2021高二数学寒假作业同步练习题：选择性必修第二册综合练习

专题16选择性必修第二册综合练习

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若函数y=/(x)可导，则“f")=0有实根”是“/(x)有极值”的()。

A、必要不充分条件

B、充分不必要条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】/'(x)=0,但/'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时“X)在零点处无极值，

但f(x)有极值则/'(X)在极值处一定等于0,故选A。

2.已知数列｛”“｝的首项q=0,4+1=册+2J/+1+1，则。20=()。

A、399

B、401

C、404

D、901

【答案】A

【解析】由题意可知，+1=(Ja”+1+1)?,即J4+]+1—J/+1=1,

•••｛北方｝是以1为首项、1为公差的等差数列，

22

\a”+1=n,an=H—1,—2O—1=399,故选A。

3.下列函数在点x=0处没有切线的是()o

A、f(x)-3x2+cosx

B、g(x)=x-sinx

C、/z(x)=---F2x

X

D>w(x)=一--

cosx

【答案】C

【解析】•••函数/z(x)=1+2x在x=0处不可导，.•.点x=0处没有切线，故选C。

X

4.已知数列｛〃〃｝满足:的+%+,,,+。八=2〃—1,则裙H---)。

A、1(2n-l)

B、(2"-

C、!(4,8-1)

D、4"-3

【答案】C

【解析】.+£Z2T---F4=2"-1①,.+4Z2T----Fa“_]=2"।—1②，

①-②得4=2"T,.,•%2=22"-2,.♦.数列｛片｝是以1为首项，4为公比的等比数列，

1_An1

H-----F4；=———=—(4"—1),故选Co

h

5.已知数列｛q｝、｛么｝满足％=4=1,册+i-%=$=2,neN+，则数列｛2〃｝的前10项和为()。

A、1(49-1)

B、^(49-1)

C、1(410-1)

D、|(410-1)

【答案】C

【解析】由程+1-4=4过=2,.•.数列｛4｝是等差数列,且公差是2,他“｝是等比数列,且公比是2,

么

又•.•%=4=1,，%=4+(〃一l)xd=2〃一l,d=2"T=2乐T=22"-2,

设C“=%,...C“=227=4"T,数列｛g｝是等比数列，且公比为4,首项为1,

1_J101

由等比数列的前〃项和的公式得：其前10项的和为一一=±(4")-1),故选C。

1-43

6.已知数列｛q,｝满足q=1,an+1-an>2(neN+),则()。

A、an>In+1

nl

B、an>2-

2

C、Sn>n

D、S"22"T

【答案】C

【解析】用累加法，当”22时，a2-O]>2>a3-a2>2>《一名22、…、an-an_x>2,

(W—,)+(%一。2)+(04-%)+,•,+一〃〃一1)—2(〃—1)9

/.an-ax>2(n—1),an>2n—l,

再用缩放，Jq+%-----Fa八21+3H----F(2H—1)，

即将地故选C。

7.若关于x的不等式-ax+a<。的解集为(根，n)(n<0),且(根，〃)中只有一个整数，则实数。的取

值范围是()o

A、

1

B、

,2e

C、

D、

【答案】B

【解析】设g(%)=%・",丁=办—a,由题设原不等式有唯一整数解,

即8(%)=%・/在直线丁=6：-4下方，g'(%)=Cx+l)•/，

g(x)在(F,-l)递减,在(-1,+8)递增,

故g(l)min=g(-l)=--，y=ar-a恒过定点尸(1,0)，

e

21

结合函数图像得⑥A而3，即<二，故选B。

3e2e

8.已知函数/(%)=%3—］以2,且关于％的方程“x)+a=o有三个不等的实数根，则实数〃的取值范围是

()°

A、(~9—V2)U(0,V2)

B、(-oo，--\/2)U(A/2,+00)

C、(—V2,V2)

D、(-V2,0)U(V2,+oo)

【答案】B

3

【解析】令g(x)=f(x)a=x3-—ax2-^-a,得gf(x)=3x2-3ax=3x(x-a),

当。=0时，gf(x)>0,函数g(x)为增函数，不合题意,

ff

当〃<0时，xe(^x),a)、(0,+00)时，g(x)>0,元£(",0)时，g(x)<0,

・••尤£(ro,a)、(0,+oo)时，g(x)单调递增，x£(a,0)时，g(x)单调递减，

光=。时函数有极大值为g(a)=cr,--a3+a,

元=0时函数有极小值为g(0)=。，

-3

由彳2得”-V2,

a<0

当〃>0时，xe(-oo,0)>(a,+oo)时，g'(x)>0,xe(0,a)时，g'(无)<0,

.•・x£(ro,0)、(a,+oo)时，g(x)单调递增，xe(0,a)时，g(x)单调递减，

：.x=0时函数有极大值为g(0)=a,

%=a时函数有极小值为g(a)=a3+々，

a>0

由<333得a>V2,

a---a+a<0

[2

综上，实数a的取值范围是(—，-a)U(Vi+8)，故选B。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.设等比数列｛a,J的公比为q,其前〃项和为S“，前〃项之积为J；,且满足q>l、生必,“2021>1、

匚<0,则下列结论中错误的是()。

。2021-1

A、q<0

B、“2021,“2022—1>°

C、2)20是数列｛，｝中的最大值

D、^2020>^2021

【答案】ABD

【解析】由&220_1<0、q>1得的磔>1，。2021<1，0<4<1，A错，

。2021-1

前2020项都大于1,而从第2021项起都小于1,a2021go22T<°，B错，

•••弓磔是数列｛(J中的最大值，C对，

又｛«„｝的各项均为正数，，S2020<S2021,D错，

选ABD。

10.已知函数/（%）=%3+双2一九+C（X£R）,则下列结论正确的是（）O

A、函数/（x）一定存在极大值和极小值

B、若函数/（X）在（《,西）、（%2，+°°）上是增函数，则％2-工1>2^3

C、函数/（%）的图像是中心对称图形

D、函数“X）的图像在点（%,/（々））（与£区）处的切线与/（对的图像必有两个不同的公共点

【答案】ABC

【解析】A选项，/'（%）=3%2+2以-1=0的A=4a2+12>0恒成立，故/'（%）=0必有两个不等实根，

不妨设为国、X?，且为<々，

令/'（X）>。,得％<七或%>%2，令/'（%）v。,得为<%<%,

・••函数/（%）在（与々）上单调递减，在（Y°，不）和（如+8）上单调递增，

・,•当％=玉时，函数/（%）取得极大值，当了=入2时，函数/（%）取得极小值，A对，

B选项，令/'（幻=3/+2融一1=0,则为+々=--,X1-XT---,易知％<%2，

%2—玉=+々）2_4否々=+g-~~，B对，

2

c选项，易知两极值点的中点坐标为（—孑/（-|）），又/（-三+幻一口+^方+必+“一》

•••/（-1+x）+/（-1-x）=2/（-|）,

；・函数/（X）的图像关于点/（―至）成中心对称，C对，

D选项，令。=c=0得/（x）=%3—%,f（x）在（0,0）处切线方程为y=—x,

y=-x

且3有唯一实数解，

y-x-x

即『（X）在（0,0）处切线与f（x）图像有唯一公共点，D错，

故选ABC。

11.设S”为数列｛%｝的前〃项和，若山（〃eN+）等于一个非零常数，则称数列｛%｝为“和等比数列“。下

S”

列命题正确的是（）□

A、等差数列可能为“和等比数列”

B、等比数列可能为“和等比数列”

C、非等差等比数列不可能为“和等比数列”

D、若正项数列｛为｝是公比为q的等比数列，且数列｛InqJ是“和等比数列“，贝Uq=/

【答案】ABD

【解析】若等差数列的公差为0,则盘=2竺=2是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对，

S,,"%

若等比数列的公比为1,贝|旦=也=2是非零常数，则此数列为“和等比数列“，B对，

S,四

若数列仅“｝满足%=[2'"=1,则&=1是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，

[0,n>2Sn

但它是“和等比数列“，C错，

正项数列｛4｝是公比为q的等比数列，.・・凡=《•q『i,

贝!Jlna〃=ln3]g"T)=ln。]+ln(q〃T)=lnq+(〃-l)lnq,

故数列｛In4｝是首项为Inq,公差为Inq的等差数列，又数列｛In凡｝是“和等比数列”，

2n[ln.+In.+(2n-l)lnq\

贝=------------2-----------------

S〃口n〃[+ln。]+(n-l)ln^]

八2

_2[21nq+(2〃一l)ln(7]2+2n-\nq21nq

21n〃i+(n-l)ln^2\nar-\nq+n-\nq21nq-Inq।

n

又2+-------独丝-----为非零常数，则212一皿=0,即21n4=lnq,即“=d，D对，

21nq—ln<7.n

--------------+ln^

n

故填ABDo

12.设函数gx-3的零点为四、々、…为,[尤]表示不超过x的最大整数，则下列结论正确

的是()=

A、函数/(%)在(0,+8)上单调递增

B、函数/(X)与△或有相同零点

X

C、函数f(x)有且仅有一个零点，且凶]=2

D、函数/'(x)有且仅有两个零点，且+=-6

【答案】ABD

【解析】f'(x)=ex-(1+x)--^,当xe(0,+8)时，f'(x)>0,

；・函数/(无)在(0,+s)上单调递增，故A正确,

显然》=。不是f(x)零点，令g(x)=/8=e“—

xx2

则在(-oo,0)U(0,+8)上，/(X)与g(x)有相同零点，故B正确，

3

在(7,0)U(0,+8)上，g\x)=ex+4>0,

g(x)在(YO,0)上单调递增，在(0,+00)上也单调递增，

而g⑴=6-]<0、g(2)=/—2>0,・,•存在西£(1,2),使且(再)=0,

又g(-7)=1-」<0、g(-6)=±>0,.•.存在的无2c(-7,-6),使8(々)=0，

e14e

g(x)在(YC,)U(0,+°O)上只有两个零点七、％2，也即/(%)在H上只有两个零点到西、

X2，

且[项]+[%2]=1+(-7)=-6,故C错误、D正确,

故选ABDo

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.已知数列｛%｝的前1项和Sn=n-16n,|%|+|wl+l%I+…+1%1=。

【答案】73

2

【解析】VSn=zz-16n,・,•当〃=1时，%=—15,

22

当〃之2时，an=Sn-S^=n-16n-[(n-l)-16(n-l)]=2n-17,

令4W0,角翠得n<8,

令(=|。]|+|WI+I%I+，，•+Ii1=--电—〃3—°—+〃9+110+々11

=15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73。

14.函数>=/(%)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：

①函数y=/(x)在区间(3,5)内单调递增；.

②函数y=f(x)在区间(-；,3)内单调递减；

③函数y=〃x)在区间(一2,2)内单调递增；

④当x=—工时，函数y=/(x)有极大值；

2

⑤当x=2时，函数y=/(x)有极大值；

则上述判断中正确的是0

【答案】③⑤

【解析】①(3,4)时/'(x)<0,/(X)单调递减，(4,5)时/口)>0,/(X)单调递增，①错,

②(—g,2)时((x)>0,/(x)单调递增，(2,3)时((x)<0,/(x)单调递减，②错,

③(-2,2)时((x)>0,/(X)单调递增，③对，

④(-2,2)时/'(x)>0,/(x)单调递增，当x=时/'(x)不是极大值，④错，

⑤(一!2)时/'(x)>0,/(x)单调递增，

(2,3)时/'(x)<0,，尤)单调递减，x=2为极大值，⑤对。

V11

15.己知数列｛4｝的前〃项和为s“，数列｛2｝是首项为_L,公差为上的等差数列，则｛4｝的通项公式

n24

为;若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0,[1g499]=2,则数列｛[Ig%]｝的前2000项的

和为。(本小题第一个空2分，第二个空3分)

【答案】3782

V11

【解析】,・,数列｛二｝是首项为公差为L的等差数列，

21

当几=1时，a1=Si=—=—

42

("1)2+(〃1)

当〃22时，an=Sn-Sn_x=

n

：.[lg«„]=[lg-],当一<0时，n=\,

当0Wlg%<l时，〃=2、3、…、19,当l«lg%<2时，〃=20、21、…、199,

当2Klg%<3时，〃=200、201、…、1999,当lga〃=3时，H=2000,

故数列｛[1g4]｝的前2000项的和为：

1

[Igq]+[坨々2]+[坨/]"---F[1g622000]=-1x1+18x0+1x180+2x1800+3x1=3782。

16.已知函数/Xx)=x2—2犬+/(61+0-*+1)有唯——个零点，贝“4=

【答案】-

2

【解析】・・•/(九)=%2_2%+〃♦(e*T+)=(九一1)2—1+〃.(/T+=0,

ex

函数有唯一一个零点等价于方程—(X—1)2+1=/(e'T+工)有唯一解,

等价于g(X)=—(九一1)2+1与/z(%)=a・(/T+—二)的图像只有唯---个交点,

e

①当〃=0时，f(x)=x2-2x>-l,此时有两个零点，矛盾，

②当。<0时，g(x)在(ro,l)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减，

・•・函数g(乃的图像的最高点为h(x)=a\ex-^-^)的图像的最高点为5(1,2〃),

ex

*/<0<1,此时g(x)与力(%)的图像有两个交点，矛盾，

③当。>0时，・・,函数g(x)的图像的最高点为A(U),加幻的图像的最底点为3(1,2〃)，

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2々=1,即。=工，符合条件,

2

综上所述，a=—o

2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列｛q｝和｛2｝都是等差数列，火」。

n2

⑴求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)设2=」,数列｛%｝的前〃项和为S“，求证：S“<8。

a”

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d，：a]=g,〃2=g+d,%=g+2d,

1分

1

/a+2d)29

则汜,U3_

22分

3-2

1919

2(—+6?)](―+2d)

又数列｛2｝是等差数列,J2x^----=-+^----3分

n242

化简得12—d+4=0,解得4=工，

4分

42

贝11/=—+(n—l)x—=—；5分

〃222

14

⑵由⑴可知a=—=二，6分

ann

当〃=1时，4=4,Si=4=4<8,符合，7分

4411

当〃22时，bn=F<----------=4x(------------9分

rrn(n-1)n-1n

S〃=4+62+…+,<4+4x(i--+--i+---+—l)=4+4x(l-l)<8,

1223n-1nn

综上，当孔wN+时，S八<8。10分

18.(12分)已知数列｛。〃｝满足〃1=1,。2=6，%+i+4T=2%+2〃T+2(〃EN+且〃22)。

(1)求证：数列｛。用-2〃｝是等差数列；

⑵求数列｛为｝的通项公式。

【解析】(1)当〃=1时，利—生一21=6—1—2=3,1分

当2时，(〃〃+]—〃〃一2〃)一(。〃—q〃_]—2〃T)

=[(2«„+2"T+2-^)-2"T)=2,3分

数列他“+1-4-2'｝是以3为首项，2为公差的等差数列；4分

(2)由(1)知，4+]—。八-2"=3+(几一1)x2=2几+1,5分

即4+1—4=2"+2〃+1,6分

・•・当2时，a2—q=21+3、%—^2=2?+5、…、61n—。九_]=2〃+(2〃-1),7分

・••利用累加公式可得：/=(4—a及t)+—a2)----+/)+(。2+勾)+。19分

=[l+3+5+---+(2n-l)]+(21+22+---+2n~1)

=/+2"—2,10分

又当〃=1时，%=1=俨+21—2,满足上式，11分

，4=*+2"—2,N+。12分

19.(12分)已知函数/(%)=才―2/—4%。

⑴求于(X)的单调区间；

(2)当x〉0时，〃•/(%)</—(4a+1)%恒成立，求〃的取值范围。

【解析】⑴f(x)的定义域为R,f\x)=-4=2(/+1)("-2),

令/(%)=0,解得％=ln2,2分

当％£(ro,ln2),f\x)<0,则函数/(%)在(-oo,ln2)上单调递减，3分

当X£(ln2,+8),fXx)>0,则函数/(%)在(ln2,+oo)上单调递增；4分

(2)令g(x)=a-/(%)-ex+(4a+l)x=a-e2x-(2a+l)ex+%,

贝|J当无£(0,+8)时，g(x)<。恒成立，

g\x)=2a•e2x—(2a+l)ex+l=(2a-ex-l)(ex-1),5分

①当0<〃<工，xe(-ln2«,+co)时，g，(x)>0恒成立，

，g(x)在(-ln2a,+oo)上是增函数，且g(x)£(g(-ln2a),+8),・,•不符合题意，7分

②当〃）工，工£（0,+8）时，g'（%）＞0恒成立,

2

g(x)在(0,+oo)上是增函数，且gO)£(g(0),+8),・••不符合题意，9分

③当。工0,%£(0,+8)时，恒有g'(x)<0,故g(x)在(0,+oo)上是减函数，

于是“g(x)V0对任意X€(0,+00)都成立”的充要条件是g(0)<0,

BP«-(2a+1)<0,解得1之一1,故一1工々<0,11分

综上，〃的取值范围是［-1,0］。12分

20.(12分)已知数列｛〃〃｝满足％=3,an+i=2an-n+l,数列｛%｝满足伪=2,bn+1=bn+an-no

(1)证明数歹U｛。〃-〃｝为等比数列并求数列他〃｝的通项公式；

⑵数列｛g｝满足Cn=——&H——，求数列｛cn｝的前“项和，。

S“+D(d+1+1)

［解析］(1)：当J.N+时，氏+1—("+1)=(2%一〃+1)_++1)=2,1分

a„-nan-n

又•••q-1=2,.•.数列｛4-"｝是首项为2,公比为2的等比数列，3分

n

an-n=(<al-X).2"^=2,：.an=2"+n(n&N+^5分

,;

(2)bn+l=bn+an-n=bn+2+n-n=bn+T,：.bn+l-bn^T,6分

当〃=1时4=2,当时d—b“T=2"T,7分

2"T—1

11n

bn-(bn—T---F(/?2—1\)+a=2建H------1-2+2=2x----------F2=2,

2—1

当"=1时符合，，d=2",9分

C=______________________________________________________________］U'yj"

nn+1

~(bn+l)3”+i+1)一(2"+l)(2+1)—2"+］—2"M+］，

=C1+C2+---+Cn-1+Cn

=(―----^―)+------^―)+■■■+(—J--------)+(―-------—)

2+122+12-+123+12/,-I+l2"+12"+12/,+1+1

=----7—。12分

32n+1+l

21.(12分)已知函数/(x)=x3-依2,常数aeR。

(1)若。=1,过点(1,0)做曲线y=f(x)的切线/,求/的方程；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=%-1只有一个交点,求实数a的取值范围。

【解析】(1)设切点「(而，％),则尸处的切线方程为y=(3君—2M)(X—闻)+君—君，1分

该直线经过点(1,0),贝U0=(3君—2两)(1—与)+丸—君，2分

化简得■—2XQ+与=0,解得与=。或%=1,3分

・・.切线方程为y=0和>=尤—1；4分

(2)由题意可知x3-ax2—x+1=0只有一个根，设g(x)=xi—ax2—x+1,5分

贝!Jg'(x)=3九2-2依一1,:A=4/+12>0,g'(x)有两个零点七、x2,6分

即一2ax—1=0有两个根;Ti、x,+x=—,x-x=--<0,a=———-,7分

223i232x

设再<0<々，贝！Jg(x)在(-00,西)和(犬2，+°°)单调递增，在(孙工2)单调递减，

则g(%i)为极大值，g(%2)为极小值，8分

则方程-ax1-^+1=。只有一个根等价于g(玉)>0且g*：2)>0或g(玉)<0且g(%2)<0，

_11r

又当g'(x)=0时/-ax2-x+1=x3-----------x2-x+l=——x3------1-1,10分

'2x2