2021春人教版八年级数学下册导学案：第十七章 勾股定理

第十七章勾股定理

教学备注17.1勾股定理

第1课时勾股定理

学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用

面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；

2.会用勾股定理进行简单的计算.

重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.

学生在课前难点：会用勾股定理进行简单的计算.

完成自主学

习部分

-----------:主学引V

配套PPT讲

授

1.情景引入

（见幻灯片一、知识回顾

3-5）1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B的面积吗？你又能

想到什么方法算出正方形C的面积呢？

□III

▲

方法1:补形法（把以斜边为边长的正方形补成各

边都在网格线上的正方形）：

左图：Sc=；

右图：Sc=.

B

方法2：分割法（把以斜边为边长的正方形分割成

易求出面积的三角形和四边形）：

左图：Sc=；

右图：Sc=.

\7

教学备注

课堂探究配套PPT讲授

一、要点探究

2.探究点1新

探究点1:勾股定理的认识及验证

知讲授

想一想1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用

（见幻灯片

等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A,B和C面积之间的关

6-19）

系，你能想到是什么关系吗？

2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间

有什么特殊关系？

3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边

长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？（每

个小正方形的面积为单位1）

4.正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边

之间有怎样的特殊关系？

思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你

能结合字母表示出来吗？

猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为。力，斜边长为c,那么.

活动2接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.

证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”

要点归纳：

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为c,a

那么a2+&2=？.

公式变形：a=\lc2-b2,b=\lc2-a2,c=\la2+b2.

3.探究点2新

探究点2：利用勾股定理进行计算

知讲授

典例精析

（见幻灯片

例1如图，在RtZ\4BC中，ZC=90°.

20-24）

⑴若a=b=5,求c;

（2）若a=l,c=2,求反

\7

二变式题1在RtAABC中，ZC=90°.

教学备注（1）若°：b=\.2,c=5,求a;

（2）若〃=15,NA=30",求a,c.

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

20-24）

方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知

数，根据勾股定理列方程求解.

变式题2在Rt/LABC中，AB=4,AC=3,求BC的长.

方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是

直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.

例2已知/ACB=90°,CDLAB,AC=3,BC=4.求CD的长.

方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的

积，它常与勾股定理联合使用.

针对训练

求下列图中未知数x、y的值

二、课堂小结

教学备注

内容

配套PPT讲授

如果直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为C,那么

勾股定理4.课堂小结

（见幻灯片

1.在直角三角形中

30）

注意2.看清哪个角是直角

3.己知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论

-------------------'〉屑堂嬴1〈

5.当堂检测

（见幻灯片

1.下列说法中，正确的是（）25-29）

A.已知ahc是三角形的三边，则片+廿二c2

B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C.在RtZVIBC中，NC=90°,所以&2+从=,2

D.在RtA4BC中，NB=90°,所以42+/>2=廿8cm

2.右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

-------------^-^10cm

3.在△48C中，ZC=90°.

（1）若a=15,b=8,则。=.

（2）若c=13,b=12,则“=.

4.若直角三角形中，有两边长是5和7,则第三边长的平方为.

5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.

6.如图，在△ABC中，ADVBC,ZB=45°,ZO30°,AD=1,求△ABC的周长.

能力提升：

7.如图，以Rt^ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,求AABE

及阴影部分的面积.

\7

第十七章勾股定理

教学备注

17.1勾股定理

第2课时勾股定理在实际生活中的应用

学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；

2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知

边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.

重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.

学生在课前难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未

完成自主学知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.

习部分

------------自主学习R

配套PPT讲

授一、知识回顾

1.情景引入1.你能补全以下勾股定理的内容吗？

（见幻灯片如果直角三角形的两直角边长分别为4力，斜边长为C,那么.

3）2.勾股定理公式的变形：,b=,c=.

2.探究点1新3.在RSABC中,ZC=90°.

知讲授（1）若a=3/=4,贝ijc=;（2）若a=5,c=13,贝ijb-.

（见幻灯片

4-11）-----------＞汇课堂探究\

二、要点探究

探究点1:勾股定理的简单实际应用

典例精析

例I在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在

离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？

方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间

的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.

针对训练

y1.湖的两端有A、8两点，从与54方向成直角的BC方向上的点

C测得。=130米,CB=120米，则AB为）

A.50米B.120米C.IOO米D.130米

B

教学备注

2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走

配套讲授

“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.PPT

（1）求这条“径路”的长；

（2）他们仅仅少走了几步（假设2步为1米）？

黯』别躁我.我怕痔，

-、V•■

A--34％

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探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”

.探究点新

思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角32

知讲授

三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

（见幻灯片

证明:如图，在RtZXABC和RtZvl'B'C'中,NC=NC'=90°,A8=A'B'4C=A'C'.

12-14）

求证：△ABCg△A'B'C'.

证明：在RtA4BC和RtZWB'C'中，NC=/C'=90°,A,

根据勾股定理得5C=_____________,BC=__________________.卜|\

"：AB=A'B',AC=AC,：.=.\\

••--------------------------------------（------------CBCB

典例精析

例2如图，在平面直角坐标系中有两点A（-3,5）,8（l,2）求A,B两点间的距离.

方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点

4（芯，%），3（*2，%）,贝1%8="工2-±）2+（工一%）二

探究点3:利用勾股定理求最短距离

4.探究点3新

想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂

知讲授

蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向8处，蚂蚁怎么走最近（在以下三条路线中选

（见幻灯片

择一条）？

15-24）

\7

2.若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,n取3,请求出最短路线的长度.

教学备注

要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点,

根据两点之间线段最短确定最短路线.

典例精析

4.探究点3新

例3有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点8处，问

知讲授

梯子最短需多少米（已知油罐的底面半径是2m,高AB是5m,n取3）?

（见幻灯片

15-24）B

A

变式题小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你

能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？

Ncm

牛奶盒

]6cm

J10cm

例4如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km

处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多

少？

牧童」

d：屋B

方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法:先找到其中一

点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与

另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.

针对训练一

1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚊，想沿着正方体的外表面

到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少

5.课堂小结

（见幻灯片

）

31二、课堂小结

用勾股定理解决实际问题

勾股定理

解决“HL”判定方法证全等的正确性问题

的应用

用勾股定理解决点的距离及路径最短问题

教学备注

当堂检测

配套PPT讲授

6.当堂检测

1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电

（见幻灯片

线杆底部8的距离是（)

25-30）

A.24mC.V74mD.2>/6m

第2题图

2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这只铅

笔的长度可能是（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.I8cm

3.已知点⑵5）,（-4,-3）,则这两点的距离为.

4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞

到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？

5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm,10cm和6cm,A和B

是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到3点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A

点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？小

能力提升

6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，

如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm,如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪

多长的油纸？

\7

第十七章勾股定理

教学备注

17.1勾股定理

第3课时利用勾股定理作图或计算

学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；

2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.

重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.

难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.

学生在课前-------------自主学习■

完成自主学

习部分

一、知识回顾

配套PPT讲L我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数

授轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？

1.情景引入-3-2-16~1~2~

(见幻灯片2.求下列三角形的各边长.

3-4)

2.探究点1新------------＞汇课堂探究\

知讲授

(见幻灯片

5-12)三、要点探究

探究点1:勾股定理与数轴

想一想1.你能在数轴上画出表示近的点吗？呢？(提示：可以构造直角三角形作

出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)

-3-2-10123

2.长为相的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数?

3.以下是在数轴上表示出旧的点的作图过程，请你把它补充完整.

(1)在数轴上找到点A,使0A=;

(2)作直线/___0A,在/上取一点B,使AB=;

(3)以原点0为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交

于C点，则点C即为表示的点.

,_________J

要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法：

教学备注

（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三

配套PPT讲授

角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在

交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.

类似地，利用勾股定理可以作出长夜,右,后为线段，形成如图

所示的数学海螺.

典例精析

例I如图，数轴上点A所表示的数为a,求a的值.

易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.

针对训练一

1.如图，点A表示的实数是（）

A.V3B.75C.一。D.-75

第1题图第2题图

2.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为

半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（）

A.2B.s/5-1C.VFo-1D.>/5

3.你能在数轴上画出表示府的点吗？

3.探究点2新

探究点2：勾股定理与网格综合求线段长

知讲授

典例精析

（见幻灯片

例2在如图所示的6X8的网格中，每个小正方形的边长都为1,写出格点aABC各顶点的坐

13-17）

标，并求出此三角形的周长.

方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中,

利用勾股定理求其长度.

y

教学备注

例3如图，在2X2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、C都在格点上，求AB边上的

配套PPT讲授

高.

方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.

针对训练

1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多

可以作出多少条长度为。的线段？

m

L±J

2.如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,画出一个三角形的长分别

为0,2,师

4.探究点3新

知讲授

探究点3：勾股定理与图形的计算

（见幻灯片

典例精析

18-21）

例4如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm,BC=10cm,

求EC的长.

方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：（1）设一条未知线段的长为x（一般设所

求线段的长为x）；（2）用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；（3）在一个直角三角形

中应用勾股定理列出一个关于x的方程；（4）解这个方程，从而求出所求线段长.

变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上

教学备注

的B'处，点A的对应点为A',且B'C=3,求AM的长.

配套PPT讲授

针对训练

1.如图，四边形ABCD中/A=60°，ZB=ZD=90°,AB=2,CD=1,求四边形ABCD的面积.

二、课堂小结

5.课堂小结（见

幻灯片29）

r在数轴上表示出无理数的点

利用勾股

通常与网格求线段长或面

定理作图利用勾股定理解决网格中的问题

积结合起来

或计算

［利用勾股定理解决折叠问题及其

通常用到方程思想

他图形的计算

6.当堂检测（见

当堂检测幻灯片22-28）

1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的

长度为（）

A.5B.6C.7D.25

1111t■'I1II1

-4-3-2-1012345

第1题图第2题图第3题图

2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一

个点D,然后点D做一条垂直于数轴的线段CD,CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到

点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）

A.2和3之间B.3和4之间I）

C.4和5之间D.5和6之间

3.如图，网格中的小正方形边长均为1,Z^ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为一

教学备注

4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm,ZA=60",ZADC=150°,已知四边形ABCD的周

长为32cm,求ABCD的面积.

6.当堂检测（见

幻灯片22-28）

5.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，求重叠部

分aAFC的面积.

能力提升

6.问题背景：

在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为石、而、后,求这个三角形的面积.小辉同学

在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格

点aABC（即aABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示.这样不需求AABC的

高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）求4ABC的面积；

（2）若aABC三边的长分别为氐，2缶,“（a>0）,请利用图②的正方形网格（每个小正方

形的边长为a）画出相应的aABC,并求出它的面积.

图②

第十七章勾股定理

教学备注

17.2勾股定理的逆定理

第1课时勾股定理的逆定理

学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数;

2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否

为直角三角形.

重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.

学生在课前难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角

完成自主学三角形.

习部分-------------自主学习《

配套PPT讲

授一、知识回顾

1.情景引入1.勾股定理的内容是什么？

（见幻灯片

3-5)2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长

①a=3,b=4；

②a=2.5,b—6；

③a=4,b=7.5.

----------->汇课堂探究《

2.探究点1新四、要点探究

知讲授探究点1：勾股定理的逆定理

（见幻灯片量一量有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都

5-17）是直角三角形吗?①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.

算一算这三组数在数量关系上有什么相同点？

思考据此你有什么猜想呢？

猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是________三角形.

活动2为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明.

证一证已知：如图，ZXABC的三边长a,b,c,满足a?+b2=c2.

求证：aABC是直角三角形.

证明：作Rtz^A'B'C,使NC'=90°,A'C=b,B'C=a,

则A'B，2=+

a2+b2=c2>".A'B'-

在aABC和AA'B'C中，

\7'A'C=AC,

<B'C=BC,.,.△ABCAAZB'C'（）.

AZC____ZCz90°,即aABC是__________三角形.

教学备注

要，点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a?+b2=c2,那么这个三角

形是直角三角形.

特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，

且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所

对应的角为直角.

2.探究点1新

典例精析

知讲授

例1（教材P32例1变式题）若4ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5,试判断4ABC的形状.

（见幻灯片

5-17）

方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再

用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，

那么该三角形还是等腰三角形.

例2（1）若AABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=l,c=拒，试说明AABC是直角三角形.

（2）若AABC的三边a,b,ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断aABC的形状.

例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE=_LCB,试判断AF

4

与EF的位置关系，并说明理由.

针对训练

1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6

C.5,12,13D.4,6,7

2.一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则该三角形最长边上的高是（）

A.4B.3C.2.5D.2.4

3.探究点2新

3.若aABC的三边a、b、c满足（a-b）（a2+b2-c2）=0,则4ABC是.

知讲授

探究点2：勾股数

（见幻灯片

要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

18-20）

形.满足a?+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

/常见的勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；

教学备注

9,40,41；10,24,26等等.

配套PPT讲授

勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k（k为正整数），得到一

3.探究点2新

组新数，这组数同样是勾股数.

知讲授

典例精析

（见幻灯片

例4下列各组数是勾股数的是（）

18-20）

A.6,8,10B.7,8,9

C.0.3,0.4,0.5D.52,122,132

方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的

平方是否等于其他两边的平方和即可.

探究点3r互逆命题与互逆定理

想一想1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1,如果直角三角形的两条直角

4.探究点3新

边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2,如果三角形的三边长a,b,c满

知讲授

足a2+b2=c：,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？

（见幻灯片

21-24）

2.两个命题的条件和结论有何联系？

要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆

命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

互逆定理：如果一个定理的逆