《平面》教学设计、导学案、同步练习

《8.4.1平面》教学设计

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第三章《立体几

何初步》，本节课主要学习三个基本事实及三个结论及其应用。

平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面为例，对它只是加以描述而

不不定义。立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是

无限延展性。为了更精准地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书的三个基

本事实，这也是本节的重点。另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注

意图形语言与符号语言的转换。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方1.数学抽象：平面的概念；

法.2.逻辑推理：三个基本事实；

B.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间3.数学运算：点、直线、平面的关系；

的位置关系.4.直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面

C.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公之间的位置关系。

理，理解三个基本事实的地位与作用。

【教学重点】：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；

【教学难点】：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、情境引入

教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？通过观察图片，引入本节

新课。建立知识间的联

系，提高学生概括、类比

推理的能力。

二、探索新知

1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，

数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.

2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸

通过练习，巩固平面的概

的.

念及特征，提高学生的解

(1)平展性(2)无限延展性(3)没有厚度

决问题、分析问题的能

练习：

力。

判断下列各题的说法正确与否：

(1)、一个平面长4米，宽2米；()

(2)、平面有边界；()

(3)、一个平面的面积是25cm2；()

(4)、菱形的面积是4cm2；()

(5)、一个平面可以把空间分成两部分.()

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V(5)J

3.平面的画法：

当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其

邻边长的2倍。

(1)水平放置的平面:

Z7

(2)垂直放置的平面:

4.平面的表示

常把希腊字母a、6、Y等写在代表平面的平行四边形的一个角上，

如平面a、平面B等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者

相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.

记作：平面a、平面ABCD、平面AC或平面BD

通过思考，引入基本事实

b提高学生分析问题、

概括能力。

思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平

面？

【答案】过不共线三点

基本事实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

通过讲解，让学生明白点

作用：确定平面的主要依据。

与直线、平面关系的数学

5.点与直线、平面的位置关系

符号表示，教给学生数学

直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集

语言的运用。

合.点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元

素与集合的属于、不属于关系来表示.

图形语言：

.B

//

符号语言：A&a,B^aAe/A^l

思考2：如果直线1与平面a有一个公共点P,直线1是否在平面a

内？如果直线1与平面a有两个公共点呢？通过思考，引入基本事实

【答案】直线与平面的关系：2,提高学生分析问题的

直线在平面外直线在平面内能力。

方氏7

图形：/

符号语言：lualua

基本事实2如果一一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在

这个平面内.

图形语言：乙—

Ael

Bel

»=/ua

Aea

Bea

符号语言：

作用：判断直线是1务在平面内的依据.

思考3：如图，把三三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课通过思考，引入基本事实

桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么？3,了解两个相交平面交

于一条直线。

【答案】交于一点直线。

基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

通过讲解，让学生能用数

一条过该点的公共直线.

(2)aPl/?=l,aua,bu/3,aC\l=P,bC\l=P-

例2.如图，已知

aua,bua,acb=A,PGb,PQHa.

求证：PQua。

证明：•:PQ〃a,：.PQ与a确定一个平面£.

，直线au£,点PGB.

'：PGb,Zx=a,:.PRa.

又,：aua,:«a与8重合.:.Pga.

三、达标检测

1.判断正误

(1)平面是处处平的面.()

(2)平面是无限延展的.()通过练习巩固本节所学

⑶平面的形状是平行四边形.()知识，通过学生解决问题

(4)一个平面的厚度可以是0.001cm.()的能力，感悟其中蕴含的

【答案】⑴J(2)V(3)X(4)X数学思想，增强学生的应

用意识。

【答案】D

【解析】遮挡部分应画成虚线.故D错，选D.

3.如果点/在直线a上，而直线a在平面a内，点6在平面a内,

则可以表示为()

A.Ac:a,aua,BEa

B.K,aua,BEa

C.4ua,aGa,Baa

D.A&a,aSa,BQa

【答案】B

【解析】点］在直线a上，而直线a在平面a内，点8在平面。内，

表示为/ea,aua,BQa.

4.如图，已知〃，6是△放的边4G6c上的点，平面a经过。,£两

点，若直线49与平面。的交点是只求证：点/＞在直线龙上.

\

\

\-

■

匕

_____

证明：因为尸右48,4反:平面ABC,

所以pe平面ABC.

又PGa,平面ABCH平面a=DE,

所以尸G直线的

四、小结通过总结，让学生进一步

1.三个基本事实的内容；巩固本节所学内容，提高

2.三个基本事实的的作用；概括能力,提高学生的数

3.三个推论。学运算能力和逻辑推理

五、作业能力。

习题3.16,7,9题

【教学反思】

在教学过程中，应倡导“动手实验、直观感知、归纳猜想、操作确认”学习方式，充分

体现学生的“主体性”，让学生不断经历“概念及定义的探索及发现过程”。这样能降低学

生学习的难度，激发学生学习兴趣。

《8.4.1平面》导学案

【学习目标】

1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.

2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.

3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。

【教学重点】：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；

【教学难点】：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。

【知识梳理】

1.平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的.几

何里的平面是的.

2.平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个,它的锐角通常画成，且横边长等于其邻

边长的,如图①.

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用

画出来.如图②.

①②

3.平面的表示法

上图①的平面可表示为、、或.

4.平面的基本性质

基本事

内容图形符号

实

基本事过____________的三点，有且只应A,B,C三点不共线n存在唯一的

实1有一个平面平面。使4B,ga

如果一条直线上的______在一个

基本事

平面内，那么这条直线在这个平Ael,B&1,且a,BQ

实2

面内

如果两个不重合的平面有一个公

事实3共点，那么它们有且只有一条过运PGa,PG尸=____________

该点的_____________

5.推论

推论1:经过一条直线和，有且只有一个平面.

推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条直线，有且只有一个平面.

【学习过程】

一、探索新知

1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概

念是现实平面加以抽象的结果.

2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的.

(1)(2)(3)

练习：

判断下列各题的说法正确与否：

(1)、一个平面长4米，宽2米；()

(2)、平面有边界；()

(3)、一个平面的面积是25cm2；()

(4)、菱形的面积是4cm2；()

(5)、一个平面可以把空间分成两部分.()

4.平面的画法：

当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的

倍。

(1)水平放置的平面：

(2)垂直放置的平面:

4.平面的表示

常把希腊字母a、B、丫等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面a、平

面B等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作

为这个平面的名称.

DC

AB

记作：、平面、平面或平面BD

思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？

基本事实1

图形语言:

作用：确定平面的主要依据。

5.点与直线、平面的位置关系

直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合.点在直

线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来

表示.

符号语言:

思考2：如果直线1与平面a有一个公共点P,直线1是否在平面a内？如果直线1

与平面a有两个公共点呢？

基本事实2________________________________________________

图形语言:

符号语言：___________________________________________

作用：判断直线是否在平面内的依据.

思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是

否只相交于一点B?为什么？

基本事实3______________________________________

图形语言：

符号语言：0

作用：①判断两个平面相交的依据.

②判断点在直线上.

6.两个相交平面的画法：

注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部

分画成虚线或不画.

7.利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论

推论］o

推论2。

推论3»

作用：确定一个平面。

例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

例3.如图，已知aua,bua,acb=A,P®b,PQHa.

求证：PQua。

【达标检测】

1.判断正误

(1)平面是处处平的面.()

(2)平面是无限延展的.()

(3)平面的形状是平行四边形.()

(4)一个平面的厚度可以是0.001cm.()

2.下列空间图形画法错误的是()

3.如果点/在直线a上,而直线a在平面a内，点6在平面a内，则可以表示为()

A.4ua,aua,BQa

B./IGa,aua,BQa

C.Ac.a,aWa,Be.a

D.力Ga,ada,BEa

4.如图，已知〃，E是AA比的边4C,上的点，平面。经过。，E两点，若直线48

与平面a的交点是P,求证：点尸在直线以上.

A

参考答案：

2.(1)平展性(2)无限延展性(3)没有厚度

练习(1)X(2)X(3)X(4)4(5)V

3.45°2

/7

(1)

4.平面a、平面ABCD、平面AC或平面BD

思考L过不共线三点

基本事实1.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

5.符号语言：A&a,BAG

思考2.直线与平面的关系：

直线在平面外直线在平面内

符号语言：IpaIua

基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

符号语言：

Ael]

Bel!

>=>lcza

Aea

5eaJ

思考3.交于一点直线。

基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线.

符号语言：尸=/，且Pe/

6.

7.推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。

例1.解：(\)a^/3=l,aC\ct=A,aC\/3=B.

(2)<z-l,a<^a,h/3,a(\l-P,bC\l-P.

例2.证明：：O〃a,.•.国与a确定一个平面£.

直线au£,点PRJ3.

'：PRb,Zxza,：.pea.

又Yaua,，a与£重合.C.PQCLa.

达标检测

1.【答案】⑴J(2)V(3)X(4)X

2.【答案】D

【解析】遮挡部分应画成虚线.故D错，选D.

3.【答案】B

【解析】点4在直线a上，而直线a在平面a内，点8在平面a内，表示为［《a,

aua,BQa.

4.证明：因为PG/A平面

所以PG平面46c

又PRa,平面4%;A平面a=DE,

所以一右直线如

《8.4.1平面》同步练习

一、选择题

1.下列命题正确的是（）

A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D.四边形确定一个平面

2.如果直线au平面a,直线仪:平面a,Mea,Neb,且Me/,Ne/,那么（）

A.IuaB.Iua

C.l（\（x—MD./p|a=N

3.下列命题中，正确的是（）

A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF,G1I

交于一点P，贝!1（）

A.P一定在直线BD上

B.P一定在直线AC上

C.P一定在直线AC或BD上

D.P既不在直线AC上，也不在直线BD上

5.（多选题）下面说法中（其中A,B表示点，a表示直线，a表示平面）：

A.因为Aua,Bea,所以ABua；

B.因为Aea,BWa,所以ABGa；

C.因为AOa,aua,所以A©a；

D.因为ACa,aua,所以A阵a

其中错误的说法是（）

6.（多选题）如图，an0=1,AEa,CGP,C«L直线ADC1=D,A,B,C三点确

定的平面为Y,则平面Y、P的交线必过（）

B.点B

CMCD.点D

二、填空题

7.若直线1与平面a相交于点0、4、Be1、C、De.a,nAC//BD,贝lj0、C.D

三点的位置关系是—.

8.如图所示，A,B,C,〃为不共面的四点，E,F,G,〃分别在线段48,BC,CD,DA

上.如果如na/=。，那么0在直线_______上.

9.如图所示的正方体中，P,Q,M,N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是

（把正确图形的序号都填上）.

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线1在平面a内，可以用符号“lea”表示；

③已知平面a与p不重合，若平面a内的一条直线a与平面B内的一条直线b相交,

则a与B相交.

其中真命题的序号是.直线1在平面a内，用数学符号表示为

三、解答题

11.如图，AB〃CD,ABAa=B,CDC1a=D,ACCa=E.求证：B,E,D三点共线.

12.已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d共面

《8.4.1平面》同步练习答案解析

一、选择题

1.下列命题正确的是（）

A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D.四边形确定一个平面

【答案】C

【解析】

A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平

面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一

可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点

确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确：选项D,空间

四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.

2.如果直线au平面a,直线Zxz平面a,M&a,N&b,且Me/,Ne/,那么（）

A.IuaB.Iua

C.lC\a=MD./Qa—N

【答案】A

【解析】：直线au平面a,直线bu平面a,MGa,NGb,

平面a,Ne平面a,

VMG1,NCI,

1ca.

故选A.

3.下列命题中，正确的是（）

A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

【答案】B

【解析】

因为正方体的四条体对角线相交于同一点（正方体的中心），因此经过正方体任意两条体

对角线，有且只有一个平面，故选B.

4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF,GH

交于一点P,则（）

A.P一定在直线BD上

B.P一定在直线AC上

C.P一定在直线AC或BD上

D.P既不在直线AC上，也不在直线BD上

【答案】B

【解析】EF、GH相交于点P,

则点P属于直线EF,且属于直线GH.

又由题意，EF属于面ABC,GH属于面ADC

则点P即属于面ABC,又属于面ADC

则点P必在面ABC与面ADC的交线上，即

点P必在AC上.故选B.

5.（多选题）下面说法中（其中A,B表示点，a表示直线，a表示平面）：

A.因为Aua,Bea,所以ABua；

B.因为AWa,Bea,所以ABCa；

C.因为A阵a,aua,所以A《a；

D.因为A&a,aua,所以A阵a.

其中错误的说法是（）

【答案】ABC

【解析】点在平面上，用“G”表示，不能用“u”表示，故不正确；AB在a内，用

“u”表示，不能用“G”表示，故B不正确；由aua,不能得出ma,故C不正确；

由A。a,aua,知A建a,故D正确.选ABC.

6.（多选题）如图，an0=1,AGa,CG0,Cql,直线ADA1=D,A,B,C三点确

定的平面为Y,则平面Y、B的交线必过（）

A.点AB.点B

C.点CD.点D

【答案】CD

【解析】

A、B、C确定的平面Y与直线BD和点C确定的平面重合，故C、DC丫，又C、DeB,

故C,D在丫和B的交线上.故选CD。

二、填空题

7.若直线/与平面a相交于点0、ABG1、C.ga,豆AC"BD,则0、C、D

【答案】共线

【解析】如图，因为AC〃BD,所以AC与BD确定一个平面，记为B,

则aCB=CD,

因为/Ca=O,所以OCa,又OCABuB,所以OCB,所以OCCD.故0,C,D共线.

8.如图所示，A,B,C,〃为不