2022年河北省秦皇岛市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022年河北省秦皇岛市成考专升本数学

(理)自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.若函数f(x)=ax2+2ax(a>；0),则下列式子正确的是

A.f(-2)>f(1)

B.f(-2)<f(1)

C.f(-2)=f(1)

D.不能确定f(-2)和f⑴的大小

2.集合｛0,1,2,3,4,5｝不含元素1、4的所有子集的个数是()

A.A.13B.14C.15D.16

C：《+亡=1

3.已知三角形的两个顶点是椭圆，25I"的两个焦点，第三个

顶点在C上，则该三角形的周长为()。

A.10B.20C.16D.26

若圆/+/二c与电线x+y=1相切，则c=

(A)-(B)I(C)2(D)4

4.

5.

(8)Mx)-e\Wl]lnr/(l)/(2)-/(n)]

(B)n!(C)|(T>)

6.在等比数列｛an｝中，若a4a5=6,则a2a3a6a7=0

A.12B.36C.24D.72

7.5个人站成一排照相，甲乙两个恰好站在两边的概率是（）

A.l/10B.l/20C.l/60D.1/120

8.

A.1•1；上.4：

B.

C.­

D.

用0.1,2.3这四个数字,组成的没有重复数字的四位数共有（）

（A）24个'（B）18个

9.（C）12个（D）10个

10.在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同

一条直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为（）

A.A.M慎-再

B.

C.'

D.

11.已知两条异面直线m；n,且m在平面a内，n在平面0内，设

甲：m//p,n//a；乙：平面a〃平面小则()

A.A.甲为乙的必要但非充分条件

B.甲为乙的充分但非必要条件

C.甲非乙的充分也非必要条件

D.甲为乙的充分必要条件

12.设函数f(x)=x2-l,则f(x+2)=()

A.A.x2+4x+5

B.x2+4x+3

C.x2+2x+5

D.x2+2x+3

13.

已知a,b为任意正实数，则下列等式中恒成立的是()

A.ab=ba

B.

D.4=时

14.若平面向量a=(3,x),B=(4,-3),且2_1_1),则x的值等于

()

A.A.lB.2C.3D.4

已知/FF7r则人工)一

15.()

li1+]

A.A.

B.

1—~，=‘-i

C.

1+1■?+1

D.

16.设a,b是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，以下四个命

题中正确的命题的个数是（）

①若a//a.a_L«,则a1R

②若alb,a1a,bI0,则aI区

③若aLS，aLS,则a//a或aUr.

④若a_Lb，a_La.6（ia■则b//a,

A.A.l个B.2个C.3个D.4个

3人坐在一排8个座位上，若每人的左右两边都有空座位，则坐法共有（）

（A）6种（B）12种

17.（C）18种（D）24种

18设sina8Sa=g♦且彳'VorCm.mcosa—sina=

A.A.-13/2BJ3/2C.3/4D.-3/4

19()

A.A.3B.4C.5D.6

已知函数y=（*）z（-8<xv+8）,则该函数

（A）是奇函数，且在（-8,0）上单调增加

（B）是偶函数，且在（-8,0）上单.调减少

（C）是奇函数，且在（0,+8）上单调增加

20.1D）是偶函数，且在（0,+8）上单调减少

21.右图是二次函数y=x2+bx+c的部分图像，则（）。

A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c>0D.b<0,c<0

A.lB.l/2C.OD.oo

直线l过定点（1,3）,且与两坐标轴正向所圉成的三角形面积等于6,则/的方程是

(A)3*-y=0(B)3z+y=6

23.(C)»♦3y=10(D)y=3-3*

24.若函数f(x)=x2+2(a—l)x+2在(-oo,4)上是减函数，则()

A.A.a=-3B.a>3C.a<-3D.a>-3

25.'"()

A.A.(1,+oo)B.(-oo,-1)C.(-l,O)U(1,+oo)D.(-oo,-1)U(1,

+00)

26.在AABC中，若AB=3,A=45°,C=30°,贝！JBC=()。

A.73B.2V3

C.372D.乌

27.已知|a|=2,|b|=l,a与b的夹角为兀/3,那么向量m=a-4b的模为

()

A.--

B.2"

C.6

D.12

28.不等式卜7的解集为()

A.{x|x>0或x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|x<0}

设函数=1•log/,则{2)=()

(A)l(B)-1

(C)2

9Q⑴号

30.下列函数中，在」为减函数的是0

A.y=ln(3x+1)B.y=x+1C.y=5sinxD.y=4-2x

二、填空题（20题）

31.

已知/(工)=。"Q>O.aWl).Uf(log-10)=J•则a=_______________.

32.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

33.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点，则△OAB的周长为

34.将二次函数y=l/3(x-2)2-4的图像先向上平移三个单位，再向左平移

五个单位，所得图像对应的二次函数解析式为.

35.过圆x2+Y2=25上一点M(-3,4)作该圆的切线，则此切线方程为

36.已知14三+/<2，合一zy+J值域为

37.1g(tan43°tan45°tan47°)=.

38化简而+QP+MN-MP=.

39.

40.I

已知双曲线4-g=l的离心率为2,咐它的两条斯近线所夹的彼角为

“b

41.

42.设正三角形的一个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在抛

物线v-'上，则此三角形的边长为.

43.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）:

245256247255249260

则该样本的标准差s=（保留小数点后一位）.

44.函数f（x）=cos2x+cos2x的最大值为

过圆/+/=25上一点及（-3,4）作该圆的切线，则此切线方程为.

-

46.1g（tan43°tan45°tan470）=.

47

48.方程

从工2+八丫2+口工+£»+尸=0（人/0）满足条件（方）十（2A）A0

它的图像是

等比数列｛a力中，若以2=8,公比为则的=

49.4----------•

—•

50n.

三、简答题（10题）

51.（本小题满分13分）

从地面上A点处测山顶的仰角为a,沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为B，求山高.

52.

（本小题满分12分）

已知椭WI的离心率为与，且该椭例与双曲好d=1焦点相同♦求椭圆的标准

和准线方程.

53.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G：三+，'=1与双曲线G：号-丁=1(«>!).

aa

(I)设.±分别是G.G的离心率,证明e,e3<1;

⑵设4A是G长轴的两个端点/(颉,九)(1*。1>。)在J上，直线P4与C1的

另一个交点为Q,直线产名与G的另一个交点为&.证明QR平行于产轴.

(23)(本小题满分12分)

设函数/«)=/-2^+3.

(I)求曲线-2/+3在点(2,11)处的切线方程;

(H)求函数〃口的单调区间.

55.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

56.

(24)(本小题满分12分)

在中,4=45。,8=60。,=2,求△ABC的面积.(精确到0.01)

57.(本小题满分13分)

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=o的根，求这个

三角形周长的最小值.

58.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,%3的系数是％2的系数与Z4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

59.

(本小题满分12分)

已知等比数列｛an｝的各项都是正数，«1=2,前3项和为14.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

60.

(本小题满分12分)

已知等差数列Ia1中,%=9,a,=0,

(I)求数列la」的通项公式•

(2)当n为何值时.数列！的前n页和S*取得最大优,并求出该最大值.

四、解答题(10题)

61.设A,B为二次函数y=-3x2-2x+a的图象与x轴的两个不同的交

点，点P为抛物线的顶点，当^PAB为等腰直角三角形时，求a的值.

62.

已知△ABC中，A=30°,AC=BC=1.求

(I)AB；

(IDAABC的面积.

63.(24)(本小■春分12分)

如图,已知HBQG：4-।与双曲线G：51-/=1(。＞1).

a0

(I)设6分别*C,£的离心率,证明＜1；

(U)设人H姑％长轴的两个端点,(Ix。I＞。)在G上，口统与G的另

一个交点为Q,直线尸4与C,的另一个交点为凡证明QR举行于，轴

64.已知函数f(x)=2x3-12x+l,求f(x)的单调区间和极值.

65.

已知等比数列｛uj的各项都是正数必=2.前3项和为14.

(I)求《呢》的通项公式；

CII)设/，」:1。&/.求数列也)的前20项和.

66.从椭圆上x2+2y2=2的右焦点引-条倾斜45。的直线，以这条直线与椭

圆的两个交点P、Q及椭圆中心0为顶点，组成△OPQ.

(I)求△OPQ的周长；

(11)求4(^(3的面积.

67.甲2010年初向银行贷款10万元，年利率5%(按复利计算(即本

年利息计入次年的本金生息))，若这笔贷款分10次等额归还，从

2011年初归还x万元，设2011年、2012年...2020年的欠款分别为

4必、…如'试求出«,必,推测勾。并由此算出*的近似

值(精确到元)

68.设函数f(x)是一次函数，f⑻=15,且f(2),f(5),f(14)成等比数列.

(I)求f(x);

(H)求f(l)+f(2)+…+f(50).

已知△X8C中，=30°,BC=\,AB=y/3AC.

(I)求48:

6911，求八/8。的面积.

70.已知aABC三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(L0),C(3,0)

求：

(I)ZB的正弦值；

(II)AABC的面积

五、单选题(2题)

(x>o)

71.已知\-rf，则f(x)=

A.

1+，/•££

B.r

c.

I十，

n

72.下列法函数中，为科近败的显

醺蹒蹿

六、单选题（1题）

73.不等式泞M0的解集是

A.A.卜K。<4}

B.H江…}

C』」*WG或，叫

D.kl*<5或1M4

参考答案

l.B

解法1由a>0,二次函数的图像开口向上，对称轴为工=工=-1，所以

解法2,f(-2)=4a-4a=0,f(l)=a+2a=3a>0,所以f(-2)<f(l).

【解题指要】本题考查一元二次函数的知识.在研究二次函数的过程

中，要充分利用二次函数的图像辅助研究.

2.D

3.C

该小题主要考查的知识点为椭圆的性质.

林圆的两个焦点的距离为2c=

2Va--bz=6.又因为第三个项点在C上，则该

点与两个焦点间的距离的和为2a=2X5=10.则

［考试指导］三角形的周长为10+6=16.

4.A

5.D

6.Ba2a3a6a7=a2a7*a3a6=(a4a5尸=36.

7.A

8.A

9.B

10.C

ll.D

两条异面直线m,n,且m在平面a内，n在平面0内，因为m/4,

n//a<-->平面a〃平面小则甲为乙的充分必要条件.(答案为D)

12.B

13.D

14.D

15.D

16.C

只有①不正确.（答案为C）

17.D

18.A

1?

(-含ino〉'=1-2sirtoxxMW1-2Xw丁.

由孑<0<卡•可知cosYsiM,所以COSQ—sg=—%(答案为A)

19.C

(j)_,-4,2lg(^3+75+>/3-75)-lg<(3+店+v/T-VS),=lglO=l,

4+1-5.«**C)

20.D

21.A

该小题主要考查的知识点为二次函数图像.【考试指导】由图像可

知，当x=0时：y=c>0,也就是图像与y轴的交点；图像的对称轴1=-

b/2<0,贝!|b>0.

22.B

本题考查函数的极限及求解方法.在解题过程中，如果直接代入发现极

限值不存在，则需要对原函数的表达式进行变形，然后再代入求极限

值（极限存在的情况）.【解析】叫号二回Q-工％1S=四±=+,

23.B

24.C

25.C

1_1/一1

由工>一得.z---->0.----->0解得T或一T（答案为C）

x♦rr♦>11V<0.

26.C

该小题主要考查的知识点为三角形的正弦定理.【考试指导】

由正弦定理可得：弊=旦,即

csinCsin4r

3BC

I=方=比=3反

2T

27.B

B【U析】册-8ab-16〃•

又aJ=0|*=4.^="b'-1.

O6=2X1XCOS^--1.

则m4-4-8X14-16-12.

WJIO-4M'=12,M=a-4kl-2V3.

28.A

L|1I】4I1

X♦—>—X+->—或Jt+一〈——

222222,即x>0或xV-L故绝对值不等式的解集

为{x|x>0或xV-1}.

29.B

30.D

A、B选项在其定义域上为增函数，选项C在/上为增函数，只有

D选项在实数域上为减函数.

31.

IA*A1A1

由/(logJO)=a噫一】二小8.•aa.Z得a=20.(答案为20)

32.

33.

34.y=l/3(x+3)2-l由：y=l/3(x-2)2-4图像向上平移3个单位得：：y=l/3(x-

2)2-1的图像再向左平移5个单位，得y=l/3(x-2+5)2-l的图像.

35.

36.

伞工=cos<r・y=sina.

则/y+y2=1—cosasina

.sin2a

川一『

当sin2a=1时.】一丝在=},

r-«r_y+y:取到最小值J.

同理：/+J42.

令.r=>/2cosJ9.5'=y2sin^.

则J*?■工）+>2=2—2co淮i叩=2-sin20.

当sin2/?=—1时.万一+y］取到最大

值3.

37.0Ig（tan43°tan450tan470）=Ig（tan430tan450cot430）=Igtan45°=Igl=0.

38.

39.

「八次（、为飞S:侑形.八上万.我所成的也为6。'.余弦值为:•.（答案为

40.

41.

60。解析:由双曲线性质，得离心率e=上=2nJ=4c上"=在则所求悦角为】80"-

®aoc

Z&rutiinn=60°.

42.12

ft4（4.»>为正三*影的一个馍晨.旦注X"上才,8'"1・

/J•I

则x«=mco»30*»m.-m»in30*=y»".

可JLA淖m.号》&“3-m上,从扁母'7cx号>"E⑵

2L

43.s=5.4（使用科学计算器计算）.（答案为5.4）

44.

3i-4v+25=0

-

46.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan45°=lgl=0

47.

48.

【答案】点（-枭-同

Ar：+A/++Ey+尸=0.①

将①的左边配方.得

G+3)'+(y+行

（初’+（附二宗

.ME'(圻-£=。.

一我

方程①只有实敷解

尸一白

即它的图像是以（一左一同为3g心M=0

的圄.

所以表示一个点（一景_给.也称为点1s

49.

1/8

【解析】该小题主要考查的知识点为等比数列.

。5=azqS2=8X）=1

【考试指导】8•

50.

X>-2,且XW-l

51.解

设山高CD=x则RtA4Z)C中,AD=xco<a,

Rt△BDC中.BD=xcoi^,

禽为Xi?=AD-BD.所以a=xcota-xcotB所以x=--------

cota-cotfl

答:山嬴为

cola-coip

52.

由已知可得椭醐焦点为"（-6,0）JX6.0）.……3分

设椭强的标准方程为3+营=1（a>6>0）,则

J=+5,

营怎解得｛12：”…6分

,a3

所以椭圆的标准方程为惹+&I.……9分

桶OS的准线方程为工=*……12分

53.证明：（1）由已知得

又0>1.可得0<（工）'<1.所以

a

将①两边平方.化前得

(Xj,+a)Jyf=(X|+a)2yo.④

由②(3)分别得y：=上(£-°J),y：=1(。'~*i).

aa

代人④整理得

同理可得与=£

*。

所以凡=4'0,所以3?平行于，轴・

(23)解：(I)/(4)=4/_4%

54.八2)=24,

所求切线方程为y-11=24（x-2）,BP24x-y-37=0.6分

（口）令/（*）=0,解得

4]=-19x2=0,%3=1.

当X变化时/（H）J（x）的变化情况如下表：

X-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

7(*)-0♦0-0

2Z32Z

人工）的单调增区间为（-1,0）,（1,+8）,单调减区间为（-8,-1）,（0,

1）.……12分

55.

（1）设所求点为（工。.%）.

,'=-6父+2，=-6x©+2

由于二轴所在直线的斜率为,则-&2=0.f

06+3

因此To=-3•（y）1-»-2•y+4=y.

又点（3.号）不在x轴上.故为所求.

（2）设所求为点

由（1）.川=-6%+2.

由于y=N的斜率为1,则-6与+2=1M。="

因此为=-3•白+2•/+4

又点（高为不在直线y=x上•故为所求.

(24)解：由正弦定理可知

BCAB

而7=石/则Mll

一品

2x"*

x48xsin4502

8c=—=――-:2回1).

sm75°R/

-4~

SA4SC=^-xBCxABxsinB

=yx2(^-l)X2x?

=3-K

56.T27.

57.

设三角形：边分别为a,6.c且。+6=10,则B=10-a.

方程4-3x-2=0可化为(2x+l)(x-2)=0,所以、产-y.*i=2.

因为a、b的夹角为。，且IcosdlW1,所以cos<?=-y.

由余弦定理，得

c3=J+(10-a)，-2a(10-a)x(-y)

=2a'+100-20a+10a-aJ=aJ-10a+100

=(a-5)2+75.

因为(a-5),M0,

所以当a-5=0,即a=5H"的值最小,其值为衣=5笈

又因为a+〃=10,所以c取得最小值,a+b+。也取得最小值.

因此所求为10+5A

由于(ax+I)'=(1+ax)’.

可见.晨开式中的系数分别为C；a‘，C》,.Ga：

由巳知,2C；aS=C；a'+C；a’.

”7x6x57x67x6x52<1.八.c

乂。>1,则2x,•a=)♦-•<J5a-10a+3=0.

.n入4t

58.

59.

(1)设等比数列'a.i的公比为g,则2+2g+2『=14.

即g'+g-6=0,

所以gi=2,%=-3(舍去).

通项公式为a.=2*.

(2)6.slogja.=log}2*=n,

设%=%+&+…+%

=I+2+,,,+20

=-^-x2Ox(2O+l)=210.

60.

(I)设等比数列la.l的公差为d,由已知%+%=0,得2.+9d=0.

又已知％=9,所以d=-2.

得数列Ia.I的通项公式为a.=9-2(i»-l).EPa.=Il-2n.

(2)蚣！||a.|的前n项和S.=/(9+ll-2/j)=-n5+10n=-(n-5)J+25.

则当n=5时.S.取得最大值为25.

61

设两个交点横坐场分别为工，,占,则4,4为二次方程-3d-2x+a

=0的两个根，由根与系数的关系.得j+zL—|•出・z严一拳

从而得IABI=|xi-x»I=y/(x\4-Xj),—4xx*=-1-，T干3a.

1l)3

P为抛物线or点屋保为《T・a+f.PC垂直于，轴,|PCI=la+孑I.

由APAB为等"直角三角形可知IABI-2IPCI.

即■—■〃+3a=21a+得a=。或a=—T.

Jso

因为抛物线与X轴有两个交点，则

△=4+l2aX),解得a＞一彳.故a=0.

62.

(I)由已知得C=120°

AB=+BC=2AC・BC•cosC

=714-1-2cosl20a

(II)设CD为AB边上的高，那么

CD=AC•sin30°=1/2

AABC的面积为

T，AB-CD=-1-X73X—

4224,

63.

（24）本小购湾分12分.

证明:（I）由已知如

一•守•隼工罕.Ji.小，……3分

又a>l,可得0<（工）・<1.所以ie,<l.……5分

0

（D）设Q5,力）・以与•力）由题设.

同理可将X,-W.

所以！工町,0.所以QA平行于y输……12分

64.

/<x）=67-12,令/（x）=0,

可得=V2-fXi——-Ji,

当HV-原'或工时,/'（工）>0；

当一&.V工<我时，f'（工）<0；

故/（X）的单调增区间是（一8,一展］,（6,+8）,

单调减区间是（一方■，企■1.

当X=一&时，函数取得极大值/（-V2）=872+1；

当了=廓时，函数取得极小值/（V2）=-8724-1.

65.

CI）设等比数列的公比为”,由M波可得2T2g+2,-14,即</4g-6=Q.

所以S=2,%=-3（舍去）.该数列的通项公式为j=2-

（II）因为4-lo&a.川。&2"-"，

设T»="+比,…+%=1+2+…42。-9X20X（20+1）=210.

66.

■■方程叟电为9■+千・1（的网》・

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