2021版高中数学必做黄金100题48 数列求和（解析版）

第48题数列求和

题源探究•黄金母题

1

求数冽一—的前〃项和sn.

71(71+2)

【试题来源】例1：人教A版必修5P47习

【答案】S.

题2.3B组改编；

【解析】【母题评析】这类题考查数列求和的基本

41I+小\(I|1彳法，考查考生的分析问题解决问题的能

2[3J2[24；2(35Jn+2)2(2〃+1"+2方以及基本计算能力.

【思路方法】根据和式的结构特征选用公

式法、分组法、错位相减法、倒序相加法、

裂项相消法求和.

考场精彩•真题回放

【2020年高考山东】将数列｛2"-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛%｝,则｛%｝的前〃项和为

【命题意图】本类题以考查分组法、错位

【答案13n2—2n

相减法、倒序相加法、裂项相消法求和为

【解析】因为数列｛271-1)是以1为首项，以2为公差的主，识别出等差(比)数列，直接应用公

式法也是考查的热点.

等差数列，

【考试方向】这类试题在考查题型上，以

数列｛3〃-2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

解答题为主，一般第一问考查求数列的通

项，第二问考查求和，并与不等式、函数、

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛%｝是以1为最值等问题综合，难度较大.

首项，以6为公差的等差数列，

【学科素养】数学运算

所以｛%｝的前〃项和为〃•1+殁二①6=3〃2-2〃，

【难点中心】利用等差数列和等比数列通

故答案为：3〃2一2”.项公式及前〃项和公式列方程组求数列的

首项和公差或公比，进而写出通项公式及

前〃项和公式，这是等差数列、等比数列

的基本要求，数列求和方法常用的方法还

有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法

和分组求和法等.

三.理论基础•解题原理

考点一等差数列的前〃和的求和公式：5"==叫匕.

考点二等比数列前〃项和公式

一般地，设等比数列4，。2，。3，，《,，的前〃项和是s“=6+。2+4++/，当qwl时,

S"="«一0'）或S"当4=1时，S“=〃％（错位相减法）.

j1-<7

考点三数列前八项和

①重要公式：⑴£%=1+2+3++〃=叱+0；

念2

(2)£(21)=1+3+5++(2〃-1)=〃2；

k=i

n「I-|2

(3)f攵3=]3+23+…+/=+；

jt=iL2_

(4)£*2=l2+22+32H---\-rr=-n(/2+1)(2〃+1).

k=\6

②等差数列中，Si=鼠+5”+加以；③等比数列中，Si=Sn+q〃Sm=Sm+q”n.

四.题型攻略•深度挖掘

【考试方向】这类试题在考查题型上，以解答题为主，一般第一问考查求数列的通项，第二问考查求

和，并与不等式、函数、最值等问题综合，难度较大.

考向1公式法求和

已知在数列｛4｝中，％=1,anaH+i=T.【温馨提醒】

键根据条件判断数列的

⑴求数列｛4｝的通项公式；类型，然后根据数列的

前n项和公式求和。

⑵若a=log2a„,数列｛b,,｝的前n项和为Sn,求S,.

/I-I

2万，〃是奇，2-\

【答案】（1）%=｛,（2）当“为奇数时，S"=n『，当〃为

2，,〃是偶.

〃2

偶数时，亍.

【解析】（D因为anan+x=2",所以当〃22时，an_ian=，所以4=2,

%

所以数列｛4,,｝的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列.

C71-Iw-1

又q=1,4,=4=2,所以当〃为奇数时，a„=\-2T=22\

-«i

n-\

njn22〃是奇

当〃为偶数时，氏=22=22,所以为=｛.

2工〃是偶.

（2）因为4=1,4/（“+1=2",hn=log2«„,所以2+2用=〃.讨论：

当〃为奇数时，J=伪+（仇+4）+他+/）++（4i+〃）

川一1

=0+2+4++(〃-1)=---

当〃为偶数时，"=胡+3)+(4+&)++(%+，)

rj~9

=1+3++(«-1)=—

考向2分组转化法求和

n【温馨提醒】用错

已知数列也｝的前〃项和分别为S“，Tn,hn-an=2+\,且

位相减法求和应注意的

S“+，=2叫〃2-2.

问题(1)要善于识别题

目类型，特别是等比数

⑴求S“；

列公比为负数的情形；

(2)求数列图的前〃项和R,,.q

(2)隹写出“久」

“夕S"”的表达式时应

【答案】(D2,,+l+n-2(2)n+2--^

T特别注意将两式“错项

对齐”以便下一步准确

【解析】试题分析：(1)先根据分组求和法分成一个等差与一个等比数列的

h匕写出“S"一＜7S”,，的表

和的和，再分别求和，(2)因为之=1+2,所以利用错位相减法以及分组求和

2〃X

达式；(3)在应用错位相

法求和.

减法求和时，若等比数

,?

试题解析：(1)依题意可得4—a1=3,b2—a2=5,...»hn-an=2+1,列的公比为参数，应分

公比等于1和不等于1

:1-s.=(4+bH----1-/?,)-(«)+a+•••+«„)

22两种情况求解.

=〃+(2+2?+…+2")=2川+“-2.

-n

⑵•♦♦2S“=S“+7；—(北―S,)

又…,,=2"+l,.•也=2"+〃，.♦.声b=1+爰n,

…(12/i>.11(\2

"=〃+匕+齐+…+旬，贝n勺凡=y+尽+初+…+尸n\)

11

故R“=〃+2x22'用

1-2

考向3错位相减法求和

已知数列｛4｝的前N项和是S,，且S,+；4=l(〃wN*).数列也｝是公【温馨提醒】该题考壬

3的是有关数列的通项公

差d不等于o的等差数列，且满足：a=：%,打，瓦I成等比数列.

式以及求和问题，在求

(1)求数列包｝、也｝的通项公式；解的过程中，要明确递

推公式的利用，要铭记

⑵设a=/也,求数列｛%｝的前〃项和等差数列和等比数列的

通项公式的求法，第二

■田上、/、J1丫/八八2〃+2

【答案】(1)a=2二；(2)2-------问应用错位相减法求

〃⑶3〃

和，在求和的过程中，

12

【解析】(1)〃=1时，+—6f|=1,6Zj=—一定要明确整理之后的

括号里的只有〃一1项.

S,,=l11

心2时，｛，sn-Sn_y=-(an_,-an),：.an=-an_x

(n>2)

?I?(1Y(1、

｛%｝是以上为首项，上为公比的等比数列，q=±x-\=2-

333<3y(3,

a1,又及=%济4得:(l+4d)2=(l+d)(l+13d),d?-2d=0,

因为doO解得d=2,b„=2n-l.

4〃一2

⑵c,=

3”

.2610

T=—I-y—r+

〃332333”

4〃-64/2-2

+---------1--------1

33233343"3,,+|

22114/2-2

-T„=-+4

3"3+F3向

11

224»-22T424H-22〃+2

-T=—+4x

n3的：91—2

3"31-133"3,,+'3"

考向4裂项相消法求和(高频考点)

已知等比数列｛a,｝的前〃项和为S“，q=2,4>0(“eN*),Se+y是【技能方法】本题主要

考查求等比数列的通项

S4+a4,S5+%的等差中项.

公式以及裂项相消法求

(1)求数列｛4｝的通项公式；数列的和，属于中档

题.裂项相消法是最难

2'

(2)设d=log22"T，数列'的前”项和为1,求T..把握的求和方法之一，

2〔她J

其原因是有时很难找到

裂项的方向，突破这一

1、〃2

-;(2)---

(2)2n-l难点的方法是根据式子

的结构特点，常见的裂

【解析】分析：(1)由S6+4是54+%，S.5+%的等差中项，推出4%=%，项技巧：(1)

再根据数列｛《,｝是等比数列，即可求得公比，从而可得数列｛4｝的通项公式；(2)

〃(〃+2)k\nn+k)*

2(2)

根据（1）可得数列｛2｝的通项公式，进而可得数列［获一］的通项公式，再根

据裂项相消法求和，即可求得7；.；(3)

11_____!_)

(2n—l)(2n+l)2\-12n+l)

详解：⑴•.•4+。6是54+4,S5+%的等差中项，二

；(4)

2（§6+4）=$4+4+S5+。5

1_111

n(n+l)(w+2)2n(/i+l)(M+I)(H+2)

S6+a6-S4-tz4=S5+tz5-S6-a6,化简得，4a6=a4,:此外，需注意裂项之

后相消的过程中容易出

设等比数列｛4｝的公比为4,则/现丢项或多项的问题，

导致计算结果错误.

］（1V-1（1丫-2

=

,•*cin>0（几£N）,；・q>0,:0q=-92x—=—.

212）12,

（2）由⑴得：2=log〃,,i=log1（!）2»3=2〃一3.

o02

2211

设西=(2〃-3)(2〃-1)=不5

G2〃一1

五.限时训练*提升素养

1.(2020•吉林长春)已知数列｛4｝满足％=1,可+|=端=，则数列｛%4,用｝的前〃项和北=()

nn2nn

A.-----B.-----C.-----D.------

2n-l2〃+12〃+14"+2

【答案】B

【详解】

己知数列｛«„｝满足q=l,4+i=同：

a11+2/I、11c

在等式4+i=丁n七两边同时取倒数得—=-----+2---------=2,

2%+1«„+i«„«„+1«„

所以，数列是等差数列，且首项为'=1,公差为2,则」~=1+2(〃-1)=2〃-1,

an]a}an2n-l

_1_1<1]、

"a"a"+l~(2n-l)(2n+l)-212九-1-2〃+lJ

因此，Tn=

故选：B.

2.设/(〃)为最接近«("N")的整数，如"1)=1,42)=1,43)=2,/(4)=2,/(5)=2,若正整数m满

1111…4

^足/(c1/)\7(7~~2r+)/“(3)、+HT—r=4034'川则机=()

A.2016x2017B.2017x2018c,2018x2019D.2019x2020

【答案】B

【详解】

设f(x)=/，x,jwN*,〃是整数，则〃="+〃+_1不是整数，因此任意正整数的正的平方根不

I2)4

可能是〃+」(〃£Z)形式，

2

.1I—.1.9.1.2.1

••J+—,J-./+—<A：<J+J+—»

：.j2-j+l<x<j2+j,

故/(x)=J•时，x=j2-j+l,j2-j+2,,/+/共2j个,

111

设Q”=-----------------------1---------;---------------FH---------1--------

「./'(J2-J+D/(/-J+2)/(/+j)

2/

则册=r=2,p2N*,

J

11I1

由题意项+南+而r+7w,

4034=2x2017,

1111F11］「1111-

/(1)/(2)7(3),/»L/0)/⑵」W)/(4)/(5)/(6)

--------1-------+--------5--------++—,―=4034,

/(加一2x2017+1)/(m-2x2017+2)/(W)

故/(机)=2017,加为方程/(4)=2017的最大整数解，

/.w=20172+2017=2017x2018-

故选：B.

3.(2020•江苏省)设数列他"｝的通项公式为”"=C°S-废，该数列的前"项和为S"，则$89

89

【答案】—

2

【详解】

cos2n=sin2(90，

2222

S89=cos1+cos24-cos3+...+cos89,

2222

S89=cos894-cos88+cos87+...-FCOS1,

cos289=sin21，cos288=sin22，cos287=sin23，•••cos21=sin289»

22222

/.2SS9=(cos1+cos89)+(cos24-cos88)+..・+(cos?89+cos1),

222222

/.2SS9=(cos1+sin1+(cos2+sin2)+...+(cos89+sin89),

=1x89=89,

…89造

2

89

故答案为：--

2

4.(2020•江西)4知数列｛"/中,%=1,且“向+2%+3=°,nwN",数列｛叫的前〃项和为,

贝科=.

【答案】-48

【详解】

因为a“+i=-2。“一3,所以4用+1=—2(。“+1),

因为4+1=2x0,所以数列｛q+1｝是以2为首项，以-2为公比的等比数列，

所以+1=2x(—2)1,即a,,=2x(-2)"-'-1,

S„=|(l-(-2r)-«，所以S6=；(l—26)_6=_48.

故答案为：一48

5.（2020.河南）己知数列｛4｝满足％=2〃-1,S”为｛4｝的前〃项和，记

/?„=S„-cosll+S„+1-cos—,数列｛4｝的前N项和为7；,贝Ijq=.

【答案】-104

【详解】

由题意，数列｛"J满足q=2〃-1,则S“=‘,

,2（〃一11i、2府

贝-cos12•%J+Qzz+D-cos—,

则£o=12—32—32+52+52—72-72+92+492-512

=（F-32）-（32-52）+（52-72）-（72-92）+（492-262）

=-2x4+2x8-2x12+2x16+—2x100=—104.

故答案为：一104

X1

6.（2020・河南）己知函数/（x）=——,设数列｛4｝满足““+1=/（6,），且q=一.

2x+l2

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若记4=/（一（2i-l）xa,,）（7=1,2,3,…,"）,求数列｛4｝的前凡项和

1〃

【答案】（1）;（2）T=-.

277n2

【详解】

yCl

⑴因为小）=口，所以由％=/0）得知广有

1.

所以｛f—｝是首项为2,公差为2的等差数列,

所以，=2+(〃_l)x2=2w,所以。“=」_

an2〃

2/-1

(2)由(1)知4=/(一一—)(i=1,2,3,...,〃)，

2n

_2z-l

.2〃-(2z—1)1—2z+1

则b=-------4^—=--------------------------=-x-------------,

，2)“2f，-1)।]2x[-(2z-1)]+2»2n-2z+1

2(H-Z+1)-1

b--2〃_—+1)-1]

""'+]2><[2(〃-1+1)-1]।]2x{-[2(n-z+1)-1]}+2n

L2n

12(n-z+l)-l12n-2i+l

——X--------------------------—•—X----------------,

2[2(zi—/+1)—1]—2〃一2i+l

1—2.i+112n—2z+l

所以伪+2i+i—x-------------4-—x=l(z=1,2,3,...，〃)，

2〃-2i+12n—2z+1

〃

Tn="+Z?2+&+…+0f

Tn=bn+bH_x+bn_2+...+4,

两式相加，得:

27；=(4+勿)+M+%)+(4+〃,_2)+…+依+4)=Z(4+bi)=n,

i=l

n

所以1=5.

1*1

7.(2020•江苏省)在数列但“｝中，4点“的)("€N)在直线y=x+/.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

,1

(2)记2=------,求数列｛2｝的前"项和

a”，。“+|

(3)令q,=3•,“wN”.证明：<?!+c2+cn<2.

【答案】⑴a“=j"eN*)；(2)—；(3)证明见解析.

2、'n+1

【详解】

(1)由已知得4+1=4,+；,即4"+1一q=g，

•••数列｛%｝是以y为首项，以4=,为公差的等差数列

22

an=4+(/?-l)d

14

1-)=___1

(2)由(I)得"-nn+1n(n+1)，••b〃=心

—x〃+1

2~T~

„]=4-

nn+ljvH+1J〃+l

〃12n

（3）cn=—＞记5=4+。2+%=m+中+…+凄，

23n

则2s=1+下+尹++而，

;.S=2S-S=l+!+±++-^-—=2--^.

2'222"T2n2"

因为〃为正整数，则字＞0,从而5=2—安＜2.

即C]+Q+Cn＜2.

8.（2020•青铜峡市）设数列｛4｝的前〃项的和为S“，且S”=2氏一2（〃eN*），

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列出｝满足”=（2〃-l）+a“（〃eN*），求数列｛〃｝的前”项的和7.

（3）若数列2=（2〃—1）。“，求数列｛4｝的前〃项和S“；

【答案】（1）4=2"；（2）T„=n2+2n+l-2；⑶S„