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22五月20241第三节高阶导数

第二章三、一些常见函数的高阶导数公式二、高阶导数的定义一、基本求导法则与导数公式复习四、高阶导数的运算法则（DerivativeofHigherOrder）五、本章小结与思考题22五月20242一、基本求导法则与导数公式复习1.常数和基本初等函数的导数22五月202432.函数的和、差、积、商的求导法则(C为常数)3.反函数的求导法则单调可导,则4.复合函数求导法则5.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数22五月20244求解:例1（习题2－27（9））例2设求（补充题）（解答见下页）22五月20245求解:例2

设22五月20246求解:关键:

搞清复合函数结构由外向内逐层求导例322五月20247二、高阶导数的定义（DefinitionofHigherDerivatives）速度即加速度即引例：变速直线运动22五月20248若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称定义22五月20249三、一些常见函数的高阶导数的求法例1

设求解：1.直接法求高阶导数就是多次接连地求导数.例2

求的n阶导数.解：22五月202410解2.数学归纳法证明高阶导数例3

设求22五月202411求解:

一般地,类似可证:例4

设22五月202412例5

设求解若为自然数，则22五月202413解:例6

设（补充题）22五月202414都有n

阶导数,则(C为常数)及设函数四、高阶导数的运算法则莱布尼兹(Leibniz)公式22五月202415用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.22五月202416求解:

设则代入莱布尼兹公式,得例722五月202417内容小结1.复习基本求导法则与导数公式(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式2.高阶导数的求法如,(4)利用莱布尼兹公式22五月202418思考与练习1.

如何求下列函数的

n

阶导数?解:22五月202419（2）提示:解:22五月202420求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数2.

设22五月202421则提示:各项均含因子(x–2)(2)已知任意阶可导,且时提示:则当3.

（填空题）（1）设22五月202422导出解：同样可求4.

试从（习题

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