2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷

2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的

1.（3分）计算（百）2的结果为（）

A.3B.3V3C.6D.9

2.（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）

A.1,1,1B.2,3,4C.1,V3,2D.V7,3,5

3.（3分）将直线y=3x向下平移2个单位长度后，得到的直线是（）

A.y=3x+2B.y=3x-2C.y—3（x+2）D.y=3（x-2）

4.（3分）如图，在。ABC。中，AB=AC,NCAB=40°,则N。的度数是（）

5.（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋4（）双，各种尺码的鞋的销售量如表所示：

尺码/C7M2222.52323.52424.525

销售量/双12571483

店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为24cm的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下

列统计量中的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

6.（3分）如图，在aABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的高CQ的长为

（）

C.3V3D.10

7.（3分）如图，一次函数），=x+1与y=kx+b的图象交于点P,则关于x,y的方程组号二

的解是（）

8.（3分）如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形0A8C的顶点A,C的坐标分别是（4,

-2）,（1,2）,点8在无轴上，则点8的横坐标是（）

A.4B.2V5C.5D.4我

9.（3分）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂

到地面后还多出1〃?，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底

端距离旗杆底部5〃?，由此可计算出学校旗杆的高度是（）

A.8/72B.10/?zC.\2mD.\5m

10.（3分）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度从水

面的面积S及注水量V是三个变量.下列有四种说法：

①S是丫的函数；②V是S的函数；③/7是S的函数，④S是/7的函数.

其中所有正确结论的序号是（）

'h

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）若77二1在实数范围内有意义，则尤的取值范围是.

12.（3分）函数（无是常数，kWO）的图象上有两个点Ai（xi,yi）,Ai（x2,”），当

xi<JC2时，y\<y2>写出一个满足条件的函数解析式：.

13.（3分）如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和8c.分别取4C,

BC的中点。，E,测得。，E两点间的距离为30〃?，则A,B两点间的距离为m.

14.（3分）一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位

高度，其中/表示时间，y表示水位高度.

t/h012345

y!m33.33.63.94.24.5

据估计这种上涨规律还会持续2/7,预测再过2/2水位高度将为m.

15.（3分）在平面直角坐标系xQy中，直线（%>0）与直线y=-x+3,直线y=-x

-3分别交于人、B两点.若点A,3的纵坐标分别为yi,y2,则yi+”的值为.

16.（3分）某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽

取了30名学生参加安全与环保知识问答活动.此活动分为安全知识和环保知识两个部

分.这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示，根据图，判断安全知识成绩

的方差和环保知识成绩的方差的2的大小:$]2•（填“>”，"=”或"V"）.

环保知识成绩/分

▲

100-

90-：,,.

・••••

80----------e——'-；4一•

••

70-■e*

60-

060708090100安全知识成绩/分

三、解答题(本题共52分，第17题8分，第18-23题，每小题8分，第24-25题，每小题8

分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.(8分)计算：(1)78-72+2^1；

(2)(V5+V3)(V5-V3).

18.(5分)如图，在n4BC£＞中，点E、尸分别在BC,AO上，BE=DF,连接AE,CF.

求证：AE//CF.

19.(5分)下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线及直线/外一点4.

求作：直线43,使得AO〃/.

作法：如图2,

①在直线/上任取两点8,C,连接48；

②分别以点A,C为圆心，线段8C,A8长为半径画弧，两弧在直线/上方相交于点》

③作直线AD

直线4。就是所求作的直线.

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明

证明：连接CD

,BC=,

四边形ABC。为平行四边形（）（填推理的依据）.

：.AD//l.

BC

图2

20.（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点（-4,0）与B（0,5）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积是5,求点C的坐标.

21.（5分）如图，在△ABC中，/ACB=90°,CD为边AB上的中线，点E与点。关于直

线AC对称，连接AE、CE.

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）连接BE,若NABC=30°,AC=2,求BE的长.

22.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张

家口市联合举行.为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八

年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测

试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.测试成绩的频数分布表如下：

测试成绩X/分50«6060«70704V8080«90«100

项目90

冰上项目001262

雪上项目14735

b.需上项目测试成绩在70Wx<80这一组的是:

70707071717375

c.冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如表:

项目平均数中位数众数

冰上项目77.957675

雪上项目76.85m70

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中小的值为；

（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，

这名学生测试成绩排名更前的是（填“冰上”或"雪上”）项目，理由是；

（3）已知该校八年级共有200名学生，似设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目

测试成绩不低于80分的人数.

23.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线/：yi=x+l与直线/2：”=2x-2交于点A.

（1）求点A的坐标；

（2）当），时，直接写出x的取值范围；

（3）已知直线，3：*=履+1,当x<3时，对于x的每一个值，都有*>"，直接写出k

的取值范围.

24.（7分）在正方形A8CD中，F是线段BC上一动点（不与点8,C重合）连接AF,AC,

分别过点凡C作4尸、AC的垂线交于点Q.

（1）依题意补全图1,并证明4尸=尸0；

（2）过点Q作NQ〃BC,交AC于点N,连接FN.若正方形ABC。的边长为1,写出一

个8F的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明.

图1备用图

25.（7分）在平面直角坐标系X。），中，对于点P与口A8CD,给出如下的定义:

将过点P的直线记为/P,若直线/P与。A8CZ）有且只有两个公共点，则称这两个公共点

之间的距离为直线/p与。A8CD的“穿越距离”，记作d(/p,^ABCD).

例如，己知过点0的直线/o：y=x与。HIJK,其中H(-2,-1),/(L-1),J(2,

1),K(-1,1),如图1所示，则d(/o,aHIJK)=2&.

图1

请解决下面的问题：

已知oABCO,其中4(1,2),B(3,2),CG,4),D(r-2,4).

(1)当，=3时，已知M(2,3))加为过点例的直线y=fcv+b.

①当％=0时，dQM,°ABC£»=；

当左=1时，dUM,nABCD)=；

②若d(IM,=ABCD)=瓜结合图象，求k的值；

(2)已知N(-1,0),6为过点N的直线，若dUN,^ABCD)有最大值，且最大值

为2的，直接写出f的取值范围.

11-11-

10-io-

9-9-

8-8-

-2-1?12345678910111-2-1012345678910111

-2

备用图1备用图2

2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的

1.（3分）计算（百）2的结果为（）

A.3B.3V3C.6D.9

【分析】根据二次根式的性质计算，判断即可.

【解答】解：（V3）2=3,

故选：A.

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质：（仿）2=4（a20）是

解题的关键.

2.（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）

A.1,1,1B.2,3,4C.1,痘,2D.夕，3,5

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方利等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、•••12+12#]2,...不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

8、：22+32W42,.•.不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C,Vl2+（百）2=22,.•.能构成直角三角形，故本选项符合题意；

•（夕）2+32#52,.•.不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,b,C满足/+/

=C,2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

3.（3分）将直线y=3x向下平移2个单位长度后，得到的直线是（）

A.y=3x+2B.y=3x-2C.y=3（x+2）D.y=3（x-2）

【分析】平移时/的值不变，只有匕发生变化.

【解答】解：原直线的％=3,6=0；向下平移2个单位长度得到了新直线，

那么新直线中的k=3,b=0-2=-2.

,新直线的解析式为y=3x-2.

故选:B.

【点评】本题考查了一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓

住直线平移后k不变这一性质.

4.（3分）如图，在口ABC。中，AB=AC,NCAB=40°,则N。的度数是（)

【分析1由等腰三角形的性质可求NB=NACB=70°,由平行四边形的性质可求解.

【解答】解：：AB=AC,/CAB=40。，

；.NB=NACB=70°,

四边形ABCD是平行四边形，

:.NB=ND=70°,

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相

等是解题的关键.

5.（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如表所示：

尺码/cm2222.52323.52424.525

销售量/双12571483

店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为24C7H的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下

列统计量中的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【分析】最值得关注的应该是哪种尺码喜欢的人数最多，即众数.

【解答】解：由表知这组数据中24cm出现的次数最多，即这组数据的众数为24cm,

所以他做这个决定是重点关注了这组数据的众数，

故选：C.

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义.反映

数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行

合理的选择和恰当的运用.

6.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的高CQ的长为

(

C.3V3D.10

【分析】由勾股定理求出AB,由三角形的面积的计算方法即可求出斜边上的高CD的长.

【解答】解：在△ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,则由勾股定理得到：AB=

>/AC2+BC2=V62+82=10.

VSMBC=^AB'CD=

.八八ACBC6x824

••CC=^-=WF

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

7.（3分）如图，一次函数），=》+1与〉=区+6的图象交于点2,则关于的方程组匕二

的解是（）

A.尸；B.尸；C.=71D.

ly=2（y=1ly=1（y=4

【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断.

【解答】解：•.•一次函数y=x+l与），=匕+匕的图象交于点尸（1,2）,则关于X,y的方

程组学二装工的解是仁;，

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方

程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式,

因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

8.（3分）如图、在平面直角坐标系xQy中，矩形OABC的顶点A,C的坐标分别是（4,

-2）,（1,2）,点B在x轴上，则点B的横坐标是（）

【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求0B=AC=5,即可求解.

【解答】解：连接AC,

：.AC=V（4-l）2+（-2-2）2=5,

•..四边形ABC。是矩形，

：.0B=AC=5,

...点8的横坐标为5,

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的

关键.

9.（3分）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂

到地面后还多出\m,当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底

端距离旗杆底部5加，由此可计算出学校旗杆的高度是（)

A.B.10mC.12/HD.\5m

【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为X米，则绳子的

长度为（X+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度.

【解答】解：设旗杆的高度为X米，则绳子的长度为（X+1）米，

根据勾股定理可得：7+52=（X+1）2,

解得，X—12.

即旗杆的高度为12米.

故选：C.

【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键.

10.（3分）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度从水

面的面积S及注水量V是三个变量.下列有四种说法：

①S是丫的函数；②V是S的函数；③是S的函数，④S是/?的函数.

【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应

关系，据此即可判断函数.

【解答】解：因为这是球形容器，

①S是丫的函数，故符合题意，

②V不是s的函数，故不符合题意，

③力不是S的函数，故不符合题意，

④S是〃的函数.故符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量X,

y,对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量，

根据球形容器，水面的高度h和注水量V对应有两个水面的面积S是解题的关键.

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）若77=1在实数范围内有意义，则尤的取值范围是.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.

【解答】解：若GT在实数范围内有意义，

则X-120,

解得：无力.

故答案为：

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.

12.（3分）函数y=fcv（无是常数，�）的图象上有两个点Ai（xi,yi）,A2（%2,”），当

xi<x2时，>1<”，写出一个满足条件的函数解析式：y=x（&>0即可）.

【分析】根据Ai（xi,yi）,A2（X2,丫2）满足xi<x2时，判断出函数图象的增减

性即可.

【解答】解：（xi,yi）,A2（X2,）2）满足时，y\<y2,

.,.函数了=h（％#0）满足上>0

.'.y=x（k>0即可）；

故答案为：y=x（A>0即可）.

【点评】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=Ax+8（20）中，当k>0,y

随x的增大而增大；当k<0,y随x的增大而减小.

13.（3分）如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和BC.分别取AC,

BC的中点。，E,测得Q,E两点间的距离为30出则A,B两点间的距离为60m.

CEB

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：；点。，E分别为AC,BC的中点,

...OE是△A8C的中位线，

:.AB=2DE,

V£）£=30/n,

：.AB=60m,

故答案为：60.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于

第三边的一半是解题的关键.

14.（3分）一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5/1内6个时间点的水位

高度，其中/表示时间，y表示水位高度.

t/h012345

y/m33.33.63.94.24.5

据估计这种上涨规律还会持续2h,预测再过2h水位高度将为5.1m.

【分析】由表格中数据求得y与，的函数关系式，然后代入f=7,求解.

【解答】解：由表格中数据可知，当1=0时，y=3；当1=1时，y=3.3,

设）=公+6,将（0,3）,（1,3.3）代入，

可得：｛晨多3.3,

解得：4=尸，

3=3

・'•y=0.31+3,

经检验表格中其它数据均符合y=0.3r+3,

与f的函数关系式为y=0.3f+3,

若这种上涨规律还会持续2/j,则t=7,

当f=6时，y=0.3X7+3=5.1,

故答案为：5.1.

【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键.

15.（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线（A>0）与直线），=-x+3,直线y=-x

-3分别交于A、8两点.若点A,8的纵坐标分别为yi,”，则yi+v2的值为0.

【分析】由于直线丫=-x+3、直线y=-x-3关于原点对称，即可证得直线丫=履（4>0）

与直线y=-x+3,直线y=-x-3的交点关于原点对称，从而得出yi+）2=0.

【解答】解：•••直线y=-x+3、直线y=-X-3关于原点对称，

...点4,点B关于原点对称，

；.yi+*=O,

故答案为：0.

【点评】本题是两条直线相交或平行问题，明确直线y=-x+3,直线y=-x-3关于原

点对称是解题的关键.

16.（3分）某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽

取了30名学生参加安全与环保知识问答活动.此活动分为安全知识和环保知识两个部

分.这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示，根据图，判断安全知识成绩

的方差和环保知识成绩的方差S22的大小：512>522（填”或

环保知识成绩/分

▲

100-

90-8•・.

・••••

80----------e——'-；4一■

••

・〜•

70-e*

■

60-

060708090100安全知识成绩/分

【分析】由统计图中数据的离散程度进行直观判断即可.

【解答】解：通过成绩的分布图，可以这个感到“安全知识成绩”的离散程度要比“环

保知识成绩”的离散程度要大，

因此，“安全知识成绩”的方差大，

故答案为：>.

环保知识成绩/分

【点评】本题考查方差，理解方差的意义，掌握“一组数据的方差越大，说明该组数据

的离散程度就越大，越不稳定”是正确判断的前提.

三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18-23题，每小题8分，第24-25题，每小题8

分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（8分）计算：（1）V8-V2+2J|；

（2）（V5+V3）（V5-V3）.

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）利用平方差公式计算.

【解答】解：（1）原式=2a一式+鱼

=2V2；

（2）原式=5-3

=2.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解

决问题的关键.

18.（5分）如图，在nA8C£＞中，点E、F分别在BC,上，KBE=DF,连接AE,CF.

求证：AE//CF.

【分析】根据平行四边形的性质可得AQ〃BC,AD=BC,进而证得AQ=CE,从而证明

四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论.

【解答】证明：四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

,:BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

"：AD//BC,

四边形AECF是平行四边形，

：.AE//CF.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形

状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键.

19.（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线及直线/外一点人

求作：直线A£>,使得〃/.

作法：如图2,

①在直线/上任取两点8,C,连接48；

②分别以点A,C为圆心，线段BC,AB长为半径画弧，两弧在直线/上方相交于点。

③作直线AD.

直线4。就是所求作的直线.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明

证明：连接CD.

♦CD,BC=A。，

...四边形A8C£>为平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）（填推

理的依据）.

C.AD//1.

BC

图2

【分析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；

(2)判断四边形ABCQ为平行四边形，从而得到〃/.

\'AB=CD,BC=AD,

...四边形ABC。为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)，

：.AD//l.

故答案为CD,AD；两组对边分别相等的四边形为平行四边形.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形

的判定与性质.

20.(5分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点(-4,0)与B(0,5).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)若点C是x轴上一点，且△A8C的面积是5,求点C的坐标.

【分析】(1)设一次函数解析式为再将4、B两点坐标代入即可求出一次函数解

析式.

(2)根据△ABC的面积求出AC的长，即可求得C的坐标.

【解答】解：(1)设一次函数的解析式为)，=匕+6,

将点A(-4,0)与点B(0,5)代入中，

得仁4vb=0,

3=5

5

f-

解得c=4

b=5

，一次函数解析式为y=1x+5.

(2)由题意知0B=5,

:/\ABC的面积=^AC•03=5,

1

A-x4CX5=5,

2

；.AC=2,

•.•点(-4,0),

；.C点的坐标为(-2,0)或(-6,0).

【点评】本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式以及三角形面积，解题的关键在

于求得AC的长度.

21.(5分)如图，在△48C中，NACB=90°,CD为边AB上的中线，点E与点。关于直

线AC对称，连接4E、CE.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)连接BE,若NA8C=30°,AC=2,求BE的长.

【分析】(1)连接。E,OE交AC于。，根据轴对称性质得出CE=CD,根据

直角三角形斜边上的中线性质求出AD=CD,再根据菱形的判定得出即可；

(2)过E作交BC的延长线于M,求出A8和8c长，求出OC=1,根据勾

股定理求出CM,再根据勾股定理求出BE即可.

【解答】(1)证明：连接。E,DE交AC于O,

:点E与点。关于直线AC对称,

：.AC是线段DE的垂直平分线，

：.AE=AD,CE=CD,

VZACB=90°,。为A8的中点，

:.CD=AD=98,

：.AE=AD=CD=CE,

四边形4ECD是菱形：

(2)解：过E作EM_LBC,交8c的延长线于M,

VZACB=90°,NABC=30°,AC=2,

；.A8=2AC=4,

i

：.AD=掷=2,

由勾股定理得BC=y]AB2-AC2=V42-22=2百，

；四边形4ECD是菱形，4c=2,

：.OC=AO=1,ACLDE,

'：EM±BC,NACB=90°,

.•./M=NEOC=/ACM=90°,

：.EM=CO=\,OE=MC,EC=AD=2,

由勾股定理得：MC=>JEC2-EM2=V22-l2=y/3,

：.BM=BC+CM^2y/3+V3=3值，

由勾股定理得：BE=VFM2+EM2=J(367+I2=2夕.

【点评】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，

含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三

角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键.

22.(5分)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张

家口市联合举行.为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八

年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测

试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

测试成绩的频数分布表如下：

测试成绩X/分50«60604V7070Wx〈80804V90^x^100

项目90

冰上项目001262

雪上项目14735

b.需上项目测试成绩在70Wx<80这一组的是：

70707071717375

c.冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如表:

项目平均数中位数众数

冰上项目77.957675

雪上项目76.85m70

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中，”的值为72；

（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，

这名学生测试成绩排名更前的是雪上（填“冰上”或“雪上”）项目，理由是雪

上项目测试成绩的中位数是72,73>72,故雪上项目测试成绩73排名在前10名，冰上

项目测试成绩的中位数是76,75<76,故冰上项目测试成绩75排名在10名后；

（3）已知该校八年级共有200名学生，似设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目

测试成绩不低于80分的人数.

【分析】（1）根据频数分布表和70WxV80的这一组的具体成绩得出第10、11个数据分

别为71、73,继而依据中位数的定义求解即可；

（2）根据中位数的意义求解即可；

（3）用总人数乘以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数所占比例即可.

【解答】解：（1）由题意知雪上项目测试成绩的第10、11个数据分别为71、73,

其中位数，〃=卫罗=72,

故答案为：72；

(2)在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，

这名学生测试成绩排名更前的是雪上项目，

理由：雪上项目测试成绩的中位数是72,73>72,故雪上项目测试成绩73排名在前10

名，冰上项目测试成绩的中位数是76,75<76,故冰上项目测试成绩75排名在10名后，

故答案为：雪上，乙的中位数是85,雪上项目测试成绩的中位数是72,73>72,故雪上

项目测试成绩73排名在前10名，冰上项目测试成绩的中位数是76,75<76,故冰上项

目测试成绩75排名在10名后；

(3)估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为200X密=80(人)，

答：估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为80人.

【点评】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得

出解题所需数据，掌握中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用.

23.(5分)在平面直角坐标系X。)，中，直线/：yi=x+l与直线/2：”=2x-2交于点A.

(1)求点A的坐标；

(2)当)，i>"时，直接写出x的取值范围；

(3)已知直线/3：y3=fcc+l,当x<3时，对于x的每一个值，都有">”，直接写出k

的取值范围.

【分析】(1)由直线/：yi=x+l与直线b：*=2x-2交于点A,故可联立方程组：

仁二.得已……

(2)根据函数图象，可知：当yi>中时，x<3.

(3)当xV3时，对于x的每一个值，都有故当x<3,y3-”>0恒成立，得1

<收2.

【解答】解：(1)由题意得：

[y=2x—2.

解得：『=3,

(y=4.

・・・4(3,4).

(2)如图，当时，x<3.

(3)当x<3,恒成立，则x<3,”-”>0恒成立.

•.,*=fcv+l,yi—2x-2,

(fcc+1)-(2x-2)=(k-2)x+3.

，若x<3,*->2>0恒成立,则［-2)x+3］m加>0.

当k-2=0,即k=2,［(%-2)x+3］而”=3>0.

当人-2>0,即Q>2,［*-2)x+3］就"不存在.

当上-2<0,即无<2,［仪-2)乂+3］而"=3(k-2)+3>0,故人>1.

当k=1时，y3>y2也成立，

综上：10W2.

【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数图象的性质以及一元一次不等式，借

助数形结合的思想，熟练掌握一次函数图象的性质是解题关键.

24.(7分)在正方形ABC。中，尸是线段BC上一动点(不与点B,C重合)连接AF,AC,

分别过点凡C作AF、AC的垂线交于点Q.

(1)依题意补全图1,并证明AF=FQ；

(2)过点。作NQ〃BC,交AC于点M连接FN.若正方形A3C。的边长为1,写出一

个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明.

图1备用图

【分析】(1)先根据题意画出图象，再作辅助线，使AF所在的三角形和QF所在的三角

形全等即可得出4尸=。尸；

(2)取B/为点算出FC的长，然后根据4C_LC0推导NQ=FC,用平行四边形的判定

即可证明四边形FCQN是平行四边形.

【解答】解：(1)根据题意，作图如下：

D

•・・/。尸。+/4尸8=90°,NBA/+NA产8=90°,

:・/BAF=/CFQ,

•:BF=BM,

：.CF=AM,

又丁NAM/=180°-45°=135°,ZFCQ=900+45°=135

・・.ZAMF=ZFCQ,

在△AMF和△/C。中，

(ZMAF=/CFQ

\AM=FC，

(4AMF=乙FCQ

：.AAMF^AFCQ(ASA),

：.AF=FQ；

(2)当8尸时，四边形尸CQV为平行四边形，

证明：如图，在A3上截取BM=3F,连接MR

D

1

•:BF冶,BC=1,

2

：.FC=

3f

由(1)可得△8M尸为等腰三角形，且△AM/丝△/C0,

・•・CQ=MF=<,

•:NQ〃BC,

：.ZFCQ+ZNQC=ySO°,

VZFCG=135°，

:./NQC=45°,

VZNCQ=90°,

，NNQC=45°=/NQC,

：.QC=NC