2018-2019学年吉林大学附中八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年吉林大学附中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分共24分）

1.（3分）已知点A（-2,3）,则点A在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（3分）一元二次方程2%-1=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3.（3分）如图，将矩开A8CZ）沿。E折叠使C点落在8。上的F处，若N£>EC=60°,则

ZDBC=（）

B.24°C.33°D.60°

4.（3分）如图，若BO=6,。0=3,CD=2,则AB的长是（)

A.2B.3C.4D.5

5.（3分）如图，四边形ABC。与四边形EFG4位似，其位似中心为点O,且堕=三，则心

EA3BC

（分）函数丁=〃与m（）在同一坐标系内的图象可以是（)

6.31+/yqmWO

7.（3分）如图，在四边形ABC。中，动点P从点A开始沿ABC。的路径匀速前进到。为

止.在这个过程中，△AP。的面积S随时间f的变化关系用图象表示正确的是（）

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴的正半轴上，点B在点

C的左侧，直线丫=近经过点A（3,3）和点P,且0P=6加.将直线），=近沿y轴向

下平移得到直线>=依+从若点P落在矩形ABC。的内部，则人的取值范围是（）

A.0</><3B.-3<Z><0C.-6<b<-3D.-3<*<3

二、填空题〈本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平

方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步如果设矩

形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为.

10.（3分）如图，在△A8C中，D,E分别是边A8,4c的中点，若BC=6,则。E=

11.（3分）如图所示，直线〃经过正方形4BCQ的顶点A,分别过正方形的顶点B、。作

BFLa于点F,DE±a于点E.若DE=1,BF=5,则EF的长为.

12.（3分）如图，在菱形A8CZ）中，AC、8。为对角线，AC=6,BD=8,则阴影部分的面

13.（3分）如图，在DABCO中，点尸为BC中点，延长4。至点E,使DE：AO=1：3,

连结所交£>C于点G,则SSEG：SACFG=.

14.（3分）若点4（〃?，〃）在直线y=fcv（kWO）上，当-IW/nWl时，-则这

条直线的函数解析式为.

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）请选择你认为适当的方法解方程：

(1)(2x-1)2=9

（2）W+2x-99=0

16.（6分）学习完反比例函数的图象及性质后，老师给问学们留了这样一道作业题：“已知

点（-1,tn）和点（2,”）都在反比例函数丫=上（A:<0）的图象上，试比较小和”的

X

大小？”以下是彬彬同学的解题过程：

解：•在反比例函数y=t中，k<0①

k

•••反比例函数y=[,y随x的增大而增大②

•.12>-1③

（1）彬彬的解答过程在第步开始出错，出错的原因是.请你帮助彬彬写

出正确的解答过程.

（2）若点（-6,p）、点（1,q）和点（3,z）也在反比例函数y=K（k<0）的图象上，

X

直接比较小q、z的大小（结果用连结）

17.（6分）课上老师要求大家利用尺规作图法从一张平行四边形纸片ABC。（ABVAO）中

剪出一个菱形纸片，明明同学率先分享了自己的做法：

①连结AC；

②分别以点A、C为圆心，大于Lc长为半径画弧，两弧分别交于点“、N,连结

2

交AC于点O,交边AZXBC于点、E、F-,

③连结4尸、CE.则剪下四边形AFCE就是所求作的菱形纸片.老师说：“明明的作法正

确

阅读上面的材料，请论证明明作图的正确性.

18.（6分）图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方

形边长都是1,点A、8均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网

格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上，不要求写出画法.

（1）在图①中以线段AB为边画一个菱形ABC。，使其面积为8.

（2）在图②中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且NEFG=

90°图①图②

19.（7分）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛.七、八年级各有

150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学

生的成绩，数据如下：

七年级889490948494999499100

八年级84938894939893989799

（1）整理数据按如下分段整理样本数据并补全表格：

成绩X分80^x<8585«9090«9595<x<100

人数

年级

七年级1153

八年级1ab4

分析数据补全下列表格中的统计量:

统计量平均数中位数众数方差

年级

七年级93.694C24.2

八年级93.7d9320.4

得出结论

（2）估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的人数.

（3）你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由.（写一条即可）

20.（7分）“一带一路”倡议6岁了！到目前为止，中国已与126个国家和29个国际组织

签署174份合作文件，共建“一带一路”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域

.一带止

2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖交通运输、

电力能源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示.

（1）求投资制造业的基金约为多少亿元？

（2）按照规划，中国将继续对“一带一路”基金增加投入，到

2019年三季度末，共增加投入630亿元，假设平均卷季度的增长率相等，求平均每季度

的增长率是多少？

“一带一路”人民币海外基金业务投资行

交通

电

AB:加

金

C融

制

造

其

D:他

曰

21.（8分）甲，乙两辆汽车分别从A,B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发

2/?后休息，与甲车相遇后，继续行驶.设甲、乙两车与8地的路程分别为y甲（km）,y

4（km）,甲车行驶的时间为x。），y”y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解

答下列问题：

（1）乙车休息了/?；

（2）求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当两车相距时，直接写出x的值.

22.（9分）在正方形ABC。中，点E、歹分别在边BC、CD1.（不与端点重合），

45°,E/与AC交于点G.

（1）探究发现：如图①，若AC平分/EAF,直接写出线段EF,BE,OF之间的等量关

系；

（2）类比操作：如图②，若4c不平分/E4F,探究发现中线段EEBE,。尸之间的等

量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由.

(3)应用探究：如图③，矩形ABCD,A8=3,AO=6.点M、N分别在边CZX8c上,

图①图②图③

23.(11分)在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)和QG,y'),给出如下定义：如果

y、，那么称点Q为点P的“伴随点

-y(x<0)

例如：点(5,6)的“伴随点”为点(5,6)；点(-5,6)的“伴随点”为点(-5,

-6).

(1)点A(2,1)的“伴随点"A'的坐标为.

(2)点、B(m,m+l)在函数y=fcr+3的图象上，若其“伴随点"B'的纵坐标为2,求

函数>=依+3的解析式.

(3)在(2)的条件下，点。在函数》=丘+3的图象上，点。是点。关于原点的对称点,

点。的“伴随点为。若点C在第一象限，且C£>=&DD,直接写出此时“伴随点”

。’的坐标，

V

幸24!

24.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E从点A开始沿A-力-A的路径

运动，速度为2个单位长度秒，点F从点B向点C运动，速度为1个单位长度/秒，点E、

F同时开始运动设运动时间为f(秒).

(1)请用含/的代数式表示点E与点A之间的距离.

(2)当♦为何值时，EF所在的直线能把矩形ABCZ)分成面积相等的两部分.

(3)连接AC,直线EF交AC于点M,当f为何值时，与△ABC相似.

2018-2019学年吉林大学附中八年级(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分共24分)

1.(3分)已知点A(-2,3),则点A在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据点在第二象限内的坐标特点解答.

【解答】解：•••点A(-2,3),横坐标>0,纵坐标<0,满足点在第二象限的条件，

...点A在第二象限.

故选：B.

【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号.四个象限的符

号特点分别是：第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限

(+,■).

2.(3分)一元二次方程7-2%-1=0的根的情况为()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【分析】先计算判别式得到△=(-2)2-4X(-1)=8>0,然后根据判别式的意义

判断方程根的情况.

【解答】解：根据题意4=(-2)2-4X(-1)=8>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程a^+bx+c=0(aW0)的根的判别式△=/??-4农：当

△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方

程没有实数根.

3.(3分)如图，将矩开4BC力沿。E折叠使C点落在上的尸处，若NDEC=60：则

ZDBC=()

A.30°B.24°C.33°D.60°

【分析】根据/£»EC=60°,可得出NEDC的度数，利用翻折的性质可得出/FDE的度

数，从而在RtZ^BC。中可求出NO8c的度数.

【解答】解：；NOEC=60°,

：.ZEDC=30°,

又△£>EF是△£>£（：翻折得到的，

:.NEDF=NEDC=30",

：.ZBDC=60°,

：.NQBC=90°-ZBDC=90°-60°=30°.

故选:A.

【点评】本题考查了翻折的变换，难度不大，对于此类题目关键是利用翻折后角度的相

等关系求出某个角的大小，然后再根据题意解答.

4.（3分）如图，△ABOs^CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则A8的长是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案.

【解答】解：V/XABO^^CDO,

•BQ=AB

"DODC"

'：BO=6,00=3,CD=2,

•6=AB,

",~3V

解得：AB—4.

故选：C.

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键.

（3分）如图，四边形A8CQ与四边形EFG”位似，其位似中心为点O,且堕=当，则F9

EA3BC

=()

B

【分析】利用位似的性质得到3=受=堕，然后根据比例的性质求解.

BCOB0A

【解答】解：•••四边形ABC。与四边形EFG/7位似，其位似中心为点。，

.FG=OF=OE

♦•而OB0A"

•-0E=4

*EA京，

.FG=4=4

♦♦而4^37,

故选：A.

【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同

一点；对应边平行或共线.

6.

【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取

值，二者一致的即为正确答案.

【解答】解：A、由函数y=x+%的图象可知，〃<0,由函数丫=处的图象可知机>0,相

x

矛盾，故错误;

B、由函数y=x+，〃的图象可知/n>0,由函数丫=典的图象可知加>0,正确；

x

C、由函数）的图象可知，">0,由函数卜=四的图象可知相<0,相矛盾，故错误；

x

。、由函数y=x+〃?的图象可知机=0,由函数丫=典的图象可知机<0,相矛盾，故错误.

x

故选：B.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的

性质才能灵活解题.

7.（3分）如图，在四边形中，动点尸从点A开始沿的路径匀速前进到。为

止.在这个过程中，的面积S随时间，的变化关系用图象表示正确的是（）

【分析】根据实际情况来判断函数图象.

【解答】解：当点p由点A运动到点B时，的面积是由小到大；

然后点P由点3运动到点C时，△AP。的面积是不变的；

再由点C运动到点。时，△4PO的面积又由大到小；

再观察图形的BC<AB<CD,故△4PO的面积是由小到大的时间应小于△APO的面积又

由大到小的时间.

故选:B.

【点评】应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的边8C在x轴的正半轴上，点B在点

C的左侧，直线经过点A（3,3）和点P,且0P=6&.将直线y=丘沿y轴向

下平移得到直线＞=h+儿若点P落在矩形A2CD的内部，则匕的取值范围是（）

-3<b<0C.-6<b<-3D.-3<b<3

【分析】作「ELAQ于E交BC于£先求出直线以及点P坐标，再确定点E、F

坐标，代入y=x+b中即可解决问题.

【解答】解：如图作于E交BC于尸，

•直线y="经过点A（3,3）,

k=1,

工直线为y=x,设点尸坐标（〃，。），

・・•。尸=6底,

〃2+。2=72,

，/=36,

・・〃=6・

・••点尸坐标（6,6）,点七（6,3）,点尸（6,0）,

把点E（6,3）,点尸（6,0）分别代入y=x+〃中，得到力=-3或-6,

・•・点P落在矩形ABCD的内部，

*e•_6Vz?<-3.

故选：C.

【点评】本题考查一次函数有关知识，掌握两条直线平行上值相同，寻找特殊点是解决

问题的关键，理解点P在平移过程中与），轴的距离保持不变，属于中考常考题型.

二、填空题〈本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平

方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步如果设矩

形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为x(x-12)=864.

【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是(x-12)步，根据面积为864,

即可得出方程.

【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是(%-12)步.

根据矩形面积=长><宽，得：x(x-12)=864.

故答案为：x(%-12)=864.

【点评】本题为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长X

矩形的宽.

10.(3分)如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，若BC=6,则DE=3.

【分析】由。、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位

线定理可求出DE.

【解答】解：E是AB、4c中点，

.♦.QE为△ABC的中位线，

.*.E£>=ABC=3.

2

故答案为：3.

【点评】本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半.

11.(3分)如图所示，直线〃经过正方形4BCC的顶点A,分别过正方形的顶点B、。作

BFVa于点F,DE±a于点E.若DE=1,BF=5,则EF的长为12.

【分析】首先证明/A8F=/EA。，再利用AAS定理证明进而得到AF

=ED=1,AE=BF,然后再根据线段的和差关系可得答案.

【解答】解：•••四边形A8CZ）是正方形,

；.NBAD=90°,AD=AB,

：.ZDAE+ZBAF^90a,

\'BF±EF,

，NBAF+NABF=90°,

NABF=NEAD,

"ZAED=ZAFB

在△ABF和△D4E中，.ZABF=ZEAD>

AD=AB

（A4S）,

:.AF=ED=1,AE=BF,

：.EF^AE+AF=BF+ED^1+5=\2.

故答案为：12.

【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，

关键是推出

12.（3分）如图，在菱形A8CZ）中，AC、8。为对角线，AC=6,BD=8,则阴影部分的面

积为12.

【分析】观察图形，阴影部分面积是菱形面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘

积的一半即可求出阴影部分面积.

【解答】解：根据图象阴影部分面积等于菱形面积的一半，

S菱形=LC・BD=LX6X8=24,

22

即阴影部分面积=工义24=12.

2

故答案为12.

【点评】本题考查菱形的面积等于对角线乘积的一半，看出阴影部分面积等于菱形面积

的一半是解题的突破口.

13.（3分）如图，在必88中，点F为8c中点，延长4。至点E,使QE：AO=1：3,

连结E尸交0c于点G,则SzsDEG：SdCFG=4：9

【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案.

【解答】解：设OE=x,4£>=3x,

在nABCD中，

：.AD=BC=3x,

•••点尸为BC的中点,

2

'JDE//BC,

:ADEGsACEG,

.S^DEG.=（DE）2=（2）2=2

...△CFGCF3T

故答案为：4：9

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基

础题型.

14.（3分）若点A（m，〃）在直线（ZW0）上，当-IW/MWI时，则这

条直线的函数解析式为y=x或y=-x.

【分析】分别把（-1,-1）,（-1,1）代入可得直线解析式.

【解答】解：

：点A（如〃）在直线y=&（20）上，-iWmWl时，-

.•.点（-1,-1）或（-1,1）都在直线上，

-1或1,

；.），=%或），=-X,

故答案为：丫=》或丫=--

【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，把（-1,-1）和（-1,1）

分别代入求出k的值是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）请选择你认为适当的方法解方程：

（1）⑵-1）2=9

（2）99=0

【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：（1）（2x-1）2=9,

开方得：2x-1=±3,

解得：xi=-1,X2=2；

（2）7+2%-99=0,

（x+11）（x-9）=0,

x+ll=0,x-9=0,

xi--11,X2—9.

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关

键.

16.（6分）学习完反比例函数的图象及性质后，老师给何学们留了这样一道作业题：“已知

点（-1,〃?）和点（2,n）都在反比例函数y=K（kVO）的图象上，试比较机和”的

X

大小？”以下是彬彬同学的解题过程：

解：在反比例函数y=*中，k<0①

x

k

.••反比例函数丫=『，丫随X的增大而增大②

•1­2>-1③

.'.n>m④

（1）彬彬的解答过程在第②步开始出错,出错的原因是在每个象限内，y随x的

增大而增大.请你帮助彬彬写出正确的解答过程.

（2）若点（-6,p）、点（1,q）和点（3,z）也在反比例函数丫=区（”<0）的图象上，

x

直接比较p、q、z的大小q<z<p,（结果用连结）

【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，在每个象限内，y随X的增大而增大，确定

在同一个象限内，

（2）在二四象限的双曲线，在第二象限的y的值大于0,在第四象限的y的值小于0,

在同一个象限内，再依据性质进行比较.

【解答】解：（1）答案为：②，在每个象限内，y随x的增大而增大，解得过程如下：

•.•在反比例函数），=区中，k<0

图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大

...点（-1,〃?）在第二象限的图象上，点（2,〃）在第四象限的图象上，

77?>0,7?<0,

⑵由（1）得点（-6,p）再第二象限图象上的点，；.p>0、

点（1,q）和点（3,z）在第四象限图象上的点，VI<3,：.q<z<0,

因此q<z<p,

故答案为：q<z<p,

【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象和性质，利用图象

法比较直观，容易理解.

17.（6分）课上老师要求大家利用尺规作图法从一张平行四边形纸片ABC。CAB<AD）中

剪出一个菱形纸片，明明同学率先分享了自己的做法：

①连结AC；

②分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N,连结

交AC于点O,交边A。、BC于点、E、F；

③连结AF、CE.则剪下四边形AFCE就是所求作的菱形纸片.老师说：“明明的作法正

确

阅读上面的材料，请论证明明作图的正确性.

【分析】利用全等三角形的性质证明AE=CF,再根据四边相等的四边形是菱形即可判断.

【解答】解：由作图可知：AE=EC,AF=CF,

垂直平分线段AC,

；.OA=OC,

,JAE//CF,

：.ZAEO=ZCFO,

ZAOE=ZCOF,

:.△AOaXCOf(A4S),

：.AE=CF,

：.AE=EC=CF=AF,

，四边形AECF是菱形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性

质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

18.(6分)图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方

形边长都是1,点A、8均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网

格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上，不要求写出画法.

(1)在图①中以线段AB为边画一个菱形ABC。，使其面积为8.

(2)在图②中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且/£7(=

【分析】(1)根据勾股定理和菱形的面积得出符合题意的图形;

(2)直接利用三角形面积求法得出答案.

【解答】解：(1)如图①所示，菱形ABC。即为所求；

(2)如图②所示四边形EFGH即为所求；

图①图②

【点评】此题主要考查了作图-应用与设计，以及菱形面积求法，正确掌握菱形面积求

法是解题关键.

19.（7分）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛.七、八年级各有

150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学

生的成绩，数据如下：

七年级889490948494999499100

八年级84938894939893989799

（1）整理数据按如下分段整理样本数据并补全表格：

成绩X分80«8585«9090«9595W》V100

人数

年级

七年级1153

八年级1ah4

分析数据补全下列表格中的统计量:

统计量平均数中位数众数方差

年级

七年级93.694C24.2

八年级93.7d9320.4

得出结论

（2）估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的人数.

（3）你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由.（写一条即可）

【分析】（1）整理数据：根据八年级抽取10名学生的成绩，可得6的值；

分析数据：根据题目给出的数据，利用众数的定义求出c,利用中位数的定义求出”即可;

(2)用150乘以样本中成绩低于90分的人数所占的百分比即可；

(3)根据给出的平均数和方差分别进行分析，即可得出答案(答案不唯一).

【解答】解：(1)整理数据：由题意，可得。=1,人=4；

分析数据：由题意，可知94分出现次数最多是4次，所以众数c=94,

将八年级10名学生的成绩从小到大排列为：84,88,93,93,93,94,97,98,98,99,

中间两个数分别是93,94,(93+94)+2=93.5,

所以中位数d=93.5；

得出结论：

(2)150x111=30(人).

10

答：估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的约有30人；

(3)从平均数来看，八年级比七年级高，说明八年级比七年级的成绩好；

从方差上看，八年级的比七年级的小，说明八年级的成绩比较稳定.

因此，成绩较好的是：八年级.

【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义及求法，理解各个统计量的意义,

明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键.

20.(7分)“一带一路”倡议6岁了！到目前为止，中国已与126个国家和29个国际组织

签署174份合作文件，共建“一带一路”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域

.截一带止2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖、

交电通力运能输源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示.

(1)求投资制造业的基金约为多少亿元？

(2)按照规划，中国将继续对“一带一路”基金增加投入，到2019年三季度末，共增

加投入630亿元，假设平均每季度的增长率相等，求平均每季度的增长率是多少？

“一路一带”人民币海外基金业务投资行

交

输

3运

A

源

电能

力

:B

业

金

融

业

制

C造

其

:他

D

:

E

:

【分析】(1)由投资电力能源所在扇形的圆心角求出投资电力能源所占比例，再利用投

资制造业的基金=投资总金额X。所占的比例，即可求出结论；

(2)设平均每季度的增长率是x,根据2019年一季度末及三季度末的投资总额，即可得

出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：(1)-L?_X100%=20%,

360

3000X(1-12%-15%-20%-32%)=630(亿元).

(2)设平均每季度的增长率是x,

依题意，得:3000(1+x)2=3000+630,

解得：xi=0.1=10%,X2—-2.1(舍去).

答：平均每季度增长10%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及用样本估计总体，解题的关键是：(1)求

出图中8所占比例；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

21.(8分)甲，乙两辆汽车分别从A,B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发

2人后休息，与甲车相遇后，继续行驶.设甲、乙两车与8地的路程分别为y甲(km),y

乙Ckm),甲车行驶的时间为x(h),y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解

答下列问题：

(1)乙车休息了0.5/?；

(2)求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当两车相距40h〃时，直接写出x的值.

v/km

400

200

【分析】（1）根据待定系数法，可得），甲的解析式，根据函数值为200千米时，可得相应

自变量的值，根据自变量的差，可得答案;

（2）根据待定系数法，可得y乙的函数解析式；

⑶分类讨论，0WxW2.5,y中减y乙等于40千米，2.5WxW5时，y乙减y甲等于40千米,

可得答案.

【解答】解：（1）设甲车行驶的函数解析式为），甲=区+4（％是不为0的常数）

丫甲=­+。图象过点（0,400）,（5,0）,

得fb=400,

l5k+b=0

解得”=-80,

lb=400

甲车行驶的函数解析式为丫甲=-80X+400,

当）=200时，x=2.5Ch'）,

2.5-2=0.5（h）,

故答案为：0.5；

（2）设乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式y^=kx+b,

＞乙=履+6图象过点（2.5,200）,（5,400）,

得［2.5k+b=200；

l5k+b=400

解得尸。，

Ib=0

乙车与甲车相遇后y乙与X的函数解析式y乙=80x（2.5WxW5）;

（3）设乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式＞乙=自，图象过点（2,200）,

解得—100,

乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式y乙=100x,

0<xW2.5,y甲减y乙等于40千米，

B|J400-80x-100x=40,解得x=2；

2.50W5时，y乙减y甲等于40千米,

即2.5Wx<5时，80x-（-80x+400）=40,解得

4

综上所述：x=2或x=-1L

4

【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法是求函数解析式的关键.

22.（9分）在正方形ABC。中，点E、尸分别在边BC、CD1.（不与端点重合），NEAF=

45°,EF与AC交于其G.

（1）探究发现：如图①，若AC平分NE4F,直接写出线段EF,BE,。尸之间的等量关

系；

（2）类比操作：如图②，若AC不平分NE4F,探究发现中线段EF,BE,D尸之间的等

量关系还成立吗？若成立请证明：若不成立请说明理由.

（3）应用探究：如图③，矩形ABC。，AB=3,AO=6.点M、N分别在边C£>、BC上,

图①图②图③

【分析】⑴证明AABE丝AAD尸（ASA）得尸，AE=AF,根据角平分线的性质得：

BE=EG,DF=GF,相加可得结论；

（2）延长8到点“，截取£>H=8E,连接AH,根据&4S定理可得出AAEB也△AHZ）,

故可得出AE=44，再由/EA尸=45°,NABC=90°可得出/E4尸=N/M尸，由SAS定

理可得△E4F岭ZX/MF,故EF=”尸，可得结论；

（3）作辅助线，构建正方形ABQP,设P//=x,根据勾股定理列方程可得P”的长，从

而得的长，最后由勾股定理可得结论；

【解答】解：（1）①如图①中，

图①

•..四边形ABC。是正方形，

：.ZBAC=ZCAD=45°,

\'ZEAF=45°,AC平分NE4F,

AZBAE=ZEAG=ZDAF=ZFAG=22.5",

'：AB=AD,NB=ND=90°,

：.^ABE^/\ADF(ASA),

：.BE=DF,AE=AF,

：.NAEF=ZAFE,

：.ACLEF,

：.ZAGE=ZAGF=W°,

平分/BAC,

：.BE=EG,DF=GF,

：.EF=BE+DF；

(2)(1)中线段EF,BE,OF之间等量关系还成立：EF=BE+DF；

如图②中，延长CC到点”，截取。H=BE,连接AH,

图②

在△4E8与△AHD中,

，BE=DH

ZB=ZADH=90°)

AB=AD

:./XAEB空丛AHD(SAS),

：.AE=AH,NBAE=NHAD,

VZEAF=45°,ZBAD=90°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAF+ZDAH=45Q.即凡

在△EAF与△HAF中，

，AE=AH

ZEAF=ZHAF)

AF=AF

/.△EAF^AT/AF(SAS),

EF=HF=DF+DH=BE+DF.

(3)如图③中，取A。，BC的中点P,Q,连接QP,连接N”,

图③

'：AD=6,AB=3,

：.AP=AB=BQ=PQ^3,ZB=90",

四边形ABQP是正方形，

为△ABN中，48=3,AN=>/i§,

22=

BN=VAN-AB7(V13)2-33"2'

：.NQ=3-2=1,

■:/NAH=45°,

由(1)同理得：NH=BN+PH,

设PH=x,则NH=x+2,QH=3-x,

RtZ\NHQ中，NH2=QH2+NQ2,

(2+x)2=正+(3-x)2

是A。的中点，PH//DM,

：.AH=HM,

:*DM=2PH=9,

5_

由勾股定理得：而俞=符+电2=噌

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质,

相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形

是解题的关键.

23.（11分）在平面直角坐标系中，对于点P（x,y）和Q（x,y'）,给出如下定义：如果

y,那么称点。为点p的“伴随点”.

-y（x<0）

例如：点（5,6）的“伴随点”为点（5,6）；点（-5,6）的“伴随点”为点（-5,

-6）.

（1）点A（2,1）的“伴随点"A'的坐标为（2,1）.

（2）点、B（m,m+\）在函数y=fcc+3的图象上，若其"伴随点"B'的纵坐标为2,求

函数））=履+3的解析式.

（3）在（2）的条件下，点C在函数y=H+3的图象上，点。是点。关于原点的对称点,

点。的“伴随点为。若点C在第一象限，且直接写出此时“伴随点”

。’的坐标，

【分析】（1）根据题意：x=2>0,则y=l,即可求解;

（2）分根NO、〃7<0时，两种情况分别求解;

（3）分点C在直线y=-x+3上、C在直线y=1+3上两种情况，分别求解.