2022-2023学年河南省开封市五校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省开封市五校联考高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z1=—1+3i,Z2=a+b，3（a,beR）且Zi=Z2，其中i为虚数单位，贝防。=（）

A.0B.—3C.一2D.——

2.在连续六次数学考试中，甲、乙两名同学的考试成绩情况如图，则（）

A.甲同学最高分与最低分的差距低于30分B.乙同学的成绩一直在上升

C.乙同学六次考试成绩的平均分高于120分D.甲同学六次考试成绩的方差低于乙同

学

3.已知向量1=（1,1）,3=（-2,1），则向量柱与石夹角的余弦值为（）

ABc3^^D

'io'_io'io,io-

4.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶

,假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（）

A31C1

4-B.4-3-D,

5.在△ABC中，内角B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2/2b=4,A=£则此三角

o

形（）

A.无解B.有一解C.有两解D.解的个数不确定

6.如图，在正方体力BCD-4/1GA中，E为棱AG的靠近A上

的三等分点，设力E与BBiDi。的交点为。，贝式）

A.三点A，0,B共线，且。8=2。。1

B.三点％,0,B共线，且。B=3O£»i

C.三点七,0,B不共线，且。B=20Di

D.三点A，0,B不共线，且。8=30。1

7.如图，48是底部不可到达的一座建筑物，a为建筑物的最高

点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C,D,B在同一直线

上,在C,D两点用测角仪器测得4点的仰角分别是45。和75。,CD=

10,则建筑物力B的高度为（）

A.5^0+5

B5（y~s+B）

C.5<3

D5G+5

--2-

8.已知落3是不共线的两个向量，团=2,a-b^4V-3,若VtGR,\b-ta\>2）贝1

的最小值为（）

A.2B.4C.2cD.4AT3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.一组数据3,6,8,a,5,9的平均数为6,则对此组数据下列说法正确的是（）

A.极差为6B.中位数为5C.众数为5D.方差为4

10.a,£是两个平面，m,几是两条直线，下列四个命题中正确的命题是（）

A.如果巾_Lri,m1a,n//P，那么a1。

B.如果m1a,n//a,那么m1n

C.如果a〃6,mua,那么

D.如果zn〃n,a〃£,那么ni与a所成的角和?i与£所成的角相等

11.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2

张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A.2张卡片都不是红色B.2张卡片恰有一张蓝色

C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色

12.已知圆锥S。的母线长为2门，力B为底面圆。的一条直径,4B=4.用一平行于底面的平面

截圆锥S。，得到截面圆的圆心为。「设圆。1的半径为r,点P为圆01上的一个动点，贝!］（）

A.圆锥S。的体积为詈

B.P。的最小值为殍

C.若r=l,则圆锥SO1与圆台。1。的体积之比为1：8

D.若。为圆台。1。的外接球球心，则圆。1的面积为禁

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.甲、乙两组共200人，现采取分层随机抽样的方法抽取40人的样本进行问卷调查，若样

本中有16人来自甲组，则乙组的人数为.

14.在△ABC中，AB=C,BC=H/ABC=90。,将△ABC绕直线旋转一周，所形成

的几何体的表面积为.

15.如图，在正三棱柱4BC-A/iG中，力为==2,则直

线与直线BiC所成角的正切值为.A(^/\＞，C

16.如图，在RtAAOC中，AO=C0=3,圆。为单位圆.

(1)若点P在圆。上，AA0P=60°,贝.\\

(2)若点P在与圆。的公共部分的,圆弧上运动，则与.正的Z

取值范围为.(―0c

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知m6R,复数z—m2—m—6+(m2—11m+24)i(i是虚数单位).

(1)若z是纯虚数，求rn的值；

(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.

18.(本小题12.0分)

如图1,四边形2BCD是边长为2的正方形，将AaCD沿力C折叠，使点D至I」达点E的位置(如图2),

且EB=

(1)求证：AC1EB；

(2)求二面角E-B的大小.

图1也

19.(本小题12.0分)

某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后

可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将

他们按所打分数分成以下几组：第一组［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),第四组［60,80),

第五组［80,100］,得到频率分布直方图如图所示.

(1)估计所打分数的众数，平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之

后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.

20.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC-a/iG中，441平面48C,AA8C是等边三角形，D,E,F分别是

棱B1G，AC,BC的中点.

(1)证明：4D〃平面

(2)若244］=3AB=3,求三棱锥4-QDE的体积.

AE

21.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角4B,C的对边分别是a,b,c,点D在BC边上，4。是角平分线，sin2C+

sin2B+sinC-sinB=sin271,且44BC的面积为

(1)求a的大小及布.前的值；

(2)若c=4,求8。的长.

22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P—ZBCD中，底面48CD是矩形，P4=4D=4,4B=2.M是棱PD上一点，

且CM=2y/~l,AM1平面PCD.

(1)证明：平面P4B1平面4BCD；

(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】D

3

【解析】解：Zi=—1+31,z2=a+bi=a—bi,z1=z?，

则忙：匚;解得a=—l,b=-3,

故6a=(—3尸=一/

故选：D.

根据已知条件，结合复数相等的条件，求出a,b,即可求解.

本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：对于4由图可知，甲同学在第四次考试取得最高分，大约为140分，在二次考试取

得最低分，大约为105分，140-105=35分，故A错误；

对于B,乙同学的成绩在第二、三、四次考试呈下降趋势.故8错误；

对于C,由图可知，乙同学只有第一次考试成绩低于120分，且非常接近120分，第六次考试成绩

明显高于120分，所以其平均分高于120分，故C正确；

对于D,由图可知，甲同学的成绩波动明显大于乙同学，

所以甲同学的考试成绩方差大于乙同学.故。错误.

故选：C.

根据统计图中的信息，逐个分析各个选项即可.

本题主要考查了统计图的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：­•-a=(1,1),K=(一2,1)，

/―、a-b-1<10

••・cos<a,b>=一-=-p=—鼻

|a||b|V^x<510

故选：B.

根据向量方了的坐标即可求出心3，|初和131的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos<

a,b>的值.

本题考查了向量坐标的数量积运算,根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式,

考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：假设两种玩偶分别记为4B,则买3个盲盒，所有的情况为A44BBB,AAB,ABA,

BAA,BBA,BAB,ABB,共八种，

则他集齐2种玩偶的概率为］=p

o4

故选：A.

根据列举法列出所有情况，再根据古典概型概率公式，计算即可.

本题考查古典概型概率公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由。=2。,6=4,4=也

结合正弦定理可得第=就,

O

可得sinB=<I9

2V2L

又2s.<4,即有4<B,

而力为锐角，所以B有两解，

故三角形有两解.

故选：C.

由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得结论.

本题考查三角形的正弦定理和应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：如图:

连接ADi，BCI,

利用公理2可直接证得,

1

并且由心£7/48且DiE=^AB,

1

•••。。1=§8。，

0,8三点共线，

且。B=30D「

故选：B.

连接4。1，Be1利用公理2可直接证得，并且由AM〃/1B可得1：2,从而求出结果；

本题考查了三点共线问题，也考查了逻辑推理能力与空间想象能力的应用问题，是综合性题目.

7.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，Z.BDA=75°,NBCA=45。，CD=10,^CDA=180°-75°=105°,

/.CAD=45°-15°=30°,

_ATrnAC10____

由正弦定理可得SE105。=石方，即sin(45°+60°)=T'--AC=5(<7+

DVDo1/tDU'，2

RtAABC中，AB=AC-s讥45°=5(「+AT6)x浮=5(1+V-3).

故建筑物的高度为：5+5门.

故选：A.

根据题意求解“D4,^CAD,进而利用正弦定理求得2C,进而求得AE,最后根据AB=ACsin45°,

求得答案.

本题主要考查了解三角形中的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，完成了边角问题的互化，

属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由|另一1初22，得(3-1五>？*

即|B.3+12]初224，|/2—4t2+8y/~3t+4,

-4t2++4=-4(t-+16<16,且对VteR,|另一t五|N2成立,

|b|2>16.可得|另|的最小值为4.

故选：B.

把矶22两边平方，可得|3|2>-4产+81孔+4,利用配方法求出不等式右侧的最大值,

即可求解|3|的最小值.

本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查化归与转化思想，是中档题.

9.【答案】ACD

故极差为：9—3=6,故A正确；

由中位数=与=5.5,故B错误；

由众数为5,故C正确；

2

由S2=j[(3-6)+(8—6)2+(5—6)2+(9—6)2]=4,故。正确.

故选：ACD.

分别根据平均数，极差，中位数以及众数，方差的定义判断即可.

本题考查了平均数，极差，中位数以及众数，方差的定义，是基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：如果zn1n,m1a,n〃。，不能得出a10,故A错误；

如果?i〃a,则存在直线Iua,使7i〃b由zn1a,可得m12,那么m1几故8正确；

如果</〃8，mca,那么ni与£无公共点，则山〃0.故C正确

如果n?〃n,a//p,那么zn,n与a所成的角和m,n与0所成的角均相等.故。正确；

故选：BCD.

根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案.

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档.

11.【答案】ABD

【解析】解：从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：两张都为红色，两张都为绿色，两张

都为蓝色，1张红色1张绿色，1张红色1张蓝色，1张绿色1张蓝色，共6种，

2张卡片至少有一张红色包含2张卡片都为红色，二者并非互斥事件，故C错误，42。正确.

故选：ABD.

根据已知条件，结合互斥事件与对立事件的定义，即可求解.

本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由圆锥S。的母线长为2，飞MB为底面圆。的一条直径，4B=4.用一平行于底面的平

面截圆锥SO,得到截面圆的圆心为0「

底面圆的半径为2,可得圆锥的高S。=4.

对于4选项：匕0=:兀x2?x4=等，所以A正确；

J"33

对于B选项：已知POi=r,设点P在底面的投影为匕，则AP=4—2r,

22222

所以。。2=PrP+P10=(4-2r)+r=5(r-1)+y>y,所以8正确；

对于C选项：当r=l时，S01-2,所以％01=3兀xI?x2=手

又％。=±1X22x4=写，所以*=正上*=1：7,所以C错误；

v

33V。］。Vso-sor

对于。选项：若点。是圆台01。的外接球球心，则由P02=(4—27)2+产=。42=4,解得r

所以5=兀产=禁，所以。正确.

故选：ABD.

求解体积判断4的正误；P0「,设点P在底面的投影为P「求解P。的最小值判断B的正误；求

解体积的比值，判断C的正误；求解圆a的面积，判断。的正误.

本题考查旋转体的应用，外接球的表面积以及几何体的体积的求法，是中档题.

13.【答案】120

【解析】解：甲、乙两组共200人，样本中有16人来自甲组,

则乙组的人数为竺段x200=120.

4U

故答案为：120.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

14.【答案】(3+3<7)TT

【解析】解：根据题意，在AABC中，AB=C,BC=C/ABC=90。,将AABC绕直线BC旋

转一周，

得到的几何体为底面半径为C，高为「的圆锥，

其表面积S=TtC-AT6+兀(C)2=(3/7+3)71.

故答案为：(3+3，攵)兀.

根据题意，分析可得所得的几何体为底面半径为，有，高为门的圆锥，由圆锥的表面积公式计算

可得答案.

本题考查圆锥的表面积计算，涉及旋转体的概念，属于基础题.

15.【答案】A/-3

【解析】解：连接BCi交4C于。点，作F点为&G的中点，连接。F,

则与4C所成的角等于OF与4C所成的角，

在AOBiF中，B、F=C,OB\=C,OF=C.

所以NBiOF=ptanzBiOF=C.

故答案为：Q

连接BCi交BiC于。点，作F点为的中点，连接OF,贝与所成的角等于OF与B】C所成的

角，通过求解三角形，推出结果即可.

本题考查异面直线所成角的求法，是中档题.

16.【答案】［1-34,一2］

【解析】解：（1）在AAOP中，A0=3,OP=1,^AOP=60°,AP=OP-OA，

贝加衲=J（OP-OX）2=JOP2+OA2-2OA-OP=Jl+9-2x3xlx,=「'

即4P=C；

（2）法一：PA-PC=（PO+OA）-（PO+OC）=~P0i+PO-（OA+OC）+OA-OC=1+PO-（OA+

OC）=1+\PO\\OA+OC\cos（PO,OA+OC）=1+3<lcos（PO,OA+OC）,

^^J（PO,0A+OC）G［一兀，一%］，所以cos（方,U1+云〉£［-1,一?］，

故两•近的取值范围为[1-3AT2,-2].

法二：以。为原点，。4所在直线为y轴，。。所在直线为x轴建立坐标系,

设P(cosO,s讥6),8£[0苧,4(0,3),C(3,0),

所以刀=(—cos。,3—sinB),PC=(3—cos3,—sinO^

则而•PC=cosO^cosd—3)+sinO(sinO-3)=cos20+sin20—3cos9—3sin3=1—3(cos6+

sin。)=1—3V-2sin(0+7),

4

・••8e[0,刍，则e+[e白青，二克11(。+力€学,1],1-3^sin(e+5e[1--2],

即同.正e[1-3<1,-2].

故答案为：(1)0；(2)[1-3/2—2].

⑴根据|万|=J(加-瓦?)2结合的运算律即可求出4P；

(2)法一：根据西•正=(而+U1).(而+沅)=1+3/攵cos〈丽,瓦？+云〉，结合余弦函数的

性质即可得解

法二：以。为原点，。2所在直线为y轴，。。所在直线为久轴建立坐标系，设P(cos8,s讥。),8£[0,刍，

再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解:(1)因为z是纯虚数，

rm2.6o解得加=_2；

km2-11m+24。0

(2)在复平面内z对应的点为(血2—m—6,m2—11m+24),

由题意可得K―北一6；0,尸：2t2解得-2<m<3,

W-11m+24>01巾>8或爪<3,

故小的取值范围是(—2,3).

【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题.

18.【答案】(1)证明：在图1中连接8。交2C于。，则

所以在图2中，E014C,BO1AC,因为E。，B。为平面BOE

中的两条相交直线，

所以4C1平面BOE,BEc^-^BOE,所以ACJ.BE.

(2)解：由(1)可知，NEOB为二面角E—AC—B的平面角，

在AEOB中，EO=BO=V_2,EB=y/~6,

由余弦定理，得COSNEOB=6=_；,因为04/EOB《兀,

ZXVZXV2L

所以NEOB=:，所以二面角E-AC-B的大小为手

【解析】(1)连接BD交4C于。，得到4C1BD,推出E0_L4C,BOLAC,证明4C_L平面BOE,即

可证明AC1BE；

(2)说明NEOB为二面角E-AC-B的平面角，通过求解三角形推出结果即可.

本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题.

19.【答案】解：(1)由直方图可知,所打分值［60,100］的频率为0.0175X20+0.0150x20=0.65,

所以人数为100X0.65=65(人)，

答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人.

(2)由直方图知，第二、三组的频率分布为0.1和0.2,

则第二、三组人数分布为10人和20人，

所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2,

则第二组有2人，记为4B；第三组人数有4人，记为a,b,c,d,

从中随机抽取2人的所有情况：AB,Aa,Ab,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,

共15种,

其中，两人来自不同组的情况有：Xa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,共8种，

所以两人来自不同组的概率为*

答：行风监督员来自不同组的概率为全.

【解析】(1)由直方图可知，求出分值在［60,100］的频率，根据总人数为100,即可得出答案.

(2)由直方图知第二组和第三组的人数之比为1：2,利用列举法求出6人中抽取2人的基本事件个数,

再利用古典概型的概率计算公式，即可得出答案.

本题考查频率分布直方图的应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

20.【答案】解：⑴证明：连接BD,由E,F分别是棱力C,BC的中点，可得EF〃力B,

EFC平面4BD,贝!|EF〃平面力BD；

又。是棱4G的中点，可得BF//DJ,且8尸=

可得四边形8FGD为平行四边形，即有C/〃BD,

而6尸仁平面贝(16尸//平面力BD,

由面面平行的判定定理可得平面QEF〃平面力BD,

而2Du平面2BD,可得4D〃平面G£T；

(2)连接C。，由E为4C中点，可得'三棱锥4-CiDE=,三棱锥C-QDE='三棱锥E-CCiD，

由题意，2A41=328=3,则SACQD=余

作EG18c于G,贝UEG1面881GC,且EG=—,即三棱锥E-CG。的高为近，

44

13

以

所

展=XX-

棱--

锥

一4-DE38

B,

【解析】(1)先证明平面ABD〃平面再由面面平行的性质定理可得AD〃平面QEF；

(2)由线面垂直的性质和等积法，结合棱锥的体积公式，计算可得所求值.

本题考查空间中线面平行的判定和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属

于中档题.

21.【答案】解：(1)sin2c+sin2B+sinC-sinB-sin2/l,

由正弦定理知，c2+b2+be=a2,

即炉+c2—a2=一儿,

由余弦定理知cosA=电2卫=-L

2bc2

又/E(0,7T),，A=

S^ABC~\besinA==2yT~3,

・•・b=2,

・•・AB•AC—bccosA=—4;

(2)过。作。E,OF分别垂直于/B,AC,如图所示,

•.TD为4BAC角平分线，•••DE=DF,

11

•••SAABD=^\AB\-\DE\,SLACD