2020-2021学年山西省临汾市高一（下）期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年山西省临汾市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.）

1.已知复数z=l+2i,则W的虚部是（）

A.2iB.-万C.2D.-2

2.已知集合-1,xeR},N=（x|y=V3-x2）>则MUN=（）

A.[-1,+8）B.[-1,V31C.[愿，400）D.[-V3,Q）

3.下列命题错误的是（）

A.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形

B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D.棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形

4.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=&,A=45°,C=105°,

则6=（）

A.3B.2C.1D.—

2

5.利用斜二测画法得到：

①水平放置的三角形的直观图是三角形；

②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；

③水平放置的正方形的直观图是菱形；

④水平放置的菱形的直观图是菱形.

以上结论正确的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.②④

6.下列命题中为真命题的是（）

A."a-b=0”的充要条件是“件=1”

b

B."a>b”是的既不充分也不必要条件

ab

C.命题u3.reR,/-2*<0"的否定是“VxCR,x2-2Y^0w

D.ua>2,b>2n是“而>4”的必要条件

7.在正方体ABCD-AIBCLDI中，£为棱CG的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦

值为（）

-4B.运C—

333。答

8.在△ABC中，已知AB_LAC,AB=2,AC=3,。是△ABC内一点，且/D4B=45°,若

AD=AAB+PAC（入，蚱R）,则与=（）

9.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数丁=水皿5,我们听到的声音是由

纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/（%）=|cosx|+J§binx|,

则下列结论正确的是（）

A.f（x）是偶函数

B.f（x）的最小正周期为2Tl

c./（x）在区间［0,萼］上单调递增

D./（%）的最小值为1

10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinC=csinB,且

sin2A（4-cosC）=^--sin^B，则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

11.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有

甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为。C）：

①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为27；

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.

则肯定进入夏季的地区有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

12.如图，正方体ABCD-AIBICIOI的棱长为1,线段田d上有两个动点E,F,且EF-，

2

则下列结论中正确的有（)

A.当E点运动时，4CLAE总成立

B.当E向d运动时，二面角A-EF-2逐渐变小

C.二面角E-AB-C的最小值为45°

D.三棱锥A-BE尸的体积为定值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.函数/(x)=lg(-x2+4x+5)的单调递增区间为.

14.已知向量之=(2,0),芯=(%，2M)，且满足lZF+Z・1=0，则Z与E的夹角

为.

15.已知三棱锥尸-A3C外接球的表面积为676m尸2,平面ABC,PB=10,ZBAC=150°,

则BC的长为.

16.某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验(满分150分),已知这1000名学生的

数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：190,100),[100,110),

[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的频率分布直方图如图所示,

现有下列说法：

①。=0.035；

②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；

③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；

④这10000名学生数学成绩的平均数为115.

其中所有正确说法的序号是

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在aABC中，已知AB=2,AC=1,ZBAC=120°,而［丽,

o

AE=（1-X）AB+XAC-

⑴求同I；

（2）^AD-AE=1-求人的值.

TT

18.已知函数f（x）=4sin（3x+0）+l（S〉0,I。|Vy）的最小正周期为TT,且/（0）

=3.

（1）求3和（P的值.

1T

（2）将函数/（%）的图象向右平移亏个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的

o

图象，

①求函数g（X）的单调递增区间；

②求函数g（X）在［0,上的最大值.

O

19.疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了.现对某大型连

锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照［90,110］,

（110,130］,（130,150］,（150,170］分成4组，得到如图所示的频率分布直方图.

（I）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组

区间的中点值代替）

（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130,150］,（150,170］之间的销售人员

中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2

人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率.

20.如图，△ABC是等边三角形，EA_L平面ABC,DC//EA,AE=AB=2CD,尸为BE的中

点.

(1)证明：DF〃平面ABC.

(2)证明：平面BDE.

21.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3R2+2a6cosC=q2+62,R为

■jr

ABC外接圆的半径，c=2j§,C<—.

(1)若“+匕=6,求△ABC的面积；

(2)求a+b的最大值，并判断此时AABC的形状.

22.已知a>0,函数f(x)="——

1+a-3X

(1)判断函数/(x)在R上的单调性，并用定义法证明；

(2)设g(尤)=/(x)/(-x),若对任意AG[-1,1],g(x)刃(2)恒成立，求a

的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=l+2i,则W的虚部是()

A.2iB.-2zC.2D.-2

【分析】由z求得$则答案可求.

解："."z=l+2z,Z=1-2z,

的虚部是-2.

故选：D.

2.已知集合知={小=(-1,xeR},N={x|y=73-x2),则MUN=()

A.[-1,+8)B.[-1,V3]C.[A/3，Q)D.[-«,g)

【分析】求出集合M,N,由此能求出MUN.

解：因为集合M={y|y=x2-1,x&R}=[-1,+<=°),

N=(x|y=73-x2)=[-V3>g],

所以MUN=[-«,+8).

故选：D.

3.下列命题错误的是()

A.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形

B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D.棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形

【分析】对于选项人直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，可以长方体为例，

对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，作图说明，

对于选项C：由线面垂直判定定理与面面垂直判定定理判断即可，

对于选项由棱台的定义可判断.

解：对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，如下图，

故A错，

对于选项8：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，如下图

故8错,

对于选项C：如上图，若CA_LCB,CALCD,则CA_L平面BCD,

则平面CAD1•平面BCD,平面CAB_L平面BCD,

同理可得，平面CAB_L平面CAD,故C对,

对于选项。：由棱台的定义知，。对,

故选：AB.

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=&,A=45°,C=105°,

则6=()

A.3B.2C.1D.4

2

【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得b的值.

解：因为A=45°,C=105°,

所以8=30°,

又af/包

由——=_-即=b解得b=L

sinAsinB'sin450sin300

故选：C.

5.利用斜二测画法得到：

①水平放置的三角形的直观图是三角形；

②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；

③水平放置的正方形的直观图是菱形；

④水平放置的菱形的直观图是菱形.

以上结论正确的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.②④

【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，对四个选择逐一判断即可.

解：对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，故选项①

正确；

对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，故选项②正确；

对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半知，

正方形的直观图不是菱形，故选项③错误；

对于④，因为/x'O'y'=45°或135。，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能

为菱形，故选项④错误.

故选：A.

6.下列命题中为真命题的是（）

A."a-6=0”的充要条件是'《=1”

b

B.“a>b”是的既不充分也不必要条件

ab

C.命题“SCR,炉-2%<0”的否定是“VxER,A2-2%2。”

D.“〃>2,b>2”是“必>4”的必要条件

【分析】由充分必要条件的定义，逐个判断每个选项，即可得出答案.

解：对于A：若〃=/?=0时，满足〃-b=0,但此时曳无意义，

b

所以“a-b=G"不是"9=1”的充分条件，

若母"=1时，则〃=/?,所以〃-Z?=0,

所以“a-6=0”是哼=1"的必要条件，

b

故-6=0”不是“g=1”的必要不充分条件，故A错误；

对于5：若Q=l,b=-1,则满足Q>。，

此时工=1,—=-1,有工〉工，

abab

所以"a>b"不是"工<《■”的充分条件，

ab

若a=-2,b=l,满足上<芭，但是a<b,从而一定不是充分不必要条件，故8正确；

ab

对于C：命题“mxeR,x2-2x<0"的否定是"VxeR,x2-2x^0a,故C正确；

对于£）：若a>2,b>2,则次?>4,

所以“。>2,b>2"是“"〉4”的充分条件，

若a=5,b=l,

则满足。>4,不满足b>2,

所以“a>2,b>2"不是“ab>4”的必要条件，

综上“。>2,b>2"不是“">4”的充分不必要条件，故D错误.

故选：BC.

7.在正方体ABCD-AiBiCQi中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与C。所成角的余弦

值为（）

A2R娓「2D2f

3335

【分析】连结BE,MCD//AB,从而NBAE是异面直线AE与CO所成角（或所成角的

补角），由此能求出异面直线AE与C。所成角的余弦值.

解:连结BE,

;在正方体ABC。-AiBiCQ中，E为棱CCi的中点，

J.CD//AB,

是异面直线AE与O）所成角（或所成角的补角），

设正方体ABC。-AiBiCQi中棱长为2,

则AB=2,BE=^~^1=烟,AB±BE,

A£=VAB2+BE2=/4+5=3;

.•.异面直线AE与CD所成角的余弦值为：

故异面直线AE与CD所成角的余弦值为件9.

O

8.在△A3C中，已知AB_LAC,AB=2,AC=3,。是△ABC内一点，且ND4B=45。,若

AD=AAB+PAC(入，咋R)’则件=()

.32„3„4

A.-Bn.—C.-D.—

2343

【分析】以直角三角形的两条直角边分别为X轴和y轴建系，用平面向量的坐标表示算

出入与"的比例.

解：以A为原点，以AB所在的直线为无轴，AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，

则2(2,0),C(0,3).由于/ZMB=45°,

可设。Gn,m),

因为通=入族+|1正，

所以(m,m)=(2入，0)+(0,3p),

所以m=2入=3|i,

9.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数〉=然皿3/,我们听到的声音是由

纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/(x)=|cosx|+V3lsinx|,

则下列结论正确的是()

A.f(x)是偶函数

B.f(x)的最小正周期为27t

C./(x)在区间［0,上单调递增

D./(%)的最小值为1

TT

【分析】由奇偶性的定义可得/(X)是偶函数，可验证11是/(龙)的周期，当x€［o,—］

时，去绝对值号化简判断函数的单调性，结合函数的周期性求/(无)在［0,Tt］上的最小值

即可.

解：(-尤)=|cos(-x)|+../3lsin(-%)|=|cosx|+V3|sinx|=/(x),

：.f(x)是偶函数，故A对，

f(x+兀)=|cos(x+兀)|-h/3Isin(x+兀)|=|cosx|-h/3Isinx|=f(x),

...it是/(x)的周期，故B错,

;当x£［0,或-］时,f(x)=|cosx|+xB|sinx|=cosx+>/^sinx=2sin(x-^-)，

TTTTIT

：.f(x)在区间［0,上单调递增，在(F-,亏］上单调递减，故c错，

TT

•・丁是/(X)的周期，且当［0,丁丁］时，/(九)min=f(0)=1,

兀兀

当,兀］时，/(x)=-cosx+^/^sinx=2sin(尤-,f(尤)m,n=/(it)=1,

26

：.f(x)的最小值为1,故。对.

故选：AD.

10.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinC=csinB,且

sin2A(4-cosC)=^--sin2B>则△ABC一定是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【分析】由正弦定理化简已知等式可得。=乩从而可得A=B,C=n-2A,利用三角函

数恒等变换的应用化简已知等式可求sinA=喙，利用三角形内角和定理可求A=B=今，

C-y)即可得解三角形的形状.

解：因为asinC=csinB,

所以ac=cb,

解得从而A=8.

又C=TT-A-B=TI-2A,

ilsin2A（4~cosC）=^__sin2B>可得2sin2A（5+cos2A）=5,

进一步整理得（2sin2A-1）（2sin2A-5）=0,

所以sinA=^"，

皿冗兀

则A=B=~T-,C=-^--

42

故△ABC为等腰直角三角形.

故选：D.

11.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有

甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为°C）：

①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为27；

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.

则肯定进入夏季的地区有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进

行判断即可.

解：①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得出：

甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26,

其连续5天的日平均温度均不低于22℃,故甲地进入夏季，

②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为27,

比如这5个数据从小到大排列为20,21,27,33,34满足条件，

但是有低于22的数，故不确定.

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,

若有低于22,则取21,此时方差就超出了10.8,

可知其连续5天的日平均温度均不低于22.则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，

故选：B.

12.如图，正方体ABCO-AliCQi的棱长为1,线段S5上有两个动点E,F,且EF型,

则下列结论中正确的有（)

A.当E点运动时，AiCLAE总成立

B.当E向d运动时，二面角A-EF-2逐渐变小

C.二面角E-AB-C的最小值为45°

D.三棱锥A-BE尸的体积为定值

【分析】对于A,利用AiCXBiDi,AiCXADi,即可得到4CJ_平面AB,Di,AiC±AE

恒成立；

对于3,利用平面EFB即平面BDD山1,即可判断；

对于C,当点E从Bid的中点向点A运动时，二面角越来越小，即可判断；

对于D,直接利用体积公式计算；

解：对于A,易证Bi。，平面4GC,所以ACBiA,同理可证ACLAA,从而AC

J_平面ABiDi,

所以4CLAE恒成立，A正确；

对于2,平面EEB即平面而平面EE4即平面ABid,所以当E向A运动时，

二面角A-EF-B的大小不变，B错误;

对于C,当点£从Bid的中点向点。1运动时，平面ABE逐渐向底面ABC。靠拢，

这个过程中，二面角越来越小，所以二面角E-AB-C的最小值为45°,C正确；

对于，因为S^BEF卷X喙Xl=g,点A到平面出犯6的距离为券，

所以体积为《X卑即体积为定值，。正确.

34212

故选：ACD.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.函数/(x)=lg(-N+4x+5)的单调递增区间为(-1,2)(或写成(-42］也可

以).

【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论.

解：因为函数/(x)=lg(-x2+4x+5),由-/+4X+5〉0,求得TVxV5,

可得函数/（X）的定义域为（-1,5）.

又了（无）的增区间，即y=-d+4工+5的增区间.

抛物线y=-/+曲+5的对称轴为直线x=2,开口向下，

所以y=-X2+4X+5的增区间为（-1,2）,

故/（x）的单调递增区间为（-1,2）,

故答案为：（-1,2）.

14.已知向量之=（2,0）,（%，2舍）,且满足域F+H=0,则之与己的夹角为

O

【分析】根据条件以及向量的坐标运算法则可解出X,进而利用向量夹角公式即可算出答

案.

解：设之与E的夹角为。，

因为|；|2+WE=O，a=（2,0）,b=（无，2如），

所以4+2x=0,解得x=-2,

解得egL.

故答案为：-

O

15.已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为676m尸2,平面ABC,尸8=10,ZBAC=150°,

则BC的长为12.

【分析】设球的半径为K,△ABC外接圆的半径为r,利用球的表面积公式求出R,利用

正弦定理求出r=BC,然后由勾股定理求解即可.

解：设球的半径为R,△MC外接圆的半径为r,

因为三棱锥P-ABC外接球的表面积为676m

则4nR2=676ir,解得R=13,

由正弦定理可得，-=2r，解得

smoU

由球的半径、截面半径、球心与截面圆心之间距离的关系，

则1/=/+（¥）2,

所以r—BC—12.

故答案为：12.

16.某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这1000名学生的

数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：[90,100),L100,110),

[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的频率分布直方图如图所示,

现有下列说法：

①a=0.035；

②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；

③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；

④这10000名学生数学成绩的平均数为115.

其中所有正确说法的序号是①②③.

【分析】利用频率之和为1判断选项①，利用频率、频数、样本容量之间的关系判读选

项②，利用中位数的求解方法判断选项③，利用平均数的计算公式判断选项④.

解：对于①，由(0.01X2+0.025+4+0.015+0.005)X10=l,得a=0.035,故①正确；

对于②，0.01X10X1000=100,故②正确；

对于③，因为01X2+0.25=0.45<0.5,0.1X2+0.25+0.35=0.8>0.5,

所以中位数尤[120,130),

由0.45+(x-120)X0.035=0.5,得尤-121.4,故③正确；

对于④，这1000名学生数学成绩的平均数为95X0.1+105X0.1+，-+135><0.15+145X0.05

=120,故④错误.

故答案为：①②③.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

.1>1

17.如图，在AABC中，已知AB=2,AC=],ZBAC=120°,BDqBC，

o

AE=(1")AB+入AC

⑴求瓦卜

(2)#AD-AE=1-求人的值.

【分析】（1）根据向量三角形法则可得标=•!■藤总正，再由向量模的运算公式代入

计算即可;

（2）利用向量数量积的运算公式用含入的式子表示出通.标=上争一，即可解出入.

O

■■■•♦•■■■♦«■■■*■■■■>1W*0

解：(1)因为AD=AB+BD=AB优(AC-AB)*AB

所以I疝I

>.1

又因为AB*C=2XIX(专)=-1，

所以|同12音X4+|x1+j-X(-1)噜

从而应|=^；

(2)因为AD-AE=(JAB-TJAC)[(1-^)AB+^AC]

--

£2-2j入—I|AB*r19-t-入ylIAC*P.9+^1y+-入A―B*-AC*=2-2入X4入/X1+1+^入—X/(-、1)=

7-8X

3

所以上衿=1，解得入

O乙

18.已知函数f(x)=4sin(3x+®)+1(3〉0,|。|<^)的最小正周期为m且7(0)

（1）求0）和（P的值.

（2）将函数/（x）的图象向右平移等个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的

O

图象，

①求函数g（X）的单调递增区间；

TT

②求函数g（X）在［0,上的最大值.

O

【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得3,再根据/（0）=3,求得中，可

得函数了（工）的解析式.

(2)由题意利用函数〉=忠由(ou+(p)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出

结论.

解：(1)..•函数f(x)=4sin(3x+0)+1(3〉0,|。|<^)的最小正周期为等

=Tl，

.*.0)=2.

又因为/(0)=3,所以，sin。二4，即。故/(x)—4sin(2xi--)+1.

(2)•.•将函数/(无)的图象向右平移等个单位长度(纵坐标不变)，得到函数g(x)

O

的图象，

2兀兀

贝Ug(%)=4sin(2x----—)+1=-4cos2x+l.

36

函数g(x)的增区间,即£=cos2x的减区间,

兀

①由2xe[2%n,2kn+n](ZeZ),求得％TrWxWhrF-,

TT

故函数g(x)的单调递增区间为[k兀，k兀可](kCZ).

,,兀,.OTT

②因为O(xd-^-，所以042x《&.

OO

当2x普二，即x=^时，

OO

JT

函数g(X)取得最大值，最大值为g(一丁)=3.

O

19.疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了.现对某大型连

锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照[90,110],

(110,130],(130,150],(150,170]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；(同一组中的每个数据可用该组

区间的中点值代替)

(2)汽车销售店准备从去年下半年销售量在(130,150],(150,170]之间的销售人员

中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2

人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率.

【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数的求解公式求解即可；

（2）先求出销售量在（130,150］,（150,170］的销售人员数，然后由分层抽样计算从

（130,150］,（150,170］组应抽取的人数，再利用古典概型概率公式求解即可.

解：（1）由频率分布直方图可得，平均数

7=（100X0.0025+120X0.01+140X0.0225+160X0.015）X20=上台・

（2）销售量在（130,150］的销售人员有100X0.0225X20=45人，

销售量在（150,170］的销售人员有100X0.015X20=30人，

51

分层抽样的比例为，u9c=3

45+3015

所以从（130,150］组应抽取45义上=3人，

1b

从（150,170］组应抽取30乂上=2人，

1D

记从（130,150］组抽取的3人为Ai,A2,A3,

从（150,170］组抽取的2人为Bi,Bi,

则从中任选2人，基本事件共有10个，分别为：

{Ai,Ao},{Ai,A3},{Ai,Bi},{Ai,&},{A2,A3},{A2,Bi},{Ao,B2},{A3,B\］,

{A3,B2},{Bi,Bi］,

其中不是来自同一组的情况共有6个，分别为：

{Ai,Bi},{Ai,B2},{A2,Bi},{A2,Bi\,{A3,Bi},{A3,B2},

则这2人不是来自同一组的概率为县洛.

1U5

20.如图，ZVIBC是等边三角形，EAJ_平面ABC,DC//EA,AE=AB=2CD,歹为BE的中

点.

（1）证明：。尸〃平面ABC.

（2）证明：平面BOE.

B

【分析】(1)取AB的中点G,连接CG,FG.推导出四边形CDFG为平行四边形从而

DF//CG,由此能证明OR〃平面ABC.

(2)推导出EA_LCG,CGLAB,从而CG_L平面ABE,由。尸〃CG,得。凡L平面A8E,

从而。PLA尸.推导出由此能证明A£L平面BDE.

【解答】证明：(1)如图，取A3的中点G,连接CG,FG.

因为EF=尸B,AG=GB,

所以尸G〃EA,FG^j-EA.

又因为DC〃胡，DC-|EA.

所以FG〃OC,FG=DC,四边形CDFG为平行四边形

所以。尸〃CG.

因为。尸C平面ABC,CGu平面ABC,

所以。P〃平面A3C.

(2)因为E4_L平面4BC,所以E4_LCG.

又因为△ABC是等边二角形，G是AB的中点，所以CGJ_AB.

因为AECAB=A,所以CG_L平面ABE.

由⑴知。尸〃CG,

所以。F_L平面ABE,从而DFL4P.

因为F为BE的中点，所以

又BECDF=F,所以AP_L平面

21.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3上+2“反05。=层+层，R为乙

ABC外接圆的半径，c=2«,C<^.

(1)若a+6=6,求△ABC的面积；

(2)求a+b的最大值，并判断此时3c的形状.

【分析】(1)根据已知条件3R2+2abcosC=a2+b2,运用余弦定理，可得3R2=