2022-2023学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={x[—3<x<1},B={x||x|>2],则()

A.Ar\B={x\—3<x<—2}B.4UQRB={x|—2<x<1]

C.ACyB={x\—3<x<—2]D.XUCRB={x|—3<x<2]

2.已知a,B,C,。四点在平面a内，且任意三点都不共线，点P在a外，且满足丽+丽—

3CP+zDP=0,贝吻=()

A.0B.1C.2D.3

3.3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有()

A.36种B.48种C.72种D.120种

4.某射手每次射击击中目标的概率是0.6,且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次

恰有18次击中目标的概率为（）

A.0.618x0.412B.C瑞Q.618x0.412

C.C^O.418X0.612D.C瑞0.618

5.若a>0,b>0,则a+626的一个充分条件是（）

A.7=16B.ab=9C.a2+b2=4D.工+：=1

bab

6.已知集合2={a,b,c,d,e},B={1,2,3）,f：A-B为从4到B的函数,且f（%）=1有两个

不同的实数根，则这样的函数个数为（）

A.50B.60C.70D.80

7.已知a=2.57,b=y/~e+l,c=1.110,则（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

8.已知/（x）是定义在［-1,1］上的增函数，且/（x）的图象关于点（0,1）对称，则关于％的不等式

/（%2—乃+/（2—2%）+久2-3%<0的解集为（）

A.（1,2）B.4,|］C.（1,|］D.（1,话里］

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某市两万名高三学生数学期末统考成绩（满分150分）近似服从正态分布N（96,256）,则下

列说法正确的是（）

(附:若随机变量X服从正态分布N(〃,02),则P(4—〃+=0,6827,P^-2o<X<

林+2cr)«0.9545,PQi—3a<X<[i+3cr)«0.9973.)

A.该次成绩高于144分的学生约有27人

B.任取该市一名高三学生，其成绩低于80分的概率约为0.023

C.若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分

D.试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.60

10.已知(X+1)(%—2)4=劭+a6+a2/+。3久3+则()

A.a1=—16

B.a】+Q，2+—2

C.a】+u，2+—1

D.|<2QI+|a1|+|a2|+|ci31+la]+|etc；|=64

11.在平行六面体2BCD-4/心。1中，/.DAB=^AB=^ArAD==3,AB

AD=2,则()

A.BD1平面ZiACCiB.+AB=AD+AA1

C.ACr=y/~T7D.点4到平面ABC。的距离为V%

11一—

12.已知随机事件4,B满足P(4)=5，P(B)=*P(*B)=P(4|B)，贝M)

A.p(4B)=2P(AB)B.PQ4B)=PQ4)P(B)

-11

c.P(A]B)=^D.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知随机变量的概率分布如下：

012

111

P

442

则孑的方差为.

14.已知/+及+2t-3>0”为假命题，则实数t的取值范围是

15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=.

①f(x)是偶函数；

@f(x+y)</,(%)+/,(»;

③对Vm,n6(-oo,0],且加力九，?")<。，

16.已知正方体48C。的棱长为1,P,Q,R分别在棱48,CCr,久久上，且满

足&P=CQ=DiR=a（O<a<l）,G是APQR的重心，若直线DG与平面CPQ所成角为45。,

则a的值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知实数几满足logq81-4*产=匈4+2国5.

（1）求n的值；

（2）求（2%+白广展开式中有理项的系数之和.

18.（本小题12.0分）

已知一组数据®y）的散点图如图：

（1）根据散点图计算x,y的相关系数r,并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？

（若|r|>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测x=40时

的y值.

附：相关公式及参考数据：”一~0.447.

比=式34）2a=心「力2

£之式阳一%）（y「y）A_入_

回归方程7=立+口中，b=£之1（3-4）2'a=y-bx-

19.（本小题12.0分）

为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别的关系，某校高二年级随机对该年级50名学生进行了

跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有30人，在余下的学生中，女生占,，根据数据制成2X2

4

列联表如下:

男生女生合计

喜欢2030

不喜欢20

合计50

(1)根据题意，完成上述2x2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为喜欢篮球运动和性别有

关？

(2)在不喜欢篮球运动的20人中随机抽取2人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量X,

求X的分布列和数学期望.

2

附：4即溜瑞E其中-a+b+c+d.

PM>k)0.050.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

20.(本小题12.0分)

甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后

随机取2个球.

(1)求第一次取出的球是红球的概率；

(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.

21.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P—中，底面4BCD为正方形，PAL]^ABCD,PA=AB=2,E,F分

别在棱PB,BC上.

(1)当E为棱PB中点时，求证：AE1EF-,

(2)当F为棱中点时，求平面4EF与平面PDC所成的二面角余弦值的最大值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=。|%-1|+-一>0)有三个零点％1，%2，%3(%1<%2<%3>

(1)求实数a的取值范围；

(2)若;Lq＞打的，求实数a的取值范围.

答案和解析

L【答案】D

【解析】解：因为8={x||x|>2}={x\x<-2或x>2},则CRB=(x\-2<x<2},

又因为4=<%|-3<%<1},则aCB={x|-3<xW-2},AC错误；

AVJCRB={x\-3<x<2},B错误,。正确.

故选：D.

求出集合B,利用集合的运算可得出正确的选项.

本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：因为4B,C,D四点在平面a内，点P在a外，

由空间向量的共面定理可知，存在实数x,y,m,使得方=x~PB+y~PC+m4且x+y+m=l,

因为+乔一3而+z丽=6，所以同=一万+3近—z而，

所以一l+3-z=l,解得z=l.

故选：B.

根据空间向量的共面定理可求z的值.

本题主要考查了向量的线性运算即空间向量基本定理，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：依题意首先将女生甲排到除两端外的三个位置中的一个位置，有用种排法，

其余4名同学全排列，有题种排法，

按照分步乘法计数原理可知一共有用房=72种排法.

故选：C.

首先排好女生甲，再将其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：根据题意，设X为射手在30次射击中击中目标的次数，则X〜B(30,18),

故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为P(X=18)=续0.618x0.412.

故选：B.

根据题意，设X为射手在30次射击中击中目标的次数，则X〜B(30,18),进而由二项分布的概率公

式来解.

本题考查二项分布的概率计算，注意二项分布的定义，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：对4，因为a>0,b>0,£=16,所以不妨设a=4,b=则a+b=4+^<6,

故A不正确；

对8,因为a>0,b>0,ab-9,所以a+b22、ab=6,当且仅当a=6=3时等号成立，故

B正确；

对C,因为a>0,b>0,a^+b2=4,所以不妨设a=1,b=C，贝Ua+b=1+C<6,故

C不正确；

11

对。，因为a>0,b>0,-+-=1,所以不妨设a=b=2,则a+b=4<6,故。不正确.

ab

故选：B.

由赋值法可判定4C,D错误，由基本不等式可判定8正确.

本题考查充分条件的概念及基本不等式的应用，属基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意可知先从集合4中选两个元素与1对应，有*=10种方法，

然后集合4中剩下的3个元素，每个元素都有2种对应形式，则有2x2x2=8种方法，

所以由分步乘法原理可知这样的函数有10x8=80个.

故选：D.

由题意可知先从集合2中选两个元素与1对应，然后集合4中剩下的3个元素，每个元素都有2种对

应形式，再利用分步乘法原理可求得结果.

本题主要考查了函数定义的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：因为1.62<e<1.72,所以1.6〈，下<1,7,

所以2.6</7+1<2.7,即2,6<6<2.7,

因为c=1,110=(1+O.1)10

2345

=Cf0+C^ox0.1+Cf0x0.I+C^0x0.l+C^oxO.l+C^oxO.I

678910

+Cf0x0.I+C/ox0.l+CfoxO.I+C^ox0.1+C^x0.I

=1+1+45x0.12+120x0.13+210x0.14+252x0.15+210x0.16+120x0.17+45x

O.l8+lOxO.l9+O.l10

=2.57+0.021+0.00252+0.00021+0.000012+0.00000045+0.00000001+0.0000000001

所以2.57<c<2,6,

所以b>c>a,

故选：A.

由于1召<e<1.72,可得2.6<V-e+1<2.7,由c=l.l10=(1+O.l)10,利用二项式定理展开

可得2.57<c<2.6,从而可比较出大小.

本题考查比较大小问题，二项式定理的应用，化归转化思想，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解:由题意可知/'(x)+/(-久)=2,设g(x)=/(%)+久,显然有g(x)+g(-x)=2,

又/(久)是定义在上的增函数，易知g(x)在［—1,1］上是增函数.

原不等式可化为/'(——x)+x2-X—1<—/(2—2%)-(2—2x)+1=g(x2-x)<g(2x—2),

即—1<X2-X<2X-2<1,解不等式组可得xG(1,|］.

故选：C.

利用函数的对称性，构造g(x)=/(%)+比，原不等式可化为g(/-%)<g(2x-2),利用其单调

性去函数符号解不等式即可.

本题主要考查了函数的单调性及对称性在不等式求解中的应用，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：设两万名高三学生数学期末统考成绩为X,则X〜N(96,256),

所以4=96,a=16,则〃+3。=144,

所以P(X>144)=匕°；973=0.00135,

所以该次成绩高于14(4分)的学生约有0.00135X20000=27人，故A正确;

〃=96,G—16,〃一。=80,

所以P(X<80)=1-°：827=015865,故8不正确；

因为〃+2CT—128,〃—=64,

所以P(〃-2a<X<+2a)=P(64<X<128)«0.9545,

1—09545

产(X>128)=产=0.02275«2.28%,

若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分，故C正确;

试卷平均得分即为〃=96,试卷总分150,

所以瑞=0.64,故。不正确.

故选：AC.

根据正态分布的对称性以及3。原则，结合选项一一分析即可得出答案.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解:因为(x+1)(%-2)4=x(x-2)4+(%-2)3

又(x-2)4展开式的通项为Tr+1=Qx4-r(-2)r(0<r<4且reN),

所以的=(—2)4+盘(-2)3=-16,a，2=需(-2)3+盘(-2)2=-8,

。3=盘(-2>+盘(—2)2—16,%=盘(-2>+C，(-2)。=-7f

a5=C4(―2)°=1,a0=酸(-2)4=16,故A正确；

所以+。2+。3+。4+=-14,故8错误；

所以。1+。3+。5=—16+16+1=1,故C正确；

所以|劭1++1。2|+1的1+1。41+1^5I=64,故。正确.

故选：ACD.

由(％+1)(%-2/=%。—2)4+(%—2)3写出(％-2/展开式的通项，即可求出展开式的系数,

即可得解.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：如图所示，连接AC,BD,A4,作于G点，作于/点，

对于4项，由题意可得底面4BCD为菱形，

则有4CO

又,BD=AAt•(AD-AB)=AAt-AD-AA1-AB=3x2xcos,-3x2xcos与=0,

即44i1BD,

vACr\AAr=A,AC、AAiu面ACCiAi，故平面AiZCCi，即A正确；

对于C项，ACi=AB+BC+CCl=AB+AD+

222

|ACr|=\AB\+\AD\+|A&『+2cos/(|AB\■\AD\+\AB\■\AAr\+\AAT\■

|ADI)=33.故ACL^ra，即C错误；

对于B项，显然西+希=荏+西=丽，

在平行四边形中，又有丽=而+彳再，即B正确；

对于。项，由4项BD1平面4遇31，&Gu平面4遇CC],可得BD_L&G,

又4CDBD,AC.BDc^ABCD,故A】G1面ABC。，

ABcffiXBCD,贝!MiG_LAB,&GDG/=G,&G、G/u面&G/,

故AB_L面AiG/,AJC®711GJ,AB1AJ,即△4遇6、XAG)、△均为直角三角形，

••cosZ.GAJ■cosZ-GAA-^==cosZ.JAA^=>cosZ-GAA^=-,

则4G=A/-3=>AG=yjA-^A2—AG2=y/-6>即D正确.

故选：ABD.

对于4项，利用图形的几何性质及空间向量的数量积并线面垂直的判定定理即可判断；对于B项,

根据空间向量加法法则计算即可；对于C项，由空间向量的数量积计算即可判定；对于。项，利用

三余弦定理结合已知条件计算即可；

本题考查点、线、面间的距离公式，属于中档题.

12.【答案】AB

【解析】解：对于4因为P(4)=芯P⑻=KP⑷8)=P(力|B)，

所以需=翠=3P(苑，啸=普="(病，

―O------—

所以3PQ4B)=^P(4B),即P(4B)=2PQ4B)，选项A正确；

对于B,因为P(期+尸(阴=尸⑸①，PQ4B)+PQ4B)=P⑷=1一六/

又因为P(4B)=2PQ4B)，所以2P(AB)+PQ4B)=点所以PQ4B)建，

代入①可得：1+P(4B)=|,解得P(AB)=\

又因为P(4)P(B)=gx＞：，所以P(4B)=P(4)P(B),选项8正确；

1

-

对

于6

c-

1选项C错误;

-

3

对于D，P(*B)=需=粤等=P(4)=，，选项D错误.

故选：AB.

利用条件概率公式和相互独立事件的概率公式对选项判断即可.

本题考查了条件概率公式和相互独立事件的概率公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是中

档题.

13.【答案】.

【解析】解：由分布列得：E(f)=0x)+1x)+2x4="

所以D(9=(0_》2XH(I_)2X,+(2_)2X»±

故答案为：

16

根据分布列，利用期望和方差的公式求解.

本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查了方差的计算，属于基础题.

14.【答案】(一8,-白

【解析】解:由'勺％E[1,2],%2+比+2右一3>0"为假命题，

可知“V%G[1,2],%2+tx+2t-3<为真命题，

设/(%)=%2+tx+2t-3,则有/(%)<0在[1,2]上恒成立，

IF田口(f(1)=1+1+2力—3<0々刀/曰1

则N须满足，_人,"avn'斛佝：t<一£.

(/(2)=4+zt+zt—3<04

故答案为：(一8,一3.

4

根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“Vxe[1,2],x2+tx+2t-3<0”为真命题，再利

用二次函数的图象特征即可求解.

本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题.

15.【答案】|x[(答案不唯一,比如2因，2|x|+l,/百)

【解析】解：由③可知，在区间(-8,0]上，/(x)为减函数;

由|x|+\y\>|x+y|可知/'(%)=|%|符合题意.

故答案为：国(答案不唯一,比如2团,2|x|+l,d).

根据条件写出一个满足题意的函数即可.

本题主要考查函数奇偶性与单调性，属于基础题.

16.【答案】A/-3-1

【解析】解：如图，以D为坐标原点，分别以DC,DA所在的直线为工,,z轴建立空间直

角坐标系，

则。(0,0,0),P(l,a,0),<2(0,1,a)，7?(a,0,1),C(0,1,0),

因为G是APQR的重心,

所以G(等，等,竽),

所以说=(竽，等,等)，

设平面CPQ的一个法向量为访=(x,y,z),

因为而=(1,a-1,0),&=(0,0,a),

所以［访.方=比+(a_l)y=0

Im-CQ=az=0

令y=l,则x=1—a,z=0,

所以记=(1-a,1,0),

因为直线。G与平面CPQ所成角为45。,

(a+l)(l—a),a+l

土，一一、।_।DGm(亨，等，号)•(l-a,l,0)3十丁

所以s出45。=|cos<DG,m>।-।1-11,(0<

9cj(1-炉+i

a<1),

所以LW"==，化简得Q2+2。-2=0,

AT3Va2-2a+22

解得a=A/-3—1或a=—V-3—1(舍去)，

故答案为：V-3—1.

以D为坐标原点，分别以04DC,DO1所在的直线为％,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量求解即可.

本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为Zogq81—4的2G=匈4+2胴5,

所以Zogq81-〃小口=匈4+匈25,

即6—几=1g100=2,n=6.

(2)由(1)可得，二项式(2%+表产=(2%+套

则它展开式的通项为T=+1=C式2%尸(卷)『=26-rC^%64,(0<r<6且reN).

所以当r=0,3,6时，T『+i是有理项，系数分别为26d=64,23C^=160,2°嚷=1,

故展开式中有理项的系数之和为64+160+1=225.

【解析】(1)根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得结论.

(2)写出展开式的通项，即可得到r=0,3,6时0+1是有理项，从而得到其系数，即可得解.

本题主要考查对数的运算法则，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

1+3+4+7+10-5+9+11+12+13

18.【答案】解:⑴%=y=-------------------=140n,

5

因为£乙(%-%)2=50，£乙(％7)2=40,£屋(%-乃(％-%=40,

„/=i（x「x）（x-y）40_2

=0.894>0.75,

JE［（y「y）2

所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

因为)。，吗(亍)

(2)6=74］=40=08］=5，y=10,

器式须-吗5U，

所以a=10-0,8X5=6-所以y关于％的线性回归方程为y=0.8%+6-

将x=40代入线性回归方程可得，y=0,8X40+6=38-

【解析】(1)根据相关公式计算相关系数判定即可；

(2)根据相关公式计算匕，口可得回归方程，代入即可预测结果.

本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题意，2x2列联表如下:

男生女生合计

喜欢201030

不喜欢51520

合计252550

提出假设%：性别与是否喜欢篮球运动无关，

2

根据列联表中的数据可以求得/=50x(20x15-10x5)=25g.333,

z30x20x25x253

因为当％成立时，X2>7.879的概率约为0.005,

所以有99.5%的把握认为喜欢篮球运动和性别有关.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,

P（X=°）=譬焉p（x=l）=譬峙'P（X=2）=警1

19

故随机变量X的分布列为:

X012

21151

P

383819

数学期望E（X）=0xg+lxi1+2x-^=1

□ObolyZ

【解析】(1)根据条件补充表格，并利用卡方公式计算即可判定；

(2)根据离散型随机变量的取值计算其对应概率得出分布列，再由期望公式计算即可.

本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，属于中档题.

20.【答案】解：⑴设“取出的是甲袋”为事件为,“取出的是乙袋”为事件&，”第一次取出

的球是红球”为事件B,“第二次取出的球是白球”为事件C,

则P(4)=*i=l,2),

由题意易得P(BHi)=《，P(B\A2)=I，

所以P⑻=PG4)P(8]4)+P(A2)P(B|X2)=1X(^+|)=|,

即第一次取出的球是红球的概率为全

(2)P(BC|4)=房=磊,P(BC|%)=7r加

故P(BC)=P(4)P(BCM1)+P(X2)P(BCM2)=4X(得+磊)=磊，

5

所以「(乖)=需=罕=|,

故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为今

【解析】(1)根据全概率公式计算即可；

(2)根据全概率公式和条件概率公式计算即可.

本题主要考查了全概率公式，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明：因为底面4BCD为正方形，

所以AB_L4D,

又因为PAJ■平面ABC。，AB,u平面48CD,

所以P4J.4B,PA1AD,

以4B,AD,AP所在直线分别为久，y,z轴，建立空间坐标系4一xyz,

z

则2(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

当E为棱PB中点时，E(l,0,l),

设F(2,a,0)(0<cz<2),

所以荏=(1,0,1),EF=(l,a,-l),

所以赤•EF=(1,0,1)•(l,a,-l)=lxl+0xa+lx(-1)=0.

所以荏_L前，

所以AE1EF.

(2)当尸为棱BC中点时，F(2,l,0),

设E(瓦0,2—b)(0<fa<2),

所以屈=(b,0,2—b),AF=(2,1,0)，PD=(0,2,-2),DC=(2,0,0),

设平面PCD的法向量为瓦=(xi，yi，zi),

所以[三.工=2月一2的=0,

(DC•%=2x1=0

取Zi=1,则yi=1,均=0,

所以近=(0,1,1),

设平面AEF的法向量为通=(x2,y2,z2),

所以押•正=%+(2-入氏=0,

[/IF•芯=2X2+y2=0

取Z]=b,则y1=—2(b—2),xr=b—2,

所以看=(6—2,—2(b—2),6),

设平面AEF与平面PDC所成角为a,

-2(b-2)+b4-b

贝(J|cosa|=|cos<席2,3b2-lOb+lO'

令t=4-bG[2,4],

所以当〉卷即6时，|cosa|取最大值甯，

所以平面4EF与平面PDC所成的二面角余弦值的最大值为祭.