2019-2020学年人教A版天津市滨海新区高二第一学期（上）期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题）

1.设/为虚数单位，复数段•等于（）

1-1

A.-1-/B.-1+/C.1-/D.1+/

2.（2,+8）,f-2x>0"的否定是（）

A.3痴£(-°°,2],XQ-2AQ^0B.VxE(2,+8),4-2/0

C.2XoG(2,+8),X)2-2*)W0D.YxG(-°°,2],x-2x>0

3.若a,b,cGR,且则下列结论一定成立的是（）

A.ac>beB.—<—C.a-c>b-cD.a>t)

ab

4.等差数列｛&｝的前"项和为S,若各=2,S=12,则条等于)

A.8B.10C.12D.14

5.已知等比数列｛d｝中，句=1,且」----=8,那么冬的值是（）

a1+a2+a5

A.15B.31C.63D.64

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意

为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一

天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（）

A.3里B.6里C.12里D.24里

22

7.已知双曲线苫---X=1的实轴长为10,则该双曲线的渐近线的斜率为（）

mZ+164m-3

A-4B-4C.4D-4

8.”是1r门与一愿的等差中项”是“6是2班与2-愿的等比中项”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.若正数x,y满足寸+xy-2=0,则3A+V的最小值是（）

A.4B.272C.2D.472

22的离心率为好，且双曲线的一个焦点在抛物线

10.已知双曲线七-31仁>0,b>0）

2

y2=g4*的准线上，则双曲线的方程为（)

22

=1B.x.2-_1

MT-V4

22

xy1

cD.———=1

,,卷也1216

11.若a>0,b>Q,3^/>=1,24^旦■则的最小值为（）

ab

A.8B.7C.6D.5

12.已知A,鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且/FIPF?=3,

1/3

则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）

A.—B.生@C.4D.生反

333

二.填空题（共8小题）

13.已知复数2=，质-16为虚数单位），贝Hz|=.

14.已知直线/与平面a垂直，直线/的一个方向向量为三二（1,-3,z）,向量

v=（3,-2,1）与平面a平行，则z等于.

15.不等式二工V0的解集为

x+2-----------

16.已知数列{&}满足药=1,a^=na„（nGN*）,则备+为=.

17.正方体4脑-48G4中，点£是4夕的中点，求痰与医所成角的余弦值为.

18.直线/过抛物线C:y=2px（p>0）的焦点尸（1,0）,且与抛物线C相交于4,B两

点，若48的中点的纵坐标2,贝比p=,直线/的方程为.

19.已知mxG{x|-1VxV1},使等式f-x->77=0成立的实数加的取值集合为M不等式

（x-a）（A+a-2）<0的解集为N,若xGN是xG"的必要条件,则a的取值范围是.

20.给出下列四个命题

2门

①已知。为椭圆幻+丫2=1上任意一点，F”为是椭圆的两个焦点，则△历月的周长是8;

②已知"是双曲线._二=1上任意一点，尸是双曲线的右焦点，则|阴N1;

③已知直线/过抛物线C:x=2py(p>0)的焦点£且/与，交于4(*,y),B｛x2,

yi)两点,则乂必+4ylM=0；

④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线

经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点村，Q是它的焦点，长

轴长为2a,焦距为2c,若静放在点片的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出

发则经椭圆壁反射后第一次回到点E时，小球经过的路程恰好是4a.

其中正确命题的序号为(请将所有正确命题的序号都填上)

三.解答题(共4小题)

21.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为6,6=国+9,且a”a4,金成等比数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)求数列｛£=｝的前〃项和公式.

22.如图，在四棱锥夕必中，平面以〃_L平面48缈，PA'PD,PA=PD,ABS.AD,。为

4?中点，AB=\,AD=2,AG=CD=娓.

(1)证明：直线46〃平面户比；

(2)求二面角。-微-4的余弦值；

(3)在棱加上是否存在点乂便AN工平面PCD,若存在，求线段刚的长度；若不存在,

n+n

23.已知数列｛a〃｝的前〃项和为g^=^(ngN*)

(1)求数列｛a〃｝的通项公式；

(2)设bn=an"2an+(-l)nan，求数列均｝的前2〃项和人

22

24.在平面直角坐标系x0中，椭圆G:X--HY=1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为

2,离心率为1.

2

(1)求a,b的值.

(2)设夕是椭圆C长轴上的一个动点，过点。作斜率为〃的直线/交椭圆C于4B两

(i)若a=1,求△A48面积的最大值；

(ii)若"+用的值与点尸的位置无关，求〃的值.

参考答案

选择题(共12小题)

1.设/为虚数单位，复数3-等于()

1-1

A.-1-/B.-1+/C.1-/D.1+/

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解.

解：2i2i(Hi)2i-2_1+/.

l-i(1-i)(1+i)2

故选：B.

2.“VxG(2,+8),f-2x>0”的否定是()

A.3XQEL(-8,2],Xo-B.YxR(2,+0°),4-2/0

C.m痴£(2,+8),痴2-2痴<0D.V(-°°,2],x-2x>0

【分析】“Vx£M,p(x)”的否定为‘勺xGM,「p(x)”.

解：依题意,“VxQ(2,+oo),4-2*>0”的否定是：3(2,+oo),4-2/0,

故选：C.

3.若a,b,cGR,且则下列结论一定成立的是()

11

A.ac>bcB.—<—C.a-c>b-cD.a9>t｝9

ab

【分析】根据特殊值法判断4B,D,根据不等式的性质判断G

解：对于4。=0时，不成立，

对于8,令a=1,b=-2,不成立，

对于G根据不等式的基本性质，成立，

对于。令，=0,b—-2,不成立，

故选：C.

4.等差数列｛&｝的前"项和为£,若e=2,S=12,则条等于()

A.8B.10C.12D.14

【分析】由等差数列的性质和已知可得生，进而可得公差，可得吸

解：由题意可得$=句+包+a=34=12,

解得32=4,工公差d=a2-句=4-2=2,

:,a=向+5d=2+5X2=12,

故选：G.

5.已知等比数列｛为｝中，a,=1,且一-~~-=8,那么W的值是（）

al+a2+a5

A.15B.31C.63D.64

【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可.

解：设公比为q,a,=1,且＞----=8,

al+a2+a5

.q3+,q4+,q7_3_

••--------------7------q-os,

1+q+q

：•q=2,

.S=1(1L2!)=31)

1-2

故选：B.

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意

为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一

天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（）

A.3里B.6里C.12里D.24里

【分析】设第一天走日里，贝Maj是以己为首项，以告为公比的等比数列，由题意得：

（1-y）

S@=-----------——=378,求出例=192（里），由此能求出该人第四天走的路程.

1

2

解：设第一天走赵里，则｛a〃｝是以4为首项，以4•为公比的等比数列，

ai（1二'）

由题意得：56=------------——=378,

2

解得当=192（里），

3

•,•a4=aiX（1）=192X1=24（里）.

故选：D.

v22

7.已知双曲线得---二—=1的实轴长为10,则该双曲线的渐近线的斜率为（）

mJ+164m-3

A.4B-4c-4D-4

x22

【分析】利用双曲线工_=1的实轴长为10,求出明即可求出该双曲线的

m2+164m-3

渐近线的斜率.

解：由题意/+16=25,4m-3>0,:・m=3,.4nr3=3,

该双曲线的渐近线的斜率为土旦，

5

故选：D.

8.“6是1心向与1-愿的等差中项"是"6是与2-愿的等比中项”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：若6是1卜质与1-愿的等差中项，

则b=+卜愿=[,

2

若6是2+>网与2-愿的等比中项，

则b=±V（2-»V3）（2-^3）=土1>

则“。是ir巧与「愿的等差中项”是“6是2班与2-愿的等比中项”的充分不必要

条件，

故选：4

9.若正数x,v满足f+xy-2=0,则3A+V的最小值是（）

A.4B.2&C.2D.472

【分析】由4+xy-2=0二元换一元，表示出3A+V=2A+上，4,利用基本不等式求出最

x

小值即可.

解：因为f+xy-2=0,

99

所以3A+_K=3A+二-工=2/三24,当且仅当x=1时等号成立,

故选：A.

22b〉0）的离心率为五,

10.已知双曲线且双曲线的一个焦点在抛物线

2

y2=gJ7x的准线上，则双曲线的方程为（）

2222

-x--y=11B.x

43~3

2222

C.xyD.x12A

访一访

【分析】求出抛物线的准线，即有双曲线的。=2有，再由离心率公式和a2+h2=c2,可

得a,b,即可得到双曲线方程.

解：抛物线y2=8/]x的准线为x=-2/7,则有双曲线的一个焦点为（-2近，0）,

双曲线芸b〉0）的离心率为好，色=好,

a2b22a2

可得石=4,

则z,=Vc2-a2=6五

即有双曲线的方程为：AI_XI=I,

1612

故选：C.

11.若a>0,6>0,3>6=1,上且工则的最小值为(

)

ab

A.8B.7C.6D.5

【分析】根据条件即可得出工落包=4义之典，然后根据基本不等式即可求出工4^口

ababab

的最小值.

解：'：a>Q,b>Q,3>6=1,

...La+1=3a+bp3a+b=彦+>4+2回至=&当且仅当为上，即

abababVabab

a］，b=|"时取等号，

bb

—^的最小值为8.

ab

故选：A.

12.已知石，£是椭圆和双曲线的公共焦点，?是它们的一个公共点，且NFIPF9二k，

1乙3

则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为()

A.—B.出包C.4D.2逅

333

【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论.

解：设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为(a>ai),半焦距为c,

由椭圆和双曲线的定义可知，

设I历|=n，I所|=a|£Q|=2c,

椭圆和双曲线的离心率分别为e“金

2

•：CF,PFFJ则由余弦定理可得4c2=(n)+(r2)2为％cos三，①

OO

在椭圆中，①化简为即4c2=43-3ne…②，

在双曲线中，①化简为即4c2=4舒+为卜2…③，

13

-2+-2=4>

ele2

由柯西不等式得(1+争

11

二—+—W-

ele2"I

故选：B.

二.填空题(共8小题)

13.已知复数为虚数单位)，则|z|=2.

【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可.

解：2=如7,

|z|=V3+l=2.

故答案为：2

14.已知直线/与平面a垂直，直线/的一个方向向量为:=(1,-3,z),向量

v=(3,-2,1)与平面a平行，则z等于-9.

【分析】直线/与平面a垂直，直线/的一个方向向量为u=(1,-31z),向量

v=(3,-2,1)与平面a平行，由此得到［T和^垂直，由此能求出z.

解：•.•直线/与平面a垂直，直线/的一个方向向量为u=(l,-3,z),

向量^=(3,-2,1)与平面a平行，

**-7TS=3+6+z=0,

解得z=-9.

故答案为：-9.

15.不等式工二3Vo的解集为｛x|-2VxV3｝.

x+2

【分析】原不等式可化为x-3与A+2乘积小于0,即x-3与户2异号，可化为两个一

元一次不等式组，分别求出解集，两解集的并集即为原不等式的解集.

解：原不等式可化为：(x-3)(妙2)<0,

fx-3>0fx-3<0

即,或,,

x+2<01x+2〉0

解得：-2VxV3,

...原不等式的解集为｛x\-2<x<3].

故答案为：｛x\-2<x<3]

16.已知数列｛a〃｝满足以=1,a^=na„(nGN*),则今+a4=8.

【分析】利用数列的递推关系式式，逐步求解即可.

解：数列｛&｝满足&=1,a^=nan(〃GN*),

所以a=1Xai=1,

a=2/=2,

，4=3々3=6・

贝a+a4=8.

故答案为：8.

17.正方体4脑-48G4中，点£是四的中点，求国与龙所成角的余弦值为

15

【分析】以〃为原点，ZM为x轴，OC为y轴，因为z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出血与如所成角的余弦值.

解：以〃为原点，为x轴，加为/轴，㈤为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-4SGD中棱长为2,

则D(0,0,0),8(2,2,2),C(0,2,0),£(2,1,0),

DBj=(2,2,2),CE=(2，-1,0),

设必与庞•所成角为e,

西aI2斤

则cose=___/-=nJ-j-=X12..

|DBjI-ICE|2次,遍15

凿与龙所成角的余弦值为义运.

15

故答案为：，运.

15

18.直线/过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点尸(1,0),且与抛物线C相交于4,B两

点，若48的中点的纵坐标2,则。=2,直线/的方程为x-y-1=0.

【分析】由焦点坐标求出抛物线方程，设直线48的方程与抛物线联立，求出两根之和，

再由中点的纵坐标直线方程.

解：由题意得：-^-=1,：.p=2,所以抛物线方程为：y=4x,

由题意知直线/的斜率不为零，设直线/的方程：x=g1,A(x,y),5(%',y'),

由题意得由中点的纵坐标为2,即八/=2X2=4,

联立与椭圆的方程整理：y-4my-4=0,y+y'=4/77,.*.4/77=4,；・初=1;

故答案为：2,x-y-1=0.

19.已知m{x|-1VxV1},使等式f/77=0成立的实数m的取值集合为M不等式

(x-a)(A+a-2)V0的解集为N,若x£N是的必要条件，贝”石的取值范围是

【分析】先利用等价转化求出集合M再分类讨论求出集合乂由题可知，忙N,再利用

数轴法便可求出a的取值范围.

解：由题可知，方程户寸”在xG(-1,1)有解的实数加的取值范围为肌

令A(x)=f-x,xG(-1,1),贝4有2),：.M=2).

又；xGN是xGM的必要条件，.♦.忙N.

①当a=1时，N=0,不合题意，舍去；

②当a>1时，贝比有代(2-a,a),利用数轴法，可知，

2<a

③当aV1时，贝比有代(a,2-a),利用数轴法，可知，

2<2-a

20.给出下列四个命题

2°

①已知户为椭圆三一+y2=］上任意一点，F、,月是椭圆的两个焦点，则△ME的周长是8;

22

②已知"是双曲线予__2-=1上任意一点，尸是双曲线的右焦点，贝“的1d1；

③已知直线/过抛物线C:x=2py(p>0)的焦点8且/与C交于/(M,y),B(,x2,

”)两点，则4MM=0;

④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线

经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点E,Q是它的焦点，长

轴长为2a,焦距为2c,若静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出

发则经椭圆壁反射后第一次回到点石时，小球经过的路程恰好是4a.

其中正确命题的序号为②③(请将所有正确命题的序号都填上)

【分析】①求得椭圆的a,c,所以△所月的周长=2>2c,可得结论；

②求得双曲线的a,b,c,讨论"在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；

③设出直线/的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；

④可假设长轴在x轴，短轴在y轴，设/为左焦点，8是它的右焦点，对球的运动方向

分沿x轴向左直线运动，沿x轴向右直线运动，及球从4不沿x轴，斜向上(或向下)

运动，讨论即可.

解：对于①，由椭圆方程可知a=2,c=M，所以△ME的周长=2m■2c=4+2«学8,

故①错；

对于②，②已知附是双曲线a=2,6=依，则c=3,若"在双曲线左支上，可得|阴

》5>1,故②对；

对于③，已知直线/过抛物线C:x=2py(p>0')的焦点F,设直线/的方程为y=Ax+全

代入抛物线的方程可得f-2p〃x-P』。，且/与C交于yi),B(xi,必)两点，

(xx)22

可得XM=-p2,必必=——~——=-2—,则4ylM=0,故③正确；

4P24

对于④，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设4为左焦点，8是它的右焦点，以下分为三

种情况：

(1)球从4沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到4路程是

2(a-c);

(2)球从4沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到/路程

是2(尹c)；

(3)球从/不沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C,反弹后经过椭圆的另

一个焦点B,

再弹到椭圆上一点。，经〃反弹后经过点4此时小球经过的路程是4a.

综上所述，从点4沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点/时，

小球经过的路程是4a或2(a-c)或2(>c).故④错误.

故答案为：②③.

三.解答题(共4小题)

21.已知公差不为0的等差数列｛a.｝的前〃项和为£,&=与+9,且金，a4,赵3成等比数列.

(1)求数列｛a〃｝的通项公式；

(2)求数列｛Ji的前〃项和公式.

【分析】(1)运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，

即可得到所求通项公式；

(2)运用等差数列的求和公式，可得£=3"《/7("-1)•2=才+2",-=

2snn2+2n

《(工-工)，再由裂项相消求和，可得所求和.

2nn+2

解：(1)公差，不为0的等差数列｛aj的前"项和为£,

SA=ai+9,可得4留+64=e+6H

且各，丛,a3成等比数列，可得司42=司冏3,即(Sl+3flO2=Si(Sl+12flO,

解得句=3,d=2,

贝Ud=3+2(=-1)=2/71-1;

(2)Sn=3n^—n(n-1)•2=n+2n9

2

=1

Snn2+2n2nn+2'

则数列｛三—｝的前"项和为《(1--%1—]…+—\------^-+-------^―)

Sn232435n-1n+1nn+2

=1(»」__」_)=1-1.2n+3-

22n+1n+242(n+1)(n+2)'

22.如图，在四棱锥夕-四曲中，平面以〃_L平面四曲，PA'PD,PA=PD,ABA-AD,0为

中点，AB=\,AD=2,AC=CD=^

(1)证明：直线AB〃平面PCO;

(2)求二面角。-微-/的余弦值；

(3)在棱阳上是否存在点乂使4ML平面PCD,若存在，求线段朋的长度；若不存在,

【分析】(1)在平面4比汐中，由已知证明COL/I。，再由4艮L47,可得丽〃CO,利用

线面平行的判定可得直线48〃平面PCO-,

(2)由已知证明外_L47,POLCO,建立如图所示空间直角坐标系0-xyz,分别求出平

面门勿与平面48曲的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角P-CD-4的

余弦值；

(3)若存在点〃是棱加上一点，使4ILL平面PCD,则存在入G[0,1],使得

BN=XBP=X(-1,-1,1)=(6,-入，人:，求得同，由同与平面。曲的法向量

共线列式求得入值，由此可得存在点〃是棱加上一点，使41a平面门曲，并求得|则.

【解答】(1)证明：在平面48缈中，'：AC=CD,0为/。的中点，

：.COLAD,由

:.AB〃CO,

,：ABX平面PCO,a亡平面PCO,

二直线48〃平面PCO-,

⑵解：'：PA=PD,:.POLAD.

又V皿平面PAD,平面PADX.平面ABCD,：.POS.平面ABCD.

■:C1平■面ABCD,：.P02-C0.

'：AC=CD,:.COLAD,如图建立空间直角坐标系0-xyz.

由题意得，A(0,1,0),8(1,1,0),C(2,0,0),Z?(0,-1,0),P(0,0,

1).

PD=(0,-1,-1)，PC=(2,0,-1).

设平面白微的法向量为若=(x,y,z),

n.n*PD=-y-z=0人„n,“„.

则,令z=2,则x=1,y=-2.：.n=(1,-2,2).

Ln*PC=2x-z=0

又平面48曲的法向量为而=(0,0,1),

二、n*0P22

・・cos,

InI•IOPI3X13

9

二面角P-3-4的余弦值为二；

3

(3)解：若存在点〃是棱加上一点，使/ML平面区初

则存在入G[0,1]使得前=入丽=人(-1,-1,1)=(-X,-X,人:,

因此同=靛+讼=(1,0,0)+(-入，-人，入)=(1-入，-入，x.

•:ANL平面PCD,由(2)得平面的的法向量为(1,-2,2).

—►►口]—X一入X

••AN〃n，即-；—=~

解得人=声[0,1],

O

此时|刎栏阳=警］

，存在点及是棱加上一点，使4ML平面PCD,

OO

n

23.已知数列｛a〃｝的前〃项和为s=(ngN*)

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设b/ajZan+QDnan，求数列间的前2〃项和风.

【分析】(1)求出a=§=1.当〃》2时，an=Sn-Sn-,,求解即可.

(2)求出b=a-2an+(-l)na，列出数列的和的表达式，通过分组求和求解即可.

2,

解：⑴由Sn=n2"(n£N*)，得曰=S=1.

当〃》2时，2=S-S,J2ag7)2+("

andndn-l220

句=1适合上式，.•・&="；

ann

⑵bn=an*2+(-1)an=n*2+(~l)“F，

设数列｛晶的前2〃项和为T2n,

则T2n=(1X21-1)+(2X22+2)+(3X23-3)+-+(2nX22n+2n)

=(1X2+2X22+3X23+-+2/7X22n)+[-1+2-3+--(2n-1)+2n]

设A2n=1X21+2X22+3X23+-+2nX22p®

则2A2n=1X22+2X23+3X24+--+2nX22nH②

①-②得：-A2n=2+(22+23+24+-+22n)-2nX22^1

22-21

-2nX22ttH

=2十"""1"2

=-2+(l-2n)22ttH•，

所以A2n=2+(2n-l)22nH;

二TA2「「1+2-3+…-(2n-1)+2n]=2+(2n-1)22n+1F.

22

Xy

24.在平面直角坐标系x勿中，椭圆。2+2=1(a>6>0)的上顶点到焦点的距离为

2,离心率为退.

2

(1)求a,b的值.

(2)设夕是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为〃的直线/交椭圆C于/4、B两

・

(i)若4=1,求△Q4B面积的最大值;

(ii)若"+用的值与点"的位置无关，求〃的值.

【分析】(1