2022-2023学年上海市黄浦区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市黄浦区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.圆。J/+y2—4尤—6y+12=0与圆。2：—8尤—6y+16=0的位置关系是

（）

A.相交B.外离C.内含D.内切

2.若｛斯｝是等差数列，则由下列关系确定的数列｛%｝也一定是等差数列的是（）

2

A.bn=B.bn=an+nC.bn=an+an+1D.bn=nan

3.己知等差数列的前n项和为却，且52=10,53=18,则过点P（n,an）和Q（n+

2,an+2）O€N,nN1）的直线的斜率是（）

A.1B.2C.3D.4

4.若函数/（x）=x-3也2光+asinx在（一8,+8）单调递增，贝ija的取值范围是（）

A.[-1,1]B.C.D.[-1,-^]

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.直线x—6=0与直线x—y+3=。的夹角为.

6.两直线口久+y-1=0与4x+ay—2=0平行，贝1Ja的值是.

7.双曲线C；捻-过点（C，O,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为.

8.双曲线C：1的右焦点F到其一条渐近线的距离为.

9.设直线y=a%+3与圆/+y2=4相交所得弦长为2-，则a=.

10.已知F2是椭圆C：卷+白1的两个焦点，点M在C上，则|叫|•|叫1的最大值为

11.已知无穷数列｛a“｝满足即+1=为正整数），且的=2,则£着心=.

12.在正项等比数列｛a"中，逞+2a6a8+若=100,则CI5+（19=.

13.调髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、

寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次

成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为

尺.

14.已知数列｛厮｝满足a】=1,an+1=2an+2（nGN*）,则与=.

15.已知在区间(0,1)上/'Q)>1.在下面所示的图象中，可能表示函数y=/(x)的图象的有

(填写所有可能的选项).

16.设a为实数,函数/O)=x3+ax2+(a-3)久的导函数为/'(%),且/'(x)是偶函数，则曲

线:y=在点(2,/(2))处的切线方程为

三、解答题(本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

2

已知数列｛an｝的前zi项和为Sn=33n-n.

(I)求证：数列｛a"是等差数列;

(II)求％的最大值及取得最大值时n的值.

18.(本小题10.0分)

已知函数/(久)=excosx—2x.

(1)求曲线y=/(久)在点(0/(0))处的切线方程;

(2)求函数f(x)在区间［0,刍上的最大值和最小值.

19.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线外=2px(p>0)上一点P的横坐标为4,且点P到F的距离为

5.

(1)求抛物线的方程；

(2)若斜率为1的直线Z交抛物线于4、B两点(位于对称轴异侧)，且瓦D=求直线I的方

4

程.

20.(本小题12.0分)

椭圆C的方程为/+3y2=4,4、8为椭圆的左右顶点，&、&为左右焦点，P为椭圆上的动

点.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若APF/z为直角三角形，求AP6F2的面积；

⑶若Q、R为椭圆上异于P的点，直线PQ、PR均与圆/=r2(0<r<1)相切,记直线PQ、

PR的斜率分别为自、卜2,是否存在位于第一象限的点P，使得卜亚2=1?若存在，求出点P的

坐标，若不存在，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

设函数y=f(久)是定义在［0,1］上的函数，若存在久°6(0,1),使得人久)在［0,久o］上是严格增函

数，在［与，1］上是严格减函数，则称为［0,1］上的单峰函数，出称为峰点，MH称为含峰区

间.

(1)判断下列函数中，哪些是“［0,1］上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：

《(久)=2久一久2,f2(x)=1—|4x-1|；

(2)若函数f(x)=2a(x+2>一%-1是区间［0,1］上的单峰函数，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：圆。1：久2+y2一4%一6y+12=0的标准方程为(x—2尸+(y—3尸=1,圆心。式2,3),

半径r=1,

圆。2：/+*_8%—6y+16=0的标准方程为(x-4)2+(y—3)2=9,圆心。2(4,3),半径R=

3,

两圆心之间的距离|。1。2|=4—2=2=R—r,

二两圆内切.

故选：D.

将圆的一般方程转化为标准方程，根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断.

本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆心距离和半径之间的关系是解决圆与圆位置关系

的主要依据.

2.【答案】C

【解析】解：••・｛•„｝是等差数列,

du—a^-1=d，

2

当an=?i时，bn=a^=n,数列｛6„｝不是等差数列，

22

bn=an+n=n+n,数列｛4J不是等差数列，

bn-6n=an+an+1-+an)=2d,故数列｛6n｝也一定是等差数列，

2

bn=nan=n,数列｛4J不是等差数列.

故选：C.

^Lan=n,可判定选项A、B、。的真假，然后利用等差数列的定义判定选项C即可.

本题主要考查了等差数列的判定，以及利用列举法判定真假，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设等差数列的公差为d,

a1+a2=1。HrtA

则3a2=18'即的=4’a?=6,,

—a2­a1=2,

a九=的+（九一1）x2=2九+2,

。71+2=271+6,

故过点P(n,册)和QO+2,a)(nGN,nN1)的直线的斜率是=^=2.

n+2"十，一nz

故选:B.

先求出公差，再结合直线斜率公式，即可求解.

本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题.求出/0)的导数，由

题意可得，(%)20恒成立，设力=cosx(-1WtW1),贝1|5-4产+3at20,对t讨论，分t=0,

0<t<l,-l<t<0,分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可求得所求范围

【解答】

解：函数/(%)=x--sin2x+的导数为：/'(%)=1—~cos2x+acosx,

由题意可得/'(%)>0恒成立，即1—|cos2x+acosx>0,

即|—gcos2%+acosx>0,

设t=cosx(—1<t<1),则5—4t2+3at>0,

当力=0时，不等式显然成立；

当0<t41时，3aZ4t——9令g(t)=4t——

由g(t)=4t—g(t)=4t—3在(0,1］单调递增，可得t=l时，取得最大值-1,

可得3a>-1,即a>

当—1Wt<0时，3a<4t——>

由g(t)=4t-*在［-1,0)单调递增，可得t=—1时，取得最小值1,

可得3a<1,即aJ

综上可得a的范围是［-另］.

另解：设t=cosx(—1<t<1),即5—4t2+3at>0,

由题意可得5—4+3aN。，且5—4—3a20,

解得a的范围是[―q勺.

故答案选：C.

5.【答案】450

【解析】解：由于直线力-6=0的斜率不存在，它的倾斜角为90。，

而直线x—y+3=0的斜率为1,倾斜角为45。，

故这两条直线的夹角为45。.

故答案为：45。.

由题意，根据直线的斜率求出倾斜角，再根据两直线的夹角的定义，得出结论.

本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角，属于基础题.

6.【答案】2

【解析】解：当a=0时，不符合题意，

当aH0时，两直线a%+y—1=0与4%+ay-2=0平行，

则3=工。解得。=2.

4a—2

故答案为：2.

根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查直线平行的性质，属于基础题.

7.【答案】/—[=1

【解析】解：因为双曲线离心率为2,所以c=2a,

所以=4a2=小+序，即/-3a2,

点代入双曲线方程得：今-^2=1，

解得小=1,从=3,

所以双曲线的标准方程为C：%2—9=L

故答案为：%2-=1.

根据离心率得出a,b的关系，代入点求解即可.

本题考查了双曲线的性质，属于中档题.

8.【答案】2

【解析】解：•••双曲线方程为号一＜=1，

24

•,•双曲线的右焦点F坐标为(，石,0),

渐近线为y=±Cx,即「x±y=0,

可得焦点尸到其渐近线的距离为d=-^==2.

故答案为：2.

由双曲线方程，算出右焦点F为(4%,0),渐近线为y=±/2x.由点到直线的距离公式加以计算,

结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离.

本题给出双曲线方程，求它的焦点F到渐近线的距离.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何

性质等知识，属于基础题.

9.［答案】士O

【解析】解:圆/+产=%

则圆心为。(0,0),半径r=2,

・・,直线y=ax+3与圆％2+y2=4相交所得弦长为2/3,

•••圆心。到直线y—CLX+3的距离d=4—x2A/3)2=1，

又圆心。(0,0)到直线y=ax+3的距禺为《崔+『

3__

.・•芹童=1,解得a=±C.

故答案为：±v~五.

根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解.

本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

10.【答案】9

【解析】解：&,尸2是椭圆C：9+”1的两个焦点，点M在C上，IMFJ+|“尸21=6,

所以IMF/•|MFz|W严"四2%=月当且仅当|Ma|=回?21=3时，取等号，

所以幽尻|•|MBI的最大值为9.

故答案为：9.

利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题.

11.【答案】4

-1

【解析】解：由数列｛&J满足。九+1=-an(nEN*),且g=1，

则数列｛5｝为以2为公比的等比数列，

由Q1=2,

则2谈心=—I=4,

1-2

故答案为：4.

由已知可得数列为以：为公比的等比数列，再结合无穷等比数列求和公式求解即可.

本题考查了无穷等比数列求和，属基础题.

12.【答案】10

【解析】解：在正项等比数列｛册｝中，aj+216a8+说=100,

,*,CL^CLQ—。5。9，

2

•••(a5+a9)=100,a5+a9>0,

解得as+a9=10,

故答案为：10.

根据等比数列的性质可得a6a8=a5a9,进而得出结论.

本题考查了等比数列的通项公式及其性质、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于

基础题.

13.【答案】6.5

【解析】解：设该等差数列为｛a",公差为d,

由题意可知，ci4=12.5,a12=4.5,

故8d=%_2~0-4=-8,解得d=-1,

a】o—a】2—2d—4.5+2=6.5,

所以立夏的日影子为6.5尺.

故答案为：6.5.

根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解.

本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

14.【答案】3x2n-1-2

【解析】解：an+1=2an+2(neJV*),

则%i+i+2=2(an+2),

因为%+2=3,

所以｛an+2｝是首项为3,公比为2的等比数列，

n-1

从而an+2=3x2t,故与=3x2"-2.

故答案为：3x2"-1一2.

先求出｛5+2｝是首项为3,公比为2的等比数列，即可求解.

本题主要考查数列数列的递推式，属于基础题.

15.【答案】(1)

【解析】解：依题意，在(0,1)上，y=/(久)切线的斜率始终大于1,

仅(1)满足.

故答案为：(1).

根据题意y=/(%)切线的斜率始终大于1,对比选项得到答案.

本题考查导函数与原函数之间的关系，考查函数的图象，属于基础题.

16.【答案】9x-y-16=0

【解析】解：1•1f(%)=%3+ax2+(a-3)x,

•••f，(x)—3x2+2ax+(a—3),

；尸(久)是偶函数,

•••3(-x)2+2a(—x)+(a—3)=3x2+2ax+(a—3),

解得a=0,

•••/(x)=x3-3x,/(%)=3x2—3,贝好(2)=2,k=f(2)=9,

即切点为(2,2),切线的斜率为9,

二切线方程为y—2=9(x—2),即9久一y—16=0.

故答案为：9%—y-16=0.

先由求导公式求出广(吗，根据偶函数的性质，可得((-无)=((乃，从而求出a的值，然后利用导

数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程.

本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于

中档题.

17.【答案】解：(I)证明：当nN2时，厮=Sn-Sn_i=34—2"，

又当几=1时，a1=S]=32=34-2x1满足％,=34-2n,

故｛an｝的通项公式为即=34-2n,

所以Gtn+i—an=34—2(71+1)—(34—2n)=-2,

故数列｛5｝是以32为首项，-2为公差的等差数列；

(II)an>0,即34-2n20,解得J1W17,

故数列｛5｝的前16项或前17项和最大，

此时a6=So=33X17-172=272.

【解析】(I)当n22时，an=Sn-Sn_±=34-2n,验证当n=l时也满足，于是可求得｛厮｝的

通项公式为厮=34-2n,利用等差数列的定义证明即可；

(II)令a”20可求得nW17,从而可得答案.

本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解:(1)因为/⑶=ICOSM—2x,

所以/''(%)=ex(cosx—sinx)—2,

r(o)=-i.

又因为/(0)=1,

所以曲线y=f(x)在点(0"(0))处的切线方程为y=-x+l.

(2)设九(x)=ex(cosx—sin%)—2,

则h'(x)=ex(cosx—sinx—sinx—cosx)=—2exsinx.

当xe［0,与时，h\x)<0,所以似x)在区间［0苧上单调递减.

所以对任意X6［0,3有九⑴</1(0)=-1,

即/(x)<0.

所以函数〃久)在区间［0,刍上单调递减.

因此f(x)在区间［。币上的最大值为f(0)=1,最小值为居)=-7T.

【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，切线方程的求法，是中档题.

(1)求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.

(2)设旗久)=e，(cosx-sinx)-2,利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值

即可.

19.【答案】解：(1)由题可知，点P到抛物线准线的距离为5,

•••抛物线的准线方程为x=-畀点P的横坐标为4,

''-4+^=5,解得p=2,

•,・抛物线的方程为y2=4x；

(2)根据题意可设直线/的方程为y=x+m,

联立『2_得/+(2m-4)久+m2=0,

设力(％1，%)，B(X2，y2)，则久1+冷=4-2m,尤1乂2=根2,

•1•=2AA-2/^=4V久1乂2=4|m|,

■■.OA-OB=xrx2+y/2=病+4|m|=*

解得|加|=I，此时都有/=(2m-4)2-4m2>0,

m=±2，.•.直线/的方程为y=%土

即2x-2y±l=0.

【解析】(1)根据题意建立关于p的等式，解出即可求得抛物线方程；

(2)设直线1的方程为y=乂+小，联立抛物线方程，将数量积瓦5.4用m表示，再由瓦丁加=7建

立方程，即可求解.

本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

22

20.【答案】解：（1）由椭圆C的方程为/+3f=4,得标准方程为a+9=1,

3

a=2.c=J4-）=禺，口率e=-=

733a3

（2）设|PFJ=m,|刊引=九,

当乙&。？2=5时，当=*+九2,...当=（7n+荏）2—2771九，77m=|,

此时；=|mn=|x|=p

SAPFIF2

由对称性，不妨设NPF/2=鄂寸，且P在第一象限，则P（亨,|），

此时；=；x亨乂|=亨，

△P卜仆22339

综上，APFiF2的面积为《或警.

（3）设P（%o，y（）），则直线PQ的方程为y-y（）=七（％-%0），

rx2

由已知华"争=--（0-r）kl-2x0y0fci+诏一产=0,

J1+居

2

同理：（%o一产）依一2%0y0fc2+yo-r=0,

2_2

222

因而ki，fc2>是方程（好—r）/c—2xoyok+—r=0的两根，所以自七=，一涔=1，

得或=正，由P在第一象限得P（l,l）,

・・・存在位于第一象限的点P,使得心的=1，点P的坐标为P（l,l）.

【解析】（1）由已知易求椭圆的离心率；

（2）分姆PF2=I，4PF#2=辆种情况可求△P&F2的面积;

（3）设P（%o，yo）,则直线PQ的方程为y