高一下学期期末复习填空题压轴题二十三大题型专练（原卷版）

20232024学年高一下学期期末复习填空题压轴题二十三大题型专练【人教A版（2019）】题型1题型1向量线性运算的几何应用1．（2223高一下·天津·期末）已知点O是△ABC内部一点，并且满足OA+2OB+OC=0,△AOB的面积为S12．（2223高一下·山东菏泽·期末）在△ABC中，点O是线段BC上的点，且满足OC=3OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且AB=mAE，AC=nAF，其中m>0且3．（2324高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=2DC，过点D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F交两点不重合）.若AE=λAB，AF=μAC4．（2324高一下·浙江金华·期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点，且MNAM=5−12，若QN=题型2题型2向量的数量积问题5．（2223高一下·云南楚雄·期末）已知△ABC外接圆的圆心为O,P是△ABC边上一动点，若CA=2,CB=7,A=π3，则6．（2223高一下·北京昌平·期末）已知正三角形ABC的边长为2，点P满足AP=12AB+AC，则7．（2223高一下·陕西榆林·期末）如图，直径AB=2的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，∠ADC=60∘，线段AC上有动点P，则DP⋅

8．（2223高一下·黑龙江·期末）已知AB⊥AC，AB=1t，AC=t，t∈14,4；若P题型3题型3向量的夹角（夹角的余弦值）问题9．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）若非零向量a,b满足2a=b=2,a10．（2223高一下·上海宝山·期末）已知向量a=5,5，b=λ,1，若a+b与11．（2223高一下·黑龙江双鸭山·期末）若e1，e2是两个单位向量，且e1在e2上的投影向量为13e212．（2223高一下·湖北武汉·期末）已知矩形ABCD的边长满足BC=3AB，点P满足AP=12AB+题型4题型4平面向量基本定理的应用13．（2223高一下·北京平谷·期末）已知三角形ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，若ED=λAB+3λAC14．（2223高一上·江苏无锡·期末）如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且DF>FB,若AF=xAE+yDC15．（2223高一下·宁夏石嘴山·期末）已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP=16BA+16．（2223高一下·河南·阶段练习）在△ABC中，G满足GA+GB+GC=0，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若AM=mAB(m>0)题型5题型5向量坐标运算的几何应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（2223高一上·江苏宿迁·期末）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=2．若点E为边CD上的动点，则AE⋅BE的最小值为

18．（2223高一下·辽宁鞍山·期末）在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得AP=2，AM=13AD，过M点作MN∥AB交BC于N点，若MN上存在一动点E，CD上存在一动点F，使得PE⋅PF19．（2223高一下·四川达州·期末）如图，D是等边△OBC内的动点，四边形OADC是平行四边形，OA=OD=1．当OA

20．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是AB的中点，P为线段DC上的动点，则AP⋅DM的取值范围是；延长DC至D′，使DC=CD′，若T为线段CD′题型6题型6用向量解决夹角、线段的长度问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（2223高一下·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，M是BC的中点，AN=23AC，设AM与BN

22．（2223高一下·湖南永州·期末）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达B地，由B地向南东30°方向骑行了6km到达C地，从C地向北偏东60°骑行了23km到达D地，则km．23．（2223高一下·湖南怀化·期末）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=π3，AC和BC边上的两条中线BM，AN相交于点P，则∠MPN的余弦值为24．（2324高一下·四川内江·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC的点，且AE=λAB，AF=μAC，其中λ,μ∈0,1且λ+2μ=1，若线段EF、BC的中点分别为题型7题型7向量与几何最值（范围）问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（2223高二下·广东汕尾·期末）如图，在△ABC中，点D在线段AB上，且AD=13AB，E是CD的中点，延长AE交BC于点H，点P为直线AH上一动点（不含点A），且AP=λAB+μAC（λ,μ∈R）．若AB=4

26．（2223高一下·浙江金华·期末）已知非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC⋅BC=0，且AB−AC=2227．（2223高二下·浙江宁波·期末）已知平面向量a，b，cii=1,2满足a=2b=2a28．（2223高三上·山东德州·期末）已知正方形ABCD，边长为2，动点P自点A出发沿ABCDA运动，动点Q自点A出发沿ADCBA运动，且动点P的速度是动点Q的2倍，若二者同时出发，且P到达A时停止，另一个点Q也停止，则该过程中AP⋅AQ的最大值是题型8题型8三角形（四边形）的面积问题

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平面向量线性运算的坐标表示29．（2223高一下·云南·期末）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，点D为BC边三等分点（靠近C）.若a=33,AD=3，∠BAC=2π30．（2223高一下·湖北·期末）已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF=90°，∠EDF=30°，则S△DEFS△ABC31．（2223高三上·甘肃兰州·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，3bcosA−acosC=ccosA，点D在线段BC上，2BD=DC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，32．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB=2,DA⋅DC=6,∠ABC=2π3,∠ACB=π题型9题型9求三角形中的边长或周长的最值或范围

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平面向量线性运算的坐标表示33．（2223高二下·湖南长沙·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，B=π3，b=23，若△ABC有且仅有一个解，则a−c34．（2024高三·全国·专题练习）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若acosC−12c=b，且a=135．（2223高一下·辽宁鞍山·期末）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=λcλ∈R，a2−b236．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2−b2−c2sinC题型10题型10复数的模的几何意义

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平面向量线性运算的坐标表示37．（2223高一下·辽宁·期末）已知复数z满足z−2i=1，则z−1−i38．（2223高一下·宁夏吴忠·期末）已知z∈C，在复平面内z对应的点为Z,Γ为满足2≤z<5的点Z的集合所对应的图形，则Γ39．（2223高一下·上海浦东新·期末）如果复数z满足z−3+i=2，那么z+1+i40．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知复数w=3+3i,z=λw，其中λ∈0,1题型11题型11根据复数的四则运算结果求复数特征

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平面向量线性运算的坐标表示41．（2223高三上·陕西铜川·期末）已知复数z满足zi=(1+2i)42．（2223高一下·江西萍乡·期末）已知i是虚数单位，若复数z满足z+iz−i=1−i43．（2223高一下·北京昌平·期末）已知复数z1=−2+i,z44．（2223高一下·北京西城·期末）已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为3,−4，则5z为题型12题型12空间几何体的截面问题

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平面向量线性运算的坐标表示45．（2223高一下·宁夏银川·期末）已知在球O的内接长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=346．（2223高二上·上海静安·期末）在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是正方形ABCD、正方形BB47．（2324高二上·江西吉安·阶段练习）如图正三棱锥A−BCD底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为AC，AD上的动点，则截面△BEF周长的最小值.48．（2324高二下·江西宜春·阶段练习）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是题型13题型13几何体与球的切、接问题

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平面向量线性运算的坐标表示49．（2223高一下·江西赣州·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，AB=2，∠ACB=π2，将△APC沿PC所在直线进行翻折，得到三棱锥A1−PBC，当

50．（2324高三上·江苏·期末）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2，且51．（2223高一下·广西玉林·期末）如图，四边形ABCD为菱形，AB=a,∠BAD=π3，现将△ABD沿直线BD翻折，得到三棱锥A′−BCD，若A′

52．（2223高一下·云南红河·期末）现有一个高为2的三棱锥P−ABC被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台ABC−A1B1C1．已知AB=2，题型14题型14空间中的点共线、点（线）共面问题

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平面向量线性运算的坐标表示53．（2223高一下·安徽宣城·期末）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，O是B1D1①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1不共面；③A，M，C，O共面；④B，B1，O，其中正确结论的序号为．54．（2024高二·全国·专题练习）如图所示．ABCD−A1B1C1D1是正方体，O是①A、M、O三点共线；

②A、M、O、A1③A、M、C、O共面；

④B、B1、O、M其中正确的序号为．55．（2324高一·全国·课后作业）如图，A,B,C,D为不共面的四点，E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.（1）如果EH∩FG=P，那么点P在直线上；（2）如果EF∩GH=Q，那么点Q在直线上.56．（2324高一下·江苏南通·阶段练习）给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确的有．(填序号)题型15题型15平行与垂直关系的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示57．（2223高一下·北京平谷·期末）已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C

①对任意点Q，总有AC⊥DQ；②存在点Q，使得DQ//平面AC③三棱锥Q−AB则所给推断中正确的是．58．（2223高一下·北京怀柔·期末）在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=2，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将△BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥P−ACFE，如图所示，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是．

①△PEC不可能为等腰三角形；②AC//平面PEF；③当E为AB中点时，三棱锥A−PCE体积的最大值为13④存在点E，P，使得PD⊥AE．59．（2223高一下·北京房山·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，点A折起后的位置记为点A1，得到四棱锥A1−BCDE，M①恒有A1D⊥A1E；

③三棱锥A1−DEM的体积的最大值为212；

④存在某个位置，使得平面A其中所有正确结论的序号是.60．（2324高三上·江西抚州·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1①FM与BC1所成角为②BM⊥平面CC③存在点E，使得平面BEF//平面C④三棱锥B−CFE的体积为定值.题型16题型16空间角的求解

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平面向量线性运算的坐标表示61．（2223高一下·云南玉溪·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为B1C1，C1D．

62．（2223高一下·山西·期末）在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，三棱锥P−ABC外接球的表面积为16π，则二面角P−BC−A正切值的最小值为63．（2223高一下·江苏盐城·期末）已知如图（1）ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=90°，点E在CD上，BF=13BD=3，AB=2，BD⊥AE，现将△ADE沿AE折成如图（2）△APE位置，使得二面角P−AE−C的大小为π3

64．（2223高二上·北京·期中）如图，四棱锥S−ABCD中，底面是边长为2的正方形，△SCD是等边三角形，平面SCD⊥平面ABCD,M,N,P分别为棱BC,CD,DA的中点，Q为△SCD及其内部的动点，满足PQ//平面AMS①直线SA与平面ABCD所成角为45°；②二面角S−AB−N的余弦值为27③点Q到平面AMS的距离为定值；④线段NQ长度的取值范围是1其中所有正确结论的序号是.题型17题型17点、线、面的距离问题

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平面向量线性运算的坐标表示65．（2324高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，沿AE,EF,AF把这个正方形折成一个四面体使B,C,D三点重合，重合后的点记为G.则在四面体A−EFG中，点G到平面AEF的距离为.

66．（2223高一下·新疆昌吉·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱BC，CC1，BB1的中点，则①直线EF到平面A1ADD1的距离为2；②直线AE与直线67．（2223高二下·安徽安庆·期末）某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1分别交于点68．（2223高二下·重庆·期末）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；

②4；

③5；

④6；

⑤7以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）题型18题型18统计图的综合应用问题

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平面向量线性运算的坐标表示69．（2223高一下·宁夏·阶段练习）为了解某企业员工对习近平新时代中国特色社会主义思想的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已如他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占35，则下列结论中，错误的结论是

①男、女员工得分在A区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C区间的员工最多；④得分在D区间的员工占总人数的20%．70．（2324高二上·陕西榆林·阶段练习）为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35，则下列结论中，正确结论的个数是①男、女员工得分在A区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C区间的员工最多；④得分在D区间的员工占总人数的20%.71．（2223高二·全国·课后作业）图1为某省某年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省当年1～4月份快递业务收入统计图．根据对以上统计图的理解，有下列四个说法：①当年1～4月份快递业务量，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件；②当年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关；③从两图中看，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致；④从1～4月份来看，快递业务量与快递业务收入有波动，但整体保持高速增长．其中，正确的说法为．（写出所有满足条件的说法序号）72．（2024·吉林·模拟预测）中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家．下面是2016年至2021年中国滑雪场新增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号是．①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多题型19题型19众数、平均数、中位数、方差的计算及应用

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平面向量线性运算的坐标表示73．（2223高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法：①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87；②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4；③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4；④德国发表论文数量约占美国的32%．其中正确的是．（填序号）74．（2324高一上·山西阳泉·期末）气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有．75．（2223高一下·新疆伊犁·期末）某校教师男女人数之比为5:4，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为．76．（2223高一下·天津河东·期末）数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；

乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；

丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.题型20题型20统计综合

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平面向量线性运算的坐标表示77．（2223高三上·河北·期末）土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施．中国现有耕地有近15受到不同程度的污染，但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省（区、市）．如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的第80分位数是，若图中未列出的其它20个省（区、市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为

78．（2223高三上·河北邯郸·期末）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是.79．（2324高三上·上海宝山·期末）在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xii=1，2，3，4，①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x=④若x=80．（2324高二上·上海·期末）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的序号为.（写出全部正确的序号）①中位数为90，平均数为89；②极差为30，方差为58；③70百分位数为92；④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小.题型21题型21古典概型及其应用

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平面向量线性运算的坐标表示81．（2223高一下·黑龙江哈尔滨·期末）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么没有相邻的两个人站起来的概率为.82．（2223高一下·河北承德·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a,b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为奇数，则a+b>5的概率为.9a7bcd4e583．（2223高二下·山东烟台·期中）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算过第n关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为，若直接挑战第4关，则过关的概率为84．（2223高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，n(n>2，n∈N∗)的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为k(k=1,2,3,⋅⋅⋅,n)的袋中有k个红球，n−k个白球.当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为；现随机从n个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为9题型22题型22互斥事件、相互独立事件的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示85．（2324高二上·吉林·阶段练习）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为．

86．（2223高三下·海南海口·期中）给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则PX=3=

87．（2223高三下·上海闵行·阶段练习）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中