2.1等式性质与不等式性质　课件高一上学期数学人教A版

第二章

一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质明确目标发展素养1.梳理等式的性质．2．理解不等式的概念．3．研究不等式的性质.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.知识点一实数的大小比较的基本事实(一)教材梳理填空1．文字叙述：

如果a－b是

，那么a＞b；如果a－b

，那么a＝b；如果a－b是

，那么a＜b.反过来也对．2．符号表示： a－b＞0⇔a

b；a－b＝0⇔a

b；a－b＜0⇔a

b.正数等于0负数＞＝＜[微思考]

x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见，你能想个办法比较x2＋1与2x的大小关系吗？提示：作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x.(二)基本知能小试1．判断正误：(1)任意两个实数都能比较大小．

()(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0. ()(3)实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2. ()(4)不等式a2＋b2≥2ab中的a，b可以是任意实数．

()答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是

(

)答案：D2．不等式性质：性质别名性质内容注意1对称性a＞b⇔

______可逆2传递性a＞b，b＞c⇒

______

不可逆3可加性a＞b⇔

___________

可逆4可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bcc的符号a＞b，c＜0⇒_______

5同向可加性a＞b，c＞d⇒

___________同向6同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒

_______同向7可乘方性a＞b＞0⇒

(n∈N，n≥2)同正b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＜bca＋c＞b＋dac＞bdan＞bn(二)基本知能小试1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是

(

)A．a>b>－b>－a

B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a.法二：(特殊值法)设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.答案：C题型一用不等式(组)表示不等关系

【学透用活】不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“＞”“＜”“≠”“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．[典例1]用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．[方法技巧]1．用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数．(2)适当设未知数表示变量．(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式(组)的形式．2．用不等式表示不等关系的注意点(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．

【对点练清】1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？题型二比较实数(式子)的大小

【学透用活】[典例2]已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]

3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.[方法技巧]比较两个实数(或式子)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差．(2)变形：对差进行变形．(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．(4)得出结论．提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差的符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．

【对点练清】1．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．[方法技巧]利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

[方法技巧](1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则．方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现．方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦．方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂．[方法技巧]利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．

【对点练清】1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是

(

)A．ab>bc

B．ac>bcC．ab>ac D．a|b|>|b|c解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.答案：C

2．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________．解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.答案：－4＜x－y＜2

1＜3x＋2y＜18二、应用性——强调学以致用2．有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元、z元．依题意，有z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．①若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)．当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z.当