2023年福建省莆田市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年福建省莆田市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

、单选题（30题）

],设I=1-431j,2虚数型位，比argi等于

2.命题甲：X>7t,命题乙：X>2?T,则甲是乙的（）

A.A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件

D.不是必要条件也不是充分条件

2

3.已知bi,b2,b3,b4成等差数列，且bi,b4为方程2x-3x+l=0的两个根，

则b2+b3的值为

A.l/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

4.已知f（x）是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程f（x）=0的所

有根之和为

A.4B.2C.lD.0

5.已知集合M=

22

(1.2.(m—3m—l)+<m—5m—6)i}»N=(-1,3},且MnN={3}则m

的值为O

A.-l或4B.-l或6C.-lD.4

6.过直线3x+2y+l=0与2x—3y+5=0的交点，且垂直于直线L：6x

-2y+5=0的直线方程是()

A.A.x-3y-2=0B.x+3y-2=0C.x-3y+2=0D.x+3y+2=0

(1)设集合P■[1,2,3,4.51.集合Q■12.4,6,8,101.则PCQ・

(A)|2.4|<B)11.2.3,4.5.6,8,101

7(C)|2|(0)Hi

8.正三棱柱的每条棱长都是a,则经过底面一边和相对顶点的截面面积

是()

A.A.N7a2/8

B.A/7a2/4

C«7a2/2

D.Sa2

9.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个，则这3个球中有黑球的不同取

法共有0

A.3种B.4种C.2种D.6种

10.甲、乙、丙、丁、戊五个学生排成-排，甲必须排在乙之前的不同排法

为

A.P：

B.铲

C.汽

DH

(x-2y)‘的展开式中，P/的系数为

(\)-40(B)-10(C)10(D)40

(5)fifty>47E的定义域是

(A)(B)|slII

12.(C)1x1«>H(D)|«l«4-1H

13.函畋」勿-/♦I在x=Ift的导效力A.5B.2C,3D.4

14.

⑴设集合M=|(*廿/+入1].架介》=亨/炉VII,则集合“与集合、

的关系是

(A).1/U/V=V(B)wn/V=0

(C)/VSW(D)M§/V

15.已知向量a=(L2),b=(-2,3),则(a—b)・(a+b)等于()

A.A.-16B.-8C.16D.8

已知+则〃#-D=()

(A)x1-4x(B)x1-4

16.(C)/+4彳(D)x2

17.设f(x)是以7为周期的偶函数，且f(-2)=5,则f(9)=()

A.-5B.5C.-10D.10

18.已知m,n是不同的直线，a,0是不同的平面，且m_La,"U3,则()

A.若a〃0,则m_LnB.若a_L0,贝IJm〃n(\若m_Ln,贝Ija〃0D.若n〃

a,贝IJfi//a

19.使函数y=x2-2x-3为增函数的区间是()

A.A.(1,+oo)B.(—oo,3)C.(3,+oo)D.(—oo.1)

20.设sina=l/2,a为第二象限角，则cosa=()

A.A.«3/2B.«2/2C.l/2D.也/2

21.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.1

B.

C.

D.

22.若甲：x>l;乙：e，-1,贝!!()。

A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

23.设函数f(x)=x2-l,则f(x+2)=()

A.x2+4x+5B.x2+4x+3C.x2+2x+5D.x2+2x+3

24.5名高中毕业生报考3所院校，每人只能报-所院校，则有()

3

A.P3

B.53

C.35

D.Ci3

25.已知空间中两条直线m,n,且m在平面a内，n在平面0内，设

甲：m//p,n//a；乙：平面a〃平面0,则()

A.A.甲为乙的必要但非充分条件

B.甲为乙的充分但非必要条件

C.甲非乙的充分也非必要条件

D.甲为乙的充分必要条件

26.下列函数的周期是兀的是()

A.f(x)=cos22x-sin22x

B.f(x)=2sin4x

C.f(x)=sinxcosx

D.f(x)=4sinx

27.若a,0是两个相交平面，点A不在a内，也不在0内，则过A且

与a和p都平行的直线（）

A.A.只有一条B.只有两条C.只有四条D.有无数条

28.等差数列｛an）中，已知前15项之和Si5=90,则ai+ai5==

（）

A.A.8B.10C.12D.14

29.下列函数中，为偶函数的是（）

人~~8）

B.y-（工一•

C.y=x2-

D.yFfjr

A.A.AB.BC.CD.D

30.

第7题设甲：x=l,乙：X2-3X+2=0则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

二、填空题（20题）

31.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

已知〃彳)=—+了,则，,)=

已知随机变量6的分布列是:

60i2345

P0.10.20.3020.10.1

则国=

33.

已知的机变量g的分布列是

34.”小

35.一个底面直径为32em的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放人桶

中完全淹没，水面上升了9cm,则这个球的表面积是

__________cm2.

36.设函数f(x)=x+b,且f(2)=3,贝！|f(3)=

37化筒祕+QP+MN-MP=_

38.以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=O相切的圆的方程为

39.已知a=(6,2),b=(-4,1/2),直线i过点A(3,-1),且与向量a+2b

垂直，则直线i的一般方程为

40.

设》=cosx-sirur,则_____.

41.

从某公司生产的安全带中随机抽取10条进行断力测试，测试结果(单位：kg)

如下：

3722、3872、4004、4012、3972、3778、4022、4006、3986、4026

则该样本的样本方差为

(精确到0.1).

42.过点(1,-2)且与直线3x+y-l=0垂直的直线方程为

43.从新一届的中国女子排球队中随机选出5名队员，其身高分别为(单

位:cm)

196,189,193,190,183,175,

则身高的样本方差为cm2(精确到0.1cm2).

2

44.掷一枚硬币时，正面向上的概率为三，掷这枚硬币4次，则恰有2

次正面向上的概率是o

45.设离散型随机变量g的分布列如下表所示，那么自的期望等于

1009080

P0.20.50.3

.过圆上一点做）作该|的切线,则此切线方程为________

40./+/=25-3,4«•

47设6+&成等比数列.则a=

48.

若二次函数八］）=ar?+2工的最小值为一•，则a=_________•

4Q（21）不等式124+11>1的解集为.

曲线y=袁;2mH在点（-1,0）处的切线方程为________

50.』+2

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

52.

(本小题满分12分)

△A8C中，已知a'+J=ar,且lo&sinX+lo&sinC=-I,面积为acm”.求它：

近的长和三个角的度数.

53.

(本小题满分13分)

如图，已知桶的G：4+/=1与双曲线G：4-丁=1(«>>).

aa

⑴设外g分别是C,，G的离心率，证明*.«：<1;

(2)设4H是G长轴的两个端点『(与,九)(卜。1>a)在G上，直线P4与G的

另一个交点为Q,直线尸名与£的另一个交点为上证明QK平行于y轴.

54.

(本小题满分12分)

已知函数/(x)=t_|nx,求(1)〃外的单两区间；(2)〃x)在区间［｝,2］上的最小值

55.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

56.（本小题满分12分）

已知K,吊是椭网金+［=1的两个焦点/为椭圆上一点,且/.K呜=30°,求

△Pg的面积.

57.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

58.

（本小题满分13分）

巳知函数/lx）=»-27*.

（1）求函数y=/（x）的单调区间.并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数；

（2）求函数y=/（x）在区间［0,4］上的最大值和最小值.

59.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

60.

（本题满分13分）

求以曲线2-+/-4x-10=0和/=2*-2的交点与原点的连线为渐近线.且实

轴在x轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

四、解答题(10题)

61.

在(ox+1)'的展开式中，/的系数是x2的系数与**的系数的等差中项，若实数a>1,

求a的值.

62.

63.已知六棱锥的高和底的边长都等于a

I.求它的对角面(过不相邻的两条侧棱的截面)的面积、全面积和体

积

II.求它的侧棱和底面所成的角，侧面和底面所成的角

64.已知数列回｝的前n项和Sn=n(2n+1)

⑴求该数列的通项公式；

(H)判断39是该数列的第几项

65.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用自表示抽到次品的次数.

(I)求自的分布列；

(H)求自的期望E&)

66.(24)(本小■满分12分)

如图,已知横圆6二-।与双曲线G：$・y*sHa>i).

(I)设♦分别是C,.C,的离心率，证明e.e,<I;

(n)设A.4是a长轴的两个场点,P(q,.)(I勺I>。)在G上，直线P%与G的另

一个交点为Q,近线夕4与G的另一个交点为R在明QK平行于，轴

67.建筑一个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁每n?的造

价为15元，池底每n?的造价为30元.

(I)把总造价y(元)表示为长x(m)的函数；

(II)求函数的定义域.

已知点4(工°,；)在曲线y=-77±.

(1)求痂的值；

68(2)求该曲线在点4处的切线方程•

69.

如图，AB与半径为1的00相切于A点，AE=3,AB与00的弦AC的夹角为

50。.求

⑴AC；

(2)△

ABC的面积.(精确到0.01)

70.

设数列3”>满足m=3,a-i=2^+55为正修数）.

（I）记己=4+50»为正整数）.求证数列（〃.）是等比数列;

（n）求数列储.）的通项公式.

五、单选题（2题）

71.若是三角形的一个内角，则必有（）

A.sina/2<0B.cosa>0C.cota/2>0D.tana<0

72.函数y=2x的图像与函数y=log2X的图像关于（）

A.A.X轴对称B.y轴对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称

六、单选题（1题）

73.命题甲：x2=y2,命题乙:x=y甲是乙的（）

A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.即非充分又

非必要条件

参考答案

1.C

2.B

3.D由根与系数关系得bi+b4=3/2,由等差数列的性质得b2+b3=bi+b4=3/

2

4.D

设/（=0的实根为,/2・彳3

外为偶函数，

•\XI•Z?・.Tj•£.两两成对出现（加困）.

Xi+*?+4+“=0.

5.C

Mf)N={1,2,(m2—3m—1)4-(mz—5m—6)ilf)

{-1,3}={3},

由集合相等.

2

fm-3m-l=3=>m)=-1或mt=4

得：彳=>m=

2

[zn-5m-6=0=>m3=-1或孙=6

-1.

6.B

解方程蛆"!八得1即两直线的交点坐标为（-1」）

]2x—3y+5no,〔ynl・

又直线Z.：6x-2>+5=0的斜率为3,则所求直线的方程为

7.A

8.B

,,

因为AB'=?a+a=V?a.

在△ANC中J（伍>'一（1）'=ya.

所以S“C=1AC・/u-naX'aXa-ya：.（答案为B）

2

9.A3个球中有黑球的取法有C?-C3=3种.

10.D

"3IMASAAA上一华3Pt.

ll.D

12.D

13.D

D««：/'i.(6>>-2«：।=4.

**•1'

14.D

15.B

(a-b)-(a+b)=(3,-1)(-1,+5)=3x(—l)+(—l)x5=8.(答案为

B)

16.A

17.B

因为f(x)是偶函数，所以f(2)=f(-2)=5,又因为f(x)是以7为周期的函

数,则f(9)=f(7+2)=f(2)=5.

18.A

该小题考查空间直线和平面、平面和平面之间的位置关系，考查了空

间中线面、面面的平行、垂直的性质和判定，同时也考查了考生的空

间想象能力.

19.A

y'=21-2,令，=0得工=1.当/>1时,y'>0.原函数为墙函数,所求区间为（I.+8）,

（答案为A）

20.A

21.D

22.D

该小题主要考查的知识点为简易逻辑.【考试指导】

工>l=>e">e>1,而y

用才〉】，故甲是乙的充分条件，但不是必要条件.

23.B

24.C将院校看成元素，高中生看成位置，由重复排列的元素、位置的条

件口诀:“元素可挑剩，位置不可缺”，重复排列的种数共有“元素种，即

将元素的个数作为底数，位置的个数作为指数.即：元素（院校）的个数

为3,位置（高中生）的个数为5,共有35种.

25.A

由甲不能推出乙，而由乙可以推出甲，甲为乙的必要但非充分条

件.（答案为A）

26.C求三角函数的周期时，一般应将函数转化为y=Asin®x+a）或：

y=Acos®x+a）型，然后利用正弦、余弦型的周期公式T=2TT/|G）|求

解.A,f（x）=cos22x-

sin22x=cos（2x2x）=cos4x,T=n/2B,f（x）=2sin4x,T=27t/4=7r/2.C,f（x）=sinxcosx

=l/2xsin2x,T=2n/2=n.D,f（x）=4sinx,T=2TT/1=2兀.

27.A

28.C

等差数列仿,中,，,二5土号-得匆孕»=6g+a“=12.（答案为C）

29.C

根据函数的奇偶性的定义可知y—r1为偶函数.（答案为C）

30.A

31.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作B点关于工轴对他的京B'(2.-63连接

AB'.AB'即为入射光歧所在直线,由两点式知

■尸2H+。+2=0.

32."3

34.

3

35.

36.4由题可知f(2)=2+6=3,得b=l,故f(3)=3+b=3+l=4.

37.

38.

(x-2)J+(y+3)2=2

39.

2工一33一9=0【解析】直线上任取一点P(z,

，则PA=(3—x,—1—»).因为a+2b=

(一2,3),由题知谈•(a+2b)=0,即一2(3—

•z)+3(—1—1y)=0,整理得2z—3_y—9=0.

40.

y,=-sinx—co&r.（答案为一sinr—co&r）

41.

10928.8

【解析】该小题主要考查的知识点为方差.

【考试指导】

3722+3872+4004+4012+

3972+3778+4022+4006+

X~—_—3986--+--4-026_______

10=

(3722-394O)2+(3872-3940)?+…+

3940,？=(4026—3940)7________________

~10~二

10928.8.

42.x-3y-7=0

解析：本题考查了直线方程的知识点。

因为所求直线与直线3x+y-l=0垂直，故可设所求直线方程为X-

3y+a=0；又直线经过点(1,-2),故L3x(-2)+a=0,贝!Ia=-7,即所求直

线方程为x-3y-7=0o

43.

?=47.9(使用科学计策除计算答案为47.9J

44.

3

8

本题考查了贝努利试验的知识点。恰有2次正面向上的概率是P=

。(小(TI.

45.

答案：89解析：E«)=100*0.2+90*0.5+80*0.3=89

3」」一？5-（）

46.

47.±1

48.【答案】3

【解析】该小题主要考查的知识点为二次函数的最小值.

【考试指导】

由于二次函数/（JT）=32十2工有支

2

-.A-4aX0—21—Q

小值，故a>0•故-----：--------------------r-=>a=3.

4a3

(21)(-00,-l)U(0,+00)

51.

利润=梢售总价-进货总价

设每件提价工元（*彳0）,利润为y元,则每天售出（100-10M）件，销售总价

为（10+工）•（100-lOw）元

进货总价为8（100-100元（OwxWlO）

依题意有:y=（10+*）•（100-lOx）-8（100-10x）

»（2+*）（100-10*）

=-I0x2+80x+200

y'=-20x+80,令y'u（J得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,■得利润最大，最大利润为360元

52.

24.解因为=%所以0

2ac2

即cos84■而B为AABC内角，

所以B=60°.又1%&14+lo&sinC=-!所以sin/l•sinC=--4

则《［COS(4-C)-COB(44-C)］=!.

24

所以cos(4-C)-c<»1200=-^,HPcos(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得4=105。储=15。；或4=15。1=105。.

因为o6mnC=2片sirvlsinfininC

=2W・一士，.臣・国二&a冢

4244

所以所以R=2

所以a=2&irt4=2x2xsin105°=(76^^2)(cm)

b=2Ksin5=2x2xsin600=24(cm)

c=2R»inC=2x2x»in15°=(历-且)(cm)

或as(v^-JI)(cm)6=24(cm)c=(%+&)(cm)

容・=初长分别为(石♦A)an2、(布-4)cm,它们的对角依次为［05。.®)。,152

53.证明：（1）由已知得

vzzr./一串.

eiei=aa1、a

又a>l,可得所以.eg<l.

a

5+a)Y=(3+")*4④

由②®分别得y：=3（x：-/）♦yj=4（Q'-«I）.

aa

代人④整理得

同理可得匕=£.

所以处二%~0.所以OR平行于T轴.

（I）函数的定义域为（0,+8）.

/（x）=1令/*（工）=0,得x=l.

可见,在区间（0.1）上<0;在区间（I.+8）上J（x）>0.

则/（X）在区间（0,1）上为减函数;在区间（I.+8）上为增函数,

⑵由（I）知，当X=1时«X）取极小值,其值为｛1）=1-ini=1.

又=y~=y+ln2vf（2）=2-Ln2.

<LJLXX

54

即!<ln2<l.则/（；）>〃I）/（2）

因屿〃*）在区间；,.2］上的最小值是1.

55.

设/U）的解析式为/（外=3+，

依题通科产°+力+"2a+6）=3.施*那姐4.1

依题意狗12（--—,解方程组，得。=尸=一〒

••〃工）**一上

56.

由已知，棚图的长轴长2a=20

设IPFJ,由椭圆的定义知,m+n=20①

又c*=100-64=36.c=6,所以F,(-6.0),心(6,0)且1K吊1=12

JJoa

在APF解中,由余弦定理得m+«-2mnc(M30=12

5nm=144②

wi*♦2mn♦n2=400,③

③-②.得(2♦4)mn=256.m=256(2-6)

因此.△?打「,的面积为%>/1疝>30。=64(2-万)

57.

(I)设等差数列I。」的公差为乙由已知%+%=0.得

2a,+9d=0.又巳知5=9.所以d=-2

效列|a.|的通项公式为a.=9-2(n-l)・BPa.=11-In.

(2)数列la.l的前n项和

S„—-^*(9+1—2n)=—n3+lOn=—(n-5)3+25.

当“=5时S取得最大值25.

58.

(l)f(«)=1-y.4-/(x)=0,解得X=l.当xw(0.D./(x)<o;

当xe(l，+8)J*(x)>0.

故函数人外在(0.1)是减函数，在(1.+8)是增函数・

(2)当x=l时4幻取得极小值.

又/(0)=o,/(l)=-1./T4)=0.

故函数人*)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-L

59.

(I)设所求点为(q・%).

由于X轴所在直线的斜率为。,则-6^+2=O.Xo=J.

1

因此y0=-3«(4-)+2•y+4=y.

又点("号不在x轴上,故为所求.

(2)设所求为点(3.%).

由(1)'|=-6%+2.

由于y=彳的斜率为1,则-6%+2=1,x#=看.

11|7

因此，。=-3・祈+2-g+4>

又点(看,?)不在直线y=x上.故为所求.

60.

本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

f2x2+J-4x—10=0

根据施意,先解方程组,

x=3*.Irx=3C

{7=2,ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线,=±jx

这两个方程也可以写成。=0

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为《-匕=0

4k

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

M=6’

所以4=4

所求双曲线方程为g-g=l

解由于("+1)'=(1+3)7.

可见，展开式中的系数分别为C；M,C]a\C*a\

由已知,2©丁=C；<?+C?a\

口c、iiiiii)»7x6x57x67x6x5…

乂0>1,则2x—.—・a=——+*a25a*-10a4-3=0.

•JX/£□XZt

一解之，得a=5±f由a>l,得a=«+l.

ol.)、

62.

63.I.设正六棱锥为S-ABCDEF,SO为高，SK为面SEF的斜高，连

接AC、AD,△SAMSAD都

是对角面，AD=2a,AC=2AB-sin60°=&a，

SA=SC=，SO+A(7=&a.

(I)SASAD=a2-

△SAC的高八

、43a

(a+2a)•--2~

V3=3X2

V3,

~2a'

=Sj+s3=%+鸣］

3

彳(。■+⑶..

II.因为SO_LAO,SO_LAO所以NSAO=45。因为SO_L底面，SK±

EF,EF?OK±EF所以NSKO是面SEF与底面所成的二面角的平面

角

tan/SK€>=也=士_2Q

0K育一"F'

~2a

」.NSKO=arctan名3

3°

22

64.(1)当n>2时，an=Sz-Sn-i=2a+n-2(n-l)-(n-l)=4n-1

当n=l时，ai=3,满足公式an=4n-l,所以数列｛an｝的通项公式为

an=4n-l

(II)设39是数列同｝的第a项，4n-l=39,解得n=10,即39是该数列

的第10项

65.

(I)f=»0.1,2.

P<E=皂s兽,

LC35,

•।C_•6、_12

P(f=D--叵工_新，

1

p<e=2}=

35,

因此飞的分布列为

01

I~~

2212

p

35就35

(||)Ef=0x|f+lX,+2X点一

66.

（24）本小瞄描分12分.

证明:（I）由已知网

一•中•隼E■守・/・+'.

3分

又.可得0<（工）・<1.所以