2022-2023学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省六盘水市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合U={123,4,5,6},A={2,3,4},B={2,3,5,6},则BC(C〃l)=()

A.{2,3}B.[1,2,3,5,6}C.{2,3,4,5,6}D.{5,6}

2.设复数z=i(l+2i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知函数/'(X)=tanx,则“f(x)=0"是"x=兀"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.4知向量(1,—2)石=(4,1)，且0/3，贝!M=()

A.-2B.C.iD.2

0-TT

5.已知cosa=三，0<a<-f则sin(37i+a)的值为()

A.YB.C.|D.g

6.乌蒙铁塔位于贵州省六盘水市人民广场中央，由铁塔主体、铁塔基座、八角形平台、十

二生肖书法雕塑铭文说明、十二生肖书法雕塑说明等五部分组成，塔体上以四种书体、384个

文字集中概述凉都的变迁，被誉为凉都六盘水的标志性建筑之一.某学生想要测量塔的高度，

选取与塔底。在同一个水平面内的两个测量基点4与氏现测得Z£MB=75。，ZXBD=45°,

4B=62米，在点4处测得塔顶C的仰角为30。，则塔高CD为米.()

D627-6

--3-

07

7.设a=0.7°，8,b=O,8,c=log080.7,贝b,c的大小关系（）

A.b>c>aB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血

液中酒精含量达到20〜797ng的驾驶员即为酒后驾车，80zng及以上认定为醉酒驾车.假设某驾

驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了lzng/mL.如果在停止喝酒以后，他血

液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：

匈2«0.301,lg3x0.477,lg7«0.845）（）

A.3B.4C.5D.6

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题为真命题的是（）

A.VxE[0,7r],sinx>0B.3xER,（1）x<1

C.若函数f（%）为奇函数，则f（0）=0D.若a力0,则:+a>2

10.某市为响应教育部彻实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定少号召，提出“保

证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议,在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运

动时间统计如表：

学校人数平均运动时间方差

甲校2000103

乙校300082

记这两个学校学生一周运动的总平均时间为白方差为S2,则（）

A.%=8,7B.x=8.8C.s2=3.36D.s2=3.56

11.把函数f（%）=cosx的图像向左平移5个单位长度，再把横坐标变为原来的3倍（纵坐标不

变）得到函数g（x）的图像，下列关于函数9（%）的说法正确的是（）

A.最小正周期为兀B.在区间[-d]上的最大值为：

C.图像的一个对称中心为（工,0）D.图像的一条对称轴为直线％=-1

12.如图，在正方体4BCD-4/也1£）1中，M,N分别是棱

D%上的动点，且。N=B]M,则下列结论中正确的是（）

A.A,M,G，N四点共面

B.AC1MN

C.三棱锥4—C]MN的体积与点M的位置有关

D.直线4D与直线MN所成角正切值的最大值为，攵

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.lg20+IgS+2to^3=.

14.我国古代数学名著仇章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡

两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北

面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽

样的方法），则北面共有人.

15.已知初=（4,3）,OB=（2,10）,则同在方向上的投影向量坐标为.

16.如图所示，梯形48'。。'是平面图形4BCD用斜二测画法得到的直观图，4。=2B'C=2,

A'B'=2,贝l]CD=；平面图形4BCD以4B所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体

积为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知函数/（无）=2s讥（3久+以3>0）的最小正周期为兀.

（1）求/⑤的值；

（2）求函数/Q）的单调递增区间.

18.（本小题12.0分）

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费,

计划对居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准月均用水量不超过m的

部分按平价收费，超过小的部分按议价收费.为了确定一个较为合理的用水标准，某政府部门

通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t）,并绘制如图所示的

频率分布直方图.

。51015202530月均用水量/t

(1)求a的值及估计该市居民用户月均用水量的众数；

(2)为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定小的值(小数点后保留一位有效数

字).

19.(本小题12.0分)

在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且面积为S,若4S=，耳(a?——02).

⑴求4;

(2)若48=4,AC=2,且而=2反，求荏•通」

20.(本小题12.0分)

在仇章算术少中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四

个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臊”.如图，在三棱锥P-4BC中，N4CB为直角，PA1

底面4BC.

(1)求证：三棱锥P-4BC为“鳖舞”；

(2)若4C=8C=P4M是P8的中点，求4M与平面P8C所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=x+p

(1)当a=1时，在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象，并求出函数f(x)在g|］上的值域;

(2)讨论函数"X)的定义域、奇偶性、单调性.(单调性只写结论，无需说明理由)

22.(本小题12.0分)

在正方体4BCD-&B1QD1中，M为当义上的一个动点，如图所示:

(1)求证：AM〃平面GDB；

(2)若P为正方体表面上一动点，且44]=3,若4P=3/克，求点P运动轨迹的长度.

答案和解析

L【答案】D

【解析】解：集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,4},B={2,3,5,6),

则CM={1,5,6},

得Bn(CM)={5,6}.

故选：D.

由集合的补集和交集的运算法则求解.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：z=i(l+2i)=-2+i,

故复数z在复平面内对应的点(-2,1)位于第二象限.

故选：B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及几何意义，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：f(x)=tanx=0时，解得％=kn(keZ),不能得到％=it,

x=兀时，则有/'(兀)=tann=0,

所以“八x)=0”是“％=兀”的必要不充分条件.

故选：B.

由充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的性质求解.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解:2),3=(尢1),且

1x1-2x(-2)=0,

故选：B.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由cosa=|,0<a<^,贝!Js讥a=V1-cos2a=J1—(|)2=

所以sin(3兀+a)=—sina=—1.

故选：A.

由同角三角函数的关系和诱导公式求值.

本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：ADaB中，/.DAB=75°,^ABD=45°,贝叱2DB=60。，

pH4D_4Bmilz八_4Bs讥Z4BD_62s讥45°_62<_S*

由正弦7E理，sm乙4BD-sin乙4DB，人〃。-sinAADB~sin60°~一^一术，

RtACDA中，CD=ADtanSO。=X?=米.

故选：C.

△£MB中，由正弦定理求出AD,RtACDA^,由CD=aDtan30。求出结果.

本题主要考查解三角形，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：由对数函数的性质，可得c=logo,80.7>logo,80.8=1,

又由指数函数的性质，可得1>b=O.807>O,808,

由累函数y=x°，8在(0,+8)为单调递增函数，可得0.8。，8>O,708=a,所以1>b>a,

所以历。0.8。-7>0.807>0.708,即c>b>a.

故选：D.

根据指数函数与幕函数的性质，得到l>b>a,由对数函数的性质得到c>1,即可求解.

本题考查了对数值比较大小的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：设经过x小时才能驾驶，由题意得100x(1-30%尸<20,

BP0.7x<0.2,

由于y=0.7X在定义域上单调递减，

所以%>log。,7。2=输=蜜”而年T=3""IO’

所以他至少经过5小时才能驾驶.

故选：C.

设经过久小时才能驾驶，列不等式100x(l-30%尸<20,根据指数函数的性质及对数的运算求

解即可.

本题考查了函数在实际生产生活中的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

9.【答案】AB

【解析】解：对于2中，由正弦函数的性质，可得Vx€[0,初，s讥xN0,所以为真命题；

对于B中，当x>0时，可得弓尸<1,所以命题船eR,《尸<1为真命题；

对于C中，函数/(%)=：为定义域上的奇函数，但八0)无意义,所以C为假命题；

对于。中，当a<0,可得工+aW—2,所以a大0,贝H+a22是假命题.

aa

故选：AB.

根据正弦函数的性质，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判定3正确；根据奇函数7•Q)=：

和a<0,可得工+aW—2,可判定C、。错误.

a

本题主要考查命题真假的判断，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：依题意，总平均时间为1=忐詈而义10+就鲁而义8=88

方差为s2=P+(1。-8.8声+恨+(8_8.8月=|x4.44+|x2.64=3.36.

故选：BC.

根据平均数和方差的计算公式求解.

本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：函数/Xx)=COSX的图像向左平移与个单位长度，得函数y=cos(x+9的图像，再把

横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数9(X)=cos(2x+E)的图像，

则函数g(x)的最小正周期7=:=兀，故A正确；

区间x€|-黑］时，2x+^&

所以当2x+；。时，函数取得最大值，最大值g(x)g=1，故8错误；

由2x+W=S+k7r(keZ),解得久=卷+额kez),则函数9(久)图像的对称中心为脸+

y,o)(/cez),

当k=0时，(工,0)是函数g(x)图像的一个对称中心，故C正确；

由兀(keZ),解得x=Y+苧(kez),所以函数g(x)图像的对称轴为直线X=Y+

苧(keZ),

当k=0时，函数g(x)图像的一条对称轴为直线尤=Y，故O正确.

故选：ACD.

先根据平移变换和周期变换的原则求出函数g(x)的解析式，再根据余弦函数的性质逐一分析判断

即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用函数的性质分别进行判

断是解决本题的关键，是中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4过N作NE，于E点，连接EB],AM,NQ,如图所示,

则DN=4E=B]M,又AE〃B[M,四边形AE/M为平行四边形，,EBJ/4M,

又NE"D\A、〃C\B\,且NE==C/i，.•.四边形NE/C1为平行四边形，NCi〃E8「

NCJ/AM,则有4,M,5,N四点共面，4选项正确；

对于8,连接AC,BD,正方体中，平面ABC。，ACu平面ABC。，贝ljB8i_L4C,

正方形4BCD中，BD1AC,

BD,幽u平面DBBi%BDnBB1=B,贝！]有AC_L平面DB%%

MNu平面DBBiD],所以4C_LMN,B选项正确；

对于C,连接NG，MCi，连接/A与&G相交于点。，则。为Bi%和4G的中点,

连接N。，MO,BD,如图所示，

NCLNA1,MC±=MAr,所以有NO_L&Ci，M01&G，

由MOnNO=。，MO,N。u平面MON,所以&&_L平面MON,

设四边形DB/Di的面积为S,贝l]S=B/i•BBi，

由ON=BrM,则梯形Bi/NM的面积为卷S,

11111

SAOD】N+SAOB/=/A•4N+]OB厂BrM=-BrDr•(D±N+BtM)=-BrDr-BBr=-S,

-11、

则S4MON=]S,匕LC]MN=%i-OMN+OMN=五S•/传1为定值，。选项正确；

对于D,过点N作N”〃A。交441于点”，连接HM,如图所示,

则为直线2D与直线MN所成的角，有taMHNM=黑,其中N”为定值，

若直线4。与直线MN所成角的正切值最大，只需最大，

设正方体棱长为a,则NH=a,显然当N与点为重合，M与点B重合，”与点4重合，最大，

最大值为/la,

此时tan/HNM=需=/攵，即直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为。选项正确.

NH

故选：ABD.

利用平行线确定唯一平面验证4选项；通过三垂线定理验证选项&对通过转化锥体顶点来证明锥

体体积不变验证选项C；将异面直线转化成相交直线，再用函数思想可判断D选项.

本题考查了空间图形中的位置关系和角度、距离、面积、体积等问题，属于中档题.

13.【答案】5

2

【解析】解:lg20+匈5+2'。先3=]g(20x5)+3=IglO+3=2+3=5.

故答案为：5.

根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得.

本题考查了对数的运算，是基础题.

14.【答案】100

【解析】解：设北面共有久人，则由题意可得而捻非，解得x=100,

300+200+x60

所以北面共有100人.

故答案为：100.

根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可.

本题考查了分层抽样的应用，属于基础题.

15.【答案】(||,If)

【解析】解:因为6<=(4,3)，3月=(2,10),

所以荏=OB-OA=(2,10)-(4,3)=(-2,7),

所以南-2x4+3x7=13，\OA\=V42+32=5，

所以荏在初方向上的投影向量为需.磊=卷.萼=(||,教

故答案为:(||,||).

首先求出说的坐标，再根据荏在初方向上的投影向量为普■磊计算可得.

本题主要考查投影向量的求解，属于基础题.

16.【答案】V^7yTT

【解析】解：根据题意，由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形ABCD是直角梯形,

如图：

其中AB=24'8'=4,BC=B'C=1,AD=A'D'=2,ABLAD,

过C作CE12。交4。于E,则E为4。的中点，

1

在Rt△(?£1£)中，CE=AB=4,ED=^AD=1,

所以CD=VCE2+ED2=V_17：

将直角梯形ABC。以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，

其上底面圆的半径为BC=1,下底面圆的半径为4D=2,高为4B=4,

-1no

故此圆台体积为卜=-X(7T+V7T-47T+47T)X4=y7T.

故答案为：<17:算.

根据题意，由斜二测画法原理可得平面图形4BCD是直角梯形，进而可求CD；直角梯形4BCD以4B

所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积.

本题考查旋转体的体积计算，涉及斜二测画法，属于基础题.

17.【答案】解：(1)由题可知，高=兀，又3>0,所以3=2,

所以/(%)=2sM(2%+)

所以居)=2s出(2xg+今=2s讥兀=0.

(2)令2/CT——<2x+—<2/OT+—,fcGZ,

解得k兀一冠WxWkir+—,keZ,

所以函数f(x)的单调递增区间为即—冷"+勺,(kez).

【解析】(1)由周期求出3,即可求出函数解析式，再代入计算可得；

(2)根据正弦函数的性质计算可得.

本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由图可知：(0.040+0.060+a+0.020x2+0.008)x5=1,

解得:a=0,052,

又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5,所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5；

(2)由图可知：居民用户月均用水量在区间[0,5),[5,10),[10,15)的频率分别为：0.2,0,3,0,26,

又0.2+0.3<0.75,0.2+0.3+0.26>0.75,

所以me(10,15),

由0.2+0.3+(in-10)X0.052=0.75,

解得znx14.8.

【解析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1求Q的值，利用频率分布直方图中的最

高矩形求众数；

(2)分别求出前2组，前3组的频率和，估计出支的范围，再根据75%分位数建立方程求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数的估计，属于基础题.

19.【答案】解：(1)在△ABC中，因为4s=—庐—C?),

可得2bcsizb4=yT~3(a2—b2—c2),

两边同时除以2bc整理得：Q七贮=_4Is讥4

2bc3

所以cos/=—?sin/,即加几4=—7"?，

又因为0<4<兀，所以4=|兀.

(2)因为前=2反，所以前=|前，

又因为而=用+丽=历+|芯=得南+!前，

则希-AD=AB-(^AB+|硝=||AB|2+|同-AC,

又由AB=4,AC=2,A=(兀，

所以|同产=16,AB-AC=\AB\-\'AC\cosA=4x2X(一手=-4,

所以而.而=当_争号

【解析】⑴根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，得到cos&=-早siM即可求解;

(2)由而=2反，得到而=,荏+|南进而得到丽.而=彳|同门+|同•记结合题意，

利用向量的数量积的运算公式，即可求解.

本题考查解三角形与平面向量的线性运算与数量积的综合，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：rPa，平面ABC,AB,AC,8Cu平面ABC,

•••PAIAC,PAIAB,PA1BC,

••.△P4C、A/MB为直角三角形，

又N2C8为直角，贝UBCLZC,即AABC为直角三角形，

又panac=a,PA,ACU平面PAC,

则8C1平面PAC,

又PCu平面P2C,则BC1PC,即APCB为直角三角形，

•••三棱锥P-ABC为“鳖IT';

(2)设BC=AC=PA=a,则48=VAC2+BC2=4a,

PC=VPA2+AC2=yp2.a,PB=VPA2+AB2=Ca,

过点4作PC的垂线，交PC于点N,连接MN,如图所示：

p

c

由(1)得BC_L平面4PC,ANu平面4PC,贝U8CJ.2N,

又在等腰APAC中，AN1PC,BCClPC=C,BC,PCu平面PBC,

AN_L平面PBC,即NZMN为直线AM与平面PBC所成角，

又2M=等=?a，AN=^=^a，

..B..rANyj_6

,■.sm^AMN=—=—，

••・直线AM与平面PBC所成角的正弦值为学.

【解析】(1)根据线面垂直可得PAIAC,PA^AB,PA1BC,结合BC14C,利用线面垂直的判

定定理可得8C，平面P4C,即可证明结论；

(2)过点4作PC的垂线，交PC于点N,连接MN,即可证明4N,平面PBC,贝UNAMN为直线AM与平

面PBC所成角，利用锐角三角函数计算，即可得出答案.

本题考查直线与平面垂直和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，

属于中档题.

21.【答案】解：(1)当a=l时，函数f(x)=x+；,函数/(%)的图象，如图所示,

由图象可知：当％=1时，取最小值为/(I)=2,

当x=机寸，f(尤)取最大值为后)=获

所以函数在区间生|］上的值域为［2颔

(2)解：由/(%)=