积分中值定理在数学分析中的应用说明

陕西理工学院毕业论文PAGE第6页共10页题目积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名学号专业班级指导教师学校郧阳师范高等专科学校湖北省十堰市邮编：442000

积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文[摘要]本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.[关键词]积分;中值;定理;应用1引言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2预备知识定理2.1[1](积分第一中值定理)若在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得.证明由于在区间[a,b]上连续,因此存在最大值和最小值.由,使用积分不等式性质得到,或.再由连续函数的介值性,至少存在一点,使得定理2.2[1](推广的积分第一中值定理)若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得证明推广的第一中值积分定理不妨设在上则在上有其中,分别为在上的最小值和最大值,则有若,则由上式知,从而对上任何一点,定理都成立.若则由上式得则在上至少存在一点,使得即显然,当时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.在使用积分中值定理时要注意以下几点：在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件,否则,结论不一定成立.例如,显然在处间断.由于但在上,,所以,对任何都不能使.(2)定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉.例如令由于,但所以,不存在,使(3)定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必须是的内点.例如令,则对都有,这也说明了未必在区间的内点.下面就就其应用进行讨论.3.1求函数在一个区间上的平均值例1试求在上的平均值.解平均值3.2估计定积分的值例2估计的值.解由推广的积分第一中值定理,得其中因为所以即故例3估计的值.解因为在上连续,且,,所以由积分第一中值定理有.在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯.3.3求含有定积分的极限例4求极限QUOTElimn→∞为自然数.解利用中值定理,得因为在上连续,由积分中值定理得当时,,而||.故QUOTElimn→∞=QUOTElim=0.例5求.解若直接用中值定理=,因为而不能严格断定,其症结在于没有排除,故采取下列措施=+QUOTE.其中为任意小的正数.对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有.=,.而第二个积分=,由于得任意性知其课任意小.所以=+=0.注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量的趋近方式.3.4证明不等式例6证明.证明估计连续函数的积分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,则.因为,所以.例7证明证明估计积分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,则.本题中令.因为所以.3.5证明函数的单调性例8设函数在上连续,,试证:在内,若为非减函数,则为非增函数.证明,对上式求导,得利用积分中值定理,得,若为非减函数,则,所以,故为非减函数.综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219.[2]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.92-95.[3]刘鸿基.数学分析习题讲义[M].江苏:中国矿业大学出版社,1999.85-92.[4]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释[M].西安:西安交通大学出版社,2004.311-313.[5]吴炯圻.数学专业英语[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009.285-309.[6]W.Rmdin,PrincipleofMathematicalAnalysis（Secondedition）,McGraw-Hill,NewYork,1964.96-102.MeanValueTheoreminMathematicalAnalysisAbstract:Thispaperdescribesthemeanvaluetheoreminmathematicalanalysisapplicationnoteandafewofthemajorapplications.Theseapplicationsaremainly:1.Demandfunctioninanintervalontheaverage;2.Theestimatedvalueofdefiniteintegral;3.Ordertocontainthelimitsofdefiniteintegrals;4.Defineintegralofsymbol;5.Proofoftheexistenceofth