2022-2023学年河北省“五个一”联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省“五个一”名校联盟高二(下)期末数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合/={%|y='%—1},B=[y\y=Vx—1}?则下列结论正确的是()

A.A=BB.AQBC.BQAD.AC\B=0

2.已知|方|=1,|3|=2,\2a—b\=4,则Z与后夹角的余弦值为()

A.—1B.——C.0D.1

3.已知双曲线4—4=1与双曲线亮—£=1(0<k<9),则两双曲线的()

A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

4.已知/'(x)=a*+a-*,且/'(3)>f(l),则下列各式一定成立的是()

A.f(3)>f(-2)B.f(0)>〃3)C./(-I)>/(-3)D./(0)>/(-I)

5.一条长椅上有6个座位，3个人坐,要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为()

A.36B.48C.72D.96

6.某学校有男生600人，女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的

方法获取容量为n的样本.经过计算,样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；

女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计全校学生每天运动时间的方

差为()

A.96B.110C.112D.128

7.过直线x+y—4=0上一点向圆0：/+f=1作两条切线，设两切线所成的最大角为西

贝！js讥a=()

AqB,江C口D口

9948

8.设/(%)是定义在R上的奇函数，且满足f(|-乂)=/(尤)，/(I)=2.数列满足的=-1,

猾若+扁(行*)，则422)=()

A.0B.—1C.2D.—2

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.若P(4)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是()

A.若事件4B相互独立，则事件4B也互斥

B.若事件力、B相互独立，则事件力、B不互斥

C.若事件4、B互斥，则事件4、B也相互独立

D.若事件4、B互斥,则事件2、B不相互独立

10.函数y=/(x)由关系式x|x|+y|y|=1确定，则下列说法正确的是()

A.函数f(x)的零点为1

B.函数的定义域和值域均为[-1,1]

C.函数y=f(x)的图像是轴对称图形

D.若g(x)=f(x)+x,则g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立

11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字。或是1作为代码，且每次只发送一个数字

.由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收

成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发

送信号。或1的概率是等可能的，贝!]()

A.已知两次发送的信号均为1,则接收到的信号均为1的概率为(0.5)2.(0.96)2

B.在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49

C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95

D.在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为。在0.49)2.0.51

12.已知△4BC为等腰直角三角形，AB为斜边且长度是4公4BD为等边三角形，若二面角C-

4B-D为直二面角，则下列说法正确的是()

A.AB1CD

B.三棱锥力-BCD的体积为誓

C.三棱锥4-BCD外接球的表面积为宾

D.半径为颛勺球可以被整体放入以三棱锥2-BCD为模型做的容器中

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.方程。-3)(%-5)+5=。在复数集C中的解为.

]4sin200+2sin40°_

“cos200

15.已知函数"X)=COS3X(3>0)的图像关于点(手,0)对称，且在区间[0,刍上单调，则3=

4$

16.如图所示，斜率为-空的直线咬椭圆马+4=1(a>

2a2bzk

b>0)于M、N两点，交无轴、y轴分别于Q、P两点，且丽=QN，

则椭圆的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛an｝的前n项和为%=2n2+5n,数列｛%｝满足瓦=8,bn=16bn+1.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)是否存在常数p、q,使得对一切正整数n都有厮=logpj+q成立？若存在，求出p、q的

值；若不存在，说明理由.

18.(本小题12.0分)

记△力BC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,且(2b-c)cosA=acosC.

(1)求角4的大小；

(2)设8c边上的高4。=1,求A4BC面积的最小值.

19.(本小题12.0分)

如图，圆锥P。的高为3,48是底面圆。的直径，PC,PD为圆锥的母线，四边形4BCD是底面

圆。的内接等腰梯形，且4B=2CD=2,点E在母线PB上，且BE=2EP.

(1)证明：平面2EC_1_平面P。。；

(2)求平面4EC与平面E4B的夹角的余弦值.

D

20.(本小题12.0分)

已知函数/(无)=ax—|—(a+l)Znx(a丰0).

(1)讨论函数的单调性；

(2)若/(%)既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g(a).解不等式g(a)<2a-2.

21.(本小题12.0分)

已知B为抛物线必=2%-2上一点，4(2,0),B为力C的中点，设C的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点F(l,0)作直线交曲线E于点M、N,点P为直线八x=-1上一动点,问是否存在点P使A

MNP为正三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展.某市为了激发

学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，

并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩.经统计分析该市高中生竞赛成绩X近似地

服从正态分布N(〃R2),其中〃近似为样本平均数元，M近似为样本方差52,并已求得元=73和

s2=37.5.

(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间(66985.2)的人数；

(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如

果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的

总次数不超过n.如果抽取次数的期望值不超过6,求九的最大值.

(附：V37.5«6.1-0.9755~0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817,若

X〜NO，/),则+=0.68,P(〃-20Vx<〃+2o)=0.95)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为集合A={x|y=V%-1}={x\x>1},

又B={y\y=Vx—1]={y\y>0],

所以aUB.

故选：B.

先利用函数定义域和值域的解法求出集合a,B,然后由集合的关系进行判断即可.

本题考查了集合之间关系的判断，涉及了函数定义域和值域的解法，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：I初=1,|3|=2,|21—=4，

•••(2a—b)2=4a2+b—4a-/?=4+4—4a-Z?=16>

a'b=-2,

■■cos<a,b>=———=——=—1.

同网1x2

故选：A.

对|2记-31=4两边平方可求出五•石的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出五与3夹角的余

弦值.

本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由双曲线，—号=1，得q=V25+9="5,

由双曲线工—£=1(0<k<9),得C2=V25+fc+9-fc=AT34.

25+k9-k、)乙

•••两双曲线的焦距相等.

故选：D.

由两双曲线方程分别求其焦距得结论.

本题考查双曲线的简单性质，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，f{x}=ax+a-x,其定义域为R,

有/(一比)=ax+a~x=f(x),则/(x)为偶函数，

设£=a*,则有y=t+；,

当a>l时，在区间［0,+8)上，t=ax,为增函数，且121,

y=t+：在［1,+8)上也是增函数，

故/'(%)在［0,+8)上为增函数，

当0<a<l时，在区间［0,+8)上，t=ax,为减函数，且

y=t+:在(0,1)上是减函数，

故;'(%)在［0,+8)上为增函数，

综合可得：函数〃久)在［0,+8)上为增函数，

依次分析选项：

对于4有/(3)>/(2)=/(—2),A正确；

对于B,有f(0)<f(3),B错误;

对于C,有/"(3)>f(l)=/(-1),C错误;

对于D,/(0)</(1)=D错误.

故选：A.

根据题意，分析函数/(乃的奇偶性和单调性，由此分析选项，即可得答案.

本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①先让3人全排列，坐在3个位置上，有a=6种排法，

②将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，

再将2个元素插入3个人形成的4个“空当”之间，有幽=6种插法，

故所求的坐法数为6X6=36种.

故选：A.

根据题意，分2步进行分析：可先让3人全排列坐在3个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单

独的空位”视为两个元素，将其插入3个人形成的4个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，

由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为黑=今

不妨设抽取女、男学生分别为2n,3n,则总数为5n,

则所有样本平均值为2x(80x3n+60x2n)=72,

2

所以方差为需x[10+(80-72)2]+gx[[20+(60-72)]=110.

故选：B.

根据男、女学生比例，不妨设女、男学生分别为筋，3n,则总数为5n,求得所有样本的平均值,

代入方差公式，即可得答案.

本题考查了求加权平均数与方差和标准差的问题，记住平均数与方差、标准差的公式是解题的关

键.

7.【答案】C

【解析】解：由圆。：x2+y2=1,可得圆心为(0,0),半径为r=l,

设P是直线x+y—4=0的动点，自P向圆作切线,

当。P长最短时，两切线所成的角a最大,

即。P是圆心。到直线的距离时，两切线所成的角a最大,

由点到直线的距离公式可得d==2^2,

V2

.a1na7Ta

••,sm2=i7T.•,°<2<亍'COS5=1_§=不

..aa1V_~7y/-7

Slna=2nsm2COS2=n2X^XiT7=­•

故选：C.

设P是直线x+y-4=0的动点，由题意可得。P是圆心。到直线的距离时，两切线所成的角a最大,

计算可得sbia.

本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，数列5｝满足的=-1,且需=攀+水岛3N*),

变形可得智-合心=2(卜击)，

则有华=(攀—•)+(壮—耘)+.•.+(号—为+?

111112

=2(/7_0+2(*_£7)+…+2(1_2)_1=1一了

则册=71—2,故的2=22-2=20；

又由/(%)是定义在R上的奇函数，则/(%)=-/(-%),

又由f⑺满足凭-X)=f(x),则有一/(一久)=/(I-%),得f(X+|)=-f(x),

则有/(久+3)=-/(%+1)=/(%),/(%)是周期为3的周期函数，

则有“。22)=/(20)=f⑵=/(-I)=-/(I)=-2.

故选：D.

由已知数列递推式结合累加法求得数列｛厮｝的通项公式，可得。22,再由已知求得函数的周期，进

一步可得/'(£122)的值.

本题考查函数与数列的综合应用，涉及函数奇偶性和周期的性质和应用以及数列的递推公式，属

于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解:若事件力、B相互独立，则有PQ4B)=P(4)P(B)>0,若事件力、B互斥，则有PQ4B)=0,

所以事件2、B相互独立，事件4、B一定不互斥，A错误，B正确；

若事件4B互斥，即不可能同时发生，相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生，

所以事件4、B一定不独立，C错误，。正确.

故选：BD.

根据相互独立事件和互斥事件的联系与区别，即可判断正误.

本题考查相互独立事件和互斥事件的概念，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：函数y=/(%)由关系式X|K|+y\y\=1确定，

f—Vx2—1,x>1

y=f(x)=W1-x2,0<%<1,作出/'(*)的图象如图所示:

kVx2+1,x<0

由图可知，函数〃久)的零点为1,故A正确；

函数的定义域和值域均为R，故8错误；

函数y=/(好的图像是轴对称图形，对称轴方程为y=x,故C正确；

若g(x)=/(%)+x,由图可知，g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立，故。正确.

故选：ACD.

由题意写出分段函数解析式，画出图象，结合图象依次分析四个选项得答案.

本题考查曲线与方程，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：4已知两次发送的信号均为1,则接收到的信号均为1的概率为(0.96)2,&错误；

R在单次发送信号中，接收至IJ0的概率为0.5X0.94+0.5x0.04=0.49,3正确；

C在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.5X0.96+0.5X0.94=0.95,C正确；

D在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为或x0.492x0.51,。正确.

故选：BCD.

根据相互独立事件的乘法公式计算即可.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用.

12.【答案】ACD

【解析】解：取48的中点E,连接DE,EC,

•••△ABC为等腰直角三角形，△4BD为等边三角形，

•••CE1AB,DE1BA,CECDE=E,4B1平面CDE,

•••CDu平面CDE,ABIDE,故A正确；

.•・ADEC为二面角C-AB-。的平面角，

•••二面角。一48-。为直二面角，••.NDEC=90。，

DE1平面ABC,

•••VA_BCD=VD_ABC=|xS-BC-OF=|x|x2<7x2<7x2c=学,故8错误；

又E是三角形ABC的外心，

故三棱锥4-BCD的外接球的球心在DE上，

设外接球的半径为R,则(DE—R/+BE2=R2,

即(2C—R)2+22=R2,解得R=搭，

三棱锥4-BCD外接球的表面积为4兀废=竽兀，故C正确；

设三棱锥力-BCD的内切球半径为r,

易得CO=BD=DB=4,

[1

则§(S—BC.r+^^ABD,r+S^BDC'r+^ACD'r)=^A-BCD，

.・q(4+3x4x4x?+3x2GxJ42-(4)2x2)=高篇"，

.•・半径为2的球可以被整体放入以三棱锥a-BCD为模型做的容器中，故D正确.

故选：ACD.

利用空间几何体的性质，结合每个选项的条件逐项分析计算可得结论.

本题考查空间几何体的体积的计算，外接球的半径的求法，内切球半径的求法，属中档题.

13.【答案］4±2i

【解析】解：(%-3)(%-5)+5=0,即i2—8%+20=0,

故(％—4)2=—4=4i2,解得％=4±2i.

故答案为：4±21.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

14.【答案】＜3

。-。)+$山(。+。)+沅。

【解析】解：原式=sin(30103010540

cos20°

2sin30°cosl00+sin40°cosl00+sin400

cos20°cos20°

$叭60。+20。）+$山（60。-20。）

cos20°

2sin600cos20°

cos20°

故答案为：a

由已知结合和差角公式进行化简即可求解.

本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

15.【答案】，或2

【解析】解：因为/（久）=cosa）x（a）＞0）的图象关于点自,0）对称,

4

所以竽=?+for,kez,

4Z

所以3=竽

因为函数〃久）在区间［0,刍上是单调函数,

T兀

所以

>O一>

--7T---7T-

2333

所以0Va＜3,

当k=0时，（0=1，々=1时，3=2,符合题意.

故答案为：|或2.

由已知结合余弦函数的对称性及单调性可求3.

本题主要考查了余弦函数的对称性及单调性的应用，属于中档题.

16.【答案】I

【解析】解：由题知，直线I的方程为：y=—.x+t(tKO),

•1-f(0,t),Qt,0),

设N(%2，y2)，

(C-

y=一丁%+1

联立方程122,

(小b2-

消y得：(1a2+b2)x2—y/~^3a2tx+a2t2—a2b2=0,

,V-3a2t

•.』+"2=环声①

4

•・•丽=丽，MP=(-x1,yi-t),QN=(x2-^t1y2),

=

-%1=X2—%1+%2t，②

二由①②得：品号=亨，化简得：炉=讶，

2777121

•••c==-a,c=-a,

4L

._C_1

••e-—■-

a2

故答案为：

由题意写出直线/的方程，联立消元得久1+乂2=看箸①，求出P,Q的坐标，再由丽=丽得到

/+右=殍£②，由①②可得b2=[a2,,再由椭圆的离心率公式即可求得.

本题考查直线与椭圆得位置关系及椭圆的离心率，属于中档题.

17.【答案】(1)证明：由品=2n2+5n,

得ri=1时,cii=Si=2+5=7,

当九>2时，S九_1=2(n-I)2+5(n-1),

ctn—Sn—^n-i=2九2+5n—2(71—1)2—5—1)—4n+3.

%=7适合上式，

.•.数列｛a九｝的通项公式为％i=4n+3.

*'.<zn+i—=4(几+1)+3—4n—3=4,TIEN*.

.•.｛与｝是等差数列;

(2)解：bn=16bn+1,,

数列｛,｝是以8为首项，2为公比的等比数列，

如=8层)…=27f.

要使对一切正整数"都有即=logpbn+q成立,

74n

即4九+3=logp2~+q=(7—4n)logp2+q=-4nlogp2+710gp2+q.

(4=-4logp2

解得p=I，Q=10.

(3=7logp2+q'

故存在常数p=|>q=10,使得对一切正整数?i都有与=logpbn+q成立.

2

【解析】(1)由％=2n+5n,利用an=S“一S时】求出数列通项公式，即可证明｛%J是等差数列；

(2)由%=16%+i，得数列｛5｝是以专为公比的等比数列，求其通项公式，再由an=logpg+q,

利用系数相等求得p与q值得答案.

本题考查等差数列和等比数列的综合运用，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：(1)因为(2b—c)cosA=acosC,由正弦定理可得2si7iBcos4=sinCcosA+

sinAcosC=sin(A+C),

在三角形中，sinB=sin(/+C),且sinBW0,

1

所以COSZ=而Ze(0,7T),

可得力=最

1X

S=^bcsinA=^-bca4-a

(2)因为=1,由(1)可得：LABC2-2-

24

所以a=fbc,由余弦定理可得M=b2+c2-IbccosA>2bc-be-be,

即［力2c2>be,可得be>I，

所以SMBC-5x=

所以△ABC面积的最小值为？.

【解析】(1)由题意及正弦定理可得cosA的值，再由4角的取值范围，可得4角的大小;

(2)由题意和(1)可得a=?6c，再由余弦定理可得be的最小值，进而求出该三角形的面积.

本题考查正弦定理，余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：由已知可得CD〃A。，且力。=。。=1,所以四边形。ADC为平行四边

形，

又因为。4=。。=1,所以平行四边形04DC为菱形，所以。D14C,

在圆锥P。中，因为P。_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以PO_L",

因为POnOD=0,POciFSPOD,。。u平面P。。，所以AC1平面P。。.

又因为4Cu平面4EC,所以平面4EC_L平面POD.

(2)取CD中点M,易知。Ml平面P4B,0M=V0C2-CM2=

以。为坐标原点，OM,OB,0P所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,—1,0),5(0,1,0),P(0,0,3),c(?$,o),

因为BE=2EP,所以砺=|正=|(0,—1,3)=(0,-|,2),

所以E(0,9,2),所以荏=(01,2),前=(?4,0),

JJZZ

设平面4EC的一个法向量为运=(x,y,z),

(n•AE=-y+2z=0

则｛_不q，令y=3,则％=—3V~3,Z=-2,

(元•AC=—x+-y=0

所以平面AEC的一个法向量为元=(—3/3,3,—2),

易知平面£48即平面yOz,所以平面瓦48的一个法向量为记=(1,0,0),

；匚卜［_—>n-m3V-33V30

所以cos<n,皿>=丽=y27+9+4x1=R'

所以平面4EC与平面E4B的夹角的余弦值为甯.

【解析】(1)由已知可得四边形。ZDC为平行四边形，进而可证。。1ZC,PO1AC,可证/。_1平

面POD,可证结论；

(2)取CO中点M,以。为坐标原点，OM,OB,0P所在直线分别为久轴、y轴、z轴，建立空间直角

坐标系，求得平面ZEC的一个法向量与平面瓦48的一个法向量，利用向量法可求平面4EC与平面

瓦48的夹角的余弦值.

本题考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题.

20.【答案】解：(1)已知-；一(a+1))%(aW0),函数定义域为(0,+8),

可得((%)=a+义—3=-一=(―,

当a<0时，ax—1<0,

当0<x<1时，/'(%)>0,/(%)单调递增;

当汽>1时，/'(%)<0,/(%)单调递减,

当。>0时，

若工>1,即0<a<1时,

a

当0<%Vl时，((%)>0,/(%)单调递增;

当1<%<；时，/(%)<0,/(%)单调递减;

当久>；时，/(X)>0,/(%)单调递增，

若;=1,即a=1时，广⑺>0恒成立，/(x)单调递增;

若工<1,即a>!.时，

a

当0V%<，时，fO>0,/(%)单调递增；

当]<久<1时，尸(X)<0,/(久)单调递减；

当x>1时，f，(x)>0,/(x)单调递增，

综上所述，当a<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

当0<a<l时，f(x)在(0,1)和(；,+8)上单调递增，在(1,；)上单调递减；

当a=1时，/(久)在(0,+8)上单调递增；

当a>l时，/(久)在(0,；)和(1,+8)上单调递增，在©,1)上单调递减；

(2)若/(*)既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g(a),

由(1)知，需满足a>0且a大1,

而g(a)=/(，)+/(I)=1—a+(a+l)Zna+a—1=(a+l)Zna,

要解不等式g(a)<2a-2,

等价于解不等式伍a-注*<0,

a+1

不妨设g(a)=Ina-受三,函数定义域为(0,+8),

2

可得“(a)=工------2=1)z>0,

a(a+1)，a(a+l)z

所以g(a)在定义域上单调递增，

又9(1)=0,

所以g(a)<g(l)=1,

即不等式的解集为｛a[0<a<l].

【解析】(1)由题意，对函数/(©进行求导，对a<0,；〉1,；=1和;<1这四种情况进行讨论，

结合导数的几何意义即可得到函数f(x)的单调性；

(2)结合(1)中所得，可知当a>0且a片1时满足条件，得到g(a)的表达式，将问题转化成解不等

式"a-誓9<0,构造函数g(a)=lna-华声，对g(a)进行求导，利用导数的几何意义得到

g(a)的单调性和极值，进而即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力.

21.【答案】解：(1)不妨设C(x,y),

因为B为AC的中点，4(2,0),

所以吟.

又8为抛物线必=2久一2上一点，

所以(合2=2x竽一2,

整理得好=4x,

故曲线E的方程为必=钛；

(2)假设存在点「使小MNP为正三角形,

设点P(-l,m),

当过点F(1,O)的直线与x轴垂直时，

即斜率不存在时，

可得N(l,-2),\MN\=4,

此时|MP|=\NP\=\MN\,

即J(—1—+(y—2尸=J(-1—1)2+十+2)2,

解得y=0,

可得|MP|=\NP\=2yTZ,

则△MNP不是正三角形，舍去；

当斜率存在时，不妨