2022年中考数学二轮复习之圆（含解析及考点卡片）

2022年中考数学二轮复习之圆

一、选择题（共10小题）

1.（2021•武都区二模）如图，在°。中，弦AC,BD交于点E,连接他、CD,在图中

的“蝴蝶"形中，若=AC=5,BE=3,则比）的长为（）

2.（2021•南沼区二模）台州.轻轨在紧张施工中，现在已开始隧道挖掘作业，如图1,圆

弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件，如图2,有一圆弧形混凝土管片放置在水平地

面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个小组

图1图2

A.甲小组B.乙小组

C.两组都可以D.两组测量数据都不足

3.（2021♦洛宁县模拟）下列关于圆的说法，正确的是（）

A.弦是直径，直径也是弦

B.半圆是圆中最长的弧

C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴

D.过三点可以作一个圆

4.（2020•鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同

的速度从A点到B点，甲虫沿ADA,、AE&、AG8路线爬行，乙虫沿AC8路线爬

A.甲先到3点B.乙先到3点C.甲、乙同时到3D.无法确定

5.（2019•渝中区校级一模）如图，AABC是OO的内接三角形，NAO3=110。，则NAC3的

度数为（）

C.60°D.70°

6.（2019•无锡一模）OO的半径为5,点尸到圆心。的距离为3,点P与OO的位置关系

是（）

A.无法确定B.点P在0。外C.点P在OO上D.点P在0。内

7.（2019•乐山二模）如图，AB为OO的直径，C、。为0O上的点，^AC=CD=DB,

<3

D.

2~2

8.（2019•广水市模拟）如图，OO的半径为6,直径8过弦斯的中点G,若NE8=60。,

则弦CF的长等于（）

A.6B.6GC.3力D.9

9.（2019•常熟市二模）如图，四边形ABCZ）内接于OO,连接。4,OC.若。4//3C,

ZBCO=70。.则NABC的度数为（）

10.（2013•保定模拟）如图：是AB所对的弦，的中垂线8分别交AB于C,交AB

于。，4）的中垂线EF分别交AB于E,交他于尸，£）5的中垂线G”分别交AB于G,

交43于4，下列结论中不正确的是（)

A.AC=CBB.EC=CGC.AE=ECD.EF=GH

二、填空题（共5小题）

11.（2021•市中区校级一模）把一个圆心为O,半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍,

分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺

序排列）是

12.（2020•平江县模拟）如图所示，MN是。。的直径，作垂足为点。，连接

AM,AN,点C为AV上一点，且AC=4M,连接CM,交AB于点E,交.AN于点、F,

现给出以下结论：①NM4N=90。；②=（3）ZACM+ZANM=ZMOB；④

AE=-MF,其中正确结论的序号是.

13.（2019•秦安县模拟）如图所示，弧仞是以等边三角形A8C一边四为半径的四分之一

圆周，P为弧4）上任意一点，若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是.

14.（2019•鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中，OA的圆心坐标为（有，⑶半径为逐，

函数y=2x-2的图象被OA截得的弦长为2,则。的值为一.

15.（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100a“，下雨前水面宽为60a”,

一场大雨过后，水面宽为80a”，则水位上升cm.

三、解答题(共7小题)

16.(2021•杨浦区二模)已知：如图，是半圆。的直径，C是半圆上一点(不与点A、

3重合)，过点4作AD//OC交半圆于点。，E是直径43上一点，S.AE=AD,联结CE、

CD.

(1)求证：CE=CD；

(2)如果AO=3C£>,延长EC与弦")的延长线交于点尸，联结8,求证：四边形OCFD

43为OO的直径，弦CD_LAB于点E,己知C£>=2,

AE=5,则OO的半径是多少？

18.(2021•凉山州模拟)阅读下列材料:

平面上两点6(为，乂)，鸟(七，/)之间的距离表示为I421=)(菁-&；+(乂一%)2，称为

平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x,y)是圆心坐标为C(a,。)、半径为，•的

圆上任意一点，则点尸适合的条件可表示为J(x-a)2+(y-：)2=r,变形可得:

(x-a)2+(y-b)2^r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为/•的圆的标准方程.

例如：由圆的标准方程(x-l)2+(>-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材

料，结合你所学的知识，完成下列各题.

(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为：；

（2）若已知OO的标准方程为：（x-2）2+y2=22,圆心为C,请判断点43,-1）与的

位置关系.

19.（2020•东城区模拟）如图，AC是RtAOAB斜边上的高，到点O的距离等于。4的所有

点组成的图形记为G,图形G与08交于点。，连接4）.

（1）依题意补全图形，并求证：AD平分ZR4C；

(2)如果OC=6,tan8=3,求即的长.

4

20.（2019•河南模拟）如图，他为OO的直径，C、。是上的两点，且3£＞//OC,

求证：AC=CD.

21.（2018•鞍山）如图，四边形ABC£＞内接于OO,AC与比＞为对角线，ZBCA=ZBAD,

过点A作AE//8C交CE＞的延长线于点E.

(1)求证：EC=AC.

2

(2)若cosN406=-,BC=10,求。E的长.

5

22.（2013•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆小的影子麻落在了包含一圆弧型小

桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其

影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，5的长为1米，测得拱高（弧G”的中点到

弦G"的距离，即的长）为2米，求小桥所在圆的半径.

D

2022年中考数学二轮复习之圆

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1.（2021•武都区二模）如图，在OO中，弦AC,BD交于点、E,连接A3、CD,在图中

的“蝴蝶”形中，若AE=3,AC=5,BE=3,则3Z）的长为（）

A

【答案】B

【考点】相交弦定理

【专题】计算题；儿何直观；推理能力

【分析】根据题意求出EC,根据相交弦定理计算即可.

【解答】解：EC=AC-AE=—,

2

由相交弦定理得，AEEC=DEBE,

贝-空空=工，

BE4

19

:.BD=DE+BE=—,

4

故选：B.

【点评】本题考查的是相交弦定理，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等是解题的关键.

2.（2021•南涪区二模）台州H轻轨在紧张施工中，现在已开始隧道挖掘作业，如图1,圆

弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件，如图2,有一圆弧形混凝土管片放置在水平地

面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个小组

对相关数据进行测量方案如表，利用数据能够估算隧道外径大小的小组是（）

小组测量内容

A.甲小组B.乙小组

C.两组都可以D.两组测量数据都不足

【答案】C

【考点】弧长的计算；垂径定理的应用

【专题】模型思想；等腰三角形与直角三角形；运算能力；与圆有关的计算；推理能力

【分析】甲的做法的合理性为可由垂径定理求出又知KL,由直角三角形的勾股定理

可求出答案；乙组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可.

【解答】解：甲、乙两组的做法都可以，

甲组做法的理由：如图2,根据测量数据可知，HG=KL,GN=HM,

由垂径定理可求出HK,

在直角三角形中，由勾股定理可求出O”，进而求出OL,问题得以解决;

乙组做法的理由：如图1,由于已知他，可以设外圆半径为R,则可表示内圆半径。4,

根据弧长公式列方程组可求出R即可，

所以甲、乙两组做法均可，

B

图1图2

【点评】本题考查垂径定理，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定

理以及弧长的计算方法是解决问题的关键.

3.（2021•洛宁县模拟）下列关于圆的说法，正确的是（）

A.弦是直径，直径也是弦

B.半圆是圆中最长的弧

C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴

D.过三点可以作一个圆

【答案】C

【考点】圆的认识：确定圆的条件；轴对称的性质

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力

【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可.

【解答】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；

3、•.•半圆小于优弧，

半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；

C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意：

过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是圆的概念、轴对称图形、过三点的圆，掌握弧、弦的概念、过三点的

圆的条件是解题的关键.

4.（2020•鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同

的速度从A点到3点，甲虫沿ADA、4我&、A2FA3.&GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬

A.甲先到8点B.乙先到B点C.甲、乙同时到8D.无法确定

【答案】C

【考点】圆的认识

【专题】应用题

【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是

g》（A4,+AA+A2A3+=因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半

圆的弧长相等，因此两个同时到8点.

【解答】解：3"/LA,+44+44+48）=3乃、48,因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和

乙虫走的大半圆的弧长相等，

因此两个同时到3点.

故选：C.

【点评】本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式.

5.（2019•渝中区校级一模）如图，AA8C是OO的内接三角形，ZAO«=110°,则NAC8的

度数为（）

A.35°B.55°C.60°D.70°

【考点】MA：三角形的外接圆与外心；M5：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系

【专题】559：圆的有关概念及性质；66：运算能力

【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可.

【解答】解：•.•NAO8与NAC8是同弧所对的圆心角与圆周角，ZAOB=WO°,

:.ZACB=-ZAOB=55°.

2

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.（2019•无锡一模）OO的半径为5,点P到圆心。的距离为3,点尸与OO的位置关系

是（）

A.无法确定B.点。在OO外C.点P在OO上D.点P在0。内

【考点】M8：点与圆的位置关系

【专题】55A：与圆有关的位置关系

【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r;点在圆内，“<r（d即点到圆心的距

离，，•即圆的半径）.

【解答】解：•.•OP=3v5,

.•.点P与的位置关系是点在圆内.

故选：D.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关

系是解决问题的关键.

7.（2019•乐山二模）如图，4?为0O的直径，C、。为0。上的点，若AC=CD=DB,

则cosNC4£>=（)

也

B.C.-

22

【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形

【专题】55：几何图形

【分析】连接OC,OD,利用圆周角得出NDO3=NDOC=NCO4=60。，进而得出

ZB=NC4O=60。，得出NC4D=30。，利用三角函数解答即可.

.•/R为<30的直径，C、。为上的点，若AC=CD=DB,

ZDOB=ZDOC=ZCOA=60°,ZA£>B=90°,

:.ZB=ZCAB=6O°9

:.ZDAB=3O0,

.\ZZMC=30°,

cosZCAD=—,

2

故选：D.

【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角得出"O3=NDOC=NCO4=60。.

8.（2019•广水市模拟）如图，OO的半径为6,直径CZ）过弦防的中点G,若48=60。,

则弦CF的长等于（）

A.6B.673C.373D.9

【考点】M2：垂径定理

【专题】H：计算题

【分析】连接。E，根据垂径定理得到。E=£>F,得到/DCP=LNE8=30。，根据圆周

2

角定理、余弦的定义计算即可.

【解答】解：连接。R,

直径CD过弦EF的中点G,

DE=DF,

ZDCF=-ZEOD=30°,

2

「CD是OO的直径，

.•.ZC/D=90°,

CF=CD.cosZDCF=12x—=65/3,

2

故选：B.

【点评】本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂

直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

9.（2019•常熟市二模）如图，四边形ABCD内接于OO,连接。4,OC.若OA//BC,

NBCO=70°.则ZAfiC的度数为（）

【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理

【专题】559：圆的有关概念及性质

【分析】根据平行线的性质求出/4OC,根据圆周角定理求出根据圆内接四边形的

性质计算即可.

【解答】解：•.•Q4//BC,

ZAOC=180°-ZBCO=110°,

由圆周角定理得，ZD=-ZAOC=55°,

2

•.•四边形ABCD内接于OO,

ZABC=180°-ZD=125°,

故选：C.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

10.（2013•保定模拟）如图：43是所对的弦，AB的中垂线C£）分别交A8于C,交AB

于D,AD的中垂线灯分别交A3于E,交4?于尸，DB的中垂线GH分别交AB于G,

交回于H,下列结论中不正确的是（）

4Th

AFlD|H\B

A.AC=CBB.EC=CGC.AE=ECD.EF=GH

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系

【专题】64：几何直观

【分析】由4?是AB所对的弦，的中垂线8分别交AB于C,交AB于O,A£）的中

垂线即分别交AB于E,交他于尸，的中垂线G”分别交AB于G,根据垂径定理与

弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.

【解答】解：连接£G，AE,

的中垂线CD分别交于C,

AC=CB,故A正确；

•.•4）的中垂线EF分别交AB于E,交43于F,£出的中垂线G”分别交AB于G,

EC=CG,故8正确；

四边形EFHG是矩形，

：.EF=GH,故。正确.

*/AE>AF=DF，

/.AE>EC,

/.AE>EC,故。错误.

【点评】此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的

应用.

二、填空题（共5小题）

11.（2021•市中区校级一模）把一个圆心为O,半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍,

分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺

序排列）是1:近:6:2.

【考点】Ml:圆的认识

【分析】设最小的圆的面积是“，则其它三个圆的面积分别是2〃，3a,4a.由题意得四

个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案.

【解答】解：设最小的圆的面积是“，则其它三个圆的面积分别是2a,3a,4a,

所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，

因而半径的比是周长的比等于相似比，即半径的比，是1:A：6：2.

故答案为：1：:6:2.

【点评】本题主要考查了圆相似形时，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比.

12.（2020•平江县模拟）如图所示，是OO的直径，作垂足为点。，连接

AM,AN,点C为4V上一点，且AC=AM,连接CM,交AB于点E,交AN于点、F,

现给出以下结论：①NM4N=9O。；②AM=8M；®ZACM+ZANM=ZMOB;④

AE=^-MF,其中正确结论的序号是①②③④.

【答案】①②③④.

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力

【分析】根据垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确,

AC=AM=BM,得出④正确，结合②④得出⑤正确即可.

【解答】解：「MN是。。的直径，ABA.MN,

:.AD=BD,AM=BM,ZMAN=90°,故①②正确,

AC=AM,

AC=AM=BM,

ZACM+ZANM=ZMOB,故③正确，

■：ZMAE=ZAME,

:.AE=ME,

ZEAF+AMAE=ZAME+ZAFM=AMAN,

ZEAF=ZAFM,

：.AE=EF,

AE=-MF,故④正确.

2

故答案为：①②③④.

【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等

知识.

13.（2019•秦安县模拟）如图所示，弧4）是以等边三角形ABC一边他为半径的四分之一

圆周，P为弧45上任意一点，若AC=5,则四边形AC8P周长的最大值是_15+5夜一

【考点】KK：等边三角形的性质；M4：圆心角、弧、弦的关系

【专题】16：压轴题

【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余

三边长为定值5）.

【解答】解：由于AC和值固定，点P在弧4）上，而5是圆心，所以PB的长也是定

值，

因此，只要AP的长为最大值，

.•.当P的运动到。点时，”最长，

•/弧4）是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，

：.ZDBA=90o,

由勾股定理得AD的长为572，

周长为5x3+54=15+5收.

故答案为：15+5近.

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及勾股定理和最值.本题容易出现错误的地方

是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使周长成为最大值.

14.（2019•鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中，Q4的圆心坐标为（百，“）半径为囱，

函数y=2x-2的图象被0A截得的弦长为2,则«的值为—4。-2或-2

【考点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征；垂径定理

【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角

形及其应用

【分析】分两种情况：①作轴于H,交CB于D,作于E,连接A8,由

题意得出OC=«,AC=a,把》=6代入y=2x-2得y=26-2,得出。点坐标为（石，

20-2）,得出C£>=2右一2,由垂径定理得出CE=3E=，8C=1,由勾股定理得出

2

AE=VAC2-C£2=2,求出直线y=2x—2与坐标轴的交点坐标，得出OG=2,OF=\,

由平行线的性质得出NAQE=NCDF=NOGF,求出DE=2AE=4,由勾股定理得出

AD=y/AE2+DE2=275,即可得出结果.

②同①得：。点坐标为（逐，20-2）,得出H0=2百-2,由垂径定理得出

CE=BE=-BC=\,由勾股定理得出AE=JAC"-=2,求出OF=1,得出FH=^5-\,

2

^DFH^ADAE,得出三一=——，求出小=4,由勾股定理得出A。=,。炉+AE?=26,

DEAE

得出AH=AD-"0=2,即可得出a=—2.

【解答】解：分两种情况：

①点A在第一象限时，作AHJLx轴于H,交C8于。，作AEJ_C8于E,连接AC,如图

1,

的圆心坐标为（石，a）,

OH=y/5,AH=a,

把彳=后代入y=2x-2得y=2右一2,

.•.£）点坐标为（石，2石-2）,

:.HD=2y/5-2,

-.AELCB,

:.CE=BE=-BC=\,

2

在RtAACE中，AC=也,

AE=y]AC2-CE2=^/5^T=2,

y=2x-2,

当x=0时，y=-2；当y=0时，x=l,

/.G（0,-2）,尸（1,0）,

OG=2,OF=11

・・・A〃//y轴，

ZADE=/HDF=NOGF,

AEOF1

・,.tanNADE=—=tanZOGF=—=-,

DEOG2

:.DE=2AE=4,

：.AD=\lAE2+DE2=y/2?+42=2后，

:.a=AH=AD+HD=2>/5+2y/5-2=4y/5-2；

②点A在第四象限时，作轴于"，交C5于£>,作钻_LCB于E,连接AC,如图2:

同①得：。点坐标为(行，275-2),

;.HD=2亚-2,

-.■AEVCB,

:.CE=BE=-BC=\,

2

在RtAACE中，AC=y[5,

AE=\IAC2-CE2=^/5^T=2,

'：y=2x-2,

当y=0时，x=\,

・•.F(1,O),

:.OF=\,

:.FH=45-\,

・・・ZDHF=ZDEA=90。,ZFDH=ZADE,

:./SDFH^ADAE，

HDFHBn2>/5-275-1

DEAEDE2

解得：DE=4,

AD=jDE2+AE2=742+22=2>/5,

:.AH=AD-HD=2,

a=—2；

综上所述，4的值为4不-2或-2；

故答案为：4石-2或-2.

【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、一次函数的应用、勾股定理、平行线的性

质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识.本题综合性强，有一定难度.

15.（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100c〃z,下雨前水面宽为60a〃，

一场大雨过后，水面宽为80a”，则水位上升10或70cm.

【考点】垂径定理的应用

【专题】圆的有关概念及性质

【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：作半径于C,连接03,

由垂径定理得：BC=-AB=30（.777,

2

在RIAOBC中，0C=>/502-302=40cm,

当水位上升到圆心以下水面宽80cm时,

则OC'=>/502-402=30cm,

水面上升的高度为：40-30=10c/n；

当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70。〃,

综上可得，水面上升的高度为10a”或70c〃?.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的

关键.

三、解答题（共7小题）

16.（2021•杨浦区二模）已知：如图，A5是半圆。的直径，C是半圆上一点（不与点A、

3重合），过点A作4）//OC交半圆于点。，E是直径4?上一点，£LAE=AD,联结CE、

CD.

（1）求证：CE=CD；

（2）如果A£>=3CD,延长EC与弦4）的延长线交于点尸，联结OD,求证：四边形OCFD

是菱形.

【答案】（1）证明见解析过程；

（2）证明见解析过程.

【考点】菱形的判定；圆周角定理：垂径定理

【专题】图形的全等；推理能力；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质

【分析】（1）由“SAS”可证AmC=A£AC,可得CE=C£>；

（2）先求出/4O£）=/4EC=108。，可证。D//CE,由菱形的判定可得结论.

【解答】证明：（1）如图，连接AC,

D

・・・Q4=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

.AD//OC,

.\ZDAC=ZOCA,

:.ZDAC=ZOAC,

在A/MC和AE4C中，

AD=AE

<ADAC=ZEAC,

AC=AC

.•.AZMC=AEAC(SAS),

/.CE=CD；

(2)如图2,连接C4,

O

图2

・・・4。=38,

；,ZAOD=3NCOD,

,;MyIIOC,

.・.ZADO=/DOC,

\OA=OD,

:.ZOAD=ZODAf

・・・ZAOD+ZOAD+ZADO=180°,

:.5ZADO=\80°,

.•.ZAZX?=36°,

.­.ZAOD=108°,ZDOC=36°,

:OD=OC,

，NO£>C=72。，

,-.ZAZ）C=108o,

•.•ACMCMAEAC,

ZADC=ZAEC=108°.

:.ZAOD=ZAEC,

:.OD//CE,

又•.♦OC/MD,

四边形ObD是平行四边形，

5L-.OD=OC,

平行四边形。6户。是菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性

质解决问题是本题的关键.

17.（2021•饶平县校级模拟）如图，4?为°。的直径，弦CD_LAB于点E,已知C£>=2,

AE=5,则OO的半径是多少？

【考点】勾股定理；垂径定理

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力

【分析】连接8,根据垂径定理求出DE,根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：连接8,设0O的半径为，，

•.•AB为OO的直径，弦C£>_LAB,CD=2,AE=5,

：.DE^\,OE=5-r,

在RtAODE中，OD2=OE2+DE2,即/=(5一厂＞+],

解得，r=2.6,

答：OO的半径是2.6.

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦

所对的两条弧是解题的关键.

18.(2021•凉山州模拟)阅读下列材料：

平面上两点4(X1,乂)，鸟(々，%)之间的距离表示为/21=J(X|-工2：+(X-必)2，称为

平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x,y)是圆心坐标为C(a,。)、半径为r的

圆上任意一点，则点尸适合的条件可表示为J(x-a)2+(y-%)2=厂,变形可得：

(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为/•的圆的标准方程.

例如：由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材

料，结合你所学的知识，完成下列各题.

(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为:_(x-3)2+(y-4)2=4_；

(2)若已知OO的标准方程为：(X-2)2+/=22,圆心为C,请判断点43,-1)与的

位置关系.

【答案】(1)(x-3)2+(y-4)2=4.

(2)点A在G)C内部.

【考点】方程的定义；坐标与图形性质；勾股定理；点与圆的位置关系

【专题】与圆有关的计算；推理能力

【分析】(1)根据圆的标准方程的定义求解即可.

(2)求出AC的长，可得结论.

【解答】解：(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为：(x-3)2+(y-4)2=4.

故答案为：(x-3)2+(y-4)2=4.

(2)由题意圆心为C(2,0),

A(3,-l),

.•.AC=7(3-2)2+l2=X/2<2,

.,.点A在G)C内部.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，方程的定义，坐标与图形性质，勾股定理等知识，解

题的关键是理解圆的标准方程的定义，灵活运用所学知识解决问题.

19.(2020•东城区模拟)如图，AC是RtAOAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有

点组成的图形记为G,图形G与OB交于点£(,连接45.

(1)依题意补全图形，并求证：AD平分N84C；

(2)如果OC=6,tanB=-,求比)的长.

【考点】M\：圆的认识；T7：解直角三角形

【专题】55E：解直角三角形及其应用；559：圆的有关概念及性质；69：应用意识

【分析】(1)图形G就是圆O,根据等角的余角可得结论；

(2)根据三角函数的定义设AC=3x,BC=4x,则他=5x,得。4=臣，根据勾股定理

4

列方程可得x的值，由线段的和与差可得比»的长.

【解答】(1)证明：如图，•.♦/。由=90。，

:,ZOAD+ZDAB=90°,

•・・AC是RtAOAB斜边上的高，

AC.LOB,

..ZACD=ZZMC+ZADO=90。,

・・,图形G是圆。,

:.OA=OD,

ZOAD=ZADO,

.\ZDAB=ZDAC,

.・.AD平分NaAC；

3

(2)解：tanB=—i

4

.OAAC_3

"AB-5C-4'

设力。=3x,BC=4x,贝ljA8=5x,

OA3~\5x

5x44

RtAAOC中，・.・OC=6,

62+(3x>=(骂2,

4

解得：x=±—，

9

,.・x>0,

24

:.x=一

9

2415?420

.\BD=OC+BC-OD=6+4x-----------x—=—

9493

【点评】本题考查解直角三角形，圆的认识，勾股定理等知识，解题的关键是设未知数表示

各边的长，列方程解决问题，属于中考常考题型.

20.（2019•河南模拟）如图，45为OO的直径，C、D是。。上的两点，旦BDUOC,

求证：AC=CD.

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系

【专题】559：圆的有关概念及性质

【分析】根据平行线的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可.

【解答】证明：♦.•。3=。£）,

:.ZD=ZB,

.BD//OC,

;.ZD=NCOD,ZAOC=NB,

ZAOC=ZCOD,

AC=CD.

【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质和圆心角、弧、弦的关

系解答.

21.（2018•鞍山）如图，四边形内接于OO,AC与比）为对角线，ZBCA=ZBAD,

过点A作/1E//BC交CE）的延长线于点E.

（1）求证：EC=AC.

2

（2）若cosZAO8=—,BC=\O,求DE的长.

5

【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质；77：解直角三角形

【专题】55C：与圆有关的计算

【分析】（1）欲证明CE=C4,只要证明NE=N。场即可.

(2)设AE＞交OO于M,连接DM,作于”.想办法证明"石=MDBC=10,

解直角三角形求出EH即可解决问题.

【解答】(1)证明：・.・8C7/AE,

:.ZACB=ZEAC,

\ZACB=ZBAD,

:.ZEAC=ZBAD,

.\ZEAD=ZCAB,

•/ZADE+ZAIX：=180°,ZADC+ZA5c=180°,

:.ZADE=ZABC,

\-ZEAD+ZADE+ZE=\S00,ZBAC+ZABC+ZACB=\S00,

.•.NE=NACB=N£4C,

CE=CA.

(2)解：设AE交OO于M,连接作MH_L£＞石于

\AEAD=Z.CAB,

..DM=BC,

：.DM=BC=W,

\-ZMDE+ZMDC=\S009NMDC+NM4C=180。，

:,ZMDE=ZCAM,

vZ£：=ZC4E,

:.ZE=ZMDE,

.*.A/D=ME=10,-MHX.DE.

；.EH=DH,

・.・ZADB=ZACB=4BAD=NE,

—空二

ME5

:.EH=4,

:.DE=2EH=8.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

22.(2013•深圳)如图所示，该小组发现8米高旗杆小的影子所落在了包含一圆弧型小

桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其

影长为2.4米,同时测得EG的长为3米，5的长为1米，测得拱高（弧G”的中点到

弦G”的距离,即仞V的长）为2米，求小桥所在圆的半径.

【考点】KQ-.勾股定理；M3：垂径定理的应用；5A：相似三角形的应用

【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出再利用勾股定理求出半径即可.

【解答】解：；小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米,

8米高旗杆。E的影子为：12m,

•.•测得EG的长为3米，所的长为1米,

.­.GH=12-3-1=8(m),

:.GM=MH=4m.

如图，设小桥的圆心为O,连接OM、OG.

设小桥所在圆的半径为r,

•/MN=2m,

/.OM=—

在RtAOGM中，由勾股定理得:

:.OG2=OM2+42,

解得：r=5,

答：小桥所在圆的半径为5〃?.

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于的等式是解题

关键.

考点卡片

1.方程的定义

（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程.

方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数.

（2）列方程的步骤：

①设出字母所表示的未知数；

②找出问题中的相等关系：

③列出含有未知数的等式-------方程.

2.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

3.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-上，0）或（1,k+b）作直线

k

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所

选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行

的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y

=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线可以看做由直线）一近平移依个单位而

得至!!.

当b>0时，向上平移；。<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

4.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数丫=区+6&W0,且&,人为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

上，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

k

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.

5.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中

任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

6.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，

腰和底、顶角和底角是相对而言的.

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

7.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是“，b,斜边长为C,那么。2+y=°2.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。2+廿=。2的变形有：a=dc2f2,b=*二^及c=席忑.

（4）由于/+62=02>/,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

8.菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）;

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：；4B=8C=C£>=D4...四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形"）.

几何语言：•.♦4CL8Z）,四边形A8C。是平行四边形平行四边形ABCD是菱形

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成

的图形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段叫做半径.以0点为圆心的圆，记作

读作“圆。”.

定义②：圆可以看做是所有到定点。的距离等于定长r的点的集合.

（2）与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称

弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做

优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

（3）圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

10.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

11.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问

题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方

法一定要掌握.

12.圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即