2019年江苏省徐州市中考数学试卷（解析版）

2019年江苏省徐州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）

1.（3分）（2019•徐州）-2的倒数是（）

A.-LB.1C.2D.-2

22

【考点】17：倒数.

【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.

【解答】解：V（-2）X（-1）=1,

2

/.-2的倒数是-1.

2

故选：A.

【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

2.（3分）（2019•徐州）下列计算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.（a+6）2=a2+b2

326

C.（/）3=/D.a'a=a

【考点】35：合并同类项；46：同底数塞的乘法；47：塞的乘方与积的乘方；4C：完全

平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式、塞的乘方以及同底数塞的乘法化

简即可判断.

【解答】解：A、a2+a2=2a2,故选项A不合题意；

B.（a+6）2—cT+2ab+b2,故选项8不合题意；

C.（a3）3=a9,故选项C符合题意；

D.cr'*a1—<r,,故选项。不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、募的运算法则以及完全平方公式，熟练掌

握法则是解答本题的关键.

3.（3分）（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.2,2,4B.5,6,12C.5,7,2D.6,8,10

【考点】K6：三角形三边关系.

【专题】552：三角形.

【分析】根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三

角形，本题得以解决.

【解答】解：：2+2=4,，2,2,4不能组成三角形，故选项A错误，

V5+6<12,/.5,6,12不能组成三角形,故选项B错误，

：5+2=7,；.5,7,2不能组成三角形，故选项C错误，

V6+8>10,：.6,8,10能组成三角形，故选项。正确，

故选：D.

【点评】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边.

4.（3分）（2019•徐州）抛掷一枚质地均匀的硬币2000次,正面朝上的次数最有可能为（）

A.500B.800C.1000D.1200

【考点】XI：随机事件.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】由抛掷一枚硬币正面向上的可能性为0.5求解可得.

【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为1000次，

故选：C.

【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类

问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高

自身的数学素养.

5.（3分）（2019•徐州）某小组7名学生的中考体育分数如下：37,40,39,37,40,38,

40,该组数据的众数、中位数分别为（）

A.40,37B.40,39C.39,40D.40,38

【考点】W4：中位数；W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据众数和中位数的概念求解可得.

【解答】解：将数据重新排列为37,37,38,39,40,40,40,

所以这组数据的众数为40,中位数为39,

故选：B.

【点评】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于

中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的

平均数就是这组数据的中位数.

【考点】P3：轴对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形的概念求解可得.

【解答】解：

不是轴对称图形，

故选：D.

【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直

线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

7.（3分）（2019•徐州）若A（xi,yi）、B（x2,”）都在函数>=①曳的图象上，且xi<0

X

<X2,贝！！（）

A.yi<y2B.yi=y2C.yi>y2D.yi=-y2

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题.

【解答】解：.函数y=亚2,

X

・•・该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随X的增大而减小，

VA（xi,yi）、B（X2,"）都在函数y=2019的图象上,且

＜丁2,

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用

反比例函数的性质解答.

8.（3分）（2019•徐州）如图，数轴上有。、A、B三点，。为原点，。4、08分别表示仙

女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）.下列选项中，与点8表示的数最为接

近的是（）

°AB

-------1—.------------------------------------------------------------------------•―►

02.5X106

A.5X106B.107C.5X107D.108

【考点】13：数轴；H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】先化简2.5X106=0.25X107,再从选项中分析即可；

【解答】解：2.5X106=0.25X107,

（5X107）4-（0.25X107）=20,

从数轴看比较接近；

故选：C.

【点评】本题考查数轴，科学记数法；能够将数进行适当的表示，结合数轴解题是关键.

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请将答案直

接填写在答题卡相应位置）

9.（3分）（2019•徐州）8的立方根是2.

【考点】24：立方根.

【专题】11：计算题.

【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果.

【解答】解：8的立方根为2,

故答案为：2.

【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.

10.（3分）（2019•徐州）使47T有意义的x的取值范围是x2-1.

【考点】72：二次根式有意义的条件.

【专题】17：推理填空题.

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得无+1\0,据此求出尤的取值范

围即可.

【解答】解：有意义，

.••X的取值范围是:尤2-1.

故答案为：X2-1.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明

确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

11.（3分）（2019•徐州）方程4=0的解是±2.

【考点】A5：解■元二次方程-直接开平方法.

【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可.

【解答】解：?-4=0,

移项得：/=4,

两边直接开平方得：x=±2,

故答案为：±2.

【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未

知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成/=aQ20）的形式，利用

数的开方直接求解.（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

ax1=b（a,b同号且aWO）；（x+a）2=b（620）；a（x+b）2=c（a,c同号且aWO）.法

贝U：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程

解”.（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

12.（3分）（2019•徐州）若a=6+2,则代数式丁-2诏+庐的值为4.

【考点】4C：完全平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】由。=6+2,可得a-b=2,代入所求代数式即可.

【解答】解：'：a=b+2,

••ci-

-2ab+?=（a-Z?）2=22=4.

故答案为：4

【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键.

13.（3分）（2019•徐州）如图，矩形A3CD中，AC.BD交于点O,M.N分别为BC、0C

的中点.若MN=4,则AC的长为16

【考点】KX：三角形中位线定理；LB：矩形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据中位线的性质求出B0长度，再依据矩形的性质AC=BD=2B0进行求解

问题.

【解答】解：；加、N分别为8C、0c的中点，

：.BO=2MN=8.

:四边形ABC。是矩形，

：.AC=BD=2BO=16.

故答案为16.

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段

间的倍分关系.

14.（3分）（2019•徐州）如图，A、B、C、O为一个外角为40°的正多边形的顶点.若。

为正多边形的中心，则NOW=30°.

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】连接。8、OC,利用任意凸多边形的外角和均为360。，正多边形的每个外角相

等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可.

【解答】解：连接OB、OC,

D

7

KB

多边形的每个外角相等，且其和为360°,

据此可得多边形的边数为：塾二=9，

40

ZAOB=36Q°-40°,

ZAOD=40°X3=120°.

・•./OW=180。；/AOD=3O°.

故答案为：30°

【点评】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键.

15.（3分）（2019•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆

锥的底面圆的半径r=2c«i,扇形的圆心角6=120°,则该圆锥的母线长/为6cm.

【考点】MP：圆锥的计算.

【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得

圆锥的母线长.

【解答】解：圆锥的底面周长=2TTX2=4ITC",

设圆锥的母线长为凡贝1|：12071XR=4TT,

180

解得R=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面

周长；弧长公式为：亚二.

180

16.（3分）（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部8处的仰角为45°,测

得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62m,则该建筑的高度BC

为262m.

（参考数据：sinl7°心0.29,cosl7°«0.96,tanl7°心0.31）

B

DC

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】作于E,根据正切的定义求出AE,根据等腰直角三角形的性质求出BE,

结合图形计算即可.

【解答】解：作于E,

则四边形AOCE为矩形，

：.EC=AD=62,

在RtzMEC中，tan/EAC=段，

AE

则AE=——熨——七_§Z_=200,

tanZEAC0.31

在RtzXAEB中，/BAE=45°,

：.BE=AE=200,

ABC=200+62=262(m),

则该建筑的高度BC为262%

故答案为：262.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

17.（3分）（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点尸（2,2）,顶点为。（0,0）将该图

象向右平移，当它再次经过点尸时，所得抛物线的函数表达式为」三［（x-4）2.

2

【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H6：二次函数图象

与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】设原来的抛物线解析式为：利用待定系数法确定函数关系式；然后利

用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可.

【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y=/QW0）.

把P（2,2）代入，得2=4a,

解得

2

故原来的抛物线解析式是：

2

设平移后的抛物线解析式为：y=L（x-b）2.

2

把P（2,2）代入，得2=1（2-b）2.

2

解得b=0（舍去）或6=4.

所以平移后抛物线的解析式是：y=L（x-4）2.

2

故答案是：y=L（x-4）2.

2

【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标

特征.利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键.

18.（3分）（2019•徐州）函数y=x+l的图象与无轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x

轴上.若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有4个.

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KI：等腰三角形的判定.

【专题】533：一次函数及其应用；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】三角形48c的找法如下：①以点A为圆心，A8为半径作圆，与无轴交点即为

C；②以点8为圆心，AB为半径作圆，与无轴交点即为C；③作的中垂线与无轴的

交点即为C;

【解答】解以点A为圆心，AB为半径作圆，与无轴交点即为C；

以点B为圆心，为半径作圆，与无轴交点即为C；

作AB的中垂线与x轴的交点即为C；

故答案为4；

【点评】本题考查一次函数的图象上点的特征，等腰三角形的性质；掌握利用两圆一线

找等腰三角形的方法是解题的关键.

三、解答题（本大题共有10小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（10分）（2019•徐州）计算：

（1）71°-两（-1）一2-|一5|;

3

（2）X2-16^2X-8

x+44x

【考点】2C：实数的运算；6A：分式的乘除法；6E：零指数幕；6F：负整数指数幕.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】（1）先计算零指数累、算术平方根、负整数指数塞和绝对值，再计算加减可得;

（2）先化简各分式，再将除法转化为乘法，继而约分即可得.

【解答】解：（1）原式=1-3+9-5=2；

（2）原式=&+4）（x-4）+2（x-4）

x+44x

=（x-4）・

x-4

=2x.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的乘除运算顺序和运算法

贝lj.

20.（10分）（2019•徐州）（1）解方程：三2+l=^L

x-33-x

（2）解不等式组：乙

・2x+l》5x-5

【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组.

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）两边同时乘以尤-3,整理后可得x=上；

2

（2）不等式组的每个不等式解集为卜

[x<2

【解答】解：（1）三2+1=2,

x-33-x

两边同时乘以3,得

x-2+x-3=-2,

2

经检验X=旦是原方程的根；

2

,八百（3x>2x-2-rzp,fx>-2

（2）由I可得I,

12x+l>5x-51x42

，不等式的解为-2<xW2；

【点评】本题考查分式方程，不等式组的解；掌握分式方程和不等式组的解法是关键.

21.（7分）（2019•徐州）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均

标有数字.分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘.

（1）请将所有可能出现的结果填入下表：

乙1234

积

甲

1]234

22468

336912

（）积为的概率为工；积为偶数的概率为

29-2-,.

123

（3）从1〜12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为

3~'

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）计算所取两数的乘积即可得；

（2）找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得;

（3）利用概率公式计算可得.

【解答】解：（1）补全表格如下：

1234

11234

22468

336912

（2）由表知，共有12种等可能结果，其中积为9的有1种，积为偶数的有8种结果，

所以积为9的概率为工；积为偶数的概率为2=2,

12123

故答案为：2.

123

（3）从1〜12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的有5、7、

10、11这4种，

二此事件的概率为且=工，

123

故答案为：1.

3

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.（7分）（2019•徐州）某户居民2018年的电费支出情况（每2个月缴费1次）如图所示:

电要支出条形统计图电费支出分布扇形统计图

电斐（元）

0；-20n月5-6启7-8月9-10月指

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中“9-10月”对应扇形的圆心角度数；

（2）补全条形统计图.

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【专题】27：图表型；542：统计的应用；65：数据分析观念.

【分析】（1）从条形统计图中可得3-4月份电费240元，从扇形统计图中可知3-4月

份电费占全年的10%,可求全年的电费，进而求出9-10月份电费所占的百分比，然后

就能求出9-10月份对应扇形的圆心角的度数；

（2）全年的总电费减去其它月份的电费可求出7-8月份的电费金额，确定直条画多高,

再进行补全统计图.

【解答】解：（1）全年的总电费为：240・10%=2400元

9-10月份所占比：280+2400=1-,

，扇形统计图中“9-10月”对应扇形的圆心角度数为：360°X_Z_=42°

答：扇形统计图中“9-10月”对应扇形的圆心角度数是42°

（2）7-8月份的电费为：2400-300-240-350-280-330=900元,

补全的统计图如图：

电要支出条形统计图电费支出扇形统计图

电斐（元）

。；-20乜月5-6启7-8后9-10月;1一1指

【点评】考查条形统计图、扇形统计图的特点及反应数据的变化特征，两个统计图联系

在一起，可以发现数据之间关系，求出在某个统计图中缺少的数据.

23.（8分）（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABC。沿一条直线折叠，使点A与点C

重合，点。落在点G处，折痕为EE求证：

⑴ZECB=ZFCG；

（2）AEBC^AFGC.

Bc----------------------

【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到由折叠可得，ZA=ZECG,

即可得到/ECB=NPCG；

（2）依据平行四边形的性质，即可得出AD=BC,由折叠可得，ND=/G,

AD=CG,即可得到/B=/G,BC=CG,进而得出△EBCg△人?（7.

【解答】证明：（1）,••四边形ABCD是平行四边形，

ZA=ZBCD,

由折叠可得，ZA^ZECG,

：.ZBCD=ZECG,

，ZBCD-ZECF=/ECG-ZECF,

:./ECB=NFCG；

（2）•••四边形A8C£）是平行四边形,

；./D=/B,AD=BC,

由折叠可得，ZD=ZG,AD=CG,

:./B=/G,BC=CG,

又,：NECB=/FCG,

:.LEBC沿4FGCCASA）.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等；平行四边形的对

角相等；平行四边形的对角线互相平分.

24.（8分）（2019•徐州）如图，为。。的直径，C为O。上一点，。为黄的中点.过点

。作直线AC的垂线，垂足为E,连接OD

（1）求证：/A=NDOB；

（2）OE与OO有怎样的位置关系？请说明理由.

【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；MB：直线与

圆的位置关系.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】⑴连接OC,由。为前的中点，得到而=而，根据圆周角定理即可得到结论;

（2）根据平行线的判定定理得到AE〃OD,根据平行线的性质得到。于是得到

结论.

【解答】（1）证明：连接0C,

为黄的中点，

•1•CD=BD-

:./BCD=M/BOD,

,：ZBAC=1-J/BOC,

：.ZA^ZDOB；

（2）解：DE与。0相切,

理由：:/A=/DOB,

J.AE//OD,

\'DE±AE,

J.ODLDE,

...DE与O。相切.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练

掌握切线的判定定理是解题的关键.

25.（8分）（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30c7",宽20〃〃.在其四角各剪去

一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正

方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2?

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【专题】34：方程思想；523：一元二次方程及应用.

【分析】设剪去正方形的边长为双切，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30-2x）cm,

宽为（20-2x）cm,高为尤CMJ,根据长方体盒子的侧面积为200<7层，即可得出关于x的

一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【解答】解：设剪去正方形的边长为则做成无盖长方体盒子的底面长为（30-2尤）

cm,宽为（20-2尤）cm,高为

依题意，得：2义[（30-2x）+（20-2x）]x=200,

整理，得：2/-25x+50=0,

解得：XI——,X2=10.

2

当x=10时，20-2x=0,不合题意，舍去.

答：当剪去正方形的边长为昱机时，所得长方体盒子的侧面积为200"?.

2

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

26.（8分）（2019•徐州）【阅读理解】

用lOcmXZOon的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20c机的图案.已知长度为

10。%、20cm>30c»t的所有图案如下：

如图，将小方格的边长看作10c〃z,请在方格纸中画出长度为40c机的所有图案.

【归纳发现】

观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整.

图案的长度10c/n20cm30cm40c机5Qcm60cm

所有不同图案的个数1235813

【考点】N4：作图一应用与设计作图.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】根据已知条件作图可知40c机时，所有图案个数5个；猜想得到结论;

【解答】解：如图

根据作图可知40c时，所有图案个数5个

50。机时，所有图案个数8个；

60c机时，所有图案个数13个；

故答案为5,8,13；

【点评】本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解

题的关键.

27.（9分）（2019•徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十

字路口记作点A.甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出

发，沿北京路步行向东匀速直行.设出发无加力时，甲、乙两人与点A的距离分别为

y2m.已知yi、K与尤之间的函数关系如图②所示.

图①图②

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】11：计算题；33：函数思想.

【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象

交点列方程组求解；

(2)设甲、乙之间距离为d,由勾股定理可得/=(1200-240X)2+(80x)264000

(x-旦)2+144000,根据二次函数最值即可得出结论.

2

【解答】解：(1)设甲乙两人的速度分别为am!min，bm/min，则：

图①

1200-ax(0<x<5)

ax-1200(x>5)

y2=bx

由图②知：x=3.75或7.5时，”=>2,...[12°℃75a=3.75b,解得：[a=240

l7.5a-1200=7.5blb=80

答：甲的速度为2405/机i",乙的速度为80m/加沅.

(2)设甲、乙之间距离为d,

贝|J/=(1200-240x)2+(80无)2

=64000(x-2)2+144000,

2

/.当x=2时，/的最小值为144000,即d的最小值为120后；

2一

答：当x=2时，甲、乙两人之间的距离最短.

2

【点评】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发

现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力.

28.(11分)(2019•徐州)如图，平面直角坐标系中，。为原点，点A、8分别在y轴、x

轴的正半轴上.△AOB的两条外角平分线交于点尸，尸在反比例函数＞=旦的图象上.PA

x

的延长线交X轴于点C,PB的延长线交y轴于点。，连接CD

(1)求NP的度数及点P的坐标；

(2)求△OCD的面积；

(3)ZkAOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由.

【考点】GB：反比例函数综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)如图，作于M,PNLOB于N,PHLAB于H.利用全等三角形

的性质解决问题即可.

(2)设。4=mOB=b,则AM=AH=3-a,BN=BH=3-b,利用勾股定理求出a,b

之间的关系，求出0C,。。即可解决问题.

(3)设OA=a,OB=b,贝!JAAf=A”=3-a,BN=BH=3-b,可得A8=6-a-6,推

出。4+OB+A6=6,可得〃+。+{a2+匕2=6,利用基本不等式即可解决问题.

【解答】解：(1)如图，作PM_LQ4于PN10B于N,于

：.ZPMA=ZPHA=90°,

VZB4M=ZB4H,B4=B4,

(A4S),

:・PM=PH,NAPM=NAPH,

同理可证：ABPN咨ABPll,

:・PH=PN,NBPN=NBPH,

：.PM=PN,

VZPMO=ZMON=ZPNO=90°,

・・・四边形PMON是矩形，

：.ZMPN=90°,

：./APB=NAPH+/BPH=L(ZMPH+ZNPH)=45°,

2

,:PM=PN,

:・可以假设尸(m,m),

VP(m,m)在＞=与上，

加=29,

Vm>0,

：.P(3,3).

(2)设OA=mOB=b,贝！!AM=AH=3-〃，BN=BH=3-b,

.,.AB=6-a-b,

VAB2=OA2+OB2,

tz2+/?2=(6-a-b)2,

可得ab=6a+6b-18,

/.3a+3b-9=Lb,

2

,:PM〃03

ACO=OA>

**PMAM，

•••O—C一—，a,

33-a

；.oc=-包,同法可得O0=:北'，

3-a3-b

SACOD=OC・DO=—,-------------------=工------------=。-9ab——=%

22(3-a)(3-b)29-3a-3b+ab2_Xab+ab

解法二：证明△COPS2\PO£),得0c•。。=。尸2=18,可求△C。。的面积等于9.

(3)设OA=a,OB=b,贝UAM=AH=3-。，BN=BH=3-b,

・・A8=6~ci~hi

：.0AWB+AB=6,

,,a+b+«陵+匕2=6,

2虫嬴/2abW6,

•'•Vab^3(2-V2)，

・・・"W54-36我，

S^AOB—^abW27-18%，

.'.△AOB的面积的最大值为27-18A/2.

【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和

性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利

用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，tz*—=1(aWO),就说a(aWO)的倒数是工.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而。没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

3.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成aX10〃的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10n,其中lWa<10,

”为正整数

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数小

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

4.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果无3=“，那么无叫做。的立方根.记作：圾.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号。3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

7.同底数塞的乘法

（1）同底数幕的乘法法则：同底数哥相乘，底数不变，指数相加.

am*an=am+n（m,〃是正整数）

（2）推广：am-an-aP=am+n+P（机，n,p都是正整数）

在应用同底数募的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/.）3与（a2b2）

4,（x-y）2与（尤-y）3等；②。可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数哥的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

8.塞的乘方与积的乘方

（1）塞的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（am）n=amnUn,w是正整数）

注意：①塞的乘方的底数指的是塞的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（ab）附（”是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

9.完全平方公式

（1）完全平方公式：（。±匕）2=a2+2ab+b2.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的0,6可是单项式，也可以是多项式；②

对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

10.分式的乘除法

(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.

(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

(3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.

(4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式

的乘除运算，即“先乘方，再乘除”.

(5)规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行

因式分解，再约分.

②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的

顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序.

11.零指数嘉

零指数塞：a°=l(aWO)

由a"'+a"'=l,可推出/=1QW0)

注意：O°W1.

12.负整数指数事

负整数指数塞：aP^lapSO,p为正整数)

注意：①aWO；

②计算负整数指数累时，一定要根据负整数指数嘉的意义计算，避免出现(-3)-2=(-

3)X(-2)的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

13.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如小（a20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.4QNO）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

14.解一元二次方程-直接开平方法

形如/=。或（nx+7〃）2=p（p\o）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成*=p的形式，那么可得x=土丘；

如果方程能化成（MX+7"）'p（p20）的形式，那么土、/工

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

15.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为十位数是b,则这个两位数表示为106+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为X,则第一次增长后为。（1+尤）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数X（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用

相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方

程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹！J：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

16.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

17.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

18.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数尸质+b,（20,且公b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

K0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=fcc+b.

19.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的