2023北京石景山高一（下）期末数学试卷含答案

2023北京石景山高一（下）期末

数学

本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效。考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.sin330=

A.WB6

c.1D.--

2222

2.已知正四棱锥的底面边长为2,高为6,则它的体积为

A.4B.8C.12D.24

3.在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为

A女B.胆

C.9兀D.10兀

109

5.已矢口函数/（犬）=cos?无一sin?x,贝!J

A./（尤）在上单调递减B./（尤）在上单调递增

26412

C.f（x）在（0,1）上单调递减D./（X）在上单调递增

6.平面向量。与，的夹角为60°,。=（2,0）,网=1,则|a+2.等于

A.百B.2石C.4D.12

7.要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2xTT-g的图象

A.向左平移？个单位B.向右平移？个单位

33

C.向左平移四个单位D.向右平移四个单位

66

8.在AABC中，内角A，B,C满足2sin3cosC=sinA,则AABC的形状为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形

9.在△ABC中,atanAtanB=l"是"sin?A+sin?3=1"的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.扇形AO3的半径为1,ZAQB=120°,点C在弧加上运动，OC=xOA+yOB,下列说法错误的是

A.x+y的最小值是1B.x+y的最大值是2

C.04.圆的取值范围为［—；,。］D.OCAB的取值范围为［-14］

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11.已知平面向量〃二（2,左），）=（3,2）,且a_L力，则实数左=.

12.若复数7二七2,贝1氏=_______，|z|=_______________.

1+1

13.已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为.

14.函数/（尤）=cos2x+sinx的值域是.

15.水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图,

一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心。距离水面3米.已知水

轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点耳）开始计p

时，经过，秒后，水车旋转到p点.

给出下列结论：（巴）

①在转动一圈内，点尸的高度在水面3米以上的持续时间为30秒；〈：卜J

②当f=［0,15］时，点P距水面的最大距离为6米；二二二二

③当7=10秒时，PR=6；

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题满分8分）

已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与尤轴的非负半轴重合，终边过点

(I)求sina,cos(jr-a)；

(II)若角夕满足tan(a-尸)=g,求tan(2a-分)的值.

17.（本小题满分8分）

己知向量。4=（2,1）,0B=（3,-2）,OC=（6-m,-3-m）.

（I）若点A,2,C共线，求实数加的值；

（II）若八45。为直角三角形，求实数加的值.

18.(本小题满分8分)

在AABC中，(2。-c)cosB=bcosC.

(I)求Nfi的大小；

(II)若Z?=J7，a+c=4,求△ABC的面积.

19.(本小题满分8分)

己知函数/(x)=sin(2x+(p)+cos2M时<攵，-1是/(x)的一一个零点.

(I)求。的值;

(II)当时，若曲线y=f(x)与直线丁=现有2个公共点，求加的取值范围.

63

20.(本小题满分8分)

371

如图，在四边形ABCD中，ZABC=—,ZBAC^ZDAC,CD=29=4.

4

再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题.

(I)求sinN54c的值；

(II)求NADC的大小.

①△ABC面积以ABC=2；

@sinZACB=—.

10

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计

分.

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.

题号12345678910

答案DBABCBCBAD

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.

题号1112131415

i3.VTo71①③

答案

-3-----F-1,-----~2

222o

三'解答题：本大题共5个小题，共40分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分8分）

解：（I）因为角a终边过点P（-

所以（-,f+（孚）2=1，

y2V5XV5

所以sinc=|^...........2分

5\OP\5

所以cos(7i-a)=-cosa..........4分（II）由（I）得:

sina右

tana=-------=-2

cosa

以tan(2a~/3)=tan[a+(a-£)]

tanc+tan(a-£)

l-tan«tan(a-^)

17.(本小题满分8分)

解：AB=OB-OA=(l,-3),AC=OC-OA=^-m,-A-m),

BC=OC—OB=(3—717,-1—m).

（I）因为点A,B,C共线，所以A3〃AC,

-3（4-〃z）=r（Y-〃z）,解得m=2；...........2分

（ID①若NA为直角则A3

/.4-m+3(4+m)=0,解得根二一8；4分②若々为直角则

ABLBC，

/.3-m+3(l+m)=0,解得利=—3；...........6分③若NC为直角则

AC±BC^

/.(4—m)(3—m)+(4+m)(l+m)=0,

方程无解.

综上，当m=—8或根=—3时，AA3C为直角三角形......8分

18.(本小题满分8分)

解：(I)在人钻。中，(2a-c)cosB=Z?cosC,

结合正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

2sinAcos5=sinBcosC+cosBsinC=sinA,

AG(0,^-),「.sinAwO,

1T[

:.cosB=—,:.B=—............4分

23

(II)若人=近，a+c=4,

由余弦定理/=/+/-2accosB得，ac=3,...........6分

S--acsmB=^^~............8分

24

19.(本小题满分8分)

解：(I)由题设/(—―)=sin(-—+(p)+cos(--)=0.

1266

所以sin(夕一巴)=一^^.

62

因为一二＜夕(二，所以一圆＜0一工〈二......2分

22363

所以⑺一^二一三.

所以9=_二......4分

6

兀

(II)由(I)/(x)=sin(2x——)+cos2x

6

=——sm2x+—cos2x

22

71

=sin(2x+—)............5分

r-1—I、[兀兀t、I7U—7U5兀

因为一一W九W一，所以一一W2x+—W—.

63666

于是，当且仅当2X+E=T，即犬=e时，/（X）取得最大值1；

当且仅当2犬+己=-看，即--弓时，/(X)取得最小值-：.

X2%+—=—,即x=?时，/(—)=sin—=—............7分

663362

所以加的取值范围是［1/)............8分

2

20.(本小题满分8分)

解：选①(I)SAABC=~ABxBCxsinZABC=2

得BC=2亚............1分

又AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC得AC=26............2分

SA=—ACxABxsinABAC=2

所以sin/BAC=4^............4分

5

(II)因为=所以sinZDAC=sinN3AC=¥.

CDAC1

在aADC中---------=---------解得sin/ADC=—............6分

sinZDACsinZADC2

又因为ACxsinZZMC=2vCDvA。

所以满足这样的三角形有两解.

所以/仞。=工或包...