2023年湖南省娄底市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年湖南省娄底市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

,、单选题（30题）

已知直线L：2x-4y=0,4：3x-2y+5=0,过L与％的交点且与L垂直的直线方

程是

(A)8x-4y+25=0(B)8x+4y+25=0

1(C)8x-4y-25=0(D)8x+4y-25=0

过两点（-4,1）和（3,0）的直线的倾角为

(B)ir-arctan—

3.曲线Y=x2-3x-2在点Gl,2）处的切线斜率是（）

A.A.-1

巨

B.

C.-5

D.-7

4饱量。=（0.1.0）与。=（-3.2.万）的夹角的余弦值为

*无

A.A.

C.1/2

D.O

5.

第8题3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概

率是（

A.1/20B.1/15C.1/10D.1/5

6.已知，•如（2・g）在［0.1］上是*的充函数的It值薇用是

A(0,1)

C.(0.2)

不等式十三N0的解集是

4-x

(A){*|»x<4}

Cx<4}

(C){HzW亳或x>4}

(D)卜卜W'I"或xM4}

8.设集合乂={1,2,4),N={2,3,5),则集合MUN=()

A.A.{2}B.{1,2,3,4,5}C.{3,5}D.{1,4}

9.棱长等于I的正方体内接于一球体中，则该球的表面积是()

A.A.3TI

gB.2-/3n

C.6兀

D.97r

10.已知圆的方程为x2+y2-2x+4y+l=0,则圆上一点到直线3x+4y

—10=0的最大距离为()

A.A.6B.5C.4D.3

1「为虚数单位，则万%的值为()

A.A.lB,-1C.iD.-i

12.过点P(5,0)与圆“+"-4]-5二°相切的直线方程是

A.y=5B.x=5C.y=-5D.x=-5

函数y=sin4«-CO84X的最小正周期是()

(A)ir(B)2F

l3(C)f(D)4”

抛物线/=2Px(/»?0)的焦点到准线的距离是()

(A)f(B)|-

[4,1C)p(D)2p

151)2(B)-(C)--

12

已知正方形48cb,以A,C为焦点，且过B点的椭圆的离心率为)

(A)&^±1

(B)2

丘一]

(C)—(D)

16.22

17.下列函数中为偶函数的是()

A.A.y=2xB.y=2xC.y=log2xD.y=2cosx

18.圆x2+y2+2x-6y-6=0的半径为()。

A.斤

B.4

C.Vl5

D.16

19.

下面四个关系式:①0H(0)：②0€(00(3)0£<0卜④060.其中正确的个数是(

A.4B.3C.2D.1

20.

(8)设穴“)-e\MlJlnr/(1)/(2)-An)]=

⑶e”'(B)n!(C)6甘(D)Rtli

21一”：sm?1;乙：，v.;.'i.()

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

22.

设全集。=<0,1,2.3,4),集合乂={0,1・2.3},扫=(2.3.4).则|：,力/『匕声=()

A.A.{2,3)B,{0,1,4}C.(pD.U

23.由平面直角坐标系中Y轴上所有点所组成的集合是()

A.A.{(x,y))B.((x,0))C.((0,y))D.{(x,y)|xy=0)

24.函敷Zb)=』+-+3*-9,已知/Kx)在x*-3时取得■值,JR。=A.2B.3C.4D.5

在一张纸上有5个白色的点,7个红色的点，其中没有3个点在同一条直线上，由不

同颜色的两个点所连直线的条数为()

(A)叱-W-H(B)C；+C；

(C)C；-C；(D)J(P；+P；)

26.设集合乂=q£为乂£1},集合N=}X£R|XN-3},则集合MDN=

()

A.A.{xeR|-3<x<-l}

B.{xeR|x<-l}

C.{x£R|x>-3}

D.D.0

27.

第10题已知圆锥高为4,底面半径为3,则它的侧面展开图的圆心角的

大小为()

A.2700B.216°C.1080D.900

9』+3'小工

28.不等式中--乙x的取值范围是

A.x<1B.x>3C.x<1或x>3D.x<l或x>3

有6人站成一排,其中有亲姐妹3人恰好相邻的概率为()

(A)=(B)f

直线I过定点(1,3)，且与两坐标轴正向所圉成的三角形面积等于6,则/的方程是

()

(A)3*-y=0(B)3x+y=6

30.(’C)x+3y=10(D)y=3-3x

二、填空题(20题)

31.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的

余弦值等于

32.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

33.曲线y=x2-ex+l在点(0,0)处的切线方程为

34.

已知随机变量自的分布列是：

012345

g

p0.10.20.3L0.2L0.IL0.IL

贝！)E炉__________

35.函数f(x)=2cos2x-l的最小正周期为

36.已知直线3x+4y-5=0,x2+y2的最小值是

2

已知tana-cota=1，那么tan2a+cota=,tana—cota=

37.

38.设离散型随机变量，的分布列如下表，那么，的期望等于

已知双曲线与-匕=1的离心率为2,剜它的角条渐近线所夹的锐角为

<Bb

39.______

40.

I.工—1

场五百一--------------

4L（17）a»y-«•的导致/■

43.函数f(x)=x?+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

44.从一个正方体中截去四个三棱锥，得-正三棱锥ABCD,正三棱锥的体

积是正方体体积的.

45.在5把外形基本相同的钥匙中有2把能打开房门，今任取二把，则能

打开房门的概率为.

46.校长为a的正方体ABCD-A'NC力中，异国直线与DC的距离为

3,

47.已知数列｛an｝的前n项和为了，则a3=。

已知时机变ffltg的分布列是

-1012

£

P

3464

48.财£―-------

设曲线y=/在点（I,。）处的切线与直线2>-y-6=0平行，则a=

49.______,

50.各校长都为2的正四核锥的体积为

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

52.（本小题满分12分）

已知是椭河志+&=1的两个焦点/为椭圆上_点，且4=30。,求

&PFK的面积

53.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

54.

（24）（本小题满分12分）

在△4BC中,4=45。,8=60。,45=2,求△回0的面积.（精确到0.01）

（25）（本小题满分13分）

已知抛物线炉=%0为坐标原点,F为抛物线的焦点・

（I）求1。/1的值；

（n）求抛物线上点P的坐标，使4。。的面积为1-•

55.

56.

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为看且该椭圆与双曲若-y2=1焦点相同•求椭圆的标准

和准线方程.

57.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,/3的系数是Z2的系数与％4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

58.

（本小题满分12分）

△ABC中,已知a*+e*-b3=ac,SLlog*sin4+lo&sinC=-I,面积为acm'.求它二

出的长和三个角的度数.

59.

（本小题满分13分）

已知隗的方程为』+/+ax+2y+a?=0.一定点为4（1,2）,要使其过空点做1.2）

作圈的切线有两条.求a的取值拖闱.

60.

（本小题满分13分）

如图,已知椭圈小马+八1与双曲线G：4-/=>

aa

（1）设小o分别是G.G的离心率,证明<I；

（2）设44是G长轴的两个端点,尸（*。,为）（1%1>a）在J上，直线乃41与G的

另一个交点为Q,直线PA,与G的另一个交点为上证明QR平行于y轴.

四、解答题（10题）

61.建筑-个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁每n?的造

价为15元，池底每m2的造价为30元.

（I）把总造价y（元）表示为长x（m）的函数；

(II)求函数的定义域.

62.已知椭圆x2/16+y2/9=l,问实数m在什么范围内，过点(0,m)存在

两条互相垂直的直线都与椭圆有公共点.

63.

椭圆的中心在原点O,对称轴为坐标轴，椭圆的短轴的一个圆点B在y轴上且与两焦点

F,，2组成的三角形的周长为4+2痣且小求椭圆的方程.

64.设函数八力=嘀笔劈•

⑴求f(x)的定义域；

(II)求使f(x)>0的所有x的值

_cosC^m-^―

65.在aABC中，已知B=75。，'

(I)求cosA；

(II)若BC=3,求AB.

66.

已知数列(oj和数列值),且5=8,6.；“”6.数列他｝是公比为2的等比数列,求数列

］。.)的通1»公式心.

已知等差数列I。1中,5=9,0,+a,=0.

(1)求数列H.I的通项公式；

67.(2)当n为何值时，数列|a.|的前n项和S.取得最大值，并求读最大值.

68.为了测河的宽，在岸边选定两点A和B,望对岸标记物C,测得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的宽.

69.设AABC的三个内角A,B,C所对19边分别为4,b,c,且

a=60cm,b=50cm,A=38°,求c（精确到0.1cm,计算中可以应用

cos380=0.7880）

70.已知关于x,y的方程F+丁+4有加一=。・

证明：

(1)无论。为何值，方程均表示半径为定长的圆；

(2)当。=兀/4时，判断该圆与直线：y=x的位置关系.

五、单选题(2题)

71.巳知正三极柱的底面积等建,俯面积等于30,则此正三梭柱的体积为()

A.A.2也B.543C.10^3D.1543

72.某学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙、丙三门课程至少选修

两门，则不同的选课方案共有()

A.4种B.18种C.22种D.26种

六、单选题（1题）

73.等比数列⑸｝中，已知对于任意自然数n有ai+a2+...an=2n-l,则

a『+a22+...an2的值为（）

A.（2M）2

B.l/3（2n-l）2

C.l/3（4n-l）

D.4n-1

参考答案

l.B

2.B

3.C

4.C

5.C

6.B

B解析:令u-2-g,a>0且［0,11是，的递减区间，二.而u>。须恒成立,

二%=2-a>0,2Pc<2,.-.1<o<2-

7.A

8.B

MUN={1,2,4}U{2,3,5}={1,2,3,4,5}.（答案为B）

该球的食径为其表面积为4--br（号）二3大（苏案为A）

10.B

圆1+，-2x+4y+l—0,即（上l）'+（y+2）'=2：的阑心为（1.-2）.半径r=2.

心（1.一2）到直线3x+4y-10=0的距离是民上壮筠辛二^=3.

，3一+4’

则MIL-点到直线3x+4v10-0的班肉的最大值是3+2=5.（卷*为B）

11.D

221

Cl+i)1l+2i+i‘i«<"玉为i"

12.B

将圆的一般方程配方得出圆的标准方程.则点P(5,0)在圆上只有一条切

线(如图)，即x=5

'••丁+y-41-5=0n(jr—2尸+'=9=3‘

则点P(5,0)在B］上只有一条切线(如图).

即x=5.

13.A

14.C

15.C

16.C

17.D

18.B

本题考查了圆的方程的知识点。

圆x2+y2+2x-6y-6=0可化为(x+l>+(y-3)2=16,故圆的半径为4。

19.

~个元索0.所以0#｛0｝正确;②中o是集合(0)中

的元素,所以0€｛0｝正确I③中0是非空集合的我

子集.所以0学｛0｝正确;④中0不含任何元素.所

【II析】①中0表示空集,(0｝发示集合中6以000正确.

20.D

21.A

甲曲U"什卓台二血乙Q甲.甲是乙的必要非充分条件答案为A)

22.C

G/M=<4).GrN={o,n.cme.ia。⑷。TO

23.C

由平面直角坐标系中y轴上所有点所组成的集合是{(0,y)}.(答案为

C)

24.D

D”折：如・、门x)-—♦"+3.JR才--3・0,帝人•母・=5

25.C

26.A

27.B

28.C

求x的取值范围，即函数的定义域

•；2」+3>2”,可设为指数函数•a=2>1为增

函虬

由“东大投大”如丁+3>4工，可得了*一4H+3>

解此不等式得门<或工

x>30,1>3.

29.B

30.B

31.

(20)［参考答案)

n

设三棱锥为P-ABC,0为底面正三角形.48C的中心,则“_L面,1HC.PCO即为侧梭与底

面所成珀.

设A8=l,则PC=2.OC=¥,所以

«*“CO嘿哈.,

【解题指要】本题考查三棱锥的知识及线面角的求法.

正三棱锥的底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面正三角形的中

心，这是解题中应使

用的条件.

求线面角通常的方法是利用线面角的定义，求斜线和斜线在平面内的射

影所成角的大小.

32.

.・《々1V3

.S<-ya•t•

由题常知正三检他的侧桩长为g。，

凡・M7Tda,v-4x%2・如条，

V66346Z4

44

33.

x+y=O

本题考查了导数的几何意义的知识点。根据导数的几何意义，曲线在

A=y'=-1,

(0,0)处的切线斜率L。，则切线方程为y-0=-l・(x-

0),化简得：x+y=0o

34.

2.3

35.

K【解析】因为/(z)=2cos2z-l=cos2z,所以

最小正周期7"现=字=".

(D4

36.1

*.03x+4y-5=0^-y=-3/4x+5/4,x2+y2=x2+(-3/4x+5/4)2=25/16x(x2-15)

/8x+25/16—>a=25/16>l,XVx=-b/2a,y=4ac-b2/4a=l,是开口向

上的抛物线，顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a),有最小值1.

38.5.48E(£)=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48.

39.

60”解析:由双曲线性质，得离心率e=上=2===4=9与"=4o上■=万.财所求帔龟为18Ue-

<1«loo

2atut<ui-60°.

40.

...X-1..2-1,1J

叫2r+「2X2+l5、磐案为S)

(17)e*

42.

43.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(-1,

T+3

0),(3,0),故其对称轴为x=h”,fmin(l)=l+b+C,而f(-l)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故端加(1)=123=4.

44.1/3截去的四个三棱锥的体积相等，其中任一个三棱雉都是底面为直角

三角形，且直角边长与这个三棱锥的高相等，都等于正方体的棱长.设正

方体的棱长为a,则截去的一个三棱锥的体积为l/3xl/2axaxa=l/6a3,i^(a3-

4xl/6a3)/a3=l/3B

45.

在5把外形苇本相同的钥匙中有2把帕打开房门，今任取二把,则能打开房门的概率为

NGC+a”记7./(岫答案.为记7〉、

46.

异面真线BC与DC的距离为正方体面对角线的一半.即为考4(#案为岑G

47.9

由题知S,=彳•，故有ax=-y»a2=S2-aj—%--------1-=3,

a33q30

=9

Q3=S3-az-aj=——3—«

48.

J

3

49.

I・析：11蛾4・点纷伪切覆的■率力rd&，谈宜我的假拿为2.・力=2n・a1

51.

利润=精售总价-进货总价

设每件提价H元(H声0),利润为y元.则每天售出(100-10*)件,销售总价

为(10+工)•(100-10x)x

进货总价为8(100-10*)元(0WE10)

依题意有:y«(10+x)•(100-lOx)-8(100-10*)

=(2+»)(100-10x)

=-IO«2+80*+200

y'=-20x+80,令y'=0得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,摩得利润最大，■大利润为360元

52.

由已知，桶Bi的长轴长2a=20

设IPFJ=m,\PFi\=n,由椭圆的定义知.m+n=20①

又/=100-64=36.©=6,所以工(-6,0).吊(6,0)且叫玛|=12

在否中,由余弦定理得m'+n'_2HC830o=12'

m*.n3-Gmn=144②

m242mn+n2=400,③

③-②,得(2=256./rm=256(2-J3)

因此的面积为:mn4n300=64(2-6)

53.

设三角形三边分别为a,6,cB.a+6=IO,Hi|6=lO-a.

方程2xJ-3x-2=0可化为(2*+1)(*-2)=0.所以0.=-y.<i=2.

因为a、b的夹角为九且lca*8lWl,所以coM=-y.

由余弦定理，得

?=a2+(10-a),-2a(10-a)x(-y)

=2as+100-20a♦10a-aJ=aJ-l0a+100

=(a-5)2+75.

因为(a-5)、0.

所以当a-5=0,即a=5H*c的值最小,其值为代=5百.

又因为。+〃=10,所以c取4最小值,a+6也取得最小值・

因此所求为10+56

(24)解：由正弦定理可知

%=&则

2*"1

ABxsin45°2、、

BC=-:-=—―-=2(^-1).

3m75。R；丘

~4~

4ABe=-xBCxABxsinB

-yx2(^-l)x2xg

=3-6

54.-1.27.

（25）解：（I）由已知得F（a，O）,

o

所以IOFI=J.

o

（n）设尸点的横坐标为-（x>o）

则P点的纵坐标为片或-套,

△OFP的面积为

11/T1

28V24,

解得#=32,

55.故P点坐标为（32,4）或（32.-4）.

56.

由已知可得椭圆焦点为K（-6.0）,吊（6.0）.……3分

设桶圆的标准方程为§+Q1（。>b>o）.则

<T=5"+5,

金连解得｛£…,分

o3

所以椭圆的标准方程为SV=1•……9分

桶胧的准线方程为工=里•……12分

□

由于（ax+I）7=（1+tu）7.

可见.展开式中的系数分别为c；a‘，Cia\dot

由巳知.2C；a'=C；a：+C》’.

,ail_7x6x57x67x6x5),i,o_n

Xa>1,WO2xyx£•a=、+--a,5a-10a+3=0.

57.解之.傅a=5±由a>1,得a=4^+1.

58.

24.解因为所以。三。七

即cosB=T".而8为△AEC内角.

所以B=60。.又1%曲14+lo&sinC=-1所以sin4•sinC=/

M-C)-coe(4+C)]=+.

所以cos(4-C)-«»120。=/,即co#(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又d+C=120。,

解得4=l05o,C=15°；i$4=I5°,C=1O5°.

因为=-yaAirinC=l^aiivlsinBsinC

=,*.西+二.臣.依一凡鸟2

4244

所以务2m所以R=2

所以a=2/?sia4=2x2xsinl05°=(^+^)(cm)

b=2Rn\nB=2x2xsin60°=2万(cm)

c^IRtninC=2x2xsin)5°=(依-在)(cm)

或a=(痣-&)(cm)6=24(cm)c=(而+&)(cm)

雷・=初长分别为(口♦立)＜、012力€叭(而-々)5.它们的对角依次为：105。,60。,15。,

59.

方程X2+『+ax+2r+aa=0表示回的充要条件是毋+4-4a2>0.

W•.所以-我\av我

4（1,2）在圈外,应满足：1+2"+4+1>0

BDa'+a+9>0.所以aeR

综上,。的取值范围是（-孥，宇）.

60.证明：（1）由已知得

将①两边平方.化简得

(«„+c),y?=(t,+a)2y^.④

由(2X3)分别得y；=；(£-a1).y?=1(。'-*?).

aa

代人④整理得

同理可得

x0

所以％=H，0.所以OR平行于y轴.

61.(I)设水池长xm,则宽为池壁面积为2x6(x+8000/6x),

池壁造价：15X12(X+8000/6X),

池底造价：(8000X3)/6=40000

总造价：y=15xl2(x+8(M)0/6x)+40000=180x+240000/x+40000(元).

(II)定义域为{x|x£R且x>0}.

62.

例》（01方程可知•当时.存在过点（0..）的两条互相垂R的直线.■与min物公共心.

当|川>3时.&。/是过（OE）的<条互相■点的底线.

如果它们郡。HMI有公共点.剜它的都不可鲍与学年将千行.

&方际l\>y^kjc-¥m,lt1y>"――«x4m.

4与一・*公共点的充要条件是

x*.(£rVwi)*_.

府十一5一■]

即(9+IS*')x*-♦-32*»ur♦-16m1-144-0有女收.

>,

*(16AM)-(94-1M>)(1«M-H4»0.

得心中•

同理出与一u有公共点的先费条件是2?丁7，%?尸〈]•即；-1«5・

63.

依履意,设标BS的方程为「+£=l（a>bX》.

在RM1BEO中，如图所示，|BF,|=0,|BO|=6,|H0|

•••NF,BOI.Asinf=髓｛,巧需，①

因为4BF、F：周长为4+2b.；.2Q+c）d4+2方.②

解由0•②组成的方程组.得a=2・c75,

.,.A=acos号=2X）=1.

所求椭圆方程为亨+，=】.

64.

【参寿答案】（1）/（外的定义域为GSR1+

2ax>Q],

即当a=0时./Cr）的定义域为（-8.+8）,

当a>。时JG）的定义域为（一古.+8）|

当aVO时,/（公的定义域为（-8,一吉）.

（U）在/《.）的定义域内.

/（—I）'+】V1+—2（1+。）］

+1V0.

①当（1+。尸-140时，即一2«0.

由于/一2（1-。）］+1）0.所以不存在x使

/（x）>0.

②当时•即。>0或aV-2.

一一2（1+公］+1-0的两个极为

Xi=1+0—41+Q）1—1•

当a>0时,4>4>一击!

a—Jd+i)1-L

本题在求定义域过程中.为了满足真数大于0,要对参数a的取值进行

解对敏不筝大loq耳三岩丑>0时,系注意底

敝为+<1.对傲词敝是黑皿敝，所以傅联

哨?VI,由于1+皿>0•4

全面的讨论.在IV1+2ax.”痔，-2（l+a）jr+ivo.*此二

次不等式，由于抛物线开口向上，因此要由判别式确定图象与32轴的

交点得到2的取值范围.

65.

(I)由cosC=§得C=45°

故A=180°-75°-45°

=60°,

因此cosA=cos600

=—1—

2,

W由正弦定理悬=AB

sinC'

M,ADBCsinC

故.=-^-

3X考

在

2

=病.

66.

由数列(&｝是公比为2的等比数列•得•2…，即4