2023年山东省淄博市统招专升本高数自考真题(含答案)

2023年山东省淄博市统招专升本高数自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

1.

二元函数？=是由z4=y:确定的•则dz=

A.--------：----—(z2d»r-yz\nzdy)B.--------------r(z2d4yz1nudy)

(.r-(J--z\ny))'

C.；-------\----(z二dy-yzInzcLr)D.------------r(z~d+yzInzdj)

(_r-zlny)y(x-21n\r)

2.

微分方程q'+2)，+4/=。的满足初始条件yL=i=1的特解是()

22

A.^=—7—x*B・y=二一z

JC4x

C.v=2x2+①D.v=-z-x2——r'

■55

3.

设/(x)是COST的•个原函数.则Id/(X)一

J

A.sin.rI('B.-sin.r1('C.-ccs.r,(IXcos*I(

4.

.已知/（1）的一个原函数为变.则|国g&x=()

cos^7

A>2+CB.2

行

C.2D.2+C

5.

微分方程冷=ycosz的通解为)

A.y=eC5i"B.y=CemC.y=Insinx+CD.y=Clnsinj,

6.

曲线y=2sin.r+.r2上横坐标为J=0的点处的切线方程为()

A..r-y=0B.才一了=1

C.2.i,—y=0D.2x—y=1

7.

,极限=()

x3M—_r+1

A.0B.3c-D.-1

,3

8.

下列说法正确的是()

A.可导不一定可微B.可导一定连续

C.连续一定可导D.可导不一定连续

9.

下列级数中发散的是()

8

A.£(-1尸"BV1

口。,1

g>Jne川n/1十二

/

1

c.ED+(-1),]--帚">2)

10.

3+（1）

扉级数»；J".r"的收敛半径是()

»-1s

A.6B.C.3

11.

.下列函数中.不是c"-c”的原函数的是()

A.J(e"+e'B.-y(e'—eJ)'

C.4(e"+「')D.y(e?,—e-2,)

12.

当0时.与ln（l十V）等价的无穷小是()

A・JB.sin.r

C.D.cos_r—1

13.

设/(N)在(0,+8)上连续，且|f(t)dt=H,则/(2)=()

A.5B.3C.1D.

T

14.

下列函数在.r-0时与f为等价无穷小的是()

A.21B.2"-1C.ln(l+2x)D.xsiru,

15.

sin2(1—.r)_

()

(x-l)!(.r+2)-

2

ABD.

4-T*T

16.

曲线），=&十#十1的凸区间是()

A.(-OO,-1)B.(-1.0)C.(0,1)D.(1,4-00)

17.

「2r—,=()

A.1B.OC.1一2eD.e1-1

18.

若级数J」'—2"'在点I=0处条件收敛•则在才=—1.」=2・」=3・」=5中使

U-n

该级数一定收敛的点有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

19.

方程x=111工确定二元隐函数r=/（.“，）,则字=[1

yex

A.1

B.夕'

yex

c.*

DJ'

20.

广义积分（岁沁.=

()

A.—Inx/2

44

C.一平一1】】五D.—子+In72

44

二、填空题（10题）

已知函数v=2sin3r+l.则其周期T=

21.

曲线>>=cos2.r在点/=与处的切线方程为

22.4

23.函数>,=[庙(1—J)]'的微分dy=

函数.y=x2-3.r+12的单调递减的区间是

极限lim〃丁\士'=

25.…”-

26.

1।•riri

设/Q）是连续函数.满足/（-，）=一八外山.则/3）心•=

1I上J—1J—1

27.

53]fl0）1

设矩阵A=.3=.C=“，•/，”为常数.且已知+I>B

01133-1-

J\J

tC=I.则c—.

28.

由抛物线/=2i与直线)=1一4所围成图形的面积为

已知=（-：->-1,则y=

29.1+]

若lim"””=£(&>0)，则正项级数的敛散性为

30."2„=1

三、判断题(10题)

Z

设/(J)=.因为A2)=4.所以/(2)=4=0.

31.A.否B.是

32函数丫=&(2八则”限否B.是

函数/（.r）=e，与/（.r）=ln.r的图形是关于原点对称的.

33.A.否B.是

,limjcos2—=lima♦limcosz-=0.

34.A.否B.是

”若数列收敛.则极限必唯一.人才D日

35.A.否B.是

36.

已知〉•=ln[ccs(10+3./.则dy=-6.rlan(10+3").()

A.否B.是

数列｛（一□"｝是收敛的.人不口日

A.台D.7E

limq=a当且仅当lima%=lima?什1=%

||—8OQ

38.A.否B.是

2/+1)'|.3J,2-2

lim::一『=lim―,------rp-=hm-----------1.

JC-1X-1——1)x-11

39.…A.否B.

是

曲线y=〃门=所围成图形的面积为［（右一/）dy.

40.JoA.否B.是

四、计算题（5题）

24.计算不定积分JY

41.

I

?20,

1+4〉

设/(x)求/DcLr.

e，

zV0,

1+e,'

42.

求极限1im(c'-1)sirur.J”一*出

’'11-cos.r.r1

43.

设y=是由方程e"—e”=sinC.rj1）所确定，求|

44.

।/arctan—.1W0♦

讨论/（1）=、：“在才=0处的连续性与可导性.

0.7=0

45.

五、证明题（2题）

当7>0时，证明：l+ln(z+4T千

46.

证明：当1>0时，［二=>ln(l+x).

yi+T

47.

六、应用题（5题）

48.

有一个长为8厘米,宽为5厘米的长方形厚纸板.在它的四角各剪去相同的小正方形.

把四边折起成一个无盖盒子，要使纸盒的容积最大，间剪去的小正方形的边长应为多少？

求由y=（.r2-l）（.r-2）与『轴围成图形的面积.

49.

假设某企业生产的一种产品的市场需求量Q(件：)与其价格以元)的关系为Q(P)=

120—86其总成本函数为C(Q)=100+5Q.问：当p为多少时企业所获的利润最大.最大利润

为多少？

25.特长为a的铁丝切成两段.一段围成正方形,另一段围成圆］形.问这两段铁丝长各是多

少时,正方形与圆形的面积之和最小？

已知函数/(J)=-1।.求由y=1/(.r)..r=0..r=1♦J=0所围成图形绕.r轴旋

x/T+T7

转制的旋转体体积.

参考答案

1.C

[答案:]C

f;

【精析】令F(i・y,令=z—yt则Fr=InztFr=一”'一1.F.=4——y'Iny♦

北

当E工0时•有甘----s=-----F---v-=

办F:

所以d==Y^fh+3d.y=—

xz1-1—>,TIny(.x—clny)>'

2.A

［答案］A

【精析】微分方程可化为》'+多=一"则通解为_y=e［2(一pkre.5d.r+C)=

(-j413dx+C)=(_1*+C)=多一才2.

将初始条件y=1代入得C=2.故原方程的特解为y=马一］\

3.A

［答案1A

【精析】由于/(X)是COS1的一个原函数，故/(jr)=sin.r+C,.jd/(x)=sin.r+C.

【精析】［为(6也=zl/<77)d(77)=2^^+C.

4.A"G

5.B

［答案IB

【精析】将微分方程分离变量得,dy=cosudr.两边积分得In|y|=simr+G.故

y

微分方程通解为、=Ce*z.

6.C

［答案1c

【精析】.y'=2cos.r+2.r..y'(O)=2.且当x=0时.>=。.故曲线在.r=0处的切线

方程为y—。=2(.r—0).即21一y=0.

【精析】

7.C

&B【精析】可导一定连续•连续不一定可导.可导与可微等价.

9.B

［答案1B

1

sin——

【精析】A项由莱布尼茨判别法知条件收敛；C项.当”f8时.一二〜二.所以收

n〃一

敛;D项中玄=£3*p>2,即夕>1,故级数收敛；而B项中.

II=I(»Jn)«=1乙

lim------------=lim-----------=1/0,故发散.

nn

10.C

［答案］c

【精析】原幕级数可化为］］击r+X/1中n=Jim?|=

J•故收敛半径为Ri=—=3；X(J)中=lim-J•收敛半径为Rz

3#念f3"厂…33

-3.故原解级数的收敛半径为3.故应选C.

ll.D

［答案］D

【精析】A项：-y(e'-He')"，=’.2(e'+e-')•(eJ—e"z)=e"—e%；

LL»

B项：-y(eJ—e1)"'=•2(eJ-e")•(e"+e4)=■e2'—e2,；

C项：「J(c2r=9c0•2-Ze-2*)=c2i-c-2r；

D项：「y(e2j-e2')］'=-y(2e2'+2e-')=j+e?'；

1，

故应选D.

［答案］C

12.C【精析】显然当上-0时」n(1+/)〜*,故应选C.

13.D

［答案1D

【精析】方程两边同时对1求导，_/1/(］+］)1•(2.r+3V)=1,

令彳=1,则/(2)•5=1,/(2)=l，故应选D.

5

14.D

［答案］D

x

,有+CF1.2'00..2'—12\n2

【精析】lim—7=Jim-----5-=lim———=8,

尸*。xx~*oxx-*o2x

ln(1+2x)2x..xsiru*..x2.¥；,、+八

lim--------»------=livm-y=co,lim=—=lim-7=］,故选D.

x-0XLOxLOxx-0x

15.A

［答案1A

sin'(1—)(1一"

【精析】limo_5,故应选A.

-1尸Q+2)T(_r-1)-(.«•+2)…2•十Z3

16.C

［答案］c

【精析】首先我们可得到函数的定义域为（0.+8）2’=-+r,y=-4+1=

JC.r

iin■.当vo时.在定义域内0V/v1.所以其凸区间为（0.1）.

［答案］c

【精析】'2.r3e

JI)

17.C

18.C

［答案］C

【精析】由于£/(“•一2尸在1=0处条件收敛.故此级数在I.『-2IV2时绝对收

||=<|

敛.在|x-2|>2时发散.即在工=2.1=3处收敛.在H=-1.X=5处发散.故选C.

所以包=je

Z=7e，

Ox

19.C

20.B

【精析】厂哼U&r=-JJardd(:)-----arctan,r|+j—•-j—―fd①

=/+[f-----i：s)clr=^+lnJ=~-+ln^.

4Ji\i1+、厂)4+♦।4

21.

[答案1v

M

【精析】T=^=".

U)J

22.

2.r+j—y=0

乙

【精析】因v'=-2sin2八则k=-2sin三=—2,且当i=与时.v=0,故切线方程

Z4

为y—Q=_2(/—£).即2M十1y—£=0.

23.

21n(1—

dr

JC-1

【精析】因、'=21n(1—])••(-1)=2M(丁),故&y=21n(1--r)d.r.

1-XX—1X—1

24.

［答案］（一2亨

【精析】函数定义域为（-8.+2）=2.T—3,令Vz<0,则％<?.故函数递减

区间为（一

211（~1）/

［精析］lim'+，）=lim-----------=1.

251U--8H।1

26.

T

【精析】设],力心=八对题中等式两边取[一i.i]上的定积分，

得/=「17t普:心一2八

J-l1+J-

m.iJ1f11+silLT.1f11I,1flsinzI1I1,7T

则/=丁-7——7-di=亏—_rcLr+亏——=.arctaiLT+0n=—,

3J-]1+j-3J-i1+3J-i1+3I-i6

故「/Q)d/=夫

J-io

27.

［答案13

53)/I0、11

【精析】aA+bB-c€+b-c

0"[33,-I-1

3ab-c3a10

3b+ca+36+c01

5a+A-r=1,

3a-c=0,

于是有＜解得a=\,b=—1"•=3.

3b+c=0,

n+3。+c=1•

28.

［答案118

［y2=

【精析】解「得到交点为（2.-2）,（8,4）.

y=x-4

故所围面积S=「口+4-若户=管+U一,）「，=18.

29.

［答案］(壬产⑵n

1+1++1

【精析】y=(7三-产两边取对数，得lny=2Mn

1+1l+.r

两边求导，得上=21n-£-+-|-,

y1-r11十h

2

所以y=/21nm=(壬产［21n

1+J-+1+1+X1+X

30.发散

a

【精析】lim,%=lim牛=石/>0.由比较审敛法的极限形式知，级数»,与

Iff8斯―31«=।

n

g38

X-同收敛或同发散•又X-发散•故级数发散.

n-I"it-I'I

31.N【精析】/'⑴=2x^f(2)=4.而=0.

,2e'［rr门

【精析】y=市=1r=o.

32.Y

33.N

【精析】因为y=e\所以工=I”,函数八工)=e"与/(/•)=I”互为反函数.图像

关于y=k对称.

34.N

【精析】Vlimcos2-不存在，，不可利用极限的四则运算法则计算.

35丫【精析】由数列极限的唯一性可得出.

36.N

［答案］x

【精析】V=―咖（1?+,3?［6/__6.rtan（10+3.1'八故dy=-6jtan（10+3J-2）dr.

cos（10十3-r）

37.N

【精析】当〃为奇数时.数列收敛于1：当”为偶数时.数列收敛于0/关。.故该数列

发散.

"7【精析】由数列收敛的性质可得.

38.Y

39.Y

【精析】当.r1时，］一1f0,M—2丁+1-*O.lim^―-~~>=lim^―■~:=1

X—I（T—1）/1

存在，可以使用洛必达法则,故正确.

40.Y

【精析】曲线）=J*/的交点为（1・1）和（o,o）,则面积s=I（7T—J2）dj-=

I（Q—«/）dy.

Jo

41.

【精析】利用换元积分法，令±三="•则.r=干二5=/7弋-,.于是

VXU—1（Y一］尸

原式=•1二2”.=-2（-^-du

J（ir-I）2Jwz—1

=-~-）dw=-2w-InI^-7-7+C

J\W-1/IM+1

一呼一4（呼-1）1+C.

42.

mi1+eJ<i1-卜M

»*fv

=ln(1+e1)+7+(21)2cb

-lJo1

k1krd(2r)

=ln2—ln(1+c-1)+-

CJu1—(LJC)

11

=ln2-ln(l+e-,)+--arctan(2.r)

rr

=ln2—ln(1+e1)+-

43.

【精析】一,L>$皿"_

■lim(c'-1)siru+।

4-*II-t11

[_1-COS.Fzn1-COS1.…,F'

i..r*.r.|.sin.r"•2.r

=lim———十hm-------j----

.r-•n.7"〜.r-*n4.1'

~2

,15

=29+J-7-

44.

【精析】方程两边对，求导得C'-cy•y=cosi.ry)•(y4-.ryf)•

化简得』=中3.

c+.Tccs.ry

又当.r=0时r=0•故1/I.…=1.

45.

【精析】因为arctan-<TW0)有界.则

.r12

limfix)—lim.rarctan—=0=/(0).

।7rKC

所以f(x)在1=0处是连续的.

又

1A

.rarcian------0

f(-r)-/(。)_hm_______/

j'(0)=lim-

1rr

=limarctan————

j-2,

.rarclan——0

/.(0)=lim-=lim

.r

—limarctan——

因为jJ(0)4/,(0).所以/(j-)在『=0处不可导.

46.

【证明】令fQ)=l+ln(_r+十日)'一。=1+xln(x+71+Z)

-+易知/(.r)在［0,+8)上连续，

则/(x)=ln(T+，1+/)+.才——,"=ln(x+，1+/),

vT¥7r/T+77

工〉。时，工+/?+?■>1./'(工)>o恒成立.则/(J)在工>。时为增函数，

故代工)>/(0)=0,即1+ln(j-+八+-尸>y1+x2.

47.

【证明】原不等式即为'—ln(1+z)>0,令/(X)=—，(—ln(l+a)»则

yr+7yr+7

x/1+zX

27TT71