2021-2022学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、

多选、错选，均不给分）

1.（3分）下列四个交通标志中，属于中心对称图形的是（）

2.(3分)抛物线丫=蒋(X+4)2-5的顶点坐标为()

A.(-4,-5)B.(-4,5)C.(4,-5)D.(4,5)

3.（3分）如图是一个游戏转盘.自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1,2,

3,4所示区域内可能性最大的是（)

C.3号D.4号

4.（3分）若三用则下列等式成立的是（）

y4

A.3x=4yB.史上上C.D

y4y+15>1

5.（3分）如图，h,h,/3是一组平行线，直线AC,。尸分别与这组平行线依次相交于点A,

B,C和点。，E,F.若坐上，则旦E的值为（）

BC3DF

3

5

6.（3分）如图，在o。中，半径0c_LAB于点D已知。C=5,0D=4,则弦AB的长为

（）

7.（3分）如图，4,B,C是。。上的点，满足C4平分N0C8.若/OAC=25°,贝！J/AOB

的度数为（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

8.（3分）如图，在nABCD中，点E在边上，连结。E并延长交AB的延长线于点?若

生二，则△班万与△AD尸的周长之比为（）

BE3

DK---------------------犷

A.1：3B.3：7C.4：7D.3：4

9.（3分）二次函数y=o?+灰+c的部分图象如图所示，当尤＞0时，函数值y的取值范围是

()

c.y<2D.yW3

10.（3分）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆

十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（）

A.1B.8-4V3c.16-8近D.20-1073

二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）抛物线y=-7+2X+3与y轴的交点坐标是.

12.（3分）若线段。=4,b=L则a,6的比例中项线段为.

13.（3分）如图，点A在半圆。上，是直径，AB=AC.若AB=2,则BC的长为

14.（3分）若圆的半径为3cM1,圆周角为25°,则这个圆周角所对的弧长为cm.

15.（3分）明明家过年时包了50个饺子，其中有5个饺子包有幸运果.明明一家人连续吃

了10个饺子都没有吃到幸运果，那么明明在剩余的饺子中任意挑选一个饺子，正好是包

有幸运果饺子的概率是.

16.（3分）如图，在△ABC中，点。在AC上，ZABD=ZC.若AB=2AZ）=4,则CO的

长是.

A

D

17.（3分）二次函数y=o?+bx+c的部分对应值列表如下:

X…-30135…

y…7-8-9-57…

则一元二次方程a(2x+l)2+b(2x+l)+c=-5的解为

18.（3分）某户外遮阳棚如图1,其截面结构示意图如图2所示.支撑柱地面，AB=

120遥cm,尸是支撑柱A8上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40JT^C〃Z,

斜拉杆AE可绕点A旋转，AE^XCP.若/APE=30°,贝U2尸=cm；伞展开长

2

PD=300cm,若A,C,。在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则尸。落到

地面的阴影长为,

图1图2

三、解答题（本题有6小题，共46分）

19.（6分）小聪参加一个幸运挑战活动，规则是：在一个箱子里有3个白球和1个红球，

它们除颜色外其余都相同，现从箱子里摸出1个球，不放回，记下颜色，再摸出1个球,

若两次摸出球的颜色相同，则挑战成功.

（1）请用列表法或树状图法，表示出所有可能的结果.

（2）求小聪挑战成功的概率.

20.（6分）如图，在6义6的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请按要求作图.

（1）在图1中画一个格点△ADE,使△AOES/XABC.

（2）在图2中画一条格点线段BP,交AC于点Q,使CQ=2AQ.

21.（6分）己知二次函数》=成+法（<7#0）的图象经过点A（2,4）,B（4,0）.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）将x轴上的点尸先向上平移3〃（〃>0）个单位得点尸1,再向左平移2"个单位得点

P2,若点尸1,P2均在该二次函数图象上，求力的值.

22.（8分）如图，四边形A8CO内接于半圆。，是直径，C是面的中点，延长AO,BC

交于点E.

（1）求证：CE=CD.

（2）若AB=5,BC=V5.求的长.

23.（8分）某校需要订购中考专用的某某款跳绳。条和排球2a个，经调查发现，该款跳绳、

排球各商家均标价为50元/条，40元/个，现有3家商店在做促销活动如下表：

商店促销活动

甲库存充裕，全场9折.

乙库存充裕，按套数（含1条跳绳和1个排球）

优惠:30套及以内，每套85元；超过30套，

每增加1套，所有套数套优惠0.5元，但降

幅不超过15元.

丙仅库存排球55个，排球每满5个送1个

（1）若仅在一家商店购买，请用含。的代数式分别表示甲、乙两店的费用，填写下表.

a0<aW3030<aW60a>60

商店

甲_______

乙_____________________

（2）当。=60时，请你通过计算设计一种购买方案，使得总费用不超过6220元.

24.（12分）如图，在RtZXABC中，ZCAB=90°,AC=3,AB=4,AZ）_L8C于点。，射

线CE平行48交的延长线于点E,P是射线CE上一点（在点£的右侧），连结AP

交BC于点F.

（1）求证：

（2）若出二3,求里的值.

EP5AF

（3）以PF为直径的圆经过中的某一个顶点时，求所有满足条件的“的长.

（备用图）

2021-2022学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、

多选、错选，均不给分）

1.【考点】中心对称图形.

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.把一个图形绕某

一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对

称图形，这个点叫做对称中心.

【解答】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形

旋转180度后与原图形重合.

2.【考点】二次函数的性质.

【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

【解答】解：•••丫=-^鼠+4）2-5是抛物线解析式的顶点式，

...根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-4,-5）.

故选：A.

【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.利用解析式化为y=a2+k,

顶点坐标是Gi,k）,对称轴是直线x=/z得出是解题关键.

3.【考点】可能性的大小.

【分析】先求出数字1对应扇形圆心角度数，再比较圆心角度数大小即可.

【解答】解：由图形知，1对应扇形圆心角度数为360°-（50°+125°+65°）=120°,

所以数字3对应扇形圆心角度数最大，

所以指针落在数字1,2,3,4所示区域内可能性最大的是3号，

故选：C.

【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）

的计算方法.

4.【考点】比例的性质.

【分析】利用比例的性质逐一判断即可.

【解答】解：A.因为三=2，所以3y=4无，故A不符合题意；

y4

B.因为三=3,所以史上=工，故B符合题意；

y4y4

C.因为三=旦，所以上力3,故C不符合题意；

y4y+15

D.因为工=3,所以9旦，故。不符合题意；

y4y+14

故选：B.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

5.【考点】平行线分线段成比例；平行线.

【分析】根据平行线分线段成比例和题目中的条件解答即可.

【解答】解:'：h//h//h,

•-•D-E=AB,=—2,

EFBC3

•EF=3=3

DF3+25

故选：c.

【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件，利用平行线分线段成比例解答.

6.【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接如图，先利用勾股定理计算出AD,再根据垂径定理得到

所以

【解答】解：'：OC±AB,

；./ODB=90°,AB=2BD,

在中，0B=0C=5,。£>=4,

:，BD=VQB2-OD2=752-42=3'

：.AB=2BD=6.

故选：D.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

7.【考点】点与圆的位置关系；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【分析】根据OA=OC,ZOAC=25°,所以/OCA=/OAC=25°,因为CA平分/

OCB,推出/BCA=/OCA=25°,则NAO8=2/BCA=2><25°=50°.

【解答】解：：OA=OC,ZOAC=25°,

.•./OCA=NOAC=25°,

平分/OC8,

：.ZBCA=ZOCA=25°,

.•.NAOB=2N8C4=2X25°=50°,

故选：B.

【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

8.【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的性质得可知△CDEs^BFE,再根据BC〃AD得

△BEFSAADF,可知与△ADF的周长之比为变萼，

FD7

【解答】解：：四边形A8C。是平行四边形，

J.CD//AB,BC//AD,

:ACDEs^BFE,

•CEDE4

"BE"EF"3"

•••EF=-,3

FD7

'JBC//AD,

:.ABEFsAADF,

：.ABEF与AADF的周长之比为空屈，

FD7

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似

三角形的基本模型是解题的关键.

9.【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象.

【分析】根据待定系数法求得二次函数解析式，求得顶点坐标，根据函数图象可以得到

当尤＞0时，函数值y的取值范围.

【解答】解：：二次函数y=o?+bx+c图象过（2,0）,（0,2）,对称轴为直线x=0.5,

4a+2b+c=0

.c=2

b1

云而

'a=-l

,•"b=l，

,c=2

.,.二次函数为＞=-X2+X+2,

''y=-7+x+2=-（x-A）2+_r,,

'24

顶点为（工，2）

24

由函数图象可得，当x＞0时，

4

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数

的性质和数形结合的思想解答.

10.【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；数学常识；矩形的性质；正方形的性质.

【分析】根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出/A。。

=120°,NBOC=90°,由直角三角形的边角关系求出OM、AM.BM,根据三角形的

面积公式进行计算即可.

【解答】解：如图，连接。4、OB、OC,OD,过点。作OM_LA。，垂足为

由圆的对称性可知，点A、点。是O。的三等分点，四边形8CFE是正方形，

AZAOD=Ax360°=120°,ZBOC=Ax360°=90°,

34

在RtZ\AOM中，OA=2,ZAOM=60°,

：.OM=1OA=1,AM=^-OA=M，

22

在RtZYBOM中，ZBOM^45°,OM=1,

：.BM=OM=\,

：.AB^AM-BM=6-1,

...8个阴影三角形的面积和为：lx（V3-1）（V3-1）X8=16-8遍，

2

故选：c.

【点评】本题考查正多边形和圆，理解正多边形和圆的对称性，掌握正多边形和圆的相

关计算的方法是正确解答的前提.

二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

11.【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可.

【解答】解：把尤=0代入y=-/+2X+3得y=3,

所以抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）.

故答案为（0,3）.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令x=0

或y=0即可.

12.【考点】比例线段.

【分析】设线段a,b的比例中项为c,根据比例中项的定义可得。2=仍，代入数据可直

接求出c的值，注意两条线段的比例中项为正数.

【解答】解：设线段。，b的比例中项为c,

是长度分别为4、1的两条线段的比例中项，

.'.c2=aZ?=4X1,

.c—4,

.•.c=±2（负数舍去），

；.a、6的比例中项线段为2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了比例线段.解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：c=c：

b,即。2=漏，那么c叫做。与6的比例中项.

13.【考点】圆心角、弧、弦的关系.

【分析】连接04,由圆心角，弦，弧的关系可得结合等腰直角三角形的性质

可求解OB的长，进而可求解BC的长.

【解答】解：连接。4,

VAB=AG是直径,

C.OALBC,

•：OA=OB,AB=2,

•••OA=O8=WAB咚X2=®

.•.BC=20A=2A/2.

故答案为：K巧.

【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA,OB

的长是解题的关键.

14.【考点】弧长的计算；圆周角定理.

【分析】首先根据圆周角定理求得弧所对的圆心角的度数，再进一步根据弧长的公式计

算即可.

【解答】解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是50°,

根据弧长的公式/=5Q，KX3

1806

故答案为：S兀.

6

【点评】此题综合考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟记定理和弧长公式.

15.【考点】概率公式.

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率.

【解答】解：任意挑选一个饺子共有50种等可能结果，其中正好是包有幸运果饺子的有

5种结果，

所以正好是包有幸运果饺子的概率是区=工，

408

故答案为：1.

8

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有“种可能，而且这些事件的可能性相同,

其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率PG4)=旦.

n

16.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】根据/ABO=NC,NA=/A,得Z\ABDs^ACB,可得AC=8,从而得出答案.

【解答】解：:/ABD=NC,ZA^ZA,

：.AABD^AACB,

•••AD22---AB,

ABAC

：AB=2A£)=4,

•ADAB1

"AB"AC"2"

：.AC=2AB=8,

：.CD=AC-AD=8-2=6,

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的基本模型是

解题的关键.

17.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】由表格中的数据知，当x=3时，y=-5.所以由题意知：当2尤+1=3时，y=

-5.

【解答】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线》=昱3=1.

2

根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c=-5的解为x=3或x=-1.

所以2x+l=3或2x+l=-1.

解得x=1或x=-1.

所以一元二次方程a(2尤+1)~+b(2x+l)+c=-5的解为：x=±l.

故答案是：x=±l.

【点评】本题主要考查了抛物线与无轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的

技巧性在于得到2尤+1=3.

18.【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理的应用；等腰三角形的判定与性质.

【分析】(1)先过点E作斯，AP构造出含30度角的直角三角形，利用其性质得到线段

长度，再利用等腰三角形的性质得到AP,最后根据图象利用A8-AP即可求解；

(2)首先根据题意画图，明确求出即所得，设出AC长度，利用两个直角形的公共

边，结合勾股定理列出方程求解，最后利用线段相加即可解决.

【解答】解（1）如图，过点E作垂足为R

YE是PC的中点，

：.PE=EC=1PC=2O-/I5cm,

2

XVA£=Apc,

2

：.AE=PE=CE=204l5cm,

在RtzXPE/中，ZAP£=30°,产£=20百^7九，

：.PF=PE-cosZAPE

=2(h/I^X返

2

=3oV5(cm),

VAE=PE,EFLAB,

：.AP=2PF=60yf5cm,

：.BP=AB-AP

=120A/5-60A/5

=60\/^(cm).

(2)由题意可知，当A、。、。三点共线时，此时AC_LAP,

如图所示：过点。作。尸，地面，交地面水平线为R

VZDAP=ZB=ZDFB=90°,

，四边形ABF。为矩形,

：.AD=BF,

设AC=x,

在RtAACP和RtAPDA中,

：.CP2-AC2=DP2-DA2,

（40715）2-X2=3002-（40V15+X）2;

解得尤=35后，

：.BF^AD=AC+CD^75Vl（cm）,

•••当太阳光线恰好与地面垂直，则落在地面上的阴影为75^。小

故答案为：6075；75^15-

【点评】本题主要考查勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的

性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出问题所需要的的条件.

三、解答题（本题有6小题，共46分）

19.【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）画出树状图即可；

（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中小聪挑战成功的结果有6种，再由概

率公式求解即可.

【解答】解：（1）画树状图如下：

白白白红

白白红白白红白白红白白白

共有12种等可能的结果；

（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中小聪挑战成功的结果有6种,

，小聪挑战成功的概率为且=2.

122

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法适用于两步或两步以上完成的事

件.解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.【考点】作图-相似变换.

【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可；

（2）根据平行线分线段成比例定理，并结合网格特点求解即可.

【解答】解：(1)如图1所示，△&£>£即为所求;

(2)如图2所示，线段即为所求.

【点评】本题主要考查作图一相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及

平行线分线段成比例定理.

21.【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点

的坐标特征.

【分析】(1)把A点和8点坐标分别代入y=o?+6x,利用待定系数法即可求得；

(2)设尸(x,0),由题意可知尸1(无，3”)，Pi(x-2n,3”)，根据平移的性质得出Pi

(尤，3〃)和尸2(尤-2”，3n)是对称点，即可得到x+x-2n=-------4------解得彳=〃+2,

22X(-1)

即Pl(〃+2,3n),代入y=-f+4x得到关于”的方程，解方程即可求得.

【解答】解：(1)把A(2,4)和B(4,0)分另U代入y=a/+bx得2b=4,

I16a+4b=0

解得门"I,

lb=4

二次函数的表达式为y=-JT+4X；

(2)设P(x,0),

:点尸先向上平移3”(〃>0)个单位得点P,再向左平移2〃个单位得点P2,

•'•P1(%,3〃)，尸2(x-In,3几)，

»x+x-2n__4

一~2X(-1)'

.•.x=〃+2,

.,.Pl(n+2,3〃)，

・・,点Pi在该二次函数图象上，

「・3〃=-(〃+2)2+4(〃+2),

解得m=l,n2=-4（舍去）,

：.n的值为1.

【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征和待定

系数法求二次函数的解析式；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能用含n的代数式

表示尸1的坐标是解题的关键.

22.【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；

圆内接四边形的性质.

【分析】（1）连接AC,根据C是面的中点，得NE4c=N8AC,根据AB是直径，知/

ACE=/ACB=90°,再利用ASA证明△ACE0A4C3,得BC=EC,从而证明结论；

（2）连接80,利用两个角相等证明△ABCs/XBEO,得幽注，可得的长，从而

BEED

得出答案.

【解答】（1）证明：连接AC,

是俞的中点，

•1.CD=CB-

：.ZEAC^ZBAC,CD=CB,

,：AB是直径，

AZACE=ZACB=90°,

在△ACE与△AC8中，

，ZEAC=ZBAC

,AC=AC，

ZACE=ZACB

.,.△ACE0△ACB(ASA),

：.BC=EC,

:.CD=CE；

（2）解：连接8。,

：・BE=BC+CE=2爬,

・・・四边形ABCD内接于半圆0,

ZABC+ZAZ)C=180°,

VZAZ)C+ZCZ)E=180o,

・•・/ABC=/CDE,

■:CE=CD,

：.ZE=ZCDE=ZABC,

TAB为直径，

ZADB=90°,

：.ZBDE=90°,

VZACB=ZBDE=90°,NABC=NE,

：.AABCsABED,

・ABBC

**BEW

・54,

"2遥F’

:・ED=2,

AACE^AACB,

.\AE=AB=5,

：.AD=AE-ED=5-2=3.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性

质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABCsZXB即是解题的关键.

23.【考点】列代数式；代数式求值.

【分析】(1)甲：根据“单价X数量=总价”进行计算即可，

乙：先分清楚由多少套，然后计算按套算的总价和剩余排球总价，最后将两部分的费用

相加即可；

(2)先讨论只在甲店和只在乙店购买所需的费用，然后讨论在甲店和丙店与在乙店和丙

店购买的费用，进而得到符合条件的方案.

【解答】解:(1)甲：0.9X(50a+40X2a)=117。(元)，

乙：当0<aW30时，共组成°套，剩余“个排球，

所需费用为854+40a=125。(元)，

当30<aW60时，共组成a(a>30)套，剩余a个排球，

所需费用为aX[85-0.5(a-30)]+40a=(-0.5a2+140a)元，

当60<a口寸，共组成a套，剩余a个排球，

，所需费用为(85-15)a+40a=110。元，

故答案为：117a,125a,-0.5a2+140a,110a.

(2)①只在甲店买所需费用为：(60X50+120X40)X0.9=7020(元)，

②只在乙店买所需费用为：-0.5X6()2+140X60=6600(元)，

③在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，所需费

用为：

(85-30X0.5)X60+45X40+40X0.9X6=6216(元)，

；・购买方案为：在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个

排球.

【点评】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题关键是读懂题意，正确列出代数式.

24.【考点】圆的综合题.

【分析】(1)利用同角的余角相等可得/CE4=/ACB,可证明结论；

(2)由(1)得得30,则CE=9,EP=工，从而得出CP的长,

4344

再利用△CFPs.B外，可得空

AFBA2

(3)分以尸尸为直径的圆经过中的一个顶点。或E或8,分别画出图形，利用相

似三角形的判定与性质进行解题.

【解答】(1)证明：：CE〃A8,

：.ZCAB+ZACE=1SQ°,

VZCAB=90",

/.ZAC£=90°,

AZACB+ZECD=90°,

*：ADLBC,

：.ZCDE=90°,

AZAEC+ZECD=90°,

：.ZCEA=ZACB.

：.AACE^ABAC；

(2)解：由(1)得△ACES^BAC,

・ACg,

•京随

・

••-3--=--C--E-,

43

：.CE=1,

4

••CE3

•EPV

4

；.CP=CE+EP=6,

VCP//AB,

：./\CFP^/\BFA,

•PFCP3.

"AF"BA"2"

(3)解：当以P尸为直径的圆经过△8DE中的一个顶点。时,

AP与AE重合，点P与点E重合，不符合题意，

当以PE为直径的圆经过△BOE中的一个顶点E时,

E

连接ER则NPEV=90°，

VZPCA=90°,

J.EF//AC,

:•△PEFsXpcN,

•；/FCE=NCBA,

AtanZFCE=tanZCBA,

,.tanZFC£=1L^-4EF'ta叱CBA喷售

CE9

T，

由（1）知,CE=2

4

,:PC=PE+CE=PE+*,ZL月1

4PCCA

.*.PE=&

28

以P尸为直径的圆经过△BOE中的一个顶点B时,

E

连接BP,

则/EBP=90°,BPLBC,

'：AE±BC,

C.BP//AE,

"JEP//AB,

...四边形EABP是平行四边形，

：.EP=AB=4,

综上所述，满足条件的“的长为4或旦1.

28

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行

四边形的判定与性质，三角函数等知识，从复杂图形中分离出基本图形是解题的关键，

同时渗透了分类讨论的数学思想.

考点卡片

1.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

2.列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，

仔细辩析词义.如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分.②

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求

规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除

法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括

号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“义”

简写作“丫或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“!”（除号），而是写成分数的形式.

3.代数式求值

（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.

(2)代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要

先化简再求值.

题型简单总结以下三种：

①已知条件不化简，所给代数式化简；

②已知条件化简，所给代数式不化简；

③已知条件和所给代数式都要化简.

4.二次函数的图象

(1)二次函数>=苏QWO)的图象的画法：

①列表：先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取无值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶

点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用

平滑的曲线连接起来.画抛物线〉=/QW0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描

点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数y=af+6x+c(aWO)的图象

二次函数(aWO)的图象看作由二次函数丫=点的图象向右或向左平移|』-|个

2a

单位，再向上或向下平移信空上I个单位得到的.

4a

5.二次函数的性质

2

二次函数(〃W0)的顶点坐标是(-上，4ac-b),对称轴直线冗=-应，

2a4a2a

二次函数y=〃x2+bx+c(〃W0)的图象具有如下性质：

①当〃>0时，抛物线y=o?+法+c(〃wo)的开口向上，xV时，>随x的增大而减小；

2a

2

x>-a时，>随X的增大而增大；X=--J时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，抛物线y=ax2+bx+cQW0)的开口向下，-上时，y随x的增大而增大;

2a

2

x>-2时，y随X的增大而减小；x=-2时，y取得最大值即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线y=o?+fcc+c（aWO）的图象可由抛物线y=o?的图象向右或向左平移|-2|个单

2a

位，再向上或向下平移|4ac-b2।个单位得到的.

4a

6.二次函数图象上点的坐标特征

2

二次函数y=o?+6x+cQW0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-也，4蛇心.）.

2a4a

①抛物线是关于对称轴尤=-2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足

2a

函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.

③抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（XI,0）,（X2,0）,则其

对称轴为x=—~.

2

7.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

8.待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：>=。尤2+公+。（。,b,。是常数，。#0）；②顶点式：y—a（x-A）2+k（.a,h,k

是常数，aWO）,其中"，k）为顶点坐标；③交点式：y=a（x-xi）（x-尤2）（a,b,c

是常数，aWO）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式.

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系

式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列

三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与尤轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

9.抛物线与x轴的交点

求二次函数y=a/+bx+c（a,b,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标，令y=0,HPcu?+bx+c

=0,解关于尤的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数y=ax2+foc+c（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程以2+法+。=（）

根之间的关系.

△=启-4ac决定抛物线与无轴的交点个数.

△=庐-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=庐-4℃=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=启-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常数，aWO）,可直接得到抛

物线与无轴的交点坐标（xi,0）,（以，0）.

10.平行线

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）.

（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.

记作：a//b；

读作：直线。平行于直线6.

（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意:

①前提是在同一平面内；

②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线.

11.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、

底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，

有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖

全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

12.含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的

相关问题中常用来求边的长度和角的度数.

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角

形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

13.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+d=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式的变形有：o=^c2-^2,b=q©2_22及C=/a2+b2.

(4)由于/+呈=02>/,所以。>小同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

14.勾股定理的应用

(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

(3)常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为

边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正

整数的直角三角形的斜边.

15.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

(3)平行线间的距离处处相等.

(4)平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

16.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在

的直线；对称中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

17.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有

四条对称轴.

18.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

19.圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧