专题3.3导数与函数的极值最值-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第三章导数及其应用专题3.3导数与函数的极值、最值1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．考点一利用导数求解函数的极值问题考点二利用导数求函数最值（不含参问题）考点三利用导数求函数最值（含参问题）知识梳理1．函数的极值(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有①f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点．(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0.(3)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义域，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．第一部分核心典例题型一利用导数求解函数的极值问题1．若函数在处取得极值，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】因为，所以，又函数在处取得极值，所以，即．此时，当或时，，当时，，故是的极大值点，故符合题意．故选：D．2．已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【详解】函数，，函数有极大值和极小值，所以其导函数有两个不同的解，所以或.故选：B3．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】的定义域为，令其分子为，在区间上有两个零点，故，解得，故选：B.4．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）A．在上为减函数 B．在处取极小值C．在上为减函数 D．在处取极大值【答案】C【详解】由导函数图象知，在和上单增，在，上单减，在处取极大值，在处取极小值.故选：C.5．已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为在区间内恰好有3个零点，4个极值点，结合函数图象可得：，解得，的取值范围是.故选：A.题型二利用导数求函数最值（不含参问题）6．函数在区间上的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，.当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以，.故选：C.7．函数在上的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】C【详解】因为，所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以当时，函数值为0，当时，函数值为，所以其最小值为0.故选：C.8．函数在上的最值是（

）A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是【答案】A【详解】因为，所以，由有：或，由有：，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值是4，最小值是，故B，C，D错误.故选：A.9．函数的最小值为（

）A． B． C．5 D．6【答案】D【详解】根据题意，有于是从而x06因此所求函数的最小值为6．故选：D.10．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，当时，，故，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，显然，综上：只有D选项满足要求.故选：D题型三利用导数求函数最值（含参问题）11．函数在上的最大值为4，则的值为（

）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【详解】解：∵，∴∴导数在时，，单调递减；导数在时，，单调递增；∵，，∴在处取得最大值为，即，故选：D.12．已知数列满足，若数列的最小项为1，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】数列，令，，由，解得，此时函数单调递增；由，解得，此时函数单调递减．对于来说，最小值只能是或中的最小值．，∴最小，∴，解得．故选：B．13．若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令,,①当,时，，则,则函数在上单调递增，时，，所以,则函数在上单调递减；②当时，,，所以,则函数在上单调递增，当时，，所以,则函数在上单调递减．故当且时，在时递减；在时递增，则为的极小值点，且为最小值点，且最小值.又函数有两个零点，所以方程有两个不相等的实根，而，所以且，解得,故选：A.14．已知函数在上存在最小值，则函数的零点个数为（

）A．0 B．1个C．2个 D．无法确定【答案】C【详解】，当时即时，在上恒成立，此时为上的增函数，故不存在最小值.当时即时，在上有两个不同的零点，当时，；当时，，故在上为增函数，在为减函数，当时，，当时，，故当时，存在最小值，此时有两个不同的零点故选：C.y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（

）A．时，y是偶函数 B．模型函数的图象是中心对称图形C．若，均是正数，则y有最大值 D．苹果树负载量的最小值是【答案】C【详解】因为的定义域为，不关于原点对称，故A不正确；模型函数的图象也不可能是中心对称图象，故B不正确；，则或，若，，均是正数，则，令，则；令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，y有最大值，故C正确；，若，则，函数在上单调递增，所以，苹果树负载量的最小值不是，故D不正确.故选：C.第二部分课堂达标一、单选题1．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（

）A．在处取得极大值 B．是函数的极值点C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减【答案】C【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，故是函数的极小值点，无极大值.故选：C2．函数的极值点为（

）A．和 B．和 C． D．【答案】C【详解】因为，则，由题意可得，解得或，令，可得或，列表如下：x00+减极小值增增因此，函数的极值点为.故选：C.3．已知函数的导函数则的极值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由得，，，或时，，不是极值点，或时，，时，，因此都是极值点．极点点有2个．故选：C．4．函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故.故选：D.5．函数在上的最小值为（

）A． B． C．0 D．【答案】B【详解】因为，所以，当时，，即在时单调递增，当时，，即在时单调递减，则在时取得极小值，也是最小值，故.故选：B6．某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【详解】设每个月该工厂的利润为，则（），求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取得最大值，所以该工厂每个月的利润的最大值为元．故选：C7．设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．8．如图，正方形的中心与正方形的中心重合，正方形的面积为2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥(A，B，C，D四点重合于点M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】取正方形中心为，连接交于点，正方形的面积为2，故正方形的边长为，，设，则，所得的棱锥侧面的高，故棱锥的高为，四棱锥体积为，令，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，体积最大，此时，，由勾股定理可得，点到边长的距离，，∴阴影部分面积.故选：A．二、多选题9．已知函数，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．曲线在处的切线过原点 D．函数的导函数存在最大值1【答案】AD【详解】函数，定义域为，，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值，故A正确，B错误；已知，，则曲线在处的切线为，切线不过原点，故C错误；因为，当时，有最大值1，故D正确.故选：AD．10．已知函数，.下列结论正确的是（

）A．函数不存在最大值，也不存在最小值 B．函数存在极大值和极小值C．函数有且只有1个零点 D．函数的极小值就是的最小值【答案】BCD【详解】，则，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，且，，如图，所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选：BCD.三、填空题11．已知的两个极值点分别为，2，则函数在区间上的最大值为．【答案】/【详解】，因为的两个极值点分别为，2，所以，所以，所以，，令，解得：或；令，解得：.所以在和上单调递增，在上单调递减，所以，2是的两个极值点，则，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为.故答案为：.12．如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意的都有成立，那么为函数的一个“线性覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“线性覆盖函数”，则实数的取值范围．【答案】【详解】由题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，从而得对任意的恒成立，设，，则，，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故答案为:.四、解答题13．已知函数在时取得极大值4.(1)求实数a，b的值；(2)求函数在区间上的最值.【详解】（1），由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.14．喀什二中拟在高二年段举行手工制作书柜比赛，现有一边长为的正方形硬纸板，纸板的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方柜，(1)试把方柜的容积表示为的函数？(2)多大时，方柜的容积最大？并求最大容积．【详解】（1），又，解得，故关于的函数为，；（2），令，解得（舍去）或，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故时，方柜的容积最大，最大容积为.15．（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围；（2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围.【详解】（1）对于恒成立，令，，只需即可，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极小值，也是最小值，所以，故，实数的取值范围是；（2），故在R上恒成立，即在R上恒成立，令，只需，则，当时，，单调递增，当时，，单调