人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第12讲 5.3.1函数的单调性（原卷版）

第03讲5.3.1函数的单调性课程标准学习目标①理解导数与函数的单调性的关系。②掌握利用导数判断函数单调性的方法。③能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。④会利用导数证明一些简单的不等式问题。⑤掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内可导，(1)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调递增函数；(2)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调递减函数；(3)若恒有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是常数函数．注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可导SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是常数函数【即学即练1】（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）如图所示是函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象，则下列判断中正确的是（

）

A．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数B．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数C．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数D．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数【答案】A【详解】对于选项A：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故A正确；对于选项B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故B错误；对于选项C：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故C错误；对于选项D：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故D错误；故选：A.知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间①求SKIPIF1<0的定义域②求SKIPIF1<0③令SKIPIF1<0，解不等式，求单调增区间④令SKIPIF1<0，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）不跟等号.【即学即练2】（2023下·四川资阳·高二统考期末）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，故B，C，D错误.故选：A.知识点03：由函数SKIPIF1<0的单调性求参数的取值范围的方法1、已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调①已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立.②已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调区间①已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调增区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0有解②已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调减区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0有解3、已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0有变号零点【即学即练3】（2023上·新疆·高三校联考期中）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【即学即练4】（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0存在单调递减区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，依题意，不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，则SKIPIF1<0，所以实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．知识点04：含参问题讨论单调性第一步：求SKIPIF1<0的定义域第二步：求SKIPIF1<0（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0进行求导得到SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0初步处理（如通分），提出SKIPIF1<0的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为SKIPIF1<0的有效部分（如：SKIPIF1<0，则记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定SKIPIF1<0的正负.第四步：确定导函数有效部分SKIPIF1<0的类型：①SKIPIF1<0为一次型（或可化为一次型）②SKIPIF1<0为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论SKIPIF1<0的单调性题型01求函数的单调区间【典例1】（2022下·湖北·高二统考期末）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（多选）（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）函数SKIPIF1<0的一个单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】（2023·高二课时练习）已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象如图，则下列结论正确的是（

）

A．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增B．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减C．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增D．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增【典例2】（2022下·广东深圳·高二统考期末）设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0的图象最有可能的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图像如图所示，则函数SKIPIF1<0（

）A．在SKIPIF1<0上单调递增 B．在SKIPIF1<0上单调递减C．在SKIPIF1<0上单调递增 D．在SKIPIF1<0上单调递减【变式2】（2022·湖南·校联考二模）设函数SKIPIF1<0在定义域内可导，SKIPIF1<0的图象如图所示，则其导函数SKIPIF1<0的图象可能是（

）

A． B．C． D．题型03已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调，求参数【典例1】（2023上·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，则实数SKIPIF1<0的最大值为．【典例2】（2023·海南·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则a的取值范围是．【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0具有单调性，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则实数a的取值范围是．【变式2】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．题型04已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调区间，求参数【典例1】（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有单调递增区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【典例2】（2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在单调递增区间，则SKIPIF1<0的取值范围是.【变式1】（2023下·广西·高二校联考期中）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在单调递减区间，则a的取值范围为．题型05已知函数SKIPIF1<0在的单调区间为（是）SKIPIF1<0，求参数【典例1】（2023下·高二课时练习）已知函数SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型06已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调，求参数【典例1】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在其定义域的一个子区间SKIPIF1<0内不是单调函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不是单调函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2022·全国·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内不单调，则实数a的取值范围是．【变式2】（2022下·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是.题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型)【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的极值；(2)求函数SKIPIF1<0的单调区间.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．求函数SKIPIF1<0的单调区间．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0的单调性．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．讨论函数SKIPIF1<0的单调性．题型08含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解)【典例1】（2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，求a的值；(2)若SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0的单调性．【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.求函数SKIPIF1<0的单调区间；【典例3】（2023上·甘肃庆阳·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调递增区间.【变式1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【变式2】（2023上·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调递减区间.题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数，讨论函数SKIPIF1<0的单调性．【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0.讨论SKIPIF1<0的单调性．【变式1】（2022·甘肃临夏·统考一模）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0．讨论当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调性．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023上·高二课时练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0,SKIPIF1<02．（2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数SKIPIF1<0​的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0​和SKIPIF1<0​C．SKIPIF1<0​D．SKIPIF1<0​3．（2021上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象如图所示，那么函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0（

）A．在SKIPIF1<0上单调递增 B．在SKIPIF1<0上单调递减C．在SKIPIF1<0上单调递增 D．在SKIPIF1<0上单调递减4．（2022上·河南安阳·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022上·四川成都·高三统考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递增函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内存在单调递减区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023下·河北唐山·高二校联考期中）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2021上·广东梅州·高二统考期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是单调函数，其导函数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命题中，正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；三、填空题10．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则实数a的取值范围是．11．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调，则实数a的取值范围是.四、解答题13．（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；14．（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性.B能力提升1．（2022上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）若对任意的SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0