2023年辽宁省抚顺市顺城区中考三模数学试卷含详解

2023年初中毕业生第三次质量调查数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每题3分，满分30分）

1.在一石，1,2,-2中，最小的实数是（）

L1

A.-J3B.1C.——D.-2

2

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.下列计算中正确的是

Aa3-a3-a9B.2<7)3=—8fl3

D.(-a+2)(-a-2)=+4

4.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成，它的俯视图是（）

5.图，直线。〃6,直线c分别交a,6于点A,C,点8在直线b上，ABJ.AC,若Nl=130。，则N2的度数是

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家.下面数据是部分获

奖者获奖时的年龄（单位：岁）：35,32,35,40,33,29,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.35,35B.35,33C.34,35D.35,347.使2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）

A------------'——1——'_4_R------------1——1——1_1_

A--10123B.-10123

「-------1——1——1_i_n-------1——1——1_i

c--10123D--10123

8.如图，在AABC中，BC=6,AC=8,ZC=90°,以点B为圆心，8c长为半径画弧，与AB交于点。，再分别

以A、。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N,作直线MN,分别交AC、AB于点E、F,则AE

9.如图，四边形A3CD内接于。。，A5为。。的直径，ZABD=20）则N5CD的度数是（）

0

A.90°B.100°C.110°D.120°

10.如图，四边形A3CD是边长为2cm的正方形，点E,点尸分别为边A。，8中点，点。为正方形的中心,

连接OE,。/，点尸从点E出发沿E—0—F运动,同时点。从点5出发沿5c运动，两点运动速度均为

lcm/s,当点尸运动到点尸时，两点同时停止运动,设运动时间为/s,连接BRPQ,VBFQ的面积为Sen?,

下列图像能正确反映出S与r的函数关系的是（）

AED

石；22

AS/CDI1S7cm

BcipTTD

O\12^sO\12~^t/s

BQC

S7cm2

T

12t/s

二、填空题（本题共8个小题，每题3分，满分24分）

355

11.我国古代数学家祖冲之推算出万的近似值为——，它与乃的误差小于0.0000003,将0.0000003用科学记数法

113

可以表示为•

12.因式分解：ab2-a=_.

13.为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A,B两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校

的概率是.

14.若关于x的一元二次方程/—4犬+m―1=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是—.

15.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是90分、80分、80

分.若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为分.

16.如图，在一ABC中，ZABC=40°,ZBAC=80°,以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线B4于点。，

连接CD,则N5CD的度数是.

17.如图，在平面直角坐标系中，YABCD的边在X轴上，顶点A在y轴的正半轴上，点。在第一象限，将

以403沿y轴翻折，使点B落在x轴上的点E处，OE=3OC,AE与CD交于点F.若y=^（左，图象经过

点、D,且心仙,=2,则左的值为

18.如图，在矩形A3CD中，A3=2,AD=4.若点E是边5c上的一个动点，过点E作跖工AC,交直线A。

于点孔则点E移动的过程中，AE+CE的最小值为

三、解答题（本题共2个小题，第19题10分，第20题12分，满分22

分）

19.先化简，再求值：fl一一2_]/上2"+1,其中。=2023.

Ia+lja+1

20.北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴

趣.某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、

单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）.

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有

______人；

（2）补全条形统计图；

（3）把短道速滑记为4、花样滑冰记为2、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为学校将从这四个运动项目中抽

出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率.

四、（本题共2个小题，每题12分，满分24分）

21.某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，

买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.

（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？

（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？

22.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形A3DE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向,

AC=200米.点E在点A的正北方向.点8,。在点C的正北方向，8D=100米.点B在点A的北偏东30°,

点。在点E的北偏东45°.

（1）求步道OE的长度（精确到个位）；（2）点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点8

到达点。，也可以经过点E到达点。.请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：V2«1.414,

6al.732）

五、（满分12分）

23.某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关

f2x（0<x<30）

系式是y=j-6x+240（30<x<40）销售单价0（元/件）与销售时间X（天）之间的函数关系如图所示.

（1）求销售单价p（元/件）与销售时间X（天）之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围）

（2）当0<xW30时，求日销售额最大值；

（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，请直接写出“火热销售期”共有多少

天？

六、（满分12分）

24.如图，点C是以AB为直径的。上一点，点。是AB的延长线上一点，在Q4上取一点R过点尸作AB的

垂线交AC于点G,交。C的延长线于点E,且EG=EC.

（1）求证：OE是的切线；

2

（2）若点尸是Q4中点，BD=2,sinZD=—,求EC的长.

3

七、解答题（满分12分）

25.如图，是等边三角形，将线段绕点8旋转1（0°<1<180。），得到线段3D,连接CD,的

ADAA

E

角平分线交直线CD于点E,连接

图2备用图

(1)如图1,当0。＜。＜60。时，猜想线段BE,CD三条线段之间数量关系，请直接写出你的猜想;

(2)如图2,当60。＜。＜120。时，(1)中的结论是否成立？若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结

论并说明理由;

(3)若A3=3«，NA6D=30。时，请直接写出师的长.

八、解答题(满分14分)

26.如图，抛物线y=-；苫2+敬+。的对称轴与了轴交于点4(1,0),与y轴交于点5(0,3),C为该抛物线图象上

的一个动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，当点C在第一象限，且/B4c=90°,求tan/ABC的值；

(3)点。在抛物线上(点。在点C的左侧，不与点3重合)，点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACP。？若

存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2023年初中毕业生第三次质量调查数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每题3分，满分30分）

1.在一石，1,2,-2中，最小的实数是（）

L1

A.-J3B.1C.——D.-2

2

【答案】D

【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可.

［详解］解：：_g=g<l（卜石|=石（卜2|=2,

-2<-V3<--<1；

2

•••最小的实数是-2；

故选D.

【点睛】本题考查实数大小比较.熟练掌握负数小于。小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键.

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可.轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能够与原来的图形重合.

【详解】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意;

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意;

D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意;

故选：A.

【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题的关键是熟练地掌握中心对称图形和轴对称图形的判断

方法.3.下列计算中正确的是（）

A.B.（-2a）=-

C.4。+（-=/D.（-Q+2）（-Q-2）=4+4

【答案】B

【分析】分别根据同底数累的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数基的除法法则、塞的乘方法则以及平方差公

式逐一判断即可.

【详解】A.“3=々3+3="6,故本选项错误；

B.(-2a)3=(-2)3a3=-8a3,故本选项符合题意；

C./°十(一/)3=_/。-2><3=_/,故本选项错误；

D.{—a+2)(—42—2)——2"—a2—4,故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了同底数塞的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数塞的除法法则、塞的乘方法则以及平

方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键.

4.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是()

【答案】C

【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案.

【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，

故答案选：C.

【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解

题的关键.

5.图，直线。〃直线c分别交a,b于点A,C,点B在直线b上，ABJ.AC,若Nl=130。，则N2的度数是

A30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】直接利用三角形的外角性质及平行线的性质进行计算，即可得出答案.

【详解】解：

ZBAC=90°,

4=130。，

ZABC=Z1-ABAC=130°-90°=40°,

•直线a//b,

.-.Z2=ZABC=40°.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角的和.

6.费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家.下面数据是部分获

奖者获奖时的年龄（单位：岁）：35,32,35,40,33,29,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.35,35B.35,33C.34,35D.35,34

【答案】D

【分析】根据中位数与众数的定义，即可求解.

【详解】解：将获奖时的年龄按照从小到大排列为：29,32,33,35,35,40

则这组数据的众数是35

33+35

这组数据的中位数是卫卫=34

2

故选：D.

【点睛】本题考查了中位数与众数，中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个

数字的平均值）叫做这组数据的中位数.众数：在一组数据中出现次数最多的数.

7.使J口有意义的尤的取值范围在数轴上表示为（）

A-----1——1——'-R-----1——1——1_-----1——1——1~i

A--10123B--10123c--10123D-

—〔ill—।_>

-10123

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件可得尤-220,求出不等式的解集，然后进行判断即可.

【详解】解：由题意知，x-2>0,

解得x>2,

・・・解集在数轴上表示如图，

-----11---1—1—।—>

-10123

故选B.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集.解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的

条件.

8.如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,ZC=90°,以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点。，再分别

以A、。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N,作直线MN,分别交AC、A3于点£、F,则AE

10

C.2V2D.

T

【答案】A

AC4

【分析】由题意易得MN垂直平分AD,AB=10,贝ij有AD=4,AF=2,然后可得cosNA=—=-,

AB5

进而问题可求解.

【详解】解：由题意得：垂直平分AD,BD=BC=6,

：.AF=-AD,ZAFE=90°,

2

：8C=6,AC=8,NC=90。，

■■AB=yJAC2+BC2=10-

/,ACAF4

・・AZ)—4,A尸=2,cos/A=-----=------——,

ABAE5

AFS

AE=----------二—；故选A.

cosZA2

【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角

函数是解题的关键.

9.如图，四边形A5CD内接于。0,AB为。。的直径，ZABD=20，则N5CD的度数是()

C

D,

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】因为A3为。。的直径，可得NAD5=90°，NDAB=70，根据圆内接四边形的对角互补可得N5CD

的度数，即可选出答案.

【详解】；A3为。。的直径，

•••ZADB90°，

又"48。=20，

AZZMB=90-ZABD=90-20=70，

又：四边形A3CD内接于OO,

AZBCD+ZDAB^180，

AZBC£>=180-ZZMB=180-70=110，

故答案选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键.

10.如图，四边形A3CD是边长为2cm的正方形，点E,点尸分别为边A。，CD中点，点。为正方形的中心，

连接OE,。/，点尸从点E出发沿E-O-F运动，同时点。从点B出发沿运动，两点运动速度均为

lcm/s,当点尸运动到点尸时，两点同时停止运动，设运动时间为/s,连接5RPQ,V5PQ的面积为Sen?,

下列图像能正确反映出S与/的函数关系的是（

BQ

S7cm2222

11S7cm1SZcm1S7cm

1111

-B---

2222

【答案】D

【分析】分OS也1和1<E2两种情形，确定解析式，判断即可.

【详解】当0WV1时，：正方形A8C。的边长为2,点。为正方形的中心，

直线£。垂直BC,

.•.点P到直线BC的距离为2-t,BQ=t,

11

S=—(2,-/)•/■=——9+/；

当1<江2时，•.•正方形4BCD的边长为2,点尸分别为边A。，8中点，点。为正方形的中心，

直线OF//BC,

：.点P到直线BC的距离为1,BQ=t,

1

■.S=­t；

2

故选D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解

题的关键.

二、填空题(本题共8个小题，每题3分，满分24分)

355

11.我国古代数学家祖冲之推算出乃的近似值为一，它与冗的误差小于0.0000003,将0.0000003用科学记数法

113

可以表示为.

【答案】3x10-7

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-,与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】解：0.0000003用

科学记数法表示为3乂10一7.

故答案为：3x107.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(T〃，其中104<10,"为由原数左边起第一个不

为零的数字前面的0的个数所决定.

12.因式分解：ab2-a=_-

【答案】a(b+l)(b-l).

【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再

观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：ab2-a=a(b2-l)=a(b+l)(b-l).

13.为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A,B两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校

的概率是.

【答案】-##0.25

4

即均从A通道过的概率为：1+4=—,

4

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了采用列举法求解概率的知识，根据题意准确画出列表或者树状图是解答本题的关键.

14.若关于X的一元二次方程了2一4%+777-1=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是—.

【答案】，"<5

【分析】由题意得判别式为正数，得关于根的一元一次不等式，解不等式即可.

【详解】：关于X的一元二次方程f_4x+m_1=0有两个不相等的实数根，A=(―4)2—4X1X(7〃—1)>0.

解得：机<5.

故答案为：〃z<5.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次

方程的实数根的情况的关系是本题的关键.

15.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是90分、80分、80

分.若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为分.

【答案】83

【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果.

90x3+80x4+80x3

【详解】解：根据题意得:=83（分）.

3+4+3

故小明最终比赛成绩为83分.

故答案为：83.

【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键.

16.如图，在中，ZABC=40°,/R4c=80。，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线B4于点。,

连接CD,则N3CD的度数是.

【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC=AD,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可.

【详解】解：如图，点。即为所求；

在AABC中，ZABC=40°,ZBAC=80°,

.-.ZACB=180°-40°-80°=60°,

由作图可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=；(180°-80°)=50°,

Z.BCD=ZACB-ZACD=60°-50°=10°；由作图可知：AC^AD,

:.ZACD=ZADC,

ZACD+ZADC=ABAC=80°,

ZADC=40°,

ZBCD=180。—ZABC-ZADC=180。—40。—40。=100°.

综上所述：/BCD的度数是10°或100°.

故答案为：10°或100。.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作

图方法.

17.如图，在平面直角坐标系中，YABCD的边在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，点。在第一象限，将

k

一沿y轴翻折，使点B落在x轴上的点E处，OE=3OC,AE与CD交于点?若y=—(左w0)图象经过

点、D,且入.=2,则左的值为.

AV）Ap41

【分析】先证AAEDsAEFC,得到—=—=—=2,进而求出S^c==,再求出SMBUZS.FCUI,即可求得

ECEF22

SAACD=S.FC+^AADF=1+2=3,即可得到SMOD=SMCD=3,即可求出左值.

OD,AC,OD,

设OC=a,则OE=3OC=3a,OB=OE=3a,EC=2a,

四边形A3CD是平行四边形,

AD=BC=4a,AD//BC,

ZFCE=ZFDA,ZFEC=ZFAD,

ADAF4

■■^AFD^NEFC,■■——=——=-=2,

ECEF2

■^AAFD=2,

»=（2）=4,则%“=；,

SgcF=2SAEFC=1，

-SgCD=S^AFC+=1+2=3,

-5AAoo-S^CD=3，

；•网=2SAA<®=6,

••k=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了反比例函数系数4的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性

质，正确的作出辅助线是解题的关键.

18.如图，在矩形A3CD中，AB=2,AD=4.若点E是边5C上的一个动点，过点E作跖交直线

于点R则点E移动的过程中，AE+Cr的最小值为

AFD

【答案】5

【分析】过点。作DM〃）交BC于M，过点A作ANEF,使AN=EF,连接NE,可得4vM是平行四

边形，贝U：AF+FE=NE+CE>CN,当N、E、C三点共线时，AF+EE的值最小，即为CN的长度，求出

CN的长度即可得解.

NA

过点。作〃石F交于过点A作⑷VEF,使AN=EF,连接NE,

四边形ANEF是平行四边形，，AN=EF,AF=NE,

：.AF+FE=NE+CE>CN

・•・当N、E、C三点共线时，AF+CE最小，

四边形A3CD是矩形，AB=2,AD=4,

AO=3C=4,AB=C£>=2,AD〃3C,NABC=90。,

AC=yjAB2+BC2=275，

.1四边形瓦皿是平行四边形，

:.DM=EF,

：.DM=EF=AN,

EFLAC,

DMLAC,ANLAC,

:.ZCAN=90°,

ZMDC+ZACD=90°=ZACD+ZACB,

:.ZMDC^ZACB,

.'.tan^MDC—tanNACB,即----=----=—,

CDBC2

：.MC=1,

在RtACDM中，由勾股定理得DM=y/CDr+CM2=J5=AN，

在RtVACN中，由勾股定理得CN={AC?+AN?=5,

即：AE+CE的最小值为5；

故答案为：5.

【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和

性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本题共2个小题，第19题10分，第20题12分，满分22分）

19.先化简，再求值：fl一一―)^a'-2a+1,其中。=2023.

I6Z+ly6Z+1

1

【答案】二I

2024

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把。的值代入进行计算即可.

21a+1

〃+1<7-lYx<7+1

【详解】解：原式=a+J(tz-1)2a+lj

〃+1

1

tz+1

当a=2023时,

原式=-------=-----.

2023+12024

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

20.北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴

趣.某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、

单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）.

请你根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)在这次调查中，一共调查了名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有

.人;

(2)补全条形统计图;

(3)把短道速滑记为A、花样滑冰记为2、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D学校将从这四个运动项目中抽

出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率.

【答案】(1)100,800

(2)补全条形统计图见解析

(3)树状图见解析，抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C概率为3

【分析】(1)先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用2000乘以花样滑冰的人

数所占的百分比，即可求解;

(2)分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解;

(3)根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个

项目为自由式滑雪C的有6种等可能结果.再根据概率公式计算，即可求解.

【小问1详解】解：调查的总人数为40+40%=100人;

2000x40%=800A；

故答案为：100,800

【小问2详解】

解：单板滑雪的人数为100x10%=10人,

自由式滑雪的人数为100—40—20—10=30人,

【小问3详解】

开始

从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个项目为自由式滑雪C的有6种等可

能结果.

.••抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率为二='.

【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，

准确从统计图中获取信息是解题的关键.

四、（本题共2个小题，每题12分，满分24分）

21.某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，

买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.

（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？

（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？

【答案】（1）买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需20元

（2）至少买乙种快餐37份

【分析】（1）设一份甲种快餐需x元，一份乙种快餐需y元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；

（2）设购买乙种快餐。份，则购买甲种快餐（55-份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解.

【小问1详解】

解：设一份甲种快餐需尤元，一份乙种快餐需，元，根据题意得，

x+2y=70

2x+3y=120

x=30

解得〈”

7=20

答：买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需20元；

【小问2详解】

设购买乙种快餐。份，则购买甲种快餐（55-份，根据题意得，

30（55-a）+20a<1280

解得a237

至少买乙种快餐37份

答：至少买乙种快餐37份.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关

键.

22.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形A5DE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向，

AC=200米.点E在点A的正北方向.点8,。在点C的正北方向，8D=100米.点B在点A的北偏东30°,

点。在点£的北偏东45°.

(1)求步道£电的长度(精确到个位)；

(2)点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点2?到达点也可以经过点E到达点D请

计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：皿=1.414,6。1.732)

【答案】(1)283米

(2)经过点B到达点。较近

【分析】(1)过。作。尸，AE于E可得四边形AC"是矩形，则D尸=AC=200米，解RtADEF即可；

(2)解Rt/VLBC求出AB=400米，BCuZOOg"米，进而求出CD米，再根据AE=A口—所=CD—所求

出AE，最后比较A3+BD和AE+QE的大小即可.

【小问1详解】

解：过。作。尸，AE于F,如图：

F0

厂8

：

分

西

E-南

30

---------'C

由己知可得四边形ACDF是矩形，

.♦.£>/=AC=200米，

•.•点D在点E的北偏东45°,即“£口=45°,

DE=DF=200=200V2«283（米）；

sinZDEFsin45°

【小问2详解】

解：由（1）知NDEF=45°,

EF=DE=200米，

:点2在点A的北偏东30°,即NEU3=3O°,

：.ZABC=30°,

•1,AC=200米，

AB=2AC=400米,

BC=AB-cosZABC=400x5=200百米,

"£)=100米，

/.经过点B到达点D路程为AB+=400+100=500米，

CD=3C+=(2006+100)米，

/.AF=CD=(200A/3+100)米，

AE=AF-EF=(200^/3+100)-200=(200逝—100)米，

/.经过点E到达点D路程为AE+DE=20073—100+2000土529米,

•/529>500,/.经过点B到达点D较近.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用一一方位角问题，矩形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造矩

形AC",掌握锐角三角函数的定义.

五、（满分12分）

23.某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关

f2x(0<x<30)

系式是V=j_6x+240(30<xW40)'销售单价P（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示.

（1）求销售单价P（元/件）与销售时间X（天）之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围）

（2）当0<xW30时，求日销售额的最大值；

（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，请直接写出“火热销售期”共有多少

天？

40(0<%<20)

【答案】（1）P=\1

--x+50(20<x<40)

（2）①当x=20时，W最大，最大值为1600元；②当0<xW30时，日销售额的最大值2100元

（3）“火热销售期”共有9天

【分析】（1）结合图象，分两段，利用待定系数法进行求解即可；

（2）设日销售额为W元，分0<xW20,20<xW30两种情况，分别列出函数关系式，利用函数的性质，进行求

解即可；

（3）求出y»48时，x的取值范围，即可得出结论.

【小问1详解】

解：当0<xW20,。=40；

当20<x430时，设销售单价〃（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为。=奴+人

"40=20k+b

由图像可知：经过（20,40）,（40,30）,“c,,

'''7[30=40左+匕

k=--

：.\2；

6=50

.*•p——x+50,

2

-40（0<%<20）

■-P=\1/、；

--%+50（20<%<40）

【小问2详解】

设日销售额为W元，

①当0<xW20时，W=p-y=40x2x=80%,

,/80>0,

...W随X的增大而增大，

.•.当尤=20时，W最大，最大值为80x20=1600（元）；

②当20<xV30时，W=p-y=150-gx]><2x=-x2+100x=-（x-50）2+2500,

V-l<0,开口向下，

...当x<50时，W随尤的增大而增大，

...当x=30时，W最大，最大值为2100（元），

V2100>1600,

.•.当0<xW30时，日销售额的最大值2100元；

【小问3详解】

由题意得：

当0<%W30时，2x248,

解得：24WxW30,

当：30<x440时，-6x+240>48,

解得：30<x<32,

...当24WXW32时，日销售量不低于48件，

为整数，

••.x的整数值有9个，即：“火热销售期”共有9天.

【点睛】本题考查函数的综合应用.从函数图象上有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题的关键.

六、（满分12分）24.如图，点C是以AB为直径的。上一点，点。是AB的延长线上一点，在。4上取一点

F,过点/作A3的垂线交AC于点G,交。C的延长线于点E,且EG=EC.

（1）求证：OE是10的切线；

2

（2）若点尸是。4的中点，BD=2,sinZD=-,求EC的长.

3

【答案】（1）见解析（2）EC的长是葭石

【分析】（1）如图：连接OC,由题意可得NGE4=90。、ZACB^9Q0,进而说明NAGE=NABC；再根据等腰三

角形的性质可得NEGC=NECGZABC=ZBCO,进而说明NECO=90。即可证明结论；

0C2

（2）由是。的切线可得NOCD=90。，再根据正弦的定义可得---------=—可求得。。=6、0C=4,运

OB+BD3

lDFDE8DE24r

用勾股定理可得。。=2逐；再证EFDOQD则——=——即胃=?可得DE=一最后根据

DCDO2V565

EC=ED—DC即可解答.

【小问1详解】

证明：如图：连接OC,

VEF±AB,AB为。的直径,

AZGFA=90°,ZACB=90°,

：.ZA+ZAGF=90°,ZA+ZABC=90°,

/.ZAGF=ZABC,

VEG=EC,OC=OB,

：.ZEGC=ZECG,ZABC=ZBCO,

又：ZAGF=ZEGC,

：.ZECG=ZBCO,,：ZBCO+ZACO=90°,

ZECG+ZACO^90°,

：.NECO=90。，

OC±DE,

是：。的半径,

•••。石是《。的切线.

【小问2详解】

解：由（1）知，OE是〈0的切线,

.NOCD=90°,

2

*BD=2,sinZD=-,OC=OB,

3

PC_2OC2

即-------=—,解得0c=4

OB+BD^3'OB+23

•OD—6，

,在RtAOCO中，OC2+CD-=OD2，

•DC=^OD2-OC2=762-42=2A/5，

•点E为。4的中点，OA=OC,

.OF=2,

.DF=S,

,ZEFD=ZOCD=90°,ZEDF=ZODC,

.EFDOCD,

DFDE8DE24r

=----,即一尸=—-,解得DE=—A/5,

DC---DO------2A/565

24lI-14I-14r-

.EC=ED-DC=yV5-2V5=yV5,即EC的长是《J?.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线的判定、切线的性质、正弦的定义、相似三角形的判定与

性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

七、解答题（满分12分）

25.如图，—ABC是等边三角形，将线段绕点B旋转仪0°<1<180°）,得到线段BD，连接CD,的

角平分线交直线CD于点E，连接AE.