2023北京版数学高考第二轮复习10

2023北京版数学高考第二轮复习

第十章圆锥曲线

10.3抛物线

五年高考

考点一抛物线的定义和标准方程

1.(2022全国乙,理5,文6,5分，综合由设F为抛物线C:yMx的焦点，点A在C上，点B(3,0),若|AF|=|BF|,

则|AB|=()

A.2B.2V2C.3D.3V2

答案B

2.(2020北京.7,4分，综合性)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为1,P是抛物线上异于O的一点，过P作

PQJJ于Q,则线段FQ的垂直平分线()

A.经过点OB.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线OP

答案B

3.(2013北京,9,5分，基础性)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=:准线方程

为.

答案2;x=-l

4.(2021新高考I,14,5分，综合性)已知O为坐标原点抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF

与x轴垂直,Q为x轴上一点，且PQLOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.

答案x=-|

5.(2019北京理,18,14分，综合性)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程;

(2)设0为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M,N,直线y=-l分别交直线

OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

解析⑴由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),

得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=l.

⑵证明:抛物线C的焦点为F(O,-1).

设直线I的方程为y=kx-l(kHO).

由/彳导x2+4kx-4=0.

(产=-4y

设M(xi,yi),N(X2,y2),则XIX2=-4,直线0M的方程为y=^x.

令y=-l,得点A的横坐标XA=-2

y\

同理得点B的横坐标XB=-N

y2

设点D(O,n)贝向=(-1-1-n),而=(4,T-n),

所以万Z丽=2+(n+1)2=.2^22xH(n+1)2

yly2，一左

4

=-^-+(n+1>=-4+(n+1)2.

X1X2

令万5•丽=().即-4+(n+l)2=0,得n=l或n=3.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,-3).

考点二抛物线的几何性质

1.(2020课标in,理5,文7,5分，综合性)设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,

若OD_LOE,贝［|C的焦点坐标为()

A.Q,0)B.g,0)C.(l,0)D.(2,0)

答案B

2.（2021北京,12,5分，基础性）已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若

|MF|=6厕点M的横坐标为;△MNF的面积为.

答案5;4V5

三年模拟

A组考点基础题组

考点一抛物线的定义和标准方程

1.（2022房山一模,5）已知M为抛物线x2=2py（p>0）上一点,M到抛物线的焦点的距离为4,至！Jx轴距离为3,

则p=（）

A；B.lC.2D.4

答案C

2.（2022通州一模,7）设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,0是坐标原点，若NOFM=120。厕

|FM|=（）

47

A.3B.4髭

答案B

3.（2021海淀二模.4）已知F为抛物线y2=4x的焦点,P（x°,yo）是该抛物线上的点.若西|>2,则（）

A.xoG（0,1）B.X（）W（1,+8）

C.y（）e（2,+oo）D.yoE（-00,2）

答案B

4.（2022丰台二模,12）已知抛物线C:x2=8y,则抛物线C的准线方程为.

答案y=-2

5.（2022顺义二模』3）已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直于抛物线的准线，垂足为

点N.若△FNM为等边三角形，则点M的横坐标为,△FNM的面积是.

答案3;4国

6.（2022海淀一模,11）已知抛物线y2=2px（p>0）的准线方程为x=-l,则p等于.

答案2

7.（2022丰台一模,14）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为;设点M在抛物线C上，若

以线段FM为直径的圆过点（0,2）,则|FM|=.

答案（1,0）;5

8.（2021丰台二模,13）已知点P（x0,yo）为抛物线C:x2=4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3,则

|xo|=-

答案2或

9.（2021西城二模,13）对于抛物线C,给出下列三个条件：

①对称轴为y轴;②过点（1,1）；③焦点到准线的距离为2.

写出符合其中两个条件的一个抛物线C的标准方程:.

答案x?=4y,x2=-4y,x2=y（任选一个即可）

考点二抛物线的几何性质

1.（2021延庆一模,3）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F的直线1交抛物线C于A.B两点若|AB|=8,

则线段AB的中点M的横坐标为（）

A.2B.3

C.4D.5

答案B

2.（2021丰台一模.7）P为抛物线y2=2px（p>0）上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则

P=（）

A.2B.4

C.4或9D.2或18

答案D

3.（2021石景山统练一,7）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点,

则|AB|=（）

A.lB.2

C.3D.4

答案D

4.（2021北京高三定位考试⑼抛物线W:y2=8x的焦点为F.对于W上一点P,若W的准线上只存在一个

点Q,使得△FPQ为等腰三角形，则点P的横坐标为（）

A.2B.4

C.5D,6

答案D

5.（2022门头沟一模,5）已知抛物线y2=8x,O为坐标原点，过其焦点的直线1与抛物线相交于A,B两点，且

|AB|=10,则AB中点M到y轴的距离为（）

A.2B.3

C.5D.6

答案B

6.（2022东城二模』3）已知抛物线C:y2=2px（p>0）,P为C上一点,PQ_Lx轴.垂足为Q,F为C的焦点Q为原

点.若NPOQ=45。,贝UcosZPFQ=.

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B组综合应用题组

时间：50分钟分值53分

一、选择题（每小题4分，共28分）

1.（2022海淀二模,6）已知F为抛物线y2=4x的焦点，点Pn（Xn,yn）（n=l,2,3,...）在抛物线上者|P“FHPnF|=l,则

（）

A.{Xn}是等差数列B.{Xn}是等比数列

C.{yn}是等差数列D.{yn}是等比数列

答案A

2.（2022平谷零模,5）设抛物线的焦点为F,准线为I,抛物线上任意一点M.则以点M为圆心，以MF为半径

的圆与准线I的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.都有可能

答案A

3.（2022东城期末,7）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1,P为C上一点，过P作1的垂线，垂足为M.

若|MF|=|PF|,则|PM|=（）

A.2B.V3

C.4D,2V3

答案C

4.（2021朝阳质量检测一,9）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1,点P是直线1上的动点.若点A在抛

物线C上，且|AF|=5厕|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）

A.8B.2V13C.V41D.6

答案B

5.（2021海淀一模,8）已知点A（xi,*），B（x2,后）,C（0,»则&ABC是等边三角形"是直线AB的斜率为0"

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

6.（2022石景山一模,10）设A,B为抛物线C:y=x?上两个不同的点,且直线AB过抛物线C的焦点F,分别

以A,B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P.则下列结论:

①点p一定在抛物线C的准线上;②PF，AB:③人PAB的面积有最大值，无最小值.

其中，正确结论的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

答案C

7.（2021西城一模,8）抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称

轴该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y2=4x的焦点F出发的两条光线a,b分别经抛物线

上的A,B两点反射.已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60。,则两条反射光线a，和b，之间的距离为

)

2V3D8「4百n86

AA.--B.-C.--D.--

3333

答案C

二、填空题（每小题5分，共25分）

8.（2022朝阳二模』1）抛物线y2=4x的准线方程是.

答案x=-l

9.（2022西城一模,11）若抛物线y2=2px上任意一点到点（1,0）的距离与到直线x=-l的距离相等，则

P=

答案2

10.（2022西城二模.13）已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为【，则焦点到准线的距离为；直线

y=Bx-百与抛物线分别交于P、Q两点（点P在x轴上方），过点P作直线PQ的垂线交准线1于点H,

则需

答案2;苧

11.（2021房山一模,13）抛物线C:y2=8x的焦点为F,则点F的坐标为，若抛物线上一点A到y轴

的距离为2,贝U|AF|=.

答案（2,0）;4