2024版创新设计高考总复习 数学 人教A版第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上

抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定

理，并能应用定理解决问题.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本

内容图形符号

事实

过不在一条直线上的A,B,C三点不共线今

基本事

三个点，有且只有一存在唯一的a使A,B,

实1/Jc/

个平面CGa

如果一条直线上的两

基本事个点在一个平面内,BS1,且

实2那么这条直线在这个/BGan/ua

平面内

如果两个不重合的平

基本事面有一个公共点，那P^a,且P0nan

实3么它们有且只有一条£=/,且PW/

过该点的公共直线

(2)基本事实1的三个推论

推论内容图形作用

经过一条直线和这条直线外

推论1

•—点，有且只有一个平面确定平面的依

经过两条相交直线,有且只有据

推论2

一个平面

经过两条平行直线,有且只有

推论3/b/

一个平面/aa/

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

3.基本事实4和等角定理

(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

⑵等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互

lb-

4.异面直线所成的角

⑴定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点0分别作直线a'//a,

"〃儿把d与"所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

兀

=

氾围:一

(2)一

［常用结论］

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角

可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)两个平面a,£有一个公共点A,就说a,[i相交于过A点的任意一条直

线.()

(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()

⑶若直线。不平行于平面a,且加%则a内的所有直线与a异面.()

(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点

的公共直线，故错误.

(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.

(3)由于a不平行于平面a,且a。a,则a与平面a相交，故平面a内有与。相交

的直线，故错误.

2.(必修二P128T2改编)下列命题正确的是()

A.空间任意三个点确定一个平面

B.一个点和一条直线确定一个平面

C.两两相交的三条直线确定一个平面

D.两两平行的三条直线确定一个或三个平面

答案D

解析A中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错；

B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；

C中，当三条直线交于一点时不能确定一个平面，C错，故只有选项D正确.

3.(必修二P147例1改编)在长方体ABCD-AbC。中,AB=BC=1,AA'=2,则

直线84与AC所成角的余弦值为.

yio

答案10

解析如图，连接C。,

易知CD'磕BA',

则NACO是直线BA'与AC所成的角，

连接A。，在△AC。中，AC=®AD'=CD'=yf5,

设AC的中点为。，则。'O_LAC,

芈厂

故cosNACD，=^i~^=J。.

4.如图，在三棱锥A—BCO中,E,F,G,"分别是棱AB,BC,CD,D4的中

点，则

⑴当AC,8。满足条件时，四边形EFG”为菱形；

(2)当AC,8D满足条件时，四边形EFG”为正方形.

答案(1)AC=3。

(2)AC=8O且AC_L8D

解析(I)、•四边形ER3”为菱形，

：.EF=EH,

,:EF*AC,EH%BD,

：.AC=BD.

(2)•.•四边形EFGH为正方形，

；.EF=EH且EFLEH,

'：EF^AC,EH*BD,

：.AC=BD且AC±BD.

考点突破•题型剖析

考点一基本事实的应用

例1如图所示，在正方体ABCO-ABCiDi中，点、E,尸分别是AB,44i的中

点，连接DiRCE.求证:

(1)E,C,D\,F四点共面；

(2)CE,D\F,D4三线共点.

证明（1）如图所示，连接CDi,EF,A\B,

；E,尸分别是AB,AA的中点,

：.EF//A\B,

且EF=^A\B,

又•.•AiDi〃8C,且4Oi=BC,

四边形AiBCDi是平行四边形，

：.MB//CD\,

又EF//A\B,

：.EF//CD\,

：.EF与CDi能够确定一个平面ECD\F,

即E,C,Di,其四点共面.

（2）由（1）知EF//CD\,且EF=3CDi,

二四边形COiFE是梯形，

.•.CE与。尸必相交，设交点为P,

贝UPGCE,且PGDiF,

VCEc^ffiABCD,DiPu平面AiAOOi,

平面ABC。，且PG平面AIADDI,

又\,平面ABC。A平面A\ADD\=AD,

：.P^AD,

：.CE,D\F,D4三线共点.

感悟提升共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

⑶证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线

经过该点.

训练1如图，在空间四边形ABCQ中，E,尸分别是和上的点，G,“分

别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.

求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.

证明因为KdE“，E"u平面AB。，

所以K6平面A3。，同理KW平面而平面ABDA平面

因此KGBD,

所以EH,BD,三条直线相交于同一点.

考点二空间两直线位置关系的判断

例2(1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且NABC=N8C。，那么直线AB与C。

的位置关系是()

A.平行B.异面

C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能

答案D

如图可知45,CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.

(2)(多选)(2023•济南段考)如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题

正确的是（）

AAF与CN平行B.BM与AN是异面直线

C.AF与BM是异面直线D.BN与DE是异面直线

答案CD

解析把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，AP与CN

异面，故A错误；

BM与AN平行,故B错误；

BMu平面BCMF,尸W平面BCMF,A阵平面BCMF,F^BM,故AF与BM是异面

直线，故C正确；

DEu平面ADNE,NG平面ADNE,34平面ADNE,N庄DE,故与。E是异面

直线，故D正确.

感悟提升空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异

面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形（梯形）中位

线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往

利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.

训练2（1）（多选）已知A,3是不在平面a内的任意两点，则（）

A.在平面a内存在直线与直线AB异面

B.在平面a内存在直线与直线AB相交

C.存在过直线AB的平面与平面a垂直

D.在平面a内存在直线与直线AB平行

答案AC

解析当AB〃a时，在平面a内不存在直线与直线A3相交，所以B不正确；

当直线45与平面a相交时，在平面a内不存在直线与直线A3平行，所以D不

正确；

当直线AB与平面a相交或平行时，在平面a内均存在直线与直线AB异面，且均

存在过直线的平面与平面a垂直，所以A,C正确，故选AC.

(2)如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH,

MN是异面直线的图形的序号为.

答案②④

解析根据异面直线的定义可知，在题图②④中，直线GH,是异面直线.

在题图①中，由G,M均为所在棱的中点可知

GH//MN.

在题图③中，连接GM,因为G,M均为所在棱的中点，所以GM〃//N,且GM

=3HN,所以四边形GMNH为梯形，则G”与MN相交.

考点三求异面直线所成的角

例3(1)(2021•全国乙卷)在正方体ABC。-AHGDi中，P为囱U的中点，则直线

与AQi所成的角为()

▲兀c兀

A，2B5

「兀一兀

c彳D%

答案D

解析法一如图，在正方体ABC。一AiBGOi中，连接CP,BC1,

则AD\//BC\,

所以NPBCi为直线PB与AD\所成的角，

设正方体ABCD-A\B\C\D\的棱长为2,

则BCi=2啦，PCI=BIP=/BIG+DIC仁巾,

BP=\）BiB2+BiP2二册,

工工BP2+BC1-PC1J3

在△ABPCl中，COsNPBCl=9onD/-=0，

£Dr'D^\Z

JT

所以NPB。=4.

法二如图，连接BC\,A\B,AiP,PCi,则易知AD\//BC\,所以直线PB与

AD所成的角等于直线PB与BG所成的角，

由P为正方形AIBCIQI的对角线BiU的中点，知4,P,。三点共线，且P为

AC的中点.易知45=BC=AiCi,

所以△48。为等边三角形，

7E

所以NAiBCi=g,

又P为4。的中点，

1JT

所以可得NP8G=/AS=4，

7T

故直线PB与AD\所成的角为不

（2）（2023•河南重点高中联考）如图，在直三棱柱ABC-A\B\C\中，AC=BC=4,

ACLBC,CCi=5,D,E分别是A3,BICI的中点，则异面直线BE与C。所成的

角的余弦值为（）

C.__耳_--B,

1lr

A

A*B.|

J2929

答案C

解析如图，取4G的中点尸，连接OF,EF,CF.

易知EF//A\B\且EF=^A\B\,

又AB〃4Bi且AB=AiBi,。为AB的中点,

所以BD〃4Bi且BD=^A\B\,

所以EF//BD且EF=BD,

所以四边形BQFE是平行四边形，

所以DF//BE,

所以NCDH（或其补角）就是异面直线BE与CO所成的角，

因为AC=BC=4,AC±BC,CC\=5,D,E,F分别是AB,B\C\,A1C1的中

点，

所以CiF=fiCi=2,BIE=|BICI=2

且COUB,

在Rt^ABC中，由勾股定理得AB=«不不=46，

圻唧「八ACBC4X4r-

所以CD_-^-_R_272,

在RtZ^CGF中，由勾股定理得CF=y/cG+CiF2=y/52+22=^29,

在中，DF=BE=y）BBl+B\E2=^/52+22=V29,

所以在△COf'中，由余弦定理得

DF2+DC2~CF2（A/29）2+（2J2）2-（V29）2A/58

c°sNC22DF-DC=口―2义嬴2取一=纭'故选

感悟提升综合法求异面直线所成角的步骤：

（1）作：通过作平行线得到相交直线；

（2）证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）；

⑶求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求

的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

训练3⑴在长方体ABCD-A\B\C\D\中，AB=BC=\,AAi=y/3,则异面直线

ADi与DB\所成角的余弦值为（）

A.7B.当

C*D芈

答案C

解析法一如图，补上一相同的长方体CDEF-CQIEIR,连接。Ei,B\E\.

易知ADI〃OEI,

则/由。区为异面直线ADi与。囱所成角.

因为在长方体ABC。-AIBIGDI中，

AB=BC=l,441=小，

所以DE\KDO+EE?=正+（小）2=2,

DB\=A/12+12+（A/3）2=小,

B\E\=^/AiB?+AiE?=^/l2+22=V5,

在△BOEi中，由余弦定理，

22+（小）2—（小）2垂

得cosZBiDEi=

2X2X小5，

即异面直线AD\与DBi所成角的余弦值为竽.

法二如图，连接引力，交。B于O,取A8的中点M,连接。M,0M,易知点

。为8。的中点，所以AOi〃OM,则NMOO为异面直线AOi与DBi所成角.

因为在长方体ABCO-ABGOi中，AB=BC=\,AAi=y/3,

所以AD\=y)AD2+DDi=2,

DM=\JAD2+=坐，

DB\=\IAB2+AD2+DD1=y[5,

所以0M=；A£）i=l,OD=：DBi=喙,

于是在△OMO中，由余弦定理，

得/MOD，+图2-图之

仔cosZMOD=---------------7=------=考，

2X1X号

即异面直线ADi与DBi所成角的余弦值为坐.

（2）（2022・烟台质检）在空间四边形ABCD中，AD=2,BC=25,E,F分别是

AB,CO的中点，EF=币,则异面直线AO与所成角的大小为.

答案30°

解析设8。的中点为。，连接EO,FO,

B

E

D

所以EO〃A。，FO//BC,则/EOF（或其补角）就是异面直线A。与8C所成的角.

所以EO=1AO=I,F0=；BC=5,EF=小,

在△EOF中，根据余弦定理，得

ECP+FU-EF?P+（小）2一（由）21+3-7

cos

NE°F=2EOFO2X1XS—2小2，

所以NEOF=150。，

从而异面直线与所成角的大小为30°.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.（多选）下列命题中正确的是（）

A.梯形的四个顶点共面

B.经过两条平行直线确定一个平面

C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

D.四边形确定一个平面

答案AB

解析显然选项A正确；

对于选项B,两条平行直线确定唯一一个平面，故选项B正确；

对于选项C,由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两

边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项C错误；

对于选项D,因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误，故选AB.

2.下列推断中，错误的是（）

A.若MGa,MRp,aC0=l,则Md/

B.AWa,A",BGa,aCB=AB

C.Wa,AS/nA在a

DAB,CGa,A,B,CGB,且A,B,C不共线=a,£重合

答案c

解析对于A,因为MGa,MG8,aQJ3=l,由基本事实3可知MW/,A正

确；

对于B,Ada,AR}BGa,B0,故直线ABua,ABu。,贝|aC£=AB,B

正确；

对于C,若/Ca=A,则有及a,A&l,但AWa,C错误；

对于D,有三个不共线的点在平面a,夕中，故a,夕重合，D正确.

3.已知a,4c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）

A.若直线a,匕异面，b,c异面，则a,c异面

B.若直线a,/?相交，b,c相交，则a,c相交

C.若a//b,则a,匕与c所成的角相等

D.若a^-b,bA-C,则a//c

答案C

解析A中，在长方体ABC。-AiBGQi中，若直线A4i记为直线a,直线8C记

为直线b,当记为直线c时，。和c相交；当记为直线c时，a和c平

行；当记CiOi为直线c时，a和c异面，故若直线a,异面，b,c异面，则a,

c相交、平行或异面，故A错误；

AB

B中，若直线”，匕相交，b,c相交，则a,c相交、平行或异面，故B错误；

C中，若a〃6则由异面直线所成的角的定义知“，匕与c所成的角相等，故C

正确；

D中，若a，仇b±c,则a与c相交、平行或异面，故D错误，故选C.

4.已知空间中不过同一点的三条直线a,b,I,则“a,b,/两两相交”是“a,

b,/共面”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析对于空间中不过同一点的三条直线a,b,I,若a,b,I在同一平面，则

a,b,/两两相交或a,b,/中有两条直线平行，另一条直线与之相交，或三条直

线两两平行.

所以a,b,/在同一平面，则a,b,/两两相交不一定成立；

若a,b,/两两相交，则a,b,/在同一平面成立，

故“a,b,/两两相交”是“a,b,/共面”的充分不必要条件.

5.（多选）如图所示，在正方体ABC。一AiBiCiDi中，。是Bi出的中点，直线AC

交平面ASG于点则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线B.A,M,O,Ai共面

C.A,M,C,。共面D.B,Bi,O,M共面

答案ABC

解析VMGAiC,4Cu平面AiACCi,

平面A\ACC\,

又•.•MW平面AB\Di,

在平面ABQi与平面AiACCi的交线A。上，

即A,M,。三点共线，

...A,M,O,4共面且A,M,C,O共面，

•.•平面851出on平面AB\D\=B\D\,

在平面BBiDiD外,

即B,Bi,O,M不共面，故选ABC.

6.（2023•深圳模拟）在正方体ABCD-A\B\C\D\中，O为正方形ABCD的中心，P

为A4i的中点，则直线P。与所成的角为（）

.兀

A-2B.1

c兀

D6

答案A

解析法一设正方体的棱长为2,

连接CDi,取C0i的中点M,连接OM,PM,0P,

则0M为△AOC的中位线，且OM=）Di=取,

所以NPOM（或其补角）为直线P0与ADi所成的角

,P0=7心+（近）2=小,PM=7》+T2=4,

在△POM中，由余弦定理得

P-+OM2一尸”

cosNP°M=2Po.OM=6

jr

所以/POM=],

即直线P。与4出所成的角为与

法二如图所示，连接AC,Ai。，在正方形AAiDQ中，

在正方体中，CO,平面A4QQ,

而ADiu平面AA\D\D,

：.ADi±CD.

又•.•ADi_L4。，CDHA\D=D,

平面AQC,

而AiCu平面AiDC,：.AD\±AiC.

在△A4C中，P为A4的中点，。为AC的中点，

：.PO//A\C,：.PO±AD\,

TT

即直线PO与Q所成的角为全故选A.

7.（多选）如图，点E,F,G,”分别是正方体ABCD-AiBiG分中棱A4i,AB,

BC,CiOi的中点，则（）

A.GH=2EFB.GH/2EF

C.直线ERGH是异面直线D.直线ERGH是相交直线

答案BD

解析如图，取棱CCi的中点N,A\D\的中点M,连接EM,MH,HN,NG,

FG,AC,A1C1,

在正方体ABC。一43GDi中，

因为MH//A\C\//AC//FG,

所以M,H,F,G四点共面，

同理可得E,M,N,G四点共面，E,F,N,"四点共面，

所以E,M,H,N,G,厂六点共面，均在平面EFGM7M内，

因为EF〃HN,HNCHG=H,HN,HG,EFu平面EFGNHM,

所以EF与GH是相交直线.

由正方体的结构特征及中位线定理可得

EF=HN=NG=FG=EM=MH,

所以/FE=GH,即G”#2EF.故选BD.

8.已知a,b,c是不同直线，a是平面，若a〃匕，/?Cc=A,则直线a与直线c的

位置关系是;若b±a,则直线a与平面a的位置关系是.

答案相交或异面a〃a或aua

解析a,b,c是不同直线，a是平面，

因为a//b,bC\c=A,

所以直线a与直线c的位置关系是相交或异面.

因为aJ-b,h-La,

则直线a与平面a的位置关系是a〃a或aua.

9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB〃CD,则直线

EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.

答案4

解析因为A8〃CO,由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四

个侧面相交.

10.在正方体ABC。一481GD1中，点。是底面A8CO的中心，过。点作一条直

线/与4。平行，设直线/与直线。。的夹角为仇则cos9=.

答案*

解析如图所示，设正方体的表面A881Al的中心为点P,容易证明OP〃AiO,

所以直线/即为直线OP,NPOG=。或兀一夕

设正方体的棱长为2,则OP=%i0=&,OCi=y[6,PCi=下,

2+6—61S

则cosO=|cosNPOGe2X啦X/=而卷

11.如图，平面平面A8CD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯

形，ZBAD=ZFAB=90°,BC//ADJLBC=^AD,BE//AF5.BE=^AF,G,H

分别为PA,FD的中点.

(1)证明：四边形3C"G是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么?

⑴证明在△心。中，由G,"分别为必，尸。的中点,

可得G"舄4D又BC的40,

:.GH统BC.

：.四边形BCHG为平行四边形.

⑵解共面.：BE^AF,G是FA的中点，

:.BE霸FG,二四边形BEFG为平行四边形,

J.EF//BG.

由(1)知8G统Of,J.EF//CH,

:.EF与C”共面.

又DGFH,：.C,D,F,E四点共面.

12.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD=BC,M,N分别为AB,CD的中

点，且直线8C与所成的角为30。，求与A。所成的角.

解如图，取8。的中点E,连接EN,EM,则EN〃BC,ME//AD,

故NENM（或其补角）为与MN所成的角，NMEN（或其补角）为与AO所成

的角.

由AD=BC,知ME=EN,

所以/EMN=NENM=30。,

所以/MEN=180°—30°—30°=120。，

即BC与A。所成的角为60。.

【B级能力提升】

13.（多选）（2023•泰州一模）已知直线/与平面a相交于点P,则（）

A.a内不存在直线与/平行

B.a内有无数条直线与/垂直

C.a内所有直线与/是异面直线

D.至少存在一个过I且与a垂直的平面

答案ABD

解析如图，对于A,直线/与平面a相交于点P,所以平面a内不存在直线与/

平行，故A正确；

A/

对于B,平面a内存在与/在平面a的射影尸。垂直的直线〃，平面a内与〃平行

的直线都与/垂直，有无数条，故B正确；

对于C,平面a内过点P的直线机与直线/相交，不是异面直线，故