2023年四川省绵阳市统招专升本数学自考真题(含答案)

2023年四川省绵阳市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

.设D=｛（，皿I14.r+则二重积分『4cLrdy=（）

A.167TB.8”

C.4TTD.3n

2.

曲线v=Q—5）,+2（）

A.有极值点又=5但无拐点B.有拐点（5,2）但无极值点

C.有极值点7=5及拐点（5.2）D.既无极值点又无拐点

3.

已知曲线y=2+.一,则该曲线的拐点(了,》)=

A.(0.2)B.(1.3)

工(0,0)D.(—1,1)

4.

设了⑺的一个原函数为sin2i,则=)

A.cos2xB.sin2o*C.cos2x/CD.sin2<z十C

5.

设/(Z)=(J-a)u(t—a)•则F(5)==

A.JB.J-77C.-----7

s(s+a)(s—a)

下列关于极值的命题中，正确的是()

A.若/'(豌,)=0,则%一定是/(*)的极值点

AB.极大值一定大于极小值

o.

C.若X。是/(x)的极值点，则/一定是/(x)的驻点

D.若/(%)在/处取得极值且/'(%)存在，则/'(%)=。

7.

设复数二=(我一混i”.则z的模和辐角的主值分别为

A”竽B.45/2,-7-C.2^/2,—D.2盒寸

44

8.

已知函数/(工)=z，则/(：)]=

B..r2D.±

9.

lim,

--------f(x)x=A是xf5时,函数f(x)-A为无穷小量的是()。

A.充分条件B.必要条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

10.

若函数/(函=(Inz)'(^>1),则/(1)=

A.(Inj)'1B.(inx)'1+(lnj)rln(lnx)

C.(lnj)rln(lnj：)D.J(lnj-)r

11.

已知函数人才)在(-8,+8)内可导，周期为，l,且lim/⑴-/(I―工)=-1,则曲线

工**CQJL

y=/("在点(5,/(5))处的切线斜率为()

A.yB.0C.-1D.-2

12.

.设/'(])在口上可积•且/(1)=1*/(2)=1.f/(w)di=-1,则///'(.r)dw=

()

A.-1B.0C.1D.2

13.

已知/(x)=InCr+D,则工=o为(

X

A.连续点B.可去间断点

C,跳跃间断点D.无穷间断点

14.

躯如⑴,g⑴舸导,丽仙⑴的题数，且有f(0)=5,g(0)=2,1f⑴

—g(支)=-3

A.

B.3

C.7

D.-7

15.

设A和B为”阶方阵.则必有()

A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BA

C.\AB\=\BA\D.(A+B)-=A-1+B-1

16.

函数y=/(i)由方程/y+lnw=1确定.则该曲线在点(1.D处的切线方程为

）

A.y+27—3=0B.y+2JT+3=0

C.2y+工一3=0D.2y+i+3=0

17.

设函数/(x)在点Xo的邻域有定义，在点X。处二阶可导，并且/'(/)=0,

/"(%)00那么函数/(x)在点与处()

A.一定取得极值B.取得极小值

C,取得极大值D.不能被判定是否取得极值

18.

设向量组%=（1,0,0）,%=0,3,-1），。3=（53。线性相关，则？=（）

A.3B.1C.0D.-1

19.

・微分方程虫+由=0的通解是（）

yx

A.x2+=25B.3«r+4v=C

c.P+y=cD.y-v=7

20.

设y=4x-＞。),其反函数h=中(丫)在y=0处导数是(

A.5B-|C.D-1

21.

fsirkr,igD.

若函数以#)=」'是某随机变量的密度函数，则D是

［0,xeD

A.［。句B.[0,亢]

C.［一手刁

22.

舸如⑴牖薮，政）雕画机般合馥强⑹为

奇函数

A.

偶函数

B.

非奇非偶函数

C.

既奇又偶函数

D.

23.

，设极限lim隼

—1，则点工=工。是函数/（X）的

■r~»Q2（J*—Nq）

A.极大值点B.极小值点

C.驻点，但非极值点D.非驻点

24.

)

3579

D.通项是（一1）"」一

A.条件收敛B.绝对收敛C.发散

2«-1

25.

曲线y=1+r工+2的垂直渐近线共有（）

一一1一0

A.1条B.2条C.3条D.4条

26.

已知lim©#=-4,则()

L2X-Z

A.a=-1B.a=0

C.a=1D.a=2

27.

.积分[di1]2ydy=()

C.JD.0

28.

.设“7）具有二阶连续导数=O.lim/%=—2,则一定成立的是（）

A./（2）是/<.r）的极大值B./（2）是八小的极小值

C.（2,/（2））是曲线的拐点D..r=2不是曲线的极值点

29.

二阶线性齐次微分方程冒+2歹'-3y=0的通解为（）

31-1B.e-"(Gcosx+Gsinx)

A.C,e+C2e

x

3xxD.Ge*+C2e

C.CtQ+C2e~

30.

已知级数则下列结论正确的是)

I

若lim〃”=0•则X收敛

ft.8

3.若£“，的部分和数列｛S“）有界•则收敛

11

88

二若2।U.I收敛•则绝对收敛

“■I1

8OO

）若2IM„I发散.则也发散

二、填空题（20题）

过点（3.2.-2）且与平面3a+2y—z—5=0垂直的直线方程为

31.

32.

函数小）=+"的定义域是----------

设函数/([)=d,则/(1)=.

34.

若。={1,2,3},b={-1,0,1},以a»为邻边的平行四边形面积为

交换积分次序£dx匕/(x,y)dy+/时:/(x,y)dy

35.-*x-=

设3=(t—1)(2—3)山，则y'(0)=

36.Ju

37曲线L为r2+V=/,则，jds=

函数/(111—~的间断点有

38.7—-2.r—3

39.

「1

不定积分一,,心=

Jz-1m

设/(.r)=lim/I—王、，则/(ln2)=

\nI

函数/&)=ln(l+/)的极小值为

41.____

"曲线)=的水平渐近线是

42.(Sr-kU1V

limqin(n+l)-lnn］=・

43.0

f(①3—a-+1)sinzjd.z=

44.」t

交换二次积分次序£dy£j^-/(x,y)dx=

46.

如果函数/(.r)在区间［-2.2］上连续,且平均值为3.则“/(、r)di=

设函数“二)=*.则八］)=

47.>

4/oQ.设a={1.2.3h8={。，1.-2}.则(a+b)义(。-6)=

设函数f(x>的一个原函数为sin2.r.则⑶)d_r=

49.

50.

设a,q均为3维列向量,A=(aa),3=(&•9，6)，且有A+2B=3,则

三、计算题（15题）

51.

dnly,其中D为圆，+丁=1及工？+），：=9所围成的环形区域.

计算IP'

I)

求由曲线/=2y与直线y=x+4所国成的平面图形的面积.

IXJ

求2H的和函数.

53.

54.

「1-10]

已知A=01-1，且满足AX=2X+A,求矩阵X.

一101

y'--^y=(x+i)2,

求微分方程｛x+l1的特解.

yx^o=~j

55.I

8

求幕级数的和函数.

56.*I

57.

用夹逼准则求极限也（号+―+…

58.

已知直线x=a将抛物线x=J?与直线x=1围成平面图形分为面积相等的两部分,

求a的值.

求极限limjlH---\e-J.

59.L+«4工）

60.

利用格林公式计算曲线积分］（了一。。，》）€11+（人2,+/）心,其中/,是闭区域：0*

1《穴，0W》式sin.r的正向边界曲线.

设/（x）的一个原函数为z-imr,求不定积分J修d*.

61.

62.

J—cosax

J<0,

设/⑴=J，'一°,在才=0处连续，试求常数。,6.

1r

6siiLi+cos/dt

Jo

T>0

I

1+.r21W°，r3

设f(x)=求|f(a—2)d.r.

ex..r>0,J】.

63.

已知/(lnjr+1)百十3工,求d/产)

dj,

64.

12(八

23-1,

设A=340,3=.求4BT.

一240

1

四、证明题(10题)

66.

设义工)在［0.1］上连续，在(0,1)内可导*且2，/(了)必=/(0).证明：存在se(0.1).

使八力=0.

证明不等式e式>兀二

67.

证明方程/-2/+工+1=0在(-1.1)内至少有一个实根.

68.

69.

设平面图形D由曲线JT=2y［y,y=，一工与直线.y=1围成，试求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕z轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

70.

已知方程w"—x7—a'+r=o有一正根r=1.证明方程1卜/°—7、——3〃+1=0

必有一个小于1的正根.

71.

证明：方程3①一1一「二鼻=0在区间（0，1）内有唯一实数根.

Jo1+t2

证明：当oVi<1时，（］-2）ln（l—彳）>2x.

72.

73.

设a>/>>（）・”>1.证明：

nbc（a—b）<an—bn<M-a—b）.

证明：当0Va・<1时」i-2）ln（l-z）>2x.

74.

证明：当0v①v1时—彳）>2x.

75.

五、应用题（10题）

76.

求曲线y=丁—6①与y=〃所围成图形的面积.

77.

已知函数/（1）=J+」求由y=/（工）,1=0,1=l,y=0所围成图形绕7轴旋

转一周的旋转体的体积.

78.

曲线》=>0）,直线z+y=2以及），轴围成一平面图形D,试求平面图形D绕

y轴旋转一周所得旋转体的体积.

79.

将周长为2力的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时，才可

使圆柱体的体积最大？

80.

某房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

81.

求曲线段y=4工w1)上一点处的切线.使该切线与直线y=0,工=1和曲线

3-=^所围成图形的面积最小.

82.

靠一堵充分长的墙边•增加三面墙围成一矩形场地•在限定场地面积为64的条件

下.问增加的三面墙氏各多少时，其总长最小.

83.

设两抛物线y=2./,y=3—/及1轴所围成的平面图形为D.求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕了轴旋转一周得到旋转体的体积.

求二元函数/(X，”=『2(2+y)+、］”的极值.

84.

85.

求由曲面之=M/，与平面r+y=1,及三个坐标面所围成立体的体积.

六、综合题(2题)

87.

设y=f(x)是区间［o,l］上的任一非负连续函数.

(1)试证:存在心€(0,1),使得在区间［0,%］上以/(%)为高的矩形面积等于在区间

［xo，l］上以y=/(「为曲边的梯形面积；

(2)又设义］)在区间(0,1)内可导，且「(£)>一43,证明(1)中的心是唯一的.

X

参考答案

1.D

由二重积分的性质可知||4djdj'=411clrdy=4SD，S0为D的面积.S0=

22—Jr•I2)="4"冗•故4dady=4,--n=3n.

444'4

2.B

1

【精析】y=•1•(I—5)号,y"=当=5是函数的连续点，且在Z=5两侧

*5y

，同号异号，因此工=5不是函数的极值点.但(5,2)是拐点.故应选B.

3.A

y=5.r4=2O.r3,令yf=0•得7=0.且、cV0时,.y"V0,①>0时.

/>0.故(0,2)为曲线的拐点.

4Q【精析】由原函数及不定积分的定义知，应选D.

5.D

［答案1D

【精析】因为LQ］=［.由拉氏变换的延迟性质可得LE/(/)］="(?一。)“(/一“)［=

r

e

6.D

D

【评注】关于极值点，我们有如下结论：极值点只是局部范围内的最大值点或最小值

点；极值点可能在驻点或者不可导点处取得；如果函数可导，则极值点一定为驻点；

驻点、不可导点都不一定是极值点，我们需要根据驻点（或者是不可导点）左右两侧

导数的符号来进一步判断驻点（不可导点）是否是极值点，所以，只能选D.

［答案］A

【精析】2=（72—>/2i）3=—\）/2—•!>/2i,

则\z\=7（-472）2+（-472）2=8,

-193K

argc=一n一arctan_----

7,A-4724

8.C

因为/(Z)=2、则/(})=：.所以/,(J)=/(5)=1,故本题选C.

9.A

10.B

［答案］B

【精析】/(才)=(lnz)r=e"n2,

f'(.r)=e"n"向［a=(In.r)*In(lnj)+2••—

=(lnj)r1+(Inz)'In(ln-r),

故应选B.

ll.D

［答案］D

【精析】由导数定义可得，lim/⑴一/(】一6=±1沁八1-"一/⑴=(1)=-1,

mLXL—XL

所以/(D=—2,乂函数周期为1,故/(5)=/(I)=-2.

12.D

，［答案］D

【精析】i/'(.r)cLr=J)|—j/(.r)d.r

=2/(2)—/(1)—j/(J-)dJ=2—1—(—1)=2.

故应选D.

13.B

【精析】函数八工)在点才=0处没有定义，故为间断点.又=皿土包=

x-*04*©JC

lim三•=1,故工=0为函数的可去间断点.

一。Z

14.B

【箭】由醐HFW(k=/(i)+Cj=g(i)+Q/(ri-gW=CJf(0)-

R(。)二3则/⑴-g⑴-3,

「答案」C

15c【精析】由矩阵和行列式的性质，可知应选C.

16.A

【精析】由zy+ln_r=1得y'』■，切线斜率为k=y'|i,i)=-2.

Xx(

所以切线方程为=-2(1-1),即》+2］-3=0,故应选A.

17.A

A

【评注】由判定极值的第二充分条件即得./'(与)=0,5为驻点，/"(%)>0时在X。

处取得极小值，时在X。处取得极大值.由题/"(x0)#0不知正负，但可知

在此处一定取得极值.

q15、(\15、

【评注】依Wa；）=O'33fo11，

0r+L

18口由%%，出线性相关当且仅当R（%,%，％）<3,得f=-L

19.C

【精析】由心+虫=0.得"=—迎，分离变量一id.r=.yd.y,

yxyx

两边积分，得-#+G="，即12+y2=C为原微分方程的通解.故选C.

20.A

［答案］A

【精析】1/=4+3.了=0,得^=）或1=—4■（舍=8.

hill

工=g（y）在y=0处的导数为一\—=A•，故选A.

，（办

21.A

【精析】对于A项符合「cj（x）dx=「sinxctr=-COSH"=1,故应选A.

22.B

【精析】/［*（-”-?-故应选B.

23.A

【精析】由题可知，当Zf工。时,」；）一八%）V0,又（了一工。）2>0,故在工。的邻域

2（z一工0尸

内./（工）“〜）<0,即/"）VfCr。），根据极值的定义可知/（Xo）是/Q）的极大

值，故应选A.

24.A

A

【评注】级数1__1+_1_1+工_…为交错级数，一般项〃“=(T)Z_L-,

3579"2»-1

00

因a“Na“r，且lima”=0,根据交错级数审敛法(莱布尼茨定理)，Z与收敛；而

IBg］

1

®a>.n11®1®1

£|MJ=|J_L_,因为丽罕三，所以与石、与最具有相同的敛散性，所

n

81

以汇丁二发散，级数为条件收敛.所以，选A.

n=12w-l

25.A

)'=1+「+2吠=1+［,,：］:八•显然,=-2为可去间断点,

jr-x-6(①十KT-3)

limv=8.故z=3为曲线的垂直渐近线.故只有一条垂直渐近线.本题选A.

x-3

26.A

【精析】由lim"二J=一4.得a•2?+4=0,得。=-1.故选A.

L2X-/

27.C

［答案］C

flC2riT211121

【精析】13“产2»⑥=1-2心£»打=(//。)・(93,2)=2・

28.A

［答案1A

【精析】lim/f'(；)、,=一2V0.知当彳―2时，/"七V。，即在①=2的某去心

L2(1—2)“Q、-2)2

邻域内有/'(.r)V0,又/(2)=0,所以/(2)是/(.r)的极大值*故应选A.

29.D

A项中若un=工，结论不成立；

30.C"

B项中若〃"=(―1,结论不成立;

D项中若〃“=(-1)"工，结论不成立；

〃

由绝对收敛的定义知，C项正确.

31.

——3_y-2_一+2

3—2=一]

[答案1宁=宁=1

【精析】由题可知直线的方向向量为S={3.2.—”.又直线过点(3.2.-2).故直线方

产出①一3_y_2_z■+2

程为32—1,

32.

(3,+<x>)

【精析】由工2-92.0,1+工>0且工一3#0得工>3,函数的定义域为(3,+8).

33.

34.

［答案］2疾

ijk

【精析】aXb=123={2,-4.2）,

-101

2痣所以S=\aXb\=>/2-+（-4）J+2*=2娓.

35.

"g（3）dx

【评注】由二次积分得到积分区域口：-44丁，五，0<x<l.

4：x-24ys4，14x44.将其改写为适合先x后丁的积分区域得

D-.y2^x^y+2,-l<y<2,由此得到交换积分次序后的结果为二学。?/。:,')小.

36.3

【精析】y—(z—1)(/—3)=>，(0)——(—1)•(—3)——3.

37.

2nae"

【精析】由题意可知，积分曲线L可表示为彳=acosd,

y=asinJ,046424，

故

z*,/»2J-

6e，/+/ds=e"，(asinj>+(acos^)2d0=a^°dO=2«ae".

JLJ3J0

38.

=-1“七=3

【精析】由于/<J)=,，1一-=7~J、/-lim/(j-)=8.=oo,

■fZ-2H-3(J-+1)(JT-3)J—i2

故为=—1，必=3为/(.r)的两个间断点.

39.

arcsin(lnjr)+C

【精析】------d.r=—dln.z=arcsin(lnjr)+C.

xA/1-ln2jrJyi-ln2jr

40.

4-lim(l--=limQ-三)"Hr，=el故/(ln2)=

Zw~*8HflZ

41.

0

【精析】/'(工)=丁会令/Cr)=0得H=0.当/VO时./Cr)<0;当工>0时,

1+X

f'(x)>0,所以才=0为JO)的极小值点，极小值/(0)=0.

42.

、y=0

(.r-1)2「+1-2JC

【精析】lim=0,故水平渐近线为》=0.

(C5n/+]+3J.-2+3H

43.1

44.

1--ysin2

(73-JC+1)sin2.rd.rsin2.rd.r

-i

ri

=2sin-dr=(1-cos2i)cLr

J0J0

)I=1—4-sin2.

=任一-ysin2j7

/I0L

45.

£改产/(”均

解析：考查直接坐标系下交换积分次序，积分区域：

，一所以£呵_焰〃”粒=!>)「/(”尿

£砂/加,加=工可“”加•

46.

-12

「/⑴也门

【精析】设义才)的平均值为/(“，则/()=夕%,二=3,因此[fQ)dr=12.则

乙一\—L)J-2

[/(^)cLr=—1/(.r)dz'=-12.

47.

［答案1-4

【精析】/(，)=M./(1)=9］(］)=一

48.

［答案］<14,-4.-2)

【精析】。,b=41.3.1}・。-6={1・1.5}.

/Jk

(。一6)X(。-b)=131=<14.-4•—2).

{141—4*—2)115

49.

cos4.r+C

［答案］cos4.r+C

【精析】J/Z(2.r)d.r=^-p，(2.r)d(2.r)=y/(2.r)+C.

又因为函数/(a)的一个原函数为4iin2x*B|l/(x)=(sii】2.丁)=2cos2.r.

I/y<2.r)d>r=/(2-r)+C=cos4.r十C.

JV

50.

■J

［答案］_1_

-J

【精析】|A十2B|=I8+2a,3a?a；+2ali

=Ia3&at+2a)l+l2a,.3a>a；+如

=Ia3ala；|+|a,3a：.2a।|+l2a；3ata；l+l2a；：法2al

=3IA1+0+0+12|aa2at|

=3IA|—12|A|=—9|A|=3,

1

故A"J'

51.

【精析】画出区域D如图所示，由积分区域的对称性及被5

积函数关于工轴和y轴都是偶函数,故有

=4gMd/dy.

其中"为区域D在第一象限的部分•即

D]={(],、)|1Cx*卜49,工》0,;y20〉.

第16题图

利用极坐标变换，。可表示为040&今J〈厂43,故

JJ/dxdy=1吗f(rcos/?)2•rdr

=jcos2比q,匕

=20c1广2功

=20•4(夕+畀叫|：

—57r.

因此•l&'dzdy=1『jr?dzd.y=20K.

bDj

52.

解：卜2=2必=交点(_2,2),(4,8).

y=x+4

/2\r2314

卢＞dy=f*X+4dx=+4x=18•

L2J-J-2(226c

—\，J」一/

53.

【精析】先求塞级数的收敛域,

••n

•p=lrim---r==1,

Lgn-1

8

当JC=-1时，，三业收敛.

〃=1n

I=1时，工工发散,故收敛域为［-l.D.

Mn

令y(x)=＞：入，—1&%V1,

"一1"

OO1

s'Q)==]十/十]z4+n"+…=

笫二】1—JC

s(jr)—.v(0)=J]1=—ln(l—x),

又s(0)=0,.*.5(x)=—ln(1一工)，一1&1r<1.

54.

【精析】本题考查逆矩阵的求法.

VAX=2X+A,，X=(A-2E)-1A,

r1-10]rl0Oi-1-10]

A-2E=01-1-2010=0-1-1

-101001-10-1

-1-10：100ir—1—10：100]

「3—n

[(A-2E)；E]=0-1-10100-1—1；010

-10-1：001oi-d-ioi

r-1-10100]r-2-20200]

rs+r?r^—rz

2r?2〃ri-

0-2-20200-2011-1

00-2-11100-2-11Ij

__

’100_22

一_2~2一_2

—200：1—11]j।]

一下子一下小一下造111

0-2oi11-1------------------------------>010

一_2~~2-2

00—2：—111

111

001

222,

x

22

即(A—2E)T=-j--1-j-

£_X_1

?―2-7

~~2~2~~2

1-10]01-1

2.

01-1=-101

因此X=(A-2E)-'A=~~2~T¥

-1011-10

111

222

55.

解：由通解公式得

y=e-EJ"Ha+1)2eJGJ"dx+c]=e'%(x+1)2心3&+C

2222

=(x+l)U(x+l).(x+l)-dx+c]=(x+l)(x-bC).

由咒=o=一;得_L=C，所以特解为y=(x+

22

56.

CO03

【精析】令S（N）=2〃（九+1）丁"=工〉2〃（九+1）/"1=%（工）,而

m=1«=1

COCC8

中（工）=£〃（〃十1）产'=X（4=（EI""）"

"=1"=1H=I

于是SGr）=3）=??_"G"】，》

57.

【精析】因为•:1《，13=1・2,…，，]），

x/fl2+7/x/n2+I，7/+]

所以,"&」+」+…+,1<,”.

必产+T/〃2+了J〃2+彳J+G，〃2+7

又因为lim"-=lim:-=1.

厂8x/〃2+.--V//2+1

所以由夹逼准则知lim/+~7JKH--------h,=।：\=1.

叫z+1y/n2+2Vtr+n/

58.

解：由卜二「可得交点（L—D和（I,D,.4“呵;dy=&,

Ix=Lx3

毒砂=52&xna喘.

59.

2

['2]”上1、5Cjln（14-y>-J]1

【精析】limH+-\c°=limci'"；〉•c-'=c'"8'令，=工，则

jToo\JT/j：T"oo1

60.

【精析】~.r—cosv.Q/sinv「一•所以gsinv,华一siny•2才,所:以

••d.ydx

z

(.r-cosy)cLr:(.rsiny\x)dv-(T———)d.rdv

L.、r[.

D'

不siar

2.rd.rdv-d.72.，dy

00*

D

2xsin.Tcb—(—2/CQS.T•2sinj')

0o

一27r.

61.

【精析】a^sinx是/(x)的—原函数，即/(x)=(Msimr)'—2jrsiar+z'cosz,则

原式=J2工5皿；xC°SJ&二J(2sinx+xcosx)dz

=-2cos工+Jj'dsiirr——2cosz+jsinx—Jsinxclr

——COSH+zsiiiz-C.

62.

【精析】由/(n)在官=0处连续，则lim/(x)=lim/(/)=/(0),

(>一J—<)+

1—、、尸i

即lim-----",=lim——----=—a~=1,得a=±&.

j-*0#,<-♦()14

Asirkr+cos/2d/

lim------------------------=limSCOSN+cosj-2)=6+1=],得〃=0.

1LO%

63.

/(x—2)dr=/(J--2)d(.r—2)

JiJi

J

==(1+J2)dr+edr

J-1J—1J0

=Z+*)L+H；=e+9

64