2020-2021学年合肥某中学高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年合肥一中高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某

项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值

越接近于I；③对分类变量X与y的随机变量片的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”

的把握越大；其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

2,直线9=1的横、纵截距分别是（）

1111

A.4,3B.4,—3C.-D,--

4343

3.已知空间直角坐标系中，。为坐标原点，P的坐标为（1,2,3）,贝1]（）

A.P到原点。的距离是旄B.P到平面xOy的距离是1

C.P到平面xOy的距离是2D.P到平面久Oy的距离是3

4.经过点P（-2,zn）和Q（m,4）两点的直线与直线I：x-2y-1=0平行，则实数m的值是（）

A.2B.10C.0D.-8

5.如图，三棱锥人48C的底面为正三角形，侧面匕4c与底面垂直且匕4=UC,已知其正视图的面积

为0，则其侧视图的面积为（)

□

A.0B.0C.0D.0

6.如图，三棱柱4BC-4/也1中，侧棱A4i1底面AiBiG，AB=AC,E是8C的,屋、

中点，则下列叙述不正确的是（)

A.4c〃平面4/1的A,

B.AE1B[C]

C.AC1平面4幽4

D.AE1EB1

7.棱长为1的正方体48CD中，点M,N分别在线段BC[上,且AM=8N,则下列

结论：

D\

①a&lMN②异面直线力Bi，BG所成的角为60°③四面体当心〉)的体积为

—_L48],A^C_LBC、,

3

其中正确的结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

22

8.已知双曲线C卷-9=1的左焦点为F,过原点的直线，与双曲线C的左、右两支分别交于4B

14

两点则向一两的取值范围是()

A.[―葭)B.[-i|]C.[-i0)D.[―：,+8)

9.若点则海廊满足线性约束条件」则s=4kS岸的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

10.已知点P(a,6)关于直线I的对称点为P'(6+1,a-1),则圆C：x2+y2-6x-2y=0关于直线L对

称的圆C'的方程为()

A.(x—2)2+(y-2)2=10B.(x—27一(y-2)2=10

C.(x-2)2+(y+2)2=10D.(x+2)2+(y-2)2=10

11.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为废，则球的表面积为()

A.gTL?B.C.3桓元D.

12.命题“若/<1,则—1<x<1”的逆否命题是()

A.若％2>1,贝卜>1,或％<-1B.若一1<x<1,则％2<1

C.若x>1或％<—1,贝!J/>1D.若x>1或％<—1,贝！J/>1

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.直线3%+y—3=0与直线6%+血丫+1=0平行，则两直线之间的距离为.

14.设函数;•（%）=的定义域为4命题p：364,命题q：564,若pAq为假命题，则实数a的

取值范围为.

15.斜率为乎的直线Z过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F,若I与圆M：（%一2）2+y2=4相切,

贝1Jp=______

16.如图所示，在正方体ABCD—4B1GD1中，点”是棱CD的中点，动点N

在体对角线&C上（点N与点A］，C不重合），则平面4MN可能经过该正

方体的顶点是.（写出满足条件的所有顶点）

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.试求到两坐标轴距离相等的所有的点组成的曲线的方程，并指出它的形状.

is.已知直线方程为（2-洗）了+（2溺+l）y+3初+4=0,其中小cR

（1）当班变化时，求点0（3,4）到直线的距离的最大值；

«）若直线分别与¥轴、y轴的负半轴交于4,B两点，求三角形aoB面积的最小值及此时的直线方程.

19.已知点P（%,y）是圆％2+y2=2y上的动点,

（1）求z=2x+y的取值范围；

（2）若％+y+a20恒成立，求实数a的取值范围.

（3）求%2+y2-16%+4y的最大值,最小值.

20.如图①，在平面五边形ZBCOE中，是梯形,AO〃BC,ZO=2BC=2迎,AB=W，△ABC=

90°,△ADE是等边三角形.现将沿4。折起，连接EB,EC得如图②的几何体.

DE

图①

(1)若点M是ED的中点，求证：CM〃平面28E；

(2)若平面ADE，平面4BCD,求四棱锥E-4BCD的体积.

21.如图在正方体48CD中，棱长为2.

(1)求异面直线4。与BCi所成的角；

(2)求三棱锥C-BCG的体积.

22.已知椭圆E的焦点在无轴上，短轴长为2,离心率为更.

2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)直线I：y="+血与椭圆E相交于4,B两点，且弦中点横坐标为1,求m值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关

系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；

③对分类变量X与丫的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“x与y有关系”的把握程度越小，故③

为假命题.

故选：c.

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，

可判断③.

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法，相关系数，独立性检验等知识点，属于基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查直线的截距式方程，是基础题.

直接根据截距式方程即可求出.

解：直线:一m=1的横、纵截距分别4,-3,

故选反

3.答案：D

解析：解：由题可知，\OP\=Vl2+22+32=V14,

由P的坐标为(1,2,3),可知P到平面xOy的距离是3,

故选：D.

利用空间两点间距离公式求出|OP|,根据P的坐标可直接得到P到平面xOy的距离.

本题考查空间两点间距离公式以及点到平面的距离，是基础题.

4.答案：A

解析：解：：经过点P(-2,m)和Q(m,4)两点的直线与直线A尤一2y-1=0平行，

.4-m_1

,•—,

m+22

解得M=2.

故选：A.

利用直线与直线平行的性质直接求解.

本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.答案：B

解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△忆4C,作UO于0,连接。设底面边长为2a,高U0=h,

则△匕4c的面积为国x2axh=ah=回.又三棱锥的侧视图为Rt△M08,在正三角形ABC中，

高08=叵|a,所以侧视图的面积为0OB-V0=£|x叵|axh=叵］既=区x叵］=

a.

6.答案：C

解析：解：三棱柱ABC—a/iG中，

由AC〃2Q,2C0平面2/1的,可得4C〃&B1Q,故A正确；

由E是BC的中点，可得AELBC,BC//BrCr,即有4E1B1G，故B正确；

由侧棱J•底面可得4C1441，但AC不一定垂直于4B,

可得4C不一定垂直于平面48B121，故C错误；

由AE1BC,AE1BBr,可得AE_L平面881clC,则AEIEB〉故。正确.

故选：C.

由线面平行的判定定理可判断4；由线线垂直的判定可判断B；由线面垂直的判定定理可判断C；由

线面垂直的判定定理和性质可判断。.

本题考查空间线线、线面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能

力，属于基础题.

7.答案：D

解析：解析：

试题分析：连结G。、DB、D/i、AD,易证平面C/B〃平面D/14且垂直平分&C,则在平行四

边形4当6。中，作ME7/AD交6。于E,连结NE,可得平面DNE//平面4BCD,可得TM】_LMN,①

对，ABJ/C^D,三角形GOB为等边三角形，则异面直线4%，8G所成的角为60。②正确，

源也喻第=」法工着感流普?@=工,③对'A±ClAB^④正确,故选D

等方，普写粤

考点：1.异面直线夹角；2.几何体体积

8.答案：B

解析：解：设|4F|=巾，\BF\=n,

由双曲线的右焦点为F',连接BF',AF',

由对称性可得四边形〃为平行是变形,

则|BF'|=\AF\=m,

所以几—m=2a=6,

所以九=m+6,且m>c—a=1,

A±

n则.t---------=--------,

八\FB\mm+6f

设/(沆)=5一烹，m>l,

所以1⑺)=T+记%=明毕=端翟言

所以当1VmV6时，fr(jn)<0,/(m)单调递减,

当TH>6时，>0,/(7H)单调递增,

当mt+8时，f(m)t0,

所以,(nOMin=/(6)=*_盘=_*

43

7’

所以/(加)€[—3；],

故选：B.

设|4F|=m,\BF\=n,由对称性可得田F'|=|XF|=m,再由双曲线的定义得几-m=2a=6,m>

c—a=l,则高一六=5一高，设fO)=!-烹，mN1,求导分析单调性，进而可得答案.

本题考查曲线与方程，解题中结合函数思想求取值范围，属于中档题.

9.答案:D

解析:

本题主要考查线性规划问题，属于中档题.

由线性约束条件做出可行域，求出最优解，则目标函数的最大值可求.

由M=钠Kl,明得察=-钺需错M，画出』对一国烦普魅苗。表示的可行域如图，联立力,解得

平移直线岸=T%由图可知，使.X=枷瑞祥取得最大值的最优解为爵03).

3笔

10.答案：A

解析：解：•••点P(a,b)关于直线1的对称点为P'(6+l,a-1),

圆C：/+丫2一6%-2y=0的标准方程为：(x—3)2+(y-=10,

•••圆心(3,1)关于直线泊勺对称点为(1+1,3-1)即为(2,2),

.•.圆C'的方程为。-2尸+(y—2)2=10.

二故选：A.

依题意，将圆C：x2+y2-6x-2y=0的方程化为标准方程(％-3)2+(y-I)2=10,可知圆心(3,1)

关于直线/的对称点，即圆C'的圆心，从而可得答案.

本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，求得圆C'的圆心是关键，考查等价转化思想与运算

求解能力，属于中档题.

1L答案：B

解析：解析：略

12.答案：D

解析：解：命题“若/<1,则—1WXW1”的逆否命题是

“若X<—1或X>1,则/>1”.

故选：D.

根据命题“若p,则q”的逆否命题是"「q,则「p”,写出它的逆否命题即可.

本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题.

13.答案：旭

20

解析：

本题考查平行线之间的距离的求法，属于基础题.

通过直线平行求出小，然后利用平行线之间的距离求出结果即可.

解：直线3%+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，

所以m=2,

则两直线之间的距离为盟=①

V32+l20

故答案为旭.

20

14.答案：（—8,3）U[45,4-00）

解析：解：若p为真命题，则364则即胃W°，解得9Wa<45；

145—aa—45

若q为真命题，贝U5C4则普费<0，即急急〈°，解得a<125；

若pAq为真命题，贝l]3Wa<45；

所以，当pAq为假命题，则a<3或a245.

故答案为：（―8,3）U[45,+8）.

先求出当命题p、q分别为真命题时，实数a的取值范围，于是得到pAq为真命题时实数a的取值范围，

然后在pAq为真命题时，对实数a的取值范围取补集即可得到命题pAq为假命题时，实数a的取值范

围.

本题考查复合命题的真假与参数之间的关系，判断每个简单命题的真假，是解决本题的关键，属于

中等题.

15.答案：12

解析：

本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题.

求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可.

解：斜率为理的直线/过抛物线C：y2=2PxQ>0）的焦点F©,0）,

3z

直线[的方程：V3y=x-^,

若I与圆M：(X—2)2+y2=4相切，

可得：某=2,P>0,解得p=12,

V3+1

故答案为：12.

16.答案：G，B],A，

解析：解：如图所示，取的中点G,连接4G,C1G.则四边形2MC1G是

平行四边形.

经过平移GG可得：平面2MN可能经过该正方体的顶点是如，B],心，&.

故答案为：Ci，£)i，Ar.

如图所示，取的中点G,连接4G,GG.可得四边形4MC]G是平行四边

形.经过平移GG可得：平面4MN可能经过该正方体的顶点.

本题考查了正方体的性质、平行四边形与点共面，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题.

17.答案：解：设满足题意的点坐标为(x,y),

则有|%|=|y|,即y=x或」=；一%,图象如下:

解析：根据点到两坐标轴距离相等等价于该点横纵坐标的绝对值相等列出方程，化简即可

本题考查点的轨迹方程，考查函数图象的做法，属于基础题.

18.答案:解:

(1)直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0,

可化为(2x+y+4)+m(—x+2y+3)=0,

因为其对任意m都成立，所以:

(~x+2y-3=0-卜=-]

I，，解得I，

(2x+j+4=0(y=-2

所以直线恒过定点(-1,-2)；

点Q(3,4)到直线的距离最大，

可知点Q与定点(-1,-2)的连线的距离就是所求最大值，

即J(3+1)2-(4-2)2=2A[13-

(2)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，

则直线方程为y+2=/c(x+l),k<0,

所以A(2-1，o),B(0»k-2),

k

ioi9，一月

SAAOB4|^-1||A-2|4(±-1)(W)=2+(4+-^)>2+2=4,

2k2k一攵2

当且仅当k=-2时取等号，面积的最小值为4.

此时直线的方程为2%+y+4=0.

解析：(1)利用直线是直线系求出直线恒过定点(-1厂2)；点Q(3,4)到直线的距离最大，转化为两点

间的距离，求出距离就是最大值.

(2)若直线分别与'轴，y轴的负半轴交于48两点，设出直线的方程，求出4B,然后求出△AOB面

积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程.

19.答案：解：(1)P是圆％2+y2-2y=0上的动点，...产是圆％2+Q一1)2=1上的动点，

:•令x=cosa,y=1+sina,aG[0,2TT),

•••2%+y=sina+2cosa+1=V5sin(a+S)+1,

・•.2%+丫的范围是[1一逐,1+遮].

(2)v%+y+c>0恒成立，，c>—x—y恒成立

v—x—y=-sina—cosa—1=—V2sin(a+：)—1

**•-x—y的最大值为&-1,

•••c的范围是[鱼-1,4-00).

(3)%2+y2-16%+4y=cos2a+(1+sina)2—16cosa+4(1+sina)

=6sina—16cosa+6=2V73sin((z+6)+6,

...％2+y2_16x+4y的最大值是6+2V73，最小值是6-2V73.

解析：(1)令％=cosa,y=1+sinafae[0,2/r),由三角函数的性质能求出2%+y的范围.

(2)由已知c>—X—y恒成立，由—%—y=~svn(x-coscc_1=-V2sin((z+—)-1,能求出c的范围.

(3)x2+y2—16%+4y=cos2a+(1+since)2—16cosa+4(1+since),由此利用三角函数能求出

/+丫2一16%+4y的最大值，最小值.

本题主要考查了圆的参数方程，以及恒成立问题和正弦函数的值域问题，考查点到直线距离公式、

等价转化思想的合理运用.

20.答案：解：(1)证明：取瓦4的中点N,连接MN,BN,则MN是△瓦4。

的中位线，

1

MN//AD,且MN=#。，

BC//AD,且BC=-AD,：.BC=MN5.BC//MN,

可得四边形BCMN为平行四边形，贝!jCM〃BN.§

又CM,平面ABE,BNu平面ABE,

•••CM〃平面ABE；

(2)取4。中点0,连接。E,由△ADE是等边三角形，得。

•.•平面ADE_L平面ABC。，0Eu平面4DE,平面ADEC平面2BCD=AD,

：.0E1平面ABCD.

直角梯形ABC。的面积为S=|X(V2+2V2)x百=言，0E=V6,

四棱锥E—ABCD的体积VETBCD=|XXV6=3.

解析：(1)取EA的中点N,连接MN,BN,由已知结合三角形中位线定理，证明四边形BCMN为平行

四边形，