2CDE中,AC与BE相交于点八则NAFB的度数为()
【分析】根据五边形的内角和公式求出根据等腰三角形的性质,三角形外角的
性质计算即可.
解:•••五边形ABCDE是正五边形,
Z.ZEAB=/ABC=52)'XI,。_=]08。,
5
,:BA=BC,
:.ZBAC=ZBCA=36°,
同理/ABE=36°,
AZAFE=ZABF+ZBAF=36a+36°=72°,
AZAFB=18O°-ZAFE=180°-72°=108°.
故选:B.
6.如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分
式为“和谐分式”.下列分式中,属于“和谐分式”的是()
a-2b
A.2.2
a-b
x+y2-b2
C.~9D.-a~4-
x2-y"(a+b)2
【分析】根据“和谐分式”的概念进行判断.
解:4、2b2是最简分式,且分母可以利用平方差公式进行因式分解,故此分式是“和
a-b
谐分式”,此选项符合题意;
B、今L是最简分式,但分子分母均不能因式分解,故此分式不是“和谐分式”,故此
选项不符合题意;
x+yx+y1一
==,
C、22(x+y:l,(x-V)~^7原分式不是最简分式,故原分式不是“和谐分式”,
故此选项不符合题意;
。、△吗=6+"中=邛原分式不是最简分式,故原分式不是“和谐分式”,
(a+b)2(a+b)2a+b
故此选项不符合题意;
故选:A.
7.如图,四边形A8C0和四边形AE/。是两个矩形,点3在所边上,若矩形A3C0和矩
形AEFC的面积分别是Si、S2的大小关系是()
AD
A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2D.3sI=2S2
【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个AABC的面积,而△A5C的面积又等于矩形
AEFC的一半,所以可得两个矩形的面积关系.
解:矩形ABC。的面积S=2SAABC,而SAABC=/S矩形AEFC,即S1=S2,
故选:B.
8.随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型
5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30
万件产品,现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相
同.设更新技术前每天生产x万件产品,依题意得()
A400500400500
x-30xxx+30
C400500D400—500
xx-30x+30x
【分析】设更新技术前每天生产X万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品,
根据工作时间=工作总量+工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前
生产400万件产品所需时间相同,即可得出关于x的分式方程,此题得解.
解:设更新技术前每天生产x万件产品,则更新技术后每天生产(尤+30)万件产品,
依题意,得:%=百票.
xx+30
故选:B.
9.数学课上,老师出示了如下一道证明题.
如图,在△ABC中,点。、E分别是AB,2C的中点,延长DE至点忆使EF=DE,连
接FC,求证:四边形ADFC是平行四边形.
证明:•.,点D,E分别是AB,BC的中点.
:.DE是AABC的①,
:.@DE=^AC.
又•:EF=DE,
:.AC=DF.
四边形ADFC是平行四边形(③的四边形是平行四边形).
A.中线、DE//AC,一组对边平行且相等
B,中位线、DE//AC,两组对边相等
C.中线、CF^AD,两组对边相等
D.中位线、DE//AC,一组对边平行且相等
【分析】先证OE是AABC的中位线,DE//AC,DE=^AC.AC=DF,然后由
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可得出结论.
解:•.•点D,E分别是AB,3C的中点.
是AABC的中位线,
J.DE//AC,DE=-AC.
2
又,:EF=DE,
:.AC=DF.
四边形ADFC是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
故①代表:中位线,②代表:DE//AC,③代表:一组对边平行且相等,
故选:D.
出、3c334484c444,
10.如图,正方形ABC。]、A282c2。、辽>的边长分别为2、、6、
四个正方形按照如图所示的方式摆放,点A2、A3、A4分别位于正方形A1SGD1、A222c2。2、
A383c3。3对角线的交点,则阴影部分的面积和为()
弟
D3A
A.12B.13C.14D.18
【分析】如图,因为四边形ABiGG,A2&C2D2是正方形,所以可以得到四边形4MC1N
是对角互补的四边形,过友作B1G,GA的垂线,垂足分别为E,F,先证△AzEM2A
A2FN,从而推得四边形A2MC1N的面积为正方形A1B1CYD1面积的四分之一,同样的方法,
求得另外两个阴影部分面积,即可解决.
解:设正方形A1B1CQ1、A2B2c汨2、4383c3。3中的面积分别为Si,S2,S3,
如图,设与BiG交于点M,4功与GA交于点M
G过4分别作A2£±BICI于E,A2F±C1O1于尸,
连接A2C1,AA2Bi,
•.•四边形A8C1O1是正方形,4是对角线的交点,
2G平分且△A2SCI是等腰直角三角形,
,.•A2£±BICI,A2F±CIDI,
:.A2E=A2F=^iCl,
,:ZA2ECI=ZBiCiDr=ZA2FCI=90°,
.••四边形A2ECF为正方形,
•••C1E=A2E-1-B1C1>
四边形A222c2。2是正方形,
/./B2A2功=ZEA2F=90°,
...ZEA2M=NFA2N,
在△A2EM与△A2FN中,
,
ZA2EM=ZA2FN
<A2E=A2F,
ZEA2M=ZFA2N
/.△A2£M^AA2FZV(ASA),
S=S
••AA2EMAA2FN>
S=S+SS+S
•*-1AA2FN0^^MAZC1F=AAZEM四边形&MC1F=S正方形AZEC#,
・•今="2=生凸)2=为四边形变工%=1,
S=-s=4,
同理,24Z?5JfUzBzc2D2正方形A3B3c3口3=%
阴影部分的面积和为:1+4+9=13,
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)
11.分解因式:3y4-3/=3(y2+x2)(y+x)(y-x)
【分析】先提公因式3,再连续利用平方差公式即可.
解:原式=3(y4-d)
=3(y2+尤2)(y2-N)
=3(9+N)(y+x)(y-x),
故答案为:3(产+尤2)(y+尤)(y-尤).
22
12.已知根满足旦二1=0,则可__^的值是7.
m+3m_44-m
【分析】根据分式为零的条件求出机的值,根据分式的加减混合运算法则把原式化简,
代入计算即可.
2
解:・.・生二1Q=0,
m+3
Am2-9=0,m+37^0,
解得:m=3,
原式(m+4)加-4)=〃计4=7,
m-4m-4
故答案为:7.
13.如图,直线丁=丘+。(%>0)经过点P(-1,1),当kx+b2-x时,x的取值范围为_x
2-1.
【分析】直线(%>0)经过点P(-1,1),直线y=-x也经过点(-1,1),
根据函数的图象即可写出不等式的解集.
解:直线y=kx+b(%>0)经过点P(-1,1),直线y=-x也经过点(-1,1),
根据图象可得:丘+/?2-冗时,工的取值范围是:x2-l.
故答案为:1三-1.
14.如图,已知A0是△ABC的角平分线,CELA。,垂足为。,CE交AB于E,则下列命
题:①AE=AC,②CO=OE,@ZAEO=ZACO9④ED=DC,其中正确的是①②③
④.
【分析】证明NAEC=NACE,推出AE=AC,利用等腰三角形的性质,可得结论.
解:・・・A0是△A5C的角平分线,
・・・ZEAO=ZCAO,
\*CE_LAD,
:.ZAOE=ZAOC^90°,
AZAEO+ZEAO=90°,ZACO+ZCAO=90°,
ZAEC=ZACE,
C.AE^AC,
*:AD±ECf
:.OE=OC,
:.DE=DC,
故①②③④正确,
故答案为:①②③④
15.如图,在平行四边形A8C0中,AC与8。交于点点方在A。上,AF=6cm,BF=
12cm,/FBM=/CBM,点E是BC的中点,若点P以1c加秒的速度从点A出发,沿
AO向点尸运动;点。同时以2c加秒的速度从点C出发,沿C5向点3运动.点尸运动
到尸点时停止运动,点Q也同时停止运动.当点。运动3或5秒时,以点P、Q、E、
【分析】由四边形A8C。是平行四边形得出:AD//BC,AD=BC,ZADB=ZCBD9证
得FB=FD,求出AO的长,得出CE的长,设当点尸运动方秒时,点P、Q、E、尸为顶
点的四边形是平行四边形,根据题意列出方程并解方程即可得出结果.
解:•・,四边形ABC。是平行四边形,
J.AD//BC,AD=BCf
:./ADB=/CBD,
ZFBM=/CBM,
:・/FBD=/FDB,
:・FB=FD=12cm,
'JAF—Gcm,
.\AD=lScmf
•.•点£是BC的中点,
/.CE——BC=—AD=9cm,
22
要使点尸、。、E、尸为顶点的四边形是平行四边形,则尸E=EQ即可,
设当点尸运动r秒时,点尸、Q、E、尸为顶点的四边形是平行四边形,
根据题意得:6-=9-2/或6-f=2f-9,
解得:/=3或t=5.
故答案为:3或5.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.解分式方程:
【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到尤的值,经检验
即可得到分式方程的解;
(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到
分式方程的解.
解:(1)去分母得:x+l+4=2x-6,
解得:x=ll,
检验:当尤=11时,X-3W0,
所以x=11是原方程的解;
(2)去分母得:尤(x+2)-(x+2)(x-2)=8,
解得:x=2,
经检验龙=2是原方程的增根,
所以原分式方程无解
17.下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
x^~92x+l
x+6x+9-2x+6
(x+3)(x-3)2x+le.
而了…第一步
(x+3)'
x-32x+l
第二步
x+32(x+3)
2(x-3)2x+l
2(x+3)2(x+3)
=2x-6-2%T…第四步
-7…第五步
任务一:
以上化简步骤中,第三步是进行分式的通分,通分的依据是分式的基本性质或
分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为。的整式,分式的值不变.
任务二:
本题解答是否正确?否.
如果正确,请指出第四步变形的依据同分母分式的加减法,如果错误,请写出该分
式化简的正确步骤.
【分析】任务一:由通分的意义可直接求解;
任务二:可先化简,再通分化简即可求解.
解:任务一:以上化简步骤中,第三步是进行分式的通分,通分的依据是:分式的基本
性质或分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变;
故答案为三;分式的基本性质或分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为。的整式,
分式的值不变;
任务二:本题解答错误.
故答案为否;
正确步骤如下:
x2-9_2x+l
x+6x+9-2x+6
_(x+3)(x-3)2x+lx-3_2x+l
—(x+3)22(X+3)-2(X+3)
_2(x-3)_2x+l
―2(x+3)'2(x+3)
—2x-6-(2x+l)
2(x+3)
_2x~6-2x-1
--2(x+3)
=7
―2x+6-
18.有四个式子:4a2,(尤+y)2,x+y,9按,请你从中选出两个,使两者之差能按照以下要
求进行因式分解,并写出因式分解的结果.
(1)利用提公因式法.
(2)利用公式法.
【分析】(1)能用提公因式法分解因式的,选取的两项必须有公因式,只能选(x+y)2,
x+y,进行加减运算均可;
(2)能用公式法,根据代数式的特点,只能用平方差公式,因此选取两项的平方差.
解:(1)选取:(X+y)2与(X+y),
(x+y)2-(x+y)=(尤+y)(x+y-1);
(2)选取:4a2与9加,
4a2-9〃=(2a+3b)(2a-3b).
(答案不唯一:(尤+y)2、4a2、9加任意两项的差均可)
19.作图与验证:
在平行四边形ABC。中,AD>AB,求作菱形,使点E、点厂分别在BC、AD边上(尺规
作图,保留作图痕迹)
方法一:以点5为圆心,A8长为半径画弧交5c于点E,再分别以点A、E为圆心,大
于方AE的长为半径画弧,两弧交于点尸;连接BP并延长交AQ于点死连接EF则所
得四边形4BEF是菱形.
方法二:连接AC,分别以A、C为圆心,大于右4。的长为半径作弧,两弧交于M、N
两点;作直线MN,分别与BC、AD,AC交于£、F、。三点;连接AE、CF,则四边形
AECF是菱形.
任务:
填空:(1)“方法一”中,判别四边形ABE半是菱形的数学依据是有一组邻边相等
的平行四边形是菱形.
(2)在图②中,根据“方法二”的作图方法,使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);
图①图②
【分析】(1)根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)根据作法即可作出四边形4ECR
(3)根据作图过程可得是AC的垂直平分线,然后利用ASA证明△FA。四△ECO,
可得。£=。咒判断四边形AECF是平行四边形,根据EFLAC,即可得四边形AECF是
菱形.
解:(1)“方法一”中,判别四边形A3所是菱形的数学依据是:有一组邻边相等的平
行四边形是菱形;
故答案为:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)如图,四边形AECP即为所求;
(3)证明:根据作图过程可知:是AC的垂直平分线,
:.EF±AC,OA=OC.
,/四边形ABC。是平行四边形,
AD//BC,
:.ZFAO=ZECO
':ZFOA=ZEOC,
在△FAO和△£■(%)中,
,ZFA0=ZEC0
<OA=OC,
ZF0A=ZE0C
.,.△FAO^AECO(ASA),
:.OE=OF.
•:OA=OC,
四边形AECF是平行四边形,
':EF±AC,
四边形AECF是菱形.
20.中国是最早发现并利用茶的国家,形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以
“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开.晋商又以“万里茶道”著
称.晋商古街某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒,又用8400元购进B种茶叶若干
盒,若所购B种茶叶比A种茶叶多10盒,且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的
L4倍;
(1)A,B两种茶叶每盒进价分别为多少元?
(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进42两种茶叶共100盒(A、2进价不变,
A种茶叶不少于20盒),A种茶叶的售价是每盒300元,8种茶叶的售价是每盒400元,
怎样进货才能获得最大利润?
【分析】(1)设A种茶叶每盒进价为x元,则B种叶每盒进价为1.4x元,根据“所购B
种茶叶比A种茶叶多10盒”,即可得出关于x的分式方程,解之即可得出结论;
(2)设第二次购进A种茶叶a(20Wa<100)盒,8种茶叶(100-a)盒,所获利润为
卬元,根据销售利润=每盒的利润X销售数量,即可得出卬关于。的函数关系式,再利
用一次函数的性质即可解决最值问题.
解:(1)设A种茶叶每盒进价为x元,则2种叶每盒进价为L4x元,
依题意得:整翌_4000=]0,
1.4xx
解得x=200,
经检验:尤=200是原方程的解,且符合题意,
/.1.4%=280(元),
答:A种茶叶每盒进价为200元,2种茶叶每盒进价为280元;
(2)设第二次购进A种茶叶a(20Wa<100)盒,B种茶叶(100-a)盒,所获利润为
w元,
可得:w=(300-200)a+(400-280)(100-a)=-20a+12000,
V-20<0,w随。的增大而减小,
...当a=20时,所获利润最大,100-20=80(盒),
答:第二次应购进A种茶叶20盒,3种茶叶80盒才能获得最大利润.
21.对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作先沿AE折叠,如图①,使点B落AD边上
的点夕处,再沿A尸折叠、如图②这时发现点E恰好与点。重合.
(1)根据以上操作,发现:①AD:CD=-E>-.1;
②△。/C是等腰直角三角形:
(2)将该矩形纸片展开,如图③,沿DE折叠该矩形纸片,点C恰好落在AE上的点G
处,求/AGB的度
【分析】(1)①由矩形的性质得484。=/2=90°,AB=CD,再由折叠的性质得AD
=AE,ZBAE=ZB'AE=45a,则AABE是等腰直角三角形,得AE=«AB,即可求解;
②由折叠的性质得/C'=/C=90°,ZDAF=ZEAF=^ZDAE=22.5°,ZAFC'=Z
AFC,则/APD=67.5°,再求出/AFC=/AFC=112.5°,则/。尸C'=45°,即可得
出结论;
(2)由折叠的性质得/DGE=/C=90°,DG=DC,则/DGA=90°,再证/AOG=
/DAE,则AG=QG=CO=AB,然后由等腰三角形的性质即可求解.
解:(1)①:四边形ABC。是矩形,
:.ZBAD=ZB=90°,AB=CD,
由折叠的性质得:AD=AE,ZBAE=ZB'AE=^ZBAD=45°,
.•.△ABE是等腰直角三角形,
AE—'K/2AB,
.•.4。=&43=近处
:.AD:CD=&:1,
故答案为:如:1;
②△■DPC是等腰直角三角形,理由如下:
•.•四边形A3。是矩形,
AZADC=ZC=90°,
由(1)得:ZDAE=45°,
由折叠的性质得:ZC=ZC=90°,ZDAF=ZEAF=^ZDAE=22.5°,ZAFC=Z
AFC,
:.ZAF£)=90°-22.5°=67.5°,
AZAFC=ZAFC=180°-67.5°=112.5°,
AZ£>FC=112.5°-67.5°=45°,
又,.・NC=90°,
AZCDF=45°=ZDFC\
:.DC^FC,
・・・是等腰直角三角形,
故答案为:等腰直角;
(2)解:由折叠的性质得:ADCE经4DGE,
;・/DGE=NC=90°,DG=DC,
:.ZDGA=180°-90°=90°,
又•・・/EAD=45°
AZADG=45°,
・・・/ADG=NDAE,
:.AG=DG=CD=AB,
ign0-45°
•••ZAGB=ZABG=2-=67.5°.
22.自主探究:
在△ABC中,AB=AC,/BAC=90°,点。在射线BC上(与2、C两点不重合),以
AD为边作正方形AOEE使点E与点B在直线A。的异侧,射线BA与直线CF相交于
点G.
(1)当点。在线段BC上时,如图(1),判断:线段BC与线段CG的数量关系和位置
关系,并说明理由;
(2)当点。在线段BC的延长线上时,如图(2),写出线段BC与线段CG的数量关系
与位置关系,不必证明;
(3)在(2)的基础上,随着点。位置的变化,当G为CP中点,我时,求出正
方形ADE尸的边长.
【分析】(1)证△ABD会△ACT(S4S),得/ACP=48=45°,则/BCG=/ACB+
NACG=90°,得BC_LCG,再证NG=45°=NB,得BC=CG即可;
(2)证△ABDgAACF(SAS),得/AC尸=/B=45°,则
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