2020-2021学年大庆市龙凤区九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年大庆市龙凤区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.已知二次函数y=a/+b久+°,如果a〉0,b<0,c<0,那么这个函数图象的顶点必在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，点a在抛物线y=x2-2%+2上运动，过点a作ac上久轴于点c,以ac为对角线作矩形ABCD,

连结BD,贝的最小值为（

A.|B.1

3.如图，在。。中，ABLOC,垂足为点D,AB=8,CD=2,若点P是优

弧而冷上的任意一点，贝Isin乙4PB=（）

V3

C.

2

1

D.

2

4.如图，在中，ZC=90°,AC=4,点。在上，乙ADC=2/8,

=5,则的长为（）

A.6

B.7

C.10

D.8

5.函数y=:与y=-kx+fc（fcW0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）

6.)

A2

Ay

BT

Q2^5

•5

D.匹

2

7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与工轴的两个交点

分别为（一1,0），（3,0）,对于下列结论不正确的是（）

A.b2—4ac>0

B.b+2a=0

C.abc>0

D.8a+c<0

8.如图,ZB是半圆。的直径,是弦，。。1ZC于点D,若。。=1.5,

则BC=()

A.4.5

B.3

C.2

D.1.5

9.在△4BC中，ZC=90°,AB=4cm,BC=3cm,若把△ABC绕直线ZC旋转一周得到一个几何

体，那么此几何体的侧面积为（）

A.247rcm2B.ISTICTTI2C.127rcm2D.671cmz

10.如图，在三角形纸片ABC中，乙4cB=90°,BC=3,AB=5,在AC上取一E,3K'、、

以BE为折痕，使4B的一部分与BC重合，2与8C延长线上的点。重合，贝的C卜尢一「人月

长度为（）。/

A.1B.|C.2D.|

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.若函数y=（3-巾）乂/-7一久+i是二次函数，则根的值为.

12.已知抛物线丫=-3/,若抛物线不动，把y轴向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解

析式为.

13.抛物线y=/+2%+c与y轴相交于点C,点。为坐标原点，点力是抛物线y=/+2%+c与无轴

的公共点，若=oc,则点a的坐标为.

14.如图，等边三角形。AB的边长为8,点P沿。-2-8-。的方向运

动，OP的半径是百，OP运动一圈与△ABC的边相切几次，其中

与边相切时，点P的坐标为.

15.如图，AB,AC.BD是。。的切线，P、C、。为切点，如果AB=4,AC=3,贝UBD的长为

16.如图，是二次函数跖=口*2+3x+c和一次函数为=卜％+t的图象，当月2%时，龙的取值范围

是.

17.如图，在四边形力BCD中，AB=AD=4,^DAB=乙BCD

的面积为12,则BC+CD=.

18.如图，六边形力BCOEF内部有一点G,连结BG,DG.若41+N2+43+44+/5=440°,贝UNBGO

的大小为

19.如图，AC//BD,4B与CD相交于点。，若4。=4C,乙4=48。，=

20.如图，在O。中，直径力B=6,BC是弦，AABC=30。，点P在BC上，点Q在。。上，且。P1PQ,

当点P在BC上移动时，则PQ长的最大值为.

三、解答题(本大题共8小题，共60.0分)

21.(1)计算：(1+或)。—[1—s讥30。|-1+(}T；

(2)计算:6tan230°-75s出60。-2cos245°.

22.已知：AaBC,ZC=90°ABAC=a,AD为中线，BE为乙4BC的平分线，交2D于F.

⑴若siw=2,则罪=-----，熊=-------；

(2)若sina=求证：24F=5DF；

⑶写出案与Q的函数关系式.

23.为了安全，交通部门一再提醒司机：请勿超速/同时，进一步完善各类乂AB

监测系统，如图，在松铜公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了

检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了测速点C,从测速点C测得一小

车从点4到达点B行驶了3秒钟，已知NC4N=45°,乙CBN=60°,BC=120米.

(1)求测速点C到该段公路的距离；

(2)请你通过计算判断此车是否超速,(结果精确到O.lm/s)(参考数据：V2«1.41，V3«1,73)

24.已知抛物线y=x2+bx+c(bc力0).

(1)若该抛物线的顶点坐标为(3,1),求b、c的值；

(2)若该抛物线的顶点坐标为(c,6),求其解析式；

(3)点4(m,几)，B(m+1,-n),C(zn+6,几)在抛物线y=/+力%+。上，求△ABC的面积.

8

25.综合与实践：制作礼品盒

如图(1),小颖将边长为60cm的正方形硬纸片ABCD,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角

形，再沿虚线折起，如图(2),点4,B,C,D四点重合于点P,做成一个底面是正方形的长方

体形状的礼品盒.设礼品盒的侧面积为Sen?,AE=FB=xcm.

(1)求S与久之间的关系式及S的最大值；

(2)小颖有一底面半径为15cm,高为15cm的圆柱体形状的礼品，该礼品能否底面朝下放入她做成的

礼品盒？若能，求出久的值；若不能，请说明理由.

26.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,4B=乙C,AD<BC,BC=6,AB=DC=4,点E是4B的

中点，点P为边BC上的一个动点(点P与点B、C不重合).

(1)如图1,当BP=2时，求证：4BEPFCPD；

(2)设PF交直线CD于点F,交直线4。于点“，NEPF=NC.

①如图2,当点尸在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y,求V关于X的函数关系式(不

必写出X的取值范围)；

②当心:心—4：9,时，求BP的长.

27.如图，已知。。的半径为5,直线彻O。于4在直线I上取点B,28=4.

(1)尺规作图：过点B作直线7n11,交。。于C,D(点。在点C的上方)，保

留作图痕迹，不要求写作法；

(2)求BC的长.

28.定义：在平面直角坐标系中，抛物线y=a/++c(a力0)与直线y=m交于点4、C(点C在

点4右边)将抛物线y=a%2+bx+c沿直线y=6翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D

我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形4BCD称为惊喜四边形，对角线BD与

AC之比称为惊喜度(Degreeo/sarprise),记作|D|=—

⑴图①是抛物线y=%2—2汽-3沿直线y=0翻折后得到惊喜线.则点/坐标，点B坐标

，惊喜四边形ABC。属于所学过的哪种特殊平行四边形,|叫为

(2)如果抛物线y=m(x-l)2-6m(m>)沿直线y=zn翻折后所得惊喜线的惊喜度为1,求？n的值.

(3)如果抛物线y=(%-I)2-67n沿直线y=zn翻折后所得的惊喜线在m-1<x<m+3时，其最高

点的纵坐标为16,求租的值并直接写出惊喜度|叫.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：,；二次函数丫=a/+6%+c的顶点坐标为(/,今芝),

又a>0,b<0,c<0,

・•.这个函数图象的顶点必在第四象限.

故选：D.

根据二次函数y=a%2+bx+c的顶点坐标为(?,丝萨)，运用有理数的运算法则分别判断横坐标与

纵坐标的符号，即可确定这个函数图象的顶点所在的象限.

本题考查了二次函数的顶点坐标公式，有理数的运算法则，第四象限内点的坐标特征，熟记二次函

数的顶点坐标公式是解题的关键.

2.答案：B

解析：解：y=/—2x+2=(x-1)2+1,

抛物线的顶点坐标为(1,1),

•••四边形4BCD为矩形，

BD=AC,

而AC1x轴，

的长等于点2的纵坐标，

当点4在抛物线的顶点时，点4到x轴的距离最小，最小值为1,

••・对角线BD的最小值为1.

故选：B.

先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1,1),再根据矩形的性质得BD=AC,由于4c的长等于点4的

纵坐标，所以当点力在抛物线的顶点时，点4到久轴的距离最小，最小值为1,从而得到BD的最小值.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了矩形

的性质.

3.答案:B

解析：解：如图，连接。4，OB.设。4=0B=x.

m

公

c

OC1AB,

，AD=DB=4,

在中，则有/=42+(%-2产，

x-5,

OA=OB,OD1AB,

•••Z-AOD=Z-BOD,

：^APB=^AOB=^AOD,

AD4

：.sm^APB=^AOD=-^-,

故选：B.

如图，连接。4OB.^OA=OB=x.利用勾股定理构建方程求出x,再证明N&PB=乙4。。即可解决

问题.

本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.答案:D

解析：解：/.ADC=2/B,^ADC=+4BAD,

Z-B=Z-DAB,

DB=DA=5,

在Rt△ADC中，

DC=y/AD2-AC2=72s-16=3，

BC=5+3=8.

故选：D.

根据N4DC=2AB,^ADC=zS+NB4D判断出DB=DA,根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC

的长.

本题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的

平方之和一定等于斜边长的平方.同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题.

5.答案：A

解析：

本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大.

分k>0和k<0两种情况讨论，确定正确的选项即可.

解：当k>0时，反比例函数y=§的图象位于第一、三象限，

一次函数37=-丘+以左力0）的图象交）7轴于正半轴即过第一，二，四象限，

当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，

一次函数y=-fcr+W0）的图象交y轴于负半轴即过第一，三，四象限，

对照选项只有“符合题意，

故选：A.

6.答案：A

解析：

本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义.

根据siziA=乙4的对边除以斜边求解可得.

解：在中，vZC=90°,AB=3,BC=2,

..BC2

•••sinA=—=

AB3

故选A.

7.答案：D

解析：解：,.・+力％+c=0有两个不同的实数根，

•••△>0,

•••b2—4ac>0,

・,・选项A正确.

・•・a/+版+。=o的两个不同的实根是一1、3,

1+3=2,

a

•••b+2。=0,

・•・选项B正确.

•••二次函数的图象开口向上，

•••a>0；

•••b<0；

•・•二次函数与y轴的交点在y轴的下方，

c<0,

・••abc>0,

.,•选项C正确.

・•,a/+力％+。=o的两个不同的实根是一1、3,

1)X3=—3,

•••3a+c=0,

又a>0,

5a>0,

・•・5a+(3a+c)>0,

即8a+c>0,

•,・选项。错误.

故选：D.

At根据图示，可得a/+必+。=o有两个不同的实数根，所以△>0,即炉-4ac>0,据此判断

即可；

B：根据a/+匕％+，=o的两个不同的实根是—1、3,可得=—1+3=2,所以b+2a=0,据

a

此判断即可；

C：首先根据二次函数的图象开口向上，可得a>0；然后根据对称轴在y轴的右边，可得-方>0,

所以6<0；最后根据二次函数与y轴的交点在y轴的下方，可得

c<0,所以abc>0,据此判断即可；

D：首先根据a/+版+c=0的两个不同的实根是一1、3,可得(=(-1)x3=—3,所以3a+c=0,

然后根据a>0,判断出8a+c>0即可.

此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项

系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即防>0),对称轴在y轴左；

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛

物线与y轴交于(0,c).

8.答案：B

解析：解:•••OD1AC,

•••AD=CD,

OA=OB,

.•・。。为△ABC的中位线，

BC=2OD=2x1.5=3.

故选：B.

先根据垂径定理得到4。=CD,贝UOD为ATIBC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到BC的长.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.也考查了垂径定理和三角形中位线性质.

9.答案:C

解析：解：几何体的侧面积=2X2兀X3X4=127T(C??I2).

故选C.

△4BC绕直线力C旋转一周得到一个几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为3cm,母线长为4an,则

可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长和扇形的面积公式计算.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长.

10.答案:B

解析：解：•••AACB=90°,BC=3,AB=5,

B

■.AC=4,

根据将其三角形纸片力BC对折后点4落在BC的延长线上，则力B=BD=5,c\

VSA4BC=S&BCE+S^BDE/

-x4x3=-BCxCE+-CExBD,K

222D

6=\CEx(3+5),

3

/.CE=

2

故选：B.

结合已知条件根据勾股定理可知AC=4,利用三角形面积推出SMBC=ShBCE+S^BDE,即可推出CE

的长度.

此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出S-BC=SABCE+SABDE，进而求出CE是解题关键.

11.答案：一3

解析：解：,函数y=(3-爪)%--7一尤+1是二次函数，

m2—7=2,且3—m力0,

解得：m=-3.

故答案为：-3.

直接利用二次函数的定义分析得出答案.

此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题的关键.

12.答案：y=-3(x+3)2

解析：解：抛物线y=—3/的顶点坐标为(o,o),

••・把y轴向右平移3个单位，

・•・新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为(-3,0),

•••新坐标系下抛物线的解析式是y=-3(%+3)2.

故答案为：y=—30+3)2.

先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根

据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶

点的坐标是解题的关键.

13.答案:(—3,0)、(1,0)

解析：解:根据题意，知：OA=OC=\c\,

■:点4是抛物线y=x2+2x+c与％轴的公共点，

点力的坐标为(c,0)或(一c,0),

将点2(c,0)代入y=x2+2x+c得:c2+2c+c=0,

解得：c=0(舍)或c=-3,

则点a的坐标为(-3,0)；

将点4(—c,0)代入y=/+2x+c,得：(—c)2—2c+c=0,即c?—c=0,

解得：c—0(舍)或c=1,

则点a的坐标为（1,0）；

故答案为：（—3,0）、（1,0）.

由。a=oc=©及点a是抛物线与x轴的公共点可得点4的坐标为（c,o）或（-c,o）,将点a坐标代入抛

物线解析式可求得C的值.

本题主要考查抛物线与X轴的交点，结合题意表示出点a的坐标是解题的前提，由抛物线个与X轴的

交点求得C值是解题的关键.

14.答案：（6,0）,（3,373）

VA

解析：解：当点P在。4上且OP与边48相切时，如图，"B

作PH14B于"，贝=

・・•△4B。为等边三角形，/、

36。。，~

在Rt△APH中，AH=1,

AP=2AH=2,

OP=6,

P（6,0）；

同理可得当点P在。8上，且OP与边4B相切时，OP=6,

则P（3,3遍）

故答案为：P（6,0）,（3,373）.

本题考查了直线和圆的位置关系,根据切线的性质和勾股定理求解.分当点P在。4上且。P与边4B相

切时，当点P在OB上，且OP与边4B相切时两种情况求解.

15.答案：1

解析：解：•••AB,AC.BD是。。的切线，P、C、D为切点、,

PA=AC=3,PB=BD,

PB=AB—PA,

PB=4—3=1,

BD=1,

故答案为1.

根据切线长定理可得PA=AC=3,PB=BD,即可求BD的长.

本题考查了切线的性质，熟练运用切线长定理求线段的长度是本题的关键.

16.答案：-1<x<2

解析：本题考查一次函数和二次函数的图象.解决本题需要观察图象，找到两个函数的交点横坐标,

确定出当二次函数的函数值大于等于一次函数的函数值时对应的X的取值范围.

解：由图象可知：两个函数的交点横坐标分别为：-1,2,

当-1WXW2时，二次函数的函数值大于等于一次函数的函数值，即当2%・

故答案为一1

17.答案：4v5

-I

解析：解：直角△48。中，AB=4D=4,则△AB。面积S=^x4X4=8,且BD?=32,

•••四边形4BCD的面积为12,

•­.ABCD的面积为12-8=4,

1

-xBCxCD=4,BCxCD=8,

2

在直角ACBD中，BC2+CD2=BD2

•••(BC+CD)2=BC2+CD2+2XBCxCD=BD2+2XBCXCD=32+16=48,

故BC+CD=V48=4^3.

故答案为4g.

在直角△BAD中，已知AB,4D可以求BD,可以计算A4BD面积，根据四边形4BCD的面积计算△BCD

的面积，得2S=BC-CD,且在直角△BCD中BC?+c/)2=B/)2,即可BC+C£>.

本题考查了勾股定理的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中根据(BC+CD?=BC2+CD2+

2xBCxCD=BD2+2xBCXCD计算BC+CD是解本题的关键.

18.答案：80°

解析：解：•••多边形4BCDEF是六边形，ZXi,一■A

•••zl+z5+z4+z3+z2+z6+z7+zC=180°x(6-2)=/G\

72。。，5g一^\E

■■■zl+z2+z3+z4+z5=440°,\/

Z6+Z7+ZC=720°-440°=280°,\1A7

・••多边形BCDG是四边形,

Z-C+Z.6+Z.7+Z-BGD=360°,

・•・乙BGD=360°一(Z6+47+Zf)=360°-280°=80°,

故答案为：80°.

利用多边形的内角和定理计算出六边形内角和，计算出N6+N7+NC的度数，然后可得ABGD的大

小.

此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：O-2）•180。523且n为整数）.

19.答案：66°

解析：M：-：OA=AC,

•••AACO=NAOC=|X(180°-NA)=|x(180°-48°)=66°.

•••AC//BD,

•••Z-D=Z.C=66°.

故答案为：66°.

依据等腰三角形的性质得到乙4C。=N40C,依据三角形的内角和定理可求得NC的度数，然后依据

平行线的性质可得乙D的度数.

本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，三角形的内角和定理，求得NC的度数

是解题的关键.

20.答案：|V3

解析：解：如图2中连接OQ,vPQ=JOQ2-OP2,OQ为定值，

;当。PLBC时，OP的值最小，此时PQ长的最大.

此时OP=^OB=|,

^RthOPQ^,PQ=①一C）2=|A

故答案为I8.

如图2连接。Q,当。P1BC时，求PQ长的最大，根据勾股定理即

可解决问题.

本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常

考题型.

21.答案：解：（1）原式=1—（1—今—1+2

1

=1---1+2

_3

=5；

（2）原式=6x（多2一百*日一2x（率）2

131

=6x————2x—

322

3

=2———1

2

1

2

解析：(1)直接利用负整数指数幕的性质以及零指数幕的性质分别化简得出答案;

(2)直接利用特殊角的三角函数值进而代入得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

22.答案：⑴解:①如图，过C作CG〃4B,

Z.G=A.ABG,

•••BE为Z71BC的平分线,

•*.Z-ABG—Z-CBGf

Z-G=乙CBG,

BC=CG,

•・•CG//AB,

CEG^LAEB,

CE_CG

AE-AB

CE_BC

AE-AB

vAABC,Z-C=90°,Z-BAC=Q,

BC1

・•・sina=一

AB2

即anC一E=

AE

1

②过。作

・•・4。为中线，

•••DH是ABCE的中位线,

DH=-CE,

2

又根据可得△AEF-ADHF,

AF_AE

,t•=，

DFDH

.2x------4

DF-CECEsince-'

22

故答案为T，4；

(2)证明：如图，过。作DH〃/C,同(1)可证

AFAE仁AE

—=-=2x—,

DFDHCE

•・•BE为乙4BC的平分线，

AE_AB_1

CEBCsina'

AF1

—=2x——,

DFsince

sina=4

・•・——AF=2仁x-5=5

DF42

即2/F=5DF；

⑶4F=2.

IJDFsina*

解析：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，利用角平分线

证明出三角形角平分线分对边所得两条线段的比等于三角形的两邻边之比是解本题的关键.

(1)过C作CG//4B,根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等可以证明NG=乙CBG,所以BC=

CG,再根据平行线可以得到ACEG与AAEB相似，根据相似三角形对应边成比例，-sina；

过。作DH〃/IC,根据4。是中线可得DH是△BCE的中位线，DH=^CE,再根据平行线得到△2EF与

△相似,根据相似三角形对应边成比例列式并代入整理即得4F：DF=2+sina,然后计算即可；

(2)与(1)的第二问的思路相同，只是把sina的值换成右然后进行计算即可；

(3)与(1)的第二问的思路相同写出即可.

23.答案：解：(1)过C作CH1MN,垂足为H,

c

•・•乙CBN=60°,BC=120米，

•••乙BCH=30°,

i

・•・BH=-BC=60m,

2

CH=VBC2-BH2=60V3m;

(2)BW=60m,

•••4CAN=45°,

•••AH=CH=60V3m.

•••AB=60V3—60~43.8m,

•••车速为43.8+3=14.6m/s.

60千米/小时716.7m/s,

又14.6m/s<16.7m/s.

•,•此车没有超速.

解析：本题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构

造直角三角形解决问题.

(1)作CH1MN于从在Rt△BCH中，求出CH即可；

(2)求出B”、AH,则可求出AB,算出速度比较即可解决问题.

24.答案：解：(1)•••抛物线的顶点坐标为(3,1),

・••对称轴为直线x=-1=3,9+3b+c=l,

解得b=-6,c=10；

(2),・,抛物线的解析式为：y=x2+bx+c,

・•・抛物线解析式中二次顶的系数为1,

设抛物线的解析式为：y=(x-c)2+/7,

・••(%—C)2+力=%2+/)%+的

(—2c=b

"tc2+b=c'

；•f二6,

=3

・•・抛物线的解析式为：y=x2-6x+3；

(3)如图，••,点A(7H,7l),。(??1+6,71)在抛物线丫=%2+匕X+0上,

・•・zu和m+6是方程/+人工+C=九的两根，

即％2+bx+c—n=0,

(m+m—6=—b

一(m(m+6)=c一九'

解得:『=-"+3),

ic=+6m+n

o

：九)在抛物线)2上,

•••B(m+81,7=x+bx+c

3

•••(m+l)2+b(m+1)+c=-n,

将b、c代入得:(租+l)2—2(m+3)(m+1)+m2+6m+n=-n,

即九—5=-n,

8

n=8,

A(m,8),B(m+1,3),C(m+6,8),

AC=6,

过8作BG_L4C于G,则8G=8—3=5,

SMBC=&X6X5=15.

解析：(1)根据顶点公式即可求得6的值，然后把点(3,1)代入解析式即可求得c的值；

(2)根据抛物线的顶点式和顶点坐标(c,b)设解析式，与已知的解析式列等式可求得b和c的值，写出抛

物线的解析式；

⑶由4与C的纵坐标相等可得：小和爪+6是方程久2+6%+c=n的两根，根据根与系数的关系列方

程组可得b和c的值，把B的坐标代入抛物线的解析式中，再把6和c的值代入可得"的值，表示4、B、

C三点的坐标，可求△28C的面积.

本题考查了抛物线的顶点式、抛物线的对称性、三角形的面积、二次函数与一元二次方程根与系数

的关系，(3)利用纵坐标相等的点是对称点，与方程相结合，得到m和爪+6是方程/+法+。=几的

两根是关键.

25.答案：解：(1)2E=FB=xcm,

：.EF的长为(60-2%)cm.

图中阴影部分拼在一起是边长为EF的正方形，其面积为：(60-2%)2(；山2,

掀起的四个角上的四个等腰直角三角形的面积之和为：2x2cm2；

盒底正方形的边长为其面积为2/；

S=602-(60-2x)2_©2=240%-8/

S=-8(/-3Ox)=-8(久-15)2+1800(0<%<30),

a=-8<0.

••・抛物线的开口向下，S有最大值.

x=15cm时,侧面积最大为1800czn2,

答：若包装盒侧面积S表大=1800。爪2最大，久应取15cm.

(2)包装盒的底面正方形的边长为a,高为h,

15

■■-AE=^a，(八

•••EF=60-2AE=60-缶，\\

h=^-EF=30y/2-a,

包装盒的高八随底面边长的增大而减小.

圆柱的底面朝下放入，此时包装盒高力不能小于15.

:圆柱的底面半径为15cm,

•••盒底边长最小取30cm(放入如①图)，

h=30V2-a=30(a-1)<15,故不能放下.

解析：(1)根据条件可以分别表示出阴影部分的面积，掀起的四个角上的四个等腰直角三角形的面积

之和及底部正方形的面积就可以表示出S与x之间的函数关系式;将解析式化为顶点式就可以求出S的

最大值；

(2)设包装盒的底面正方形的边长为a,高为h,就可以得出=EF=60-24E=60-&a,

h=与EF=30V2-a,再三种情况讨论就可以得出结论.

本题考查了勾股定理的运用，矩形的面积的运用，正方形的性质的运用，二次函数的解析式的运用，

分类讨论思想的运用，解答时分类讨论是难点.

26.答案：(1)证明：•••在梯形4BCD中，AD//BC,AB=DC,

•••Z.B=Z.C.

BE=2,BP=2,CP=4,CD=4.

.EB=BP

'CP~CD'

BEP~ACPD；

(2)解：①・.•zB=ZC=乙EPF

・•・180一乙B=180一乙EPF=乙BEP+(BPE=(BPE+乙CPF

•••Z-BEP=Z.FPC,

BEP~ACPF,

.EB=BP

-2_x

"6-xjT，

•••y=—\x2+3%—4.

②当点F在线段CD的延长线上时，

•・•乙FDM=Z,C=Z-B,乙BEP=乙FPC=乙FMD,

BEP~ADMF.

•y-'kBFP2ixI^SF—4:9,

DF=3=j

,,BP2x9

3

•••y=-x,

y=——x2+3x—4,

,2

%2—3%+8=0,△<0.

・••此方程无实数根.

故当点F在线段CO的延长线上时，不存在点P使¥=4:9；

当点尸在线段CD上时，同理ABEP〜ZkOMF,

逊pg=4:9,

,DF=l=y.

''BP2x'

3

•••y=/，

•••△BEPfCPF,

.EB=BP

'CP^CF'

2=x

"6"x4-y*

•••y=；%2—3%+4.

%2—9%+8=0,解得第i=1,外=8.

由于％2=8不合题意舍去.

Ax=1,即BP=1.

.,.当=4:9时，8P的长为1.

解析：本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，及二次函数的综合运用.

(1)欲证△BEPSACPD,可由梯形ABC。中力B=DC,得出NB=NC,根据相似