2020-2021学年凉山州高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年凉山州高二上学期期末数学试卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

i-tan2£

已知直线2x-y-l=°的倾斜角为防贝"号=()

A.-4B.-1

2.下面说法正确的是()

A.命题“若a=0,则cosa=1”的逆否命题为真命题

B.实数x>y是/>外成立的充要条件

C.设p,q为简单命题，若“pVq”为假命题，则“飞人飞”也为假命题

D.命题^3%0eR,使得以+a+1N0”的否定是“VxeR,使得/+x+1>0”

22

3.已知点A,B是双曲线拶一三=l(a>0,b>0)的左、右顶点，&,尸2是双曲线的左、右焦点，

若|&尸21=2萌，P是双曲线上异于4B的动点，且直线PA,PB的斜率之积为定值4,则|4B|=

()

A.2B.2&C.2V3D.4

4.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是()

A.逑B.2C.V5D.如

442

5.如图，过圆内接四边形48CD的顶点C引圆的切线MN,4B为圆直径，

若乙BCM=38°,贝UNABC=()2/二〜飞Z

A.38°Q---------——N4M

C.68°

D.42°

若动点P(x,y)满足一1尸+⑶一2尸=||x-1|,贝！|P点的轨迹应为(

A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.圆

己知a,bER,"|a|+\b\<1"是

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.抛物线％=-2x-2与y,=x'一6x+12的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫

做两曲线的公切线）的交点坐标为（）

A.（2,1）B.⑵-。C.（LDD.（L2）

9.圆叵|：叵|和圆区：区|的位置关系（）

A.相交B.相切C.外离D.内含

7

10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出S的值是一，则

4

A.a=3B,a=4C.£>=5D.a=6

11.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分），根据戒绩分数依次分成六组：[90,100）,

[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150]得到频率分布直方图如图所示，若不

低于140分的人数为110,则以下说法正确的是（）

①m=0.031;②九=800③100以下的人数为60；④分数在区间[120,140）的人数占大半

A.①②B.①③C.②③D.②④

12.方程/一产+2久+1=o所对应的图象是（）

A.双曲线B.圆C.两条平行直线D.两条相交直线

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.一个四面体的顶点在空间直角坐标系。一盯z中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1),

则该四面体的体积为.

14.直线/过点(-4,0)且与圆(x+1产+(y—2产=9相切，那么直线/的方程为

15.如图，过抛物线y2=2p%(p>0)的焦点F的直线，交抛物线于点力，B,交其

准线于点C,若［8C|=2\BF\,且=3,则直线48的方程为.

16.给出命题p：3x>3,使得2万-1<爪，已知p是假命题，则实数小的取值范围是

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知△力BC的三个顶点是4(4,0),B(6,7),C(0,8)

(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程.

18.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.中华技术有

限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入久(亿元

与科技升级直接收益y(亿元)的数据统计如表：

序号123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

当0〈比W17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：y=4.1x+11.8：模型②：；=21.3«-

14.4；当x>17时，确定y与x满足的线性回归方程为;=_07x+a.

(I)根据下列表格中的数据，比较当0<xW17时模型①、②的相关指数产的大小，并选择拟

合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1x+11.8y=21.3V%-14.4

7_

182.479.2

1=1

（附：刻画回归效果的相关指数R2=警吗，717«4.1.）

（U）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方

程

为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.

（附：用最小二乘法求线性回归方程:一:『上:的系数：b=暮一（符必一.m=漂巡者（斗与）,@_

y—bx.）

19.给定两个命题，中：对任意实数您都有魏1#幽:带La丽恒成立；Q：关于舅的方程

嘉产-冢甘薇=尊有实数根.如果渺硝疑为真命题，解养感为假命题，求实数碱的取值范围•

20.求直线｛；二;｝；（t为参数）被圆｛［黑:'（"为参数）截得的弦长.

21.已知椭圆C：《+《=1（（1>6>0）的离心率6=a且经过点4（2,3）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线4。（0是坐标原点）与椭圆C相交于点B,试证明在椭圆C上存在不同于4、B的点P,使4P2=

AB2+BP2（不需要求出点p的坐标）.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知6,&分别是双曲线-箕=l（a>0,b>0）的左、右焦点，

双曲线G与抛物线f=一人有一个公共的焦点，且过点（-手,1）

（1）求双曲线6的方程；

（II）设直线/与双曲线G相切于第一象限上的一点P,连接PF1，PF2,设I的斜率为鼠直线P0,P4的

斜率分别为七，k2,试证明++今为定值，并求出这个定值；

（HI）在第（n）间的条件下，作F2QIF2P，设尸2（?交I于点Q，证明：当点P在双曲线右支上移动时，点

Q在一条定直线上.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：直线，：2%-y—1=0的方程可化为y=2%—1,

・•.直线珀勺斜率为2,倾斜角为a,可得汝荏仇=2,

.l-taM?_2

••tana--八tana--L•

2

故选：D.

化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得tcma,进而根据二倍角的正

切公式即可求解.

本题考查直线的一般式方程，涉及直线的斜率和倾斜角，考查了二倍角的正切公式在三角函数化简

求值中的应用，属于基础题.

2.答案：A

解析：解：对于人命题“若a=0,贝Ucosa=1”为真命题，

故该命题的逆否命题也为真命题，故A正确；

对于B：实数无＞丫是/＞必成立的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C：设p,q为简单命题，若“pvq”为假命题，贝跖假q假，则“「q”为真命题，故C错

误；

对于D：命题'勺曲eR,使得诏+而+120”的否定是“\/%6凡使得乂2+%+1＜0”故。错误.

故选：A.

利用三角函数的值和原命题和逆否命题的等价关系，判断4的结论；利用充分条件和必要条件和不等

式的性质，判断B的结论；利用“或是”命题与“且是”命题的真假关系，判断C的结论；根据特称

命题的否定为全称命题，判断。的结论.

本题考查的知识要点：命题的否定和否命题的关系，命题真假的判定，充分条件和必要条件，三角

函数的值，考查运算能力，属于基础题.

3.答案：A

解析：解:设4(-a,0),B(a,0),P(x,y),

则而4—y

kpBx-a

y2_废-1）匕?_b2

所以岫A.y___y

x+ax-ax2-a2x2-a2a2

又因为I6F2I=2底

所以2c=2V5,c=

又因为C2=。2+炉,

所以a=1,b=2,

所以|AB|=2a=2,

故选：A.

设2(-a,0),B(a,0),P(x,y)求出斜率，利用斜率乘积推出a、b关系,结合焦距，转化求解a,即可

推出|4B|.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

4.答案:A

解析：

由条件利用两条平行直线间的距离公式技术，注意两条直线的方程中注意未知数的系数必需相同.

本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题.

解：直线2x+2y+l=0,x+y+2=0之间的距离，即直线2久+2y+1=0,2x+2y+4=0之

间的距离等=越

<4+44

故选：A

5.答案：B

解析：解：连结。C,

•••过圆内接四边形ABCD的顶点C引圆的切线MN,AB为圆直径，片二^K

乙BCM=38°,Al----------L_X

•••/.OCB=90°-38°=52°,X.7

：.AABC=乙OCB=52°.

故选：B.

连结OC,由切线性质得NOCB=90。-38。=52。，所以N4BC=NOCB=52。.

本题考查与圆有关的角大小的求法，是基础题，解题时要注意切线性质的灵活运用.

6.答案：B

解析：

利用抛物线的定义即可得出.

本题考查了抛物线的定义，属于基础题.

解：动点P(x,y)满足JO-1尸+(y-2尸=||x-1|,

可知：动点P(*,y)到定点(1,2)与到定直线［y-1=0的距离相等，其中定点不在定直线上.

因此P点的轨迹应为抛物线.

故选：B.

7.答案：C

解析:解:a,beR,由|a|+\b\<1,得|a+b|<|a|+\b\<1且|a-b|<\a\+\b\<1，即［口+T::

(I。一D|1

反之，由|a+b|<1且|a_b|<1,得即|a|+网<1.

•••a\a\+\b\<r是喘］兼;”的充要条件.

故选：C.

由不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.

本题考查不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是中档题.

8.答案：C

解析：解：

设切线方程的切点为@0，歹0)，

■y1=-2x-2,y2,=2x-6，

—

-2x()-2=2XQ6,..而=1,1yo=l，

故答案选C.

9答案:A

解析:试题分析：圆s的标准方程为□，所以圆心回，半径回；圆回的标准方程为s，

所以圆心叵I，半径S»S>凶，所以S。所以两圆相交。故A正确。

考点：两圆位置关系。

10.答案：A

解析：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S,k的值是解题的关键，模拟执

7

行程序，依次写出每次循环得到的S,k的值，当5=—，k=4时，由题意此时满足条件4>a,退

4

出循环，输出s的值为N,结合选项即可得解.

4

解：模拟执行程序，可得S=l,k=l,

3

不满足条件k>a,S=Q，k=2

不满足条件k>a,S=—,k=3

3

7

不满足条件k>a,S=—,k=4

4

7

由题意，此时满足条件4>a,退出循环，输出S的值为一，

4

故选：A.

11.答案：B

解析：

本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题.

根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可.

解：对于①，由频率分布直方图的性质得，

10(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,

解得m=0.031,所以①正确；

对于②，由不低于140分的频率为0.011x10=0.11,

所以几=券=1000,所以②错误；

对于③，100分以下的频率为0.006X10=0.06,

所以100分以下的人数为1000X0.06=60,所以③正确；

对于④，分数在［120,140）的人数占0.031x10+0.016x10=0.47,

占小半，所以④错误；

综上，正确的说法是①③.

故选:B.

12.答案：D

解析：解:根据题意，方程/一产+2久+1=0,变形可得（久+1）2=/,

即y=x+1或y=-x-1,

对应的图形为直线y-x+1和y--x-1,

则方程/一步+2久+1=0所对应的图象是两条相交的直线；

故选：D.

根据题意，将方程变形可得0+1）2=y2,即y=乂+1或丫=一久一1,分析其对应的图形，即可得

答案.

本题考查曲线与方程的关系，关键是将方程化简变形.

13.答案：：

解析：

本题考查了三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.

画出图形，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体。-48C,利用三棱锥的体积计算公式求解

即可.

解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体。-ABC,

.•.该四面体的体积0=：xjxlxlxl=1

326

故答案为：

o

14.答案：x=4,5%+12y+20=0

解析：解：・・・直线1过点(一4,0)且与圆(％+1)2+3-2)2=9相切,

・,•圆(%+I)2+(y—27=9的圆心C(一1,2),半径r=3,

当直线的斜率k不存在时，

直线I的方程为x=-4,与圆相切，成立；

当直线的斜率k存在时，

设直线方程为y=+4),即kx-y+4k=0,

圆心C(—1,2)到直线的距离d=匕器詈=3,

解得k=——,——x—y——=0,即5x+12y+20=0.

综上，直线/的方程为久=-4,5x+12y+20=0.

故答案为：x——4,5%+12y+20=0.

当直线的斜率k不存在时，直线/的方程为1=-4,与圆相切，成立；当直线的斜率k存在时，设直线

方程为此-y+4/c=0,圆心C(-l,2)到直线的距离d=能等=3,求出斜率鼠由此能出直线/的

方程.

本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证

能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

15.答案：4V3x-4y-3V3=0

解析：解：如图，设48在准线上的射影分别为N,M,

则BF=BM,AN=AF,

■：\BC\=2\BF\,\BC\=2\BM\,Z.MCB=30°,

•,・直线AB的倾斜角为60。，其斜率为百，

又|4F|=3,则a(|+g苧)，代入*=2p%(p>0)得：

(吟2=2p(|+,解得P=|,

・•.F(|,0),

y—V3(x—[),即4v5x—4y—3A/3=0.

故答案为：4V3x-4y-3V3=0.

设48在准线上的射影分别为N,M,可得MCB=30。，直线4B的倾斜角为60。，又力(三+二逋),

、2227

代入V=2Px(p>0)得p即可求解.

本题考查了抛物线的定义、性质，考查了转化思想、计算能力，属于中档题.

16.答案：[m\m<5}

解析：

本题考查存在量词命题真假求参数问题，属于基础题.

求得假设”mx23,使得2久-1<机”为真命题，求出租的范围，从而得命题P为假命题时，m的范

围.

解：若”三乂23,使得左一1<小"是真命题，

可得zn大于2x-1的最小值，

又x23时，可得2久-1》5,

则m>5,

而命题p为假命题，可得mW5,即根的最大值为5.

故答案为：{m|mW5}.

17.答案：解：（1）BC边所在直线的斜率为/CBC=1=一巳“（1分）

则BC边上的高所在直线的斜率为题D=-六=6…（3分）

kBC

由直线的点斜式方程可知直线力。的方程为：y-0=6（久-4）

化简得：y=6%—24...（5分）

（2）设BC的中点EQo，y。），

由中点坐标公式得%。=等=3,y°=等=当，

即点E（3,£）...（7分）

由直线的两点式方程可知直线2E的方程为：匕2=舁（9分）

化简得：y=-募％+30…（10分）

解析：（1）根据B与C的坐标求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1,求出BC边上的高

所在直线的斜率，然后由4的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；

（2）由B和C的坐标，利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标，然后利用中点坐标和4的坐标写出直

线的两点式方程即可.

此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合

题.

1824792

18.答案：解：（I）由表格中的数据，182.4>79.2,所以严、—>可二正，

1R74792

所以1一察而不<1-察访方可见模型①的相关指数睹小于模型②的相关指数形•

所以回归模型②的拟合效果更好.

所以当x=17亿兀时，科技升级直接收益的预测值为y=2113x-/17-14,4«21.3X4,1-14,4=

72.93（亿元）...............................（6分）

（口）当久>17时，由已知可得I=21+22+2=+24+25=23,

—68.5+68+67.5+66+66

y=-----------------------=6r7.2o.

所以a=y-0.7x=67.2+0.7x23=83.3-

所以当x>17时，y与x满足的线性回归方程为y=_07x+833

当x=20时，科技升级直接收益的预测值为y=_0.7x20+83.3=69.3亿兀・

当久=20亿元时，实际收益的预测值为69.3+5=74.3亿元〉72.93亿元，

所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大....................................（12分）

解析：（I）求解模型①的相关指数号，模型②的相关指数相.然后判断回归模型②的拟合效果更

好.当x=17亿元时，求解科技升级直接收益的预测值即可.

（H）当久>17时，求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解当x=20时，科技升级直接

收益的预测值，当x=20亿元时，实际收益的预测值，推出公司的实际收益更大.

本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

19.答案：解：对任意实数篙都有谢3招蜗中：1沏施恒成立

rfkl

:UP:豳=Q喊：”:=®<：a'.<4；

Vi

1

关于M的方程--富・#婢1=颁有实数根:修朝逆跳=谡区-;

4

・沙秘・鳗为真命题，善斓般为假命题，即拜真粤假，或蜉假回真，

如果卢真色假，则有酸嗟喃嘴必且:域*工.二工嘴:出嘴里；

郎4!

（：地嘿眦或:愉>I!

如果产假蝮真，则有JI愉嘴翘.

:密簟—

解析：本题考查复合命题的真假，不等式恒成立问题，属中档题.

先求出p,q为真时，再利用P、Q一真一假即可求a的取值范围.

20.答案：解：由后二：1；，得x+y—2=0,

由广=¥*'、，得/+必=16.

•••圆的圆心是(0,0),半径是4.

由圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d=援=/.

得直线被圆截得的半弦长为J16-(V2)2=V14.

,直线｛；二;t；被圆｛二截得的弦长为2m.

解析：分别化直线和圆的参数方程为普通方程，求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出

弦心距，利用勾股定理求弦长.

21.答案：解：(1)依题意，e=亍='a=3

从而炉=：Q2,

4

点4(2,3)在椭圆上,所以上+5=1,

解得a?=16,b2=12,

椭圆C的方程为次+好=1,

1612

(2)若Ap2=AB2+Bp2成立，贝I］必有N力BP=90°,即AB1BP,

由椭圆的对称性知，5(-2,-3),

BP=—

由4B1BP,kAB=|知々

所以直线BP的方程为y+3=—|(久+2),即2%+3y+13=0,

p2y2-1

由G+石一1,

I2x+3y+13=0

得43y2+234y+315=0,

A=2342-4x43x315>0,

所以直线BP与椭圆C有两个不同的交点，

即在椭圆C上存在不同于4、B的点P,使”2=AB2+BP2.

解析：⑴由