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文档简介
Io5函数y=Asin(①x+9)的图象
学习目标核心素养
lo理解参数A、co.0对的数y
=Asin(OJX+(p)的图象的影
响.(重点)
lo通过观察参数人co.9对函
2、会用“五点法''同函数》=Asin
数y=Asin(①x+夕)图象变化的
(①x+夕)的简图;能根据y=
影响,提升学生直观想象素养,
Asin(CDX+(p)的部分图象确定
2、通过对函数y=Asin(ox+夕)
解析式,(重点)
图象和性质的应用,提升教学
3、掌握)=5111%与>=Asin(cox
运算素养。
+(p)图象间的变换关系,并能
正确地指出其变换步骤、(重点、
易混点)
迷更目主生习自主预习。探新知理3烹养感史…
匚知初援五□
1、9对y=sin(x+(/)),x£R的图象的影响
______厂(0>0时向左1(~M-y_______________
三H焉菊腰山尸…的is
2、co(co>0)^y=sin(cox+(p)的图象的影响
尸sinG+M图象上1时颤
所有点的横坐标-1时伸长「J"
【」sin®』%-----原来的士■倍"一
3、A(A>0)对y=Asin(CDX+(p)的图象的影响
产sin(3*+0)图象”>1时唾片
所有点的纵坐标小"<]时缩短]
(心sin(3酢----(原来的4倍卜~~
4、由函数y=sinx的图象通过变换得利y=Asin(cox+(p)的
图象有两种主要途径:”先平移后伸缩”与“先伸缩后平移
①先平移后伸缩
〃由么横闻•,,、乂44横坐标变为原来的」-倍■
y=sin九的图象错误,y=sin(x+s)的图象___________-_>y=sm
纵坐标不变
(GX+O)的图象错误!y=Asin(①x+9)的图象、
②先伸缩后平移
•ft皮I缶横坐标变为原来的倍♦f/rgy缶>4,c\\Jr'
y=sinx的图象刃,y=sin①x的图象向左(。>0)或
纵坐标不变
向右(0<0),平移壁1个单位长度y=sin(cox+(p)的图象错误!y二
Asin(cox+(p)的图象、
思考:由法教y=sinGX的图象平移多少个单住得到y=sin(①x
+。)个单住?为什么?
/提示_7平移错误!个单位,而不是平移I夕|单位,原因是图
象的变换是针对X而言,并非针对①X而言.
5、函数y=Asin(①x+9),A>0,①>0中参数的物理意义
70试身赛g
1、函数y=sin4x的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的
变换得到()
A、所有点的横坐标变为原来的4僖
B、所有点的横生林变为原来的错误!
C、所有点的纵坐标变为原来的4僖
D、所有点的纵坐标变为原来的错误!
B]y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的错误!后变为y
=sin4x的图象、]
2、要得到函数y=sin错误!的图象,只需将函数y=sin4x的图象
()
A、向左平移错误!个单住长度
B、向右平移错误!个单核长度
C、向左平移错误!个单核长度
D、向右平移错误!个单住长度
B»=sin错误!=sin4错误!,故只需将〉=5由4%图象向右平移
7T
五个单住即可得到:
3、函数y=Asin(CDX+(p)+1(A>0,①>0)的最大值为5,
则A=.
4£"由已知得A+l=5,故A=4o_7
4、函数y=3sin错误!的频率为,相核为,初相
为、
错误!错误!X一错误!一错误!/频率为错误!二错误!二错误!,
相优为错误!X一错误!,初相为一错误!.]
疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成
作函数y=Asin(cox+(p)
的图象
【例1】用“五点法”画函数y=2sin错误!在一个周期内的简
图,
思路点被:列表、描点、连线、成图是“五点法''作图的田个
基本步骤,令3x+错误!取0,错误!,兀,错误!,2兀即可找到五点.
[解1先同函数在一个周期内的图象、令X=3x+错误!,则x
=错误!错误!,列表如下:
X0错误!兀错误!2兀
71
X错误!错误!错误!错误!
-18
y020-20
[母题探究]
1.本例中把“一个周期内“改为“错误!”,又如何作图?
[解]•."£错误!,「・3x+错误!£错误!,
列表如下:
3x
+错误!错误!71错误!2兀错误!
错误!
4兀
X0错误!错误!~9错误!错误!
y12001
2
指点、,连线
2、本例中,把“五点法''改为"图象变换法”,怎样画法?
WJ法一:(先平移再伸缩)
向左平移看个单位
77
y—smx----------------»y=sinlX+
6
横坐标变为原来的等居
.y=sin(3x+/纵坐标变为原来的2倍、
纵坐标不变横坐标不变
=2sin(3%+-^-j.
法二:(先伸缩再平移)
横坐标变为原来的导售
Jy=sinx------纵,,坐,标,--不--变-------J>y=sin3x
向左平移已个单位,、
----------------=sin0%+点)纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
2sin(3x+
厂........规律c方法..............................
1、确定函数》=Asin(①x+9)的图象一般有两种方法:
(1)“五点法”;
(2J图象变换法、
2、用"五点法''作函数y=Asin(①x+9)的图象,五个点应是使
函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点,
3、用“五点法”作函数y=Asin(①x+9)图象的步骤是:
第~步:列表:
cox+(P0错误!兀错误!兀2兀
Tt2兀
X-错误!错误!一错误!一一错误!错误!一错误!一—错误!
CDCO
y0A0—A0
第二步:在同一坐标系中描出各点,
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
,跟进训练J
L已知火x)=1+错误!sin错误!,画出/(x)在错误!上的图象、
[^]列表:
-错误!-错误!-错误!错误!错误!错误!
2x一错误!-错误!-兀-错误!°错误!错误!
/fx)211一错误!11+错误!2
三角函数图象之间
、类型2____________.
的变换一
[例2](\)将函数y二错误!COS错误!的图象向左平移错误!个单
核长度,再向下平移3个单核长度,则所得图象的解析式
为、
(2)将y=sinx的图象怎样变换可得到函数y=2sin错误!+1
的图象?
思,路点、板:(1)依据左加右减;上加下减的规则写出解析式.
(2)法一:y=sinx—>纵坐标伸缩一横坐标伸缩和平移一向上平
移'
法二:左右平移一横坐标伸缩一纵坐标伸缩一上下平移.
(l)y=-gcos2x-3[y=错误!cos错误!的图象向左平移错误!个
单核长度,
得y二也COS错误!=错误!cos(2x+兀)=-错误!cos2x,
再向下平移3个单核长度得y=-A/2COS2X_3的图象:
(2)[解]法一:(先伸缩法)①把y=sinx的图象上所有点的
纵生标伸长到原来的2僖,得到y=2sinx的图象;②将所得图
象上所有点的横生林缩短到原来的错误!僖,得y=2sin2x的图象;
③将所得图象沿x轴向左平移错误!个单住,得y=2sin2错误!的图
象;
④将所得图象沿)轴向上平移1个单核,
得y=2sin错误!+1的图象.
法二:(先平移法)①将y=sinx的图象沿x轴向左平移错误!个
单核,得y=sin错误!的图象;②将所得图象上所有点的横坐标缩
短到原来的错误!僖,得y=sin错误!的图象;③把所得图象上所有点
的纵坐标伸长到原来2僖,得利y=2sin错误!的图象;④将所得图
象沿y轴向上平移1个单核,得y=2sin错误!+1的图象.
[母题探究]
L本例(2)中,若两个函数若互换,那么将函数y=2sin错误!
+1图象怎样变换可得到函数y=sinx的图象?
1T向下平移1个单位
一解]y=2sin2x++1-----------------------*y
4
纵坐标变为原来的0信
2sin|2x+-y-1--------——------------->■),—sin|2x+
\4/横坐标不变714
横坐标变为原来2倍./TT\
-------77,,........*T=sinx+-
纵坐标不变}\4/
向右平移子个单位.
----------------------=sinx.
2、本例(2)中把“y=sin>改为“y=cosx",该怎样变换?
向右平移于个单位
y-cosx-sin(x+-y7T
---------------------7=sinlx+4
横坐标变为原来;
一或国诉—>=sin(2x+书
纵坐标变为原来2倍./F\
横坐标不变J\4)
向上平移1个单位c.(cTT\।
----------------------2sinl2x+—I+1.
....规律c方法.....
由y=sinx的图象,通过变换可得到函数y=Asin(①%+(/))
(A>0,co>0)的图象,其变化途径有两条:
相核变换
(1Jy=sinx->y=sin(x+夕)错误!y=sin(cox+(p)
错误!y=Asin(a)x+(p).
/c、,周期变换相位变换./
(2))'=smx------------>y-sina)x----------------sincoIx
+哥]=sin(+M振幅变换)=.4sin(a)x+(p).
提醒:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:
(1)是先相核变换后周期变换,平移|夕I个单核.(2)是先周期变
换后相传变换,平移错误!个单枝,这是很易出错的地方,应特别注
意、
[J
「跟进训练]
2/1)要得到y=cos错误!的图象,只要将y=sin2x的图象()
A、向左平移错误!个单核B、向右平移错误!个单住
C,向左平移错误!个单核D,向右平移错误!个单核
(2)杷函数的图象上各点向右平移错误!个单伉,再
杷横生林伸长到原来的2僖,再杷纵坐标缩短到原来的错误!僖,所
得图象的解析式是y=2sin错误!,则«x)的解析式是()
A.f(x)=3cosxB,f(x)=3sinx
C.fix)=3cosx+3D,f(x)=sin3x
Cl)A(2)Af(lj因为y=cos错误!
=sin错误!=sin错误!
=sin2错误!,
所以将y=sin2x的图象向左平移错误!个单核,
得到y=cos错误!的图象、
(2)y=2sin^y-x+yj纵坐标伸长.17T
----------------►y=3sinr+
到原来的年倍■ry
横坐标缩短・/
-----------------3sinlx+
到原来的;倍“\
向左平移小个
OTT
y-3sinlx+-+
一单位6T)
3sin(x+
已知函数图象求解
座型3
折式
【例3】(1)已知函数/(x)=Acos(①x+夕)+3错误!的部分图象
如图所示,则函数火起)的解析式为()
:2:_
―二江0名x
22
A、y=2cos错误!+4
B、y=2cos错误!+4
C、y=4cos错误!+2
D、y=4cos错误!+2
(2J函数/(x)=Asin(①x+夕)中A>0,①>0,|夕|<错误!,且
图象如图所示,求其解析式.
思路点拨:由最大(小)值求A和员由周期求①,由特殊点坐
标解方程求9。
(1)A[由函数/G)的最大值和最小值得
A+B=6,—A+3=2,所以A=2,3=4,
函数/(x)的周期为错误!x4=4兀又①>0,
所以①二错误!,又因为点错误!在函数/(X)的图象上,
所以6=2cos错误!+4,所以cos错误!=1,
所以1+0=2%兀,所以夕=2Z兀一错误!,人£Z,
又|夕Iv错误!,
所以9二一子所以兀¥)=2cos错误!+4」
(2)[解]法一:(五点作图原理法)由图象知,振幅A=3,T
=错误!一错误!=兀,所以①=2,又由点错误!,根据五点作图原理(可吏1
为"五点法‘'中的第一点)一错误!义2+夕=0得9=错误!,
所以f{x)=3sin错误!。
法二:(方程法)由图象知,振幅A=3,7=错误!一错误!=兀,所以①
=2,
又图象过点错误!,
所以用误!=3sin错误!=0,
所以sin错误!=0,一错误!+(p=kit(ZWZ)、又因为|(p|v错误!,
所以左二0,夕=错误!,所以/=3sin错误!.
法三:(变换法)由图象知,振幅A=3,T=错误!一错误!=兀,所
兀
以co=2,且/(x)=Asin(①x+9)是由y=3sin2x向左平移J个单核
而得到的,解析灰为/(x)=3sin错误!=3sin错误!.
厂.....规律c方法..................
确定的数y=Asin(cux+w)的解析式的关键是°的确定,
常用方法有:
(1J代人法:把图象上的一个已知点代人(此时A,①已知)
或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交疝在上升区间上还
是在下降区间上).
(2)五点法:确定9值时,往往以寻找“五点法''中的第一个
零点错误!作为突破口.“五点”的CDX+(p的值具体如下:
"第一点"(即图象上升时与x轴的支点)为①x+9=0;
"第二点"(即图象的"峰点'')为COX+(P=错误!;
“第三点即图象下降时与工轴的支点)为①工+夕=兀;
3兀
"第8点''(即图象的“谷点”)为3+°=5;
"第五点"为①x+9=2兀。
[跟进训练7
3、已知函数/(x)=Asin(①x+°)的部分图象如图所示,则
fix)的表达式为()
A、f(x)=2sin错误!
B、次x)=2sin错误!
C.f(x)=2sin错误!
D,危)=2sin错误!
C[根据图象得A=2,错误!7二错误!一错误!,
ce4兀
可得T=y,
.*.69=错误!=错误!,
又/G)过点错误!,
可得2sin错误!=0,
由五点作图法可得错误!X错误!+9=兀,解得9=错误!,
所以f(x)=2sin错误!.
故选C.]
三角函数图象与性质的
类型4
综合应用
[探究问题]
1、如何求函数y=Asin(①x+9)与V=Acos(①x+夕)的对称轴方
程?
提示:与正弦曲线、余弦曲线一样,函数y=Asin(①x+力和y
=Acos(①x+9)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直
于x轴、
函数y=Asin(①x+9)对称轴方程的求法:令sin(①x+夕)=±1,
得①x+9=Z兀+错误!(k^Z),则x=错误!(ZWZ),所以函数y=Asin
(①x+9)的图象的对称轴方程为x=错误!(k^Z);
函数y=Acos(cox+夕)对称轴方程的求法:令cos(cox+0)=±1,
得①X+9=E(kGZ),处Jx=错误!(左£2),所以函数》二4(305(6办:
+。)的图象的对称轴方程为x二错误!(攵£Z)、
2、如何求函数y=Asin(①工+夕)与y=Acos(①次+。)的对称中
心?
提示:与正弦曲线、余弦曲线一样,函数y=Asin(GX+夕)和y
=Acos(①x+9)图象的对称中心即函数图象与x轴的支点.
函数y=Asin(①x+夕)对称中心的求法:令sin(Gx+9)=0,
得①x+9=E(%£Z),见Jx=错误!(k^ZJ,所以函数y=Asin(①x
kn-9、
口(k^Z)成中心对称;
f0)
函数y=Acos(①x+夕)对称中心的求法:4^COS(cox+(p)=0,
得①x+9=E+错误!(攵£Z),贝1x=错误!(kRZ),所以函数y二
Acos(cox+(p)的图象关于点错误!(k^Z))成中心对称、
【例4】门)已知函数/W=sin错误!(co>0),若用误!=用误!,
且/G)在区间错误!上有最小值,无最大值,则①二()
Ao错误!Bo错误!Co错误!D。错误!
(2)已知的数/(X)=sin(①x+°)(①>0,。二9v兀)是R上的偶
函数,其图象关于点M错误!对称,且在区间错误!上是单调函数,求
9和口的值、
思路点拨:(U先由题目条件分析函数图象的对称性,
何时取到最小值,再列方程求①的值、
(2)先由奇偶性求9,再由图象的对称性和单调性求①。
fl)B匚因为海误!二序误!,所以直线工二错误!=错误!是函数
fix)图象的一条对称轴、
又因为/G)在区间错误!上有最小值,无最大值,
所以当x=错误!时,“r)取得最小值、
所以^①+错误!=2E—错误!,左£Z,解得co=8Z—错误!(k^Z)、
又因为T=错误!N错误!一错误!=错误!,所以①S12.又因为①>0,
所以左=1,即①=8一错误!=错误!._7
(2)「解]由/W是偶函数,得/(一力=f(x)f即函数y(x)
的图象关于>轴对称,
••fix)在x=0时取得最值,即sin9=1或一L
依题设OS。<71,・二解得夕=错误!。
由于(x)的图象关于点M对称,可知
sin错误!=0,即错误!①+错误!=左兀,解得①=错误!一错误!,%£Z。
又“X)在错误!上是单调函数,
所以T>n,即错误!N兀。
co<2,又①>0,
;・%=1时,co=错误!;%=2时,co=2o
故9二错误!,①=2或错误!。
[母题探究]
L将本例(2)中"偶''改为"奇","其图象关于点M错误!对称,
且在区间错误!上是单调函数”改为“在区间错误!上为增函数",试求①
的最大值.
[解7因为/(x)是奇函教,所以=sin(/)=0,又0。
<7i,所以9=0。
因为/(x)=sin①x在错误!上是增函数,
所以错误!U错误!,于是错误!,解得0<①二错误!,
所以CO的最大值为错误!.
2、本例(2)中增加条件“①〉1",求函数》=产(1)+51!121,工仁错误!
的最大值,
Z"解]由条件知fix)=sin错误!=cos2x.
由错误!得错误!,51112不£错误!,
y=?(x)+sin2x=cos22x+sin2x=1-sin22x+sin2x=-错误!
2
+错误!。
所以当sinlx=错误!时,ymax=错误!.
1.....•规律c方法..................
1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y=Asin(cox+(p)和余弦型函数y=Acos(①x+。)
不~定具备奇偶性,对于函数y=Asin(①x+当0=E(Z《Z)
时为奇函数,当9二七兀±错误!(左时为偶函数;对于函数y二
Acos(①x+9),当(p=kjt(keZ)时为偶函数,当(p=kn土错误!(keZ)
时为奇函数.
2、与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间,
(2)确定函数)=Asin(①x+9)Q4>0,①>0)单调区间的方法:
采用“换元”法整体代换,将①x+夕看作一个整体,可令“Z=GX
+9”,即通过求>=Asinz的单调区间而求出函数的单调区间,若
gvO,则可利用诱导公式先将x的条数转变为正数,再求单调
区间、
课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除
g必备素养c
1、利用"五点”作图法作函数y=Asin(①x+夕)的图象时,要先
令“①x+9”这一个整体依次取0、错误!、兀、错误!兀、2兀,再求出x
的值,这样才能得到确定图象的五个关键点,而不是先确定x的
值,后求“①x+9”的值、
2、由函数y=Asin(①x+夕)的部分图象确定解析式关键在于确
走参数A、①、夕的值.
门)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|内。
(2)因为7=错误!,所以往往通过求得周期T来确定①,可
通过已知曲线与x轴的支点从而确定T,即相邻的最高点与最低
点之间的距离为错误!;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离
为To
(3J从寻找“五点法''中的第一个零点错误!(也叫初始点)作为突
破口,以y=Asin(cox+(p)(A>0,co>0)为例,核子单调遹增区
间上离y轴最近的那个零点最迨合作为“五点''中的第一个点、
3、在研究y=Asin(cox+(p)(A〉。,co>0)的性质时,注意采
用整体代换的思想,如,它在①%+9=错误!+2E(k^Tj)时取
得最大值,在①x+9=错误!+2E(%£Z)时取得最小值.
「学以致用」
L下列判断正确的是()
A、将函数y=sin错误!的图象向右平移错误!个单核可得到
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