2019-2020学年高一（上）期末数学试卷

2019-2020学年宁夏育才中学高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）

1.（5分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④不是棱柱

2.（5分）已知直线经过点A（K，-1）和点8（0,2）,则直线A3的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（5分）圆（x-l）2+V=i与直线丫:理工的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心

4.（5分）已知点41,2）,8（3,1）,则线段45的垂直平分线的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y-5

5.（5分）下列叙述中，正确的是（）

A.因为Pea，Q&a,所以PQGa

B.因为Pea,Q&/3,所以ap=PQ

C.因为ABua,CeAB>De.AB）所以C£>ea

D.因为Afiua,ABc/3,所以Ae（a夕）且Be（a0）

6.（5分）在正方体ABS-ABCiA中，异面直线AB与AR所成角的余弦值是（）

A.0B.1C.—D.-

22

7.（5分）过点（1,2）,且与原点距离最大的直线方程是（）

A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=0

8.（5分）长方体的长，宽，高分别为a,2a,2a它的顶点都在球面上，则这个球的体积

是（）

人27%〃32739兀贮_94/

A.-----B.-----C.----D.----

8228

9.（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A1+2»1+4万1+2乃1+4乃

2乃47r兀21

10.(5分)直线x—2y—3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于£、尸两点，则AEO。是原

点)的面积是()

A.2旧B.-C.-D.—

425

11.(5分)两圆丁+9=4和(x+2>+(y-a)2=25相切，则实数a的值为()

A.±>/5B.±3石C.不或36D.土石或±3石

12.(5分)如图直三棱柱A8C-A4G的体积为V，点2、。分别在侧棱偿和CC上，

AP=C.Q,则四棱锥B-APQC的体积为()

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.(5分)已知A(-2,3),3(0,1),则以线段AB为直径的圆的方程为.

14.(5分)一个圆锥的底面半径为3CT?J,侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是cm2.

15.(5分)若直线x+y=l与直线2(m+1口+啰-4=0平行，则这两条平行线之间的距离

是—.

16.(5分)设加、〃是两条不同的直线，a,7是三个不同的平面，给出下列四个命

题：

(I)若加_La,nl/a>则加_L〃，(2)若m//〃，〃ua,则/n//ar

(3)若///c,nlla则m//"(4)若a_L/,/7±/,则a//4

(5)ml/attnup,a0=n,则加〃〃(6)若tz//〃，/?///,mA,a>则，

其中正确命题的序号是—

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)已知AABC三个顶点A(—l,4),8(-2,-1),C(2,3).

(1)求边中线45所在的直线方程

（2）求AABC的面积.

18.（12分）已知一个几何体的三视图如图所示.

（1）求此几何体的表面积；

（2）如果点P,。在正视图中所示位置，P为所在线段中点，。为顶点，求在几何体侧面

的表面上，从P点到。点的最短路径的长.

正视图侧视图

俯视图

19.（12分）在三棱锥ABC中，AMC和APBC都是边长为夜的等边三角形，AB=2,

O,O分别是45,P8的中点.

（1）求证：8//平面B4C；

（2）求证：PO_L平面/WC；

（3）求三棱锥P-ABC的体积.

20.（12分）己知圆C:x2+）/—2x—4y—20=0及直线/:（2m+1）犬+（利+1）丫=7〃?+4（，〃wR）.

（1）证明：不论皿取什么实数，直线/与圆C总相交；

（2）求直线/被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

21.（12分）如图，在直四棱柱ABCO-ABCA中，点E为4用的中点，点F为的中

点.

（1）求证：EF//平面ABCD：

(2)求证：AA.LEF.

22.(12分)在平面直角坐标系中，AABC顶点的坐标为4-1,2),8(1,4),C(3,2).

(1)求AABC外接圆E的方程；

(2)若直线/经过点(0,4),且与圆£相交所得的弦长为26，求直线/的方程.

2019-2020学年宁夏育才中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）

1.（5分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

①②③④

A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④不是棱柱

【解答】解：图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；

图（2）上、下两个面不平行，所以（2）不是圆台；

图（3）是四面体.

图（4）前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所

以（4）是棱柱.

故选：C.

2.（5分）已知直线经过点4（6,-1）和点5（0,2）,则直线的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解答】解：根据题意，设直线他的倾斜角为6,

直线经过点,—1)和点8(0,2)，则后，仍=----7=-=—，

0-V3

则有tan"%=-6，则。=120。；

故选：C.

3.（5分）圆（》-1）2+丁=1与直线y=的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心

【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（1,0）,半径r=l,

「I"I

所以（1,0）到直线y=也』的距离d=1二.=」＜1=＞则圆与直线的位置关系为相交.

3k

故选：A.

4.（5分）已知点A（l,2）,3（3,1）,则线段A3的垂直平分线的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

【解答】解：线段45的中点为（2,京，"8==^=一3，

垂直平分线的斜率k=—=2,

a

线段45的垂直平分线的方程是y-]=2（x-2）n4x-2y-5=0,

故选：B.

5.（5分）下列叙述中，正确的是（）

A.因为Pec,Qea,所以PQea

B.因为Pea,Qe尸，所以aP=PQ

C.因为ABua,C&AB,DeAB,所以C£>wa

D.因为ABua,ABu/3,所以Ae(a6)且8e(a/?)

【解答】解：因为Pea,Qea,所以PQua,故A错误;

因为Pea,Q&/3,所以a〃=PQ或a///7,故3错误；

因为A8ua,CGAB,DGAB,所以CDua,故C错误:

因为ABu（3,所以Ae（a夕）且8€（&/?）,故。正确.

故选：D.

6.（5分）在正方体A8CO-ABCA中，异面直线与AR所成角的余弦值是（）

@1

OBU2

A.D.2-

【解答】解:如图,

连接BC「则AD,//BC,,则NAB£为异面直线AB与AD,所成角,

连接AG，可得△为等边三角形，则Z^BC,=60°,

则异面直线A/与AR所成角的余弦值是

2

故选：D.

7.（5分）过点（1,2）,且与原点距离最大的直线方程是（）

A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=0

【解答】解：根据题意得，当与直线。4垂直时距离最大，

因直线04的斜率为2,所以所求直线斜率为-』，

2

所以由点斜式方程得：y-2=」（x-1）,

化简得：x+2y-5=0,

故选：A.

8.（5分）长方体的长，宽，高分别为a,2a,2々它的顶点都在球面上，则这个球的体积

是（）

i

27%/27万。39刀拼97ro

2^♦13••D•

8228

【解答】解：设这个求得半径为R，根据条件可知，

外接球直径2R=J/+（2a）2+=3a,则R=|q,

所以该球的体积为㊁万店=-^,

32

故选：C.

9.（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A1+271+441+2万1+4万

2万4乃兀2zr

【解答】解：设圆柱底面积半径为广，则高为2勿，

全面积：侧面积=［（2%不产+24产］:（2勿）2

_2乃+1

2%

故选：A.

10.（5分）直线x—2），—3=0与圆（x-2）2+（y+3）2=9交于后、尸两点，则A£O尸（O是原

点）的面积是（）

A.2名B.-C.-D.—

425

【解答】解：圆（工―2）2+（＞+3）2=9的圆心为（2,-3）

|2xl-2x(-3)-3|

(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离d==也

弦长|EF|=279^5=4

|Oxl-2xO-3|3

原点到直线的距离d~1T飞

△EO尸的面积为S=,x4x3_6#)

275~

故选：D.

11.(5分)两圆Y+y2=4和(x+2f+(y-a)2=25相切，则实数a的值为()

A.土逐B.±3行C.非或3非D.土石或±3石

【解答】解：根据题意：f+产=4的圆心为(0,0),半径为2,圆(x+2)2+(y-a『=25的

圆心为(-2,a),半径为5,

若两圆相切，分2种情况讨论：

当两圆外切时,有(-2)?+/=(2+5产，解可得。=13石，

当两圆内切时，有(-2f+/=(2-5f,解可得a=±>/5,

综合可得：实数”的值为土W或±3石；

故选：D.

12.(5分)如图直三棱柱ABC—A4G的体积为丫，点Q分别在侧棱心和C£上,

AP=GQ,则四棱锥8—APQC的体积为()

VV

C.D.

47

【解答】解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长均为1

^且

-=

K'JV=SABCh.1124认为P、。分别为侧棱A4',CC上的中点

^1电

-(其中也表示的是三角形ABC边AC上的高)

==-X

则丫B-APQC§SAPQC234

2

所以丫BAPOC=~V

故选：B.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.(5分)已知4-2,3),8(0,1),则以线段A3为直径的圆的方程为_(x+l)2+(y-2)2=2_

【解答】解：设圆上任意一点尸(x,y),

由必必=0,(x+2,y-3)(x,y—l)=0,

BPx2+2x+/-4y+3=0,

所以圆的方程为(x+l)2+(y-2)2=2,

故答案为：(X+1)2+(J-2)2=2.

14.(5分)一个圆锥的底面半径为3c,”，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_18万_cm2.

【解答】解：由题意知侧面展开图即为圆锥的侧面，

设侧面展开图的半径为R,弧长为/=2万3=6万，

因为侧面展开图是半圆，

所以67r=万/?,解得：R=6,

所以半圆的面积5=,伏=，6兀6=18i,

22

故答案为：18万.

15.(5分)若直线x+y=l与直线2(m+l)x+阳-4=0平行，则这两条平行线之间的距离

【解答】解：直线x+y=l与直线2(〃?+l)x+叼一4=0平行，.2(，丁)=卜求得

m=-2,

故直线犬+y=1与直线2(m+])x+/ny-4=0,即直线x+y=\与直线]+y+2=0,

则这两条平行线之间的距离为处>=逑，

故答案为：述.

2

16.(5分)设机、"是两条不同的直线，a,p,y是三个不同的平面，给出下列四个命

题：

(1)若加J_or,n1/a,则m_L〃，(2)若〃?〃〃，nua,则,"//or

(3)若mlla,n!la,则加//"(4)若a_Ly,(3工丫，则a//月

(5)mlla,tnup,ap=n,则m//〃(6)若a///?,/?///,mVa,则m_Ly

其中正确命题的序号是(1)(5)(6)

【解答】解：对于(1),因为〃//a,所以经过〃作平面尸，使Pa=l,可得〃/〃，又

因为/n_La,1ua,所以〃?_!_/,结合〃/〃得，w_L〃.由此可得(1)是正确；

对于(2),若加〃”，“ua,则〃?//a或"lua,故(2)是错误；

对于(3),设直线机、〃是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面a是正方体

下底面所在的平面，

则有，〃//a且〃//a成立，但不能推出，〃//"，故(3)错误；

对于(4),设平面a、£、7是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有a，/且

但是a，推不出a//£,故(4)不正确；

对于(5),根据线面平行性质定理，当，w//a,tnu。,a6=〃时必有机//〃，故(5)

正确；

对于(6)因为e//尸且4///,所以a//y,结合〃?_Lc,可得修J_y,故(6)是正确；

综上所述，正确的是(1)(5)(6),

故答案为：(1)(5)(6).

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)己知A4BC三个顶点A(-l,4),8(-2,-1),C(2,3).

(I)求3c边中线4)所在的直线方程

(2)求AABC的面积.

【解答】解：⑴B(-2,-l),C(2,3).

.♦.8C中点£>(0,1),

,,^AD=-3

A£）直线方程为3x+y-]=0；

（2）顶点C到AO所在直线3x+y-l=0的距离d=44，

中线A。长|A£>|=JIU,

所以S"=2x；|明d=8.

18.（12分）已知一个几何体的三视图如图所示.

（1）求此几何体的表面积；

（2）如果点P,。在正视图中所示位置，P为所在线段中点，。为顶点，求在几何体侧面

的表面上，从P点到。点的最短路径的长.

俯视图

【解答】解：（1）根据几何体的三视图，转换为几何体，是由一个圆锥和一个圆柱组成.

该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成.

所以S圆锥的网面积=—■,班a=艰;nr.

S圆柱的恻面积=21a-2a=4万〃“•

S圆柱底面积=710r.

S表面积=（江+5）4々2.

（2）沿点尸与点。所在的母线剪开圆柱的侧面,

如图所示：

所以PQ=y1AP1+AQ1=aj+1#，即最短路径.

19.(12分)在三棱铢P—ABC中，AMC和AP8C都是边长为友的等边三角形，AB=2,

O,。分别是他，P8的中点.

(1)求证：8//平面总C；

(2)求证：PO_L平面A8C；

【解答】解：（1）O,。分别为他，PB的中点，.lOZ）//期

又R4u平面PAC,OD仁平面B4C

，。〃//平面^（:....（4分）

（2）如图，连接OC

AC=CB=近,。为"中点，AB=2,

:.OC±AB,且OC=JAC2-（；AB¥=1.

同理，PO1AB,尸0=1....（6分）

又PC=0,

PC2=2=OC2+PO2,WZPOC=90°.

:.POYOC.

OC、1平面ABC,ABOC=O,

.♦.PO_L平面ABC....(8分)

(3)PO_L平面ABC,二。尸为三棱锥P-/1BC的高,

结合OP=1,得棱锥P—A8C的体积为％A8C=』SMBCOP=gx；x2xlxl=L…(12分)

20.(12分)已知圆C:/+)/-2x-4y-20=0及直线/:(2m+l)x+(w+l)y=7w+4(meR).

(1)证明：不论加取什么实数，直线/与圆。总相交；

(2)求直线/被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

【解答】证明：(1)把直线/的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,

尤+y-4=0解得卜

由方程组

2x+y-l=017=1

所以直线/总过定点(3,1).

圆C的方程可写成(x-+(y-2>=25,

所以圆C的圆心为(1,2),半径为5.

定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为7(3-1)2+(1-2)2=石<5,

即点(3,1)在圆内.

所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论加取什么实数，直线/与圆C总相交.

解：(2)设直线/与圆交于A、8两点.当直线/过定点M(3,l)且垂直于过点拉的圆C的半

径时，

/被截得的弦长|48|最短.

因为|AB|=25|8C『-|CM『=2您_(3-Ip+(1_2,=2720=4石,

此时"“=~匚=2，所以直线45的方程为y-l=2(x-3)，即2x-y-5=0-

kCM

故直线/被圆C截得的弦长最小值为46，此时直线/的方程为2