考研数学一(常微分方程)模拟试卷15(题后含答案及解析)

考研数学一（常微分方程）模拟试卷15(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．微分方程①=cosy+x，③y2dx一(y2+2xy一y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是()A．①。B．②。C．③。D．①②③均不是。正确答案：C解析：可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程。对于方程③，将其变形为将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程。故应选C。知识模块：常微分方程2．已知微分方程y”一4y’+4y=0，函数C，C2xe2x(C1，C2为任意常数)为()A．方程的通解。B．方程的特解。C．非方程的解。D．是解，但不是通解也不是特解。正确答案：D解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f”(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y”一4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选D。知识模块：常微分方程3．设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为()A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)。C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]。D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。正确答案：D解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为所对应齐次方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1—C2或C1+C2+C3=1，故选D。知识模块：常微分方程4．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex，则该微分方程为()A．y”‘一y”一y’+y=0。B．y”‘+y”一y’一y=0。C．y”‘一6y”+11y’一6y=0。D．y”‘一2y”一y’+2y=0。正确答案：B解析：由三个特解的形式知λ1，2，3=一1，一1，1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根，即(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1。因此微分方程形式为y”‘+y”一y’一y=0，应选B。知识模块：常微分方程5．如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为()A．y=eos2x+2。B．y=cos2x+1。C．y=2cosx。D．y=2cos2x。正确答案：D解析：因为y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解。将其代入微分方程，得一2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。则原微分方程为y’+2tan2x．y=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得=一2tan2xdx，等式两边积分，得=一2∫tan2xdx，即ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是得y=Ccos2x。由y(0)=2，得C=2．故所求特解为y=2cos2x。知识模块：常微分方程6．设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y”+Py’+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则极限=()A．B．C．D．正确答案：B解析：在微分方程y”+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y”(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由已知条件y(0)=y’(0)=0，得y”(0)=3。则由等价无穷小代换及洛必达法则故选B。知识模块：常微分方程7．方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式为()。A．y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x。B．y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。C．y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。D．y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。正确答案：D解析：原方程对应的齐次微分方程y”‘+2y”=0的特征方程为λ3+2λ2=0。其特征根为λ=λ=0，λ=一2，因此方程y”‘+2y”=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c)，方程y”‘+2y”=xe-2x特解的形式为xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选D。知识模块：常微分方程填空题8．设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________。正确答案：y”一2y’+2y=0解析：由y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对戈求一阶、二阶导数，得y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx—C2sinx)，y”=2ex(C1cosx—C2sinx)，联立上述三式消去C1，C2，得y”一2y’+2y=0。知识模块：常微分方程9．微分方程y”一y’一2y=e2x的通解为一___________。正确答案：y=C1e-x+C2e2x+e2x，其中C1，C2为任意常数解析：对应齐次方程的特征方程为λ2一λ一2=0，特征根为λ1=一1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一个单根，故令特解为y*=Axe2x，代入原方程得A=。则通解为y=C1e-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2为任意常数。知识模块：常微分方程10．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=___________。正确答案：e-xsinx解析：由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为y=e-∫1dx[∫e-xcosx．e∫1dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x(sinx+C)，由y(0)=0，得C=0，故所求特解为y=e-xsinx。知识模块：常微分方程11．微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________。正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为λ2—2λ+2=0，特征根为λ1，2=1±i，故对应的齐次方程的通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)。由于α=1不是特征根，可设特解形式为y*=Aex，代入原方程可得A=1。故原方程的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数。知识模块：常微分方程12．设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________。正确答案：解析：由△y=+α(其中α是当△x→0时的无穷小量)，得y’==0，由一阶线性微分方程的通解公式得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=。知识模块：常微分方程13．设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=___________。正确答案：(e2—1)解析：经计算得，微分方程y”一4y’+4y=0的通解为y=(C+C2x)e2x。且由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。于是∫01y(x)dx=(e2一1)。知识模块：常微分方程14．方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的通解是___________。正确答案：y2+1=C(x2一1)，C为任意常数解析：此为可分离变量的微分方程，由题干可得(y2+1)xdx+(1一x2)ydy=0，分离变量得所以通解为y2+1=C(x2一1)，C为任意常数。知识模块：常微分方程15．微分方程yy”+(y’)2=0满足条件y(0)=1，y’(0)=的解是___________。正确答案：y2=x+1解析：原微分方程可以变形为(yy’)’=0，两边同时积分可得yy’=C1，此为可分离变量的微分方程。分离变量得ydy=C1dx，两边同时积分得y2=C1x+C2，代入初值条件y(0)=1，y’(0)=。所以满足初值条件的解是y2=x+1。知识模块：常微分方程16．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=___________。正确答案：(x+C)cosx，C为任意常数解析：此一阶线性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e-∫tanxdx[∫cosxe∫tanxdxdx+C]=cosx[∫cosx+C]=(x+C)cosx，C为任意常数。知识模块：常微分方程17．设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。正确答案：2e2x—ex解析：因∫02xf()dt=2∫0xf(t)dt，所以f(x)=∫02xf()dt+ex可化为f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，两边求导数得f’(x)一f(x)=ex，解此一阶微分方程得f(x)=[∫ex．e∫—2dxdx+C]e-∫—2dx=(一e-x+C)e2x=Ce2x—ex。因为f(0)=1，所以有f(0)=C一1=1，即C=2，于是f(x)=2e2x—ex。知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．设单位质点在水平面内做直线运动，初速度v｜t=0=v0。已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时，此质点的速度为，并求到此时刻该质点所经过的路程。正确答案：设该单位质点的速度为v，则加速度为v’。根据题意可知，该质点受到的阻力F=一v(负号表示阻力的方向与运动方向相反)。由牛顿第二定律F=ma可得一v=v’，结合初值条件v｜t=0=v0。解此方程，得v=v0e-t。由v0e-t=解得，t=ln3。到此时刻该质点所经过的路程s=∫0ln3v0e-tdt=v0。涉及知识点：常微分方程19．已知y1=xex+e2x，y2=xex一e-x，y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。正确答案：因y1，y3线性无关，则y3一y1=e-x为对应齐次方程的解，那么y2+e-x=xex为非齐次解，而y0—xex=e2x为齐次解。则齐次方程的特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ2一λ一2=0。故齐次方程为y”一y一2y=0。设所求的二阶线性非齐次方程为y”一y’一2y=f(x)。将y=xex，y’=ex+xex及y”=2ex+xex代入该方程得f(x)=ex(1—2x)。故所求方程为y”一y’一2y=ex(1—2x)。涉及知识点：常微分方程20．求解二阶微分方程满足初始条件的特解正确答案：令u==uu’，则原方程化为ucosy．u’+u2siny=u。当u=0，y=c不符合初始条件，舍去。当u≠0时，得到u’+utany=，解为u=e-∫tanydy[e∫tanydydy+C]=cosy(C+tany)，y’=cosy(C+tany)，由y(一1)=，得C=0。因此y’=siny。解方程=siny得ln｜cscy—coty｜=x+C2，由y(一1)=，则所求微分方程满足初始条件的解为涉及知识点：常微分方程21．设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。正确答案：令x一t=u，则∫0xtf(x一t)dt=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，所以有∫0xf(t)dt=x+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，在等式两端求导得f(x)=1+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)，即f(x)=1+∫0xf(u)du，等式两端再次求导f’(x)=f(x)。解此微分方程得f(x)=Cex。又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=ex。涉及知识点：常微分方程22．设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程；(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。正确答案：(Ⅰ)由反函数求导法则，将以上两式代入所给微分方程得y”一y=sinx。(Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2一1=0，特征根为λ1，2=±1。由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y*=Acosx+Bsinx，并将y*，(y*)’及(y*)”代入y”一y=sinx，得A=0，B=一。则非齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x一sinx。又由y(0)=0，y’(0)=，可得C1=1，C2=一1。则所求特解为y=ex一e-x一sinx。涉及知识点：常微分方程23．设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足=e2xz，求f(u)。正确答案：由复合函数求导法则，=f’(u)excosy。故=f”(u)e2xsin2y+f’(u)exsiny，=f”(u)e2xcos2y—f’(u)exsiny。代入原方程，得f”(u)e2x=e2xf(u)，即有f”(u)一f(u)=0，其特征方程为λ2—1=0，特征根为λ1，2=±1，因此其通解为f(u)=C1eu+C2eu，其中C1，C2为任意常数。涉及知识点：常微分方程24．设有连接两点A(0，1)与B(1，0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点。已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方，求曲线方程。正确答案：如图8—1，设曲线方程为y=f(x)，则弦AP的方程为由一阶线性微分方程通解公式，得f(x)==Cx一6x2+1。由f(1)=0，得C=5，因此所求曲线方程为f(x)=一6x2+5x+1。涉及知识点：常微分方程25．求微分方程xy”+3y’=0的通解。正确答案：令y’=p，则y”==0。解得p=C1+C2)其中C1，C2为任意常数。涉及知识点：常微分方程26．设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设