2024届高二年级上册第一次月考模拟试卷及答案解析

2024届高二上学期第一次月考模拟1

数学试卷

题号一二三四总分

得分

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知n是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

A.若mua,nC/?,则a_L/?

B.若m〃几，nc/?,则m〃3

C.若7n_La,m〃几，n//0,则aJL/?

D.若mua,nca,m/ffi,n//0,则a〃夕

2.已知复数z=（3'-2g一“G为虚数单位）,则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4

B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共貌复数工=4-2匕

D.\z\=2V5

3.如图，已知AOB是半径为4,圆心角为1的扇形，点E，F分别是。4,08上

的两动点，且EF=2,点P在圆弧助上，则正.巨声的最小值为（）

A.4B.8C.19-8V^D.16-8\/2

4.设两个向量N=(入+2,2-cos%)和R=(m,殍+sina),其中入，m,a为实

数.若/=27，则上的取值范围是()

m

A.[-6,1]B.[4,8]C.(-oo,l]D.[-1,6]

5.在正方体ABOO—4B1GA中，动点E在棱上，动点F在线段4G上，O

为底面A8CD的中心，若BEK,AiF=y,则四面体O-4EF的体积（）

A.与工，都有关B.与工，3/都无关

C.与a：有关，与？无关D.与？有关，与土无关

6.如图所示，在直角梯形BCEF中，NCBF=/BCE=90°,A.D分别是_8尸、

CE上的点，，且AB=DE=2BC=2AF（如图1）.将四边形ADEF沿

A0折起，连结BE、BF、CE（如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的是

（）

第2页，共27页

E

A.4c〃平面gEF

B.3、C、E、F四点不可能共面

C.若EFLCF，则平面ADEF±平面ABC。

D.平面BCE与平面8EF可能垂直

7.设函数/(£)的定义域为R,/(z+1)为奇函数，/Q+2)为偶函数，当[1,2]时，

/(I)=00^+6.若f(0)+/(3)=6,则/(£)=()

A.――B.——C."D."

4242

8.已知三棱锥S-4BC的所有顶点都在表面积为647r的球面上，且£4,平面

27r

S4=4，Z.BAC=—,48=28，M是边BC上一动点，则直线SM与平面

O

AB。所成的最大角的正切值为()

A.3B.弊C.瓜D.I

32

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.在棱长为1的正方体ABOD-ABiGDi中，点尸满足力？=也罚+“力2，

AG[0,1],[0,1],则以下说法正确的是()

A.当入=〃时，〃平面CbiOi

17T

当〃时，存在唯一点使得与直线。的夹角为可

B.2PDP81o

C.当入+〃=1时，CP长度的最小值为更

2

D.当入+〃=1时，CP与平面BCGBi所成的角不可能为]

0

10.已知正三棱柱ABC-的棱长均为2,点D是棱上（不含端点）的一个

动点.则下列结论正确的是（）

A.棱4G上总存在点E，使得直线BiE〃平面4OG；

B.△ADG的周长有最小值，但无最大值；

C.三棱锥A—DGC外接球的表面积的取值范围是等,等）；

D.当点D是棱的中点时，二面角A-DGi-C的正切值为

11.下列说法中错误的是（）

A.若寸〃丁,由小则正〃N

B.若言.丁=/・/，且H#0,则丁=/

C.已知=6,|同=3,N♦7=12，则正在了上的投影向量是*b

D.三个不共线的向量五能满足

.AS.m/或屈、

7VL•鬲+向=•画+南;

9嚼+爵=0,则。是△ABC的外心

12.如图，在△4BC中，AB=2,AC=3,

Z.BAC=60°-DS=2AS>在=2万X.设池在

前上的投影向量为小前，则下列命题正确的是（）

A.4的值为。B.4的值为\C.|两=噂D.强|=挛

ZJ93

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知圆心角为60°的扇形40B的半径为1，。是4B

弧上一点，作矩形CDEF,如图所示,这个矩形的面

积最大值为.

O

第4页，共27页

14.蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形

房孔组成・由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的

内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”.2022年五一节

假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的

拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练・他们所

乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料•现取其表面中一个正六边形ABC0EF，

它的的边长为2,若点尸是正六边形的边上一点，则为.A不的取值范围是.

15.在△ABC中，角儿瓦。的对边分别为若b(tan>l+tanB)=2ctanB,且

G是△ABC的重心，荏,前=2,则|混|的最小值为.

16.费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时,

费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该

点对三角形三边的张角相等，均为120°.已知△ABC的三个内角均小于120°，尸为

△ABC的费马点，且P4+PB+PC=3,则△ABC面积的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知△4BC的内角4,8,。的对边分别为b,c,满足

sinAfesinB

sinB+sin(7dsinA+csinB

(i)求角G

(2)CD是乙4。8的角平分线，若CD=壁,△ABC的面积为24，求c的值.

3

18.如图，四棱锥尸一ABCD中，「'，底面人二。。，AD//BC,

AB^AD=AC^3,PA=BC=4：,M为线段AD上一点，AM=2MD,N

为尸。的中点.

(1)证明：MN〃平面P48；

(2)求直线AN与平面PMH所成角的正弦值.

19.对于函数y=/(H),xe(0,+oo),任意叫b,cCR且a》o,0,c>0,

都有，(a)，/S),f©是一个三角形的三边长，则称函数？=,(3)为(0,+8)上

的“完美三角形函数”.

⑴设/=(Vasina:#cos4)，=(2A:cosx,2cosx)>若函数

g3)=/—左+1是[0,£上的“完美三角形函数”，求实数k的取值范围；

(2)在满足(1)且人〉0的条件下，令函数副⑼二向^工一笔2或11(H+/+罂，

若对任意的①i€[0,g,总存在出€[0,§,使得

世的)》力(d)成立，求实数k的取值范围.

20.在△ABC中，角4瓦。的对边分别为a,4c,且10(而1今色)=7-cos2A.

(1)求角A的大小；

(2)若匕=2,c=1,

①NB4C的角平分线交BC于M,求线段AM■的长；

②若。是线段BC上的点，E是线段84上的点，满足囱=43瓦

BS=AB1.

求同•逊的取值范围.

21.已知点。为坐标原点，对于函数/(劣)=asinz+&cosz,称向量0时=(a,b)为函

数『(，)的相伴特征向量，同时称函数〃工)为向量方而的相伴函数.

(1)设函数g(z)=8in(x+粤)_sin(即-X),试求g(z)的相伴特征向量前；

02

⑵记向量时=(1,㈣的相伴函数为了⑶，当/3)=，，且ce(—看》时，求

S加%的值；

(3)已知点4(一2,3)、8(2,6),厉=(一\/软,1)为人(工)=瓶$加(多一》的相伴特

征向量，。(0=九《一9,请问在1/=8(切的图象上是否存在一点P,使得

五不_1_亘3?若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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22.已知函数f［x)=4cos2(3-7+-7T)sinx+(sinx+cos力(sina:—cosz)+l.

7T7T

(1)常数3>0,若函数V=/(3H)在区间［一$,:;］上是增函数，求3的取值范围；

0Z

⑵若函数g(z)=4/3)-a/(x)+a解一工)-a］-1在［一看勺上的最大值为2,

求实数a的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注

意定理的条件是解题的关键.

利用空间直线和平面的位置关系，即线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，线面平行

和线线平行的判断和性质对每一选项进行判断即可.

【解答】

解：已知俏，n是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，

对于A,若mJ,ri,mea,nU万，则a、夕的关系是垂直、相交或平行，则A错误；

对于B,若皿〃心nC"则m、夕的关系是平行或仅在平面0内，则8错误；

对于。，若nzJLa，m//n,n//0,则加〃3或??1在夕平面内，因为nzJLa，所以a、

0的关系是垂直，则C正确；

对于D,若mua,nca,m//p,n//0,则a、0的关系是垂直、相交或平行，则

。错误.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查的是复数的概念及运算，属于基础题.

先求出复数z,再逐项进行判断即可.

【解答】

解：因为z=丝浇二0=社生=一4+2心

Z的虚部为2,所以A错误；

复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以B错误；

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W——4—2i,所以C错误;

\z\=y(-4)2+22=2A/5-所以。正确.

故选。.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积，属于较难题.

【解答】

如

解：以O为原点建立如图所示的直角坐标系，尸(4C0S^,4sin0)(。w陋寸)

设E(&O)(tC[0,2]),又旧尸|=2,所以|0尸|=，4一律,可得尸(0,，4一件),

尸©=(t-4cos0,—4sin8),~PP=(—4cos仇s/4—t2—4sin0)，

所以

P€•=-4tcos0+16cos20—4—t2sin0+16sin20=16—4(土cos0+\/4—t2sin9)

=16—8sin(夕+0,其中cos(p=7**,sin=—>

22

TT

又te[o,2],所以cosw,sin8C[0,1],所以夕丘位引，⑴+叱位同，

8in(W+8)€[0,1],-sin(y>+0)€[-1,0],所以雇.罚e[8,16]，

屈.声演的最小值为8.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识,

体现了化归的思想方法.

利用胃=27，得到*加的关系，然后用三角函数的有界性求解△的比值.

【解答】

解：由Z=（入+2,2一（^静。），b=（m,—+sina）,/=27，可得:

£t

A+2=2m

A2—cos2a=m+2sina

设a=如代入方程组可得＜km+2=2m

—cos2a=m+2sina

消去WI化简得(黄。)2—cc/a=a与+2sina,

再化简得(2+4)2-cos2a+2-2sina=0,

K-ZK-Z

再令37、=t,代入上式得(sina-l)2+(lGt2+18t+2)=0,

可得一(16#+18i+2)W[0,4],

解不等式得te[-1,一'

O

因而-1Wz---zW—3解得—6《儿W1.

»—28

故选：A.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力，属于中档题.

连接49，AE,AF,OE,OF,EF,结合等积法说明四面体。一4EF的体积是

与z,沙无关的定值.

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【解答】

解：如图，连接A。，AE，AF,OE,OF,EF,

­;BB/AA\,AAic平面AArCjC,

AB以平面A小。iC，

耳〃平面44Q1C，

/.E到平面441GC的距离为定值，

•.•49〃AiG，r.F到直线A。的距离为定值，

.•.△AOF的面积为定值.

Vo-AEF=VE-AOF，

二.四面体O—4E尸的体积是与工，？无关的定值.

故选：B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的判定、面面垂直的判定、考查了学生的空间想象能力和推理能力,

属于较难题.

根据折叠前后线段、角的变化情况，用线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理进行

判定.

【解答】

解：在图2中取4。的中点为O,取3E的中点为M,连结MO,

所以OMHDEQM=]-DE,

又AF//DE,AF=\DE,

所以OMHAF,OM=AF,

所以四边形40MF为平行四边形，即AC〃艮

因为FMU平面BE尸，4CC平面EE尸,

.•.AC〃平面3E尸，故A正确;

若3,C,E,尸四点共面，

因为BC〃4D,8CC平面ADEF，4。（：平面40后产，

所以BC〃平面力DEF,

又BCU平面BCE尸，平面BCEFD平面ADEF=EF,

所以可推出BC//EP,

又BCHAD,所以AO〃EF,矛盾，

：.B,C、E、尸四点不可能共面，故8正确；

在梯形ADEF中，可通过勾股定理逆定理证明：EF±FD,

又EFLCF,FDnCF=F,FD,CFU平面。。尸，

...EF_L平面0D尸，

又CDU平面。。尸，即有CD_LEF,

又COJ.4D,EF与4D是平面ADEF内的两条相交直线，

.•.。0_1平面4。旧干，

又。。U平面4BC0,

则平面ADEF_L平面ABCD,故C正确；

延长A尸至G使得”=FG,连结BG、EG,

易得平面BCEJ■平面48尸，且平面BCEC平面ABF=BG，

过P作尸N_LBG于N,则FN_L平面30E.

若平面BCE_L平面BE尸，则过F作直线与平面3CE垂直，其垂足在BE上，矛盾,

第12页，共27页

故。错误,

故选。.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用.

由已知得“⑼的周期为4,则煨=-燧,由已知得/(1)=0,/(2)=-6,即可求

出函数的解析式，即可得解.

【解答】

解：因为/(工+1)为奇函数，

所以/(一工+1)=—/3+1),

所以『3)的图象关于(1,0)中心对称，则*i)=o,

因为f(a+2)为偶函数，

所以f(—w+2)=f(:c+2),

所以〃》)的图象关于直线①=2轴对称.

由/(-«+1)=-f(x+1),得f[-x+2)=-f(x),

所以+2)=-JQ),

则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即/(工)的周期为4,

所以/标煨=-鸿)，

又因为〃0)=—/(2),/(3)=/(1)=0,/(0)+/(3)=6,

所以"1)一[2)=6,则〃2)=—6,

因为当ZG[1,2]时，f(x)=a^+b,

(/(I)=a+6=0

\/(2)=4a+6=—6解得

所以,当a6[1,2]时，f(x)=-2X2+2,

所以镖)=_噌)=_(一2,\+2)=号.

故选£>.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查线面角的正切值的最大值的求法，以及空间儿何体外接球的性质，属于中档题.

易求外接球半径r=4,从而可求△48。外接圆半径冗=2打，从而可求B0=6,

7T

。=&,又SM与平面ABO内的射影最短时，直线SM■与平面4B。所成的最大，求

0

得的最小值，可求直线SM与平面43。所成的最大角的正切值.

【解答】

解：根据题意：设外接球的半径为r,则4仃2=64元，，r=4.

设外接球的球心为。，则0在平面ABC内的投影0'为三角形A3。的外心,

SAL平面AB。，SA=4,

所以。$2=22+022,从而40,=2，，,

BCAB

所以,2五=4g;

sinZ.BACsinC

127r

解得sin。=5，BC=6,又乙847=9,

幺o

-7T_7T

B=

•1'C=6''-6

M是边3。上一动点，SM与平面AB。内的射影最短时，直线SM■与平面AB。所成

的最大,

此时4Af_LBC,易求AM■长的最小值为

所以直线SM与平面48。所成的最大角的正切值为J=竽

故答案选：B.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断与应用，考查共线向量基本定理的应用，考查空间想象能力与

思维能力，考查推理论证能力，是中档题.

第14页，共27页

当入=〃时，P的轨迹为线段。证明BP〃平面CBiZh即可判断A；当〃=《时，

点P的轨迹为线段EF,可得当P与E重合时，DP与直线所成角最大，求出最

大角判断B；当入+〃=1时，P点轨迹为线段。14,分别求出CP长度的最小值与CP

与平面BCCiBi所成的角正切值的最大值判断。与D.

【解答】

解：当入=〃时，如图（1）,P的轨迹为线段。Ai，

由正方体的结构特征，可知平面CBi0i〃平面4田。,

而BPU平面小BO,

.•.8「〃平面。81。1，故4正确；

当〃=看时，如图（1）,点P的轨迹为线段EF,直线

CBi〃直线。小，

当P与E重合时，OP与直线。4所成角最大，即。尸与直线。Bi所成角最大，最大

7T

故B错误;

当A+〃=1时，如图（2）,P点轨迹为线段口力，当P

为。出的中点时，

CP长度最小，

此时CP=jl2+（苧）2=苧,故C正确；

当点P在线段上运动时，P在平面BBiGC上的射(?)

影在GB上，

产到平面B耳GC的距离为定值为1,

当尸为。14的中点时，CP的射影最短，

则0P与平面BCCiBi所成的角的正切值最大，

~~=="^2V^3

其正切值为避,

~2~

7T

・・.CP与平面ECQB所成的角不可能为故。正确.

0

故选：ACD.

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查立体儿何中的动点问题，属于难题.

【解答】

解：对于4选项，过场做交441于过M做ME平行AG，交4G于

E，易得平面BME〃平面ADGi，故棱4G上总存在点E,使得直线耳后〃平面

对于B选项，不妨设80=2：,则三角形4DG周长

=，22+工2+、22+(2—.)2+2e，其中ce(o,2),求得范围:

[2v际+20,2+4〃)，故有最小值，无最大值.

对于。选项，三棱锥A-DGC外接球的表面积即为三棱锥D-4CG的外接球,

〃平面4CG，.♦.£＞到底面距离始终为逐.当。为中点时，表面积最小，为缪,

当。运动到端点处，此时外接球表面积最大，为等.因为D点无法运动到端点处，故

O

257r

取值范围为:

对于D选项，过A做交B0于F，易知4F_L平面FDG，

所以当点。是棱8场的中点时，二面角A—DGi-C的余弦值=沁巳=坐，所以

O^ADCh4

正切值为4.

第16页，共27页

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量在几何中的应用，向量平行的性质，向量的投影等概念，属于中档偏

难题.

【解答】

解：对于A,若向量了'为零向量，则结论不成立;对于B,若过.7=/./=0，且

则于不一定与表相等，B项错误;对于。，N在丁上的投影向量是

N.丁丁4寸引起9

可•同=/。项正确；对于D,向量画，画,曲等都是单位向量,由

向量襦,需为邻边构成的四边形是菱形，01•（需-番）=0,

可得04在NB力。的平分线上,

同理可得OB平分N4BC，OC平分乙4CB,

.•.O是△ABC的内心，。项错误.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查投影向量，利用向量数量积求向量的模长，属于综合题.

【解答】

解：NX在而上的投影向量为磊・屣IcosNB4c=2、#前=冠，.C].

9=黄+加=|^+1配=押+3（前一隔=抑+：他

|灰『=无2=1（Jg+前）2=黜+2A§•前+9）=:（13+2x2x3x4）=学，

yy9zy

二谒=争

13.【答案】遗

6

【解析】

【分析】

本题考查解三角在平面几何的应用，属于难题.

【解答】

解：设4704=0，扇形A0B的半径为1,圆心角为60°，所以CF=sin0，

匏夕,

cos。-•sin.0=^sin20+-^cos20—

S=

3/266

解得，s*

14.【答案】[一1,0]

【解析】

【分析】

本题考查平面向量坐标运算的实际应用，属于难题.

【解答】

解：因为正六边形HBCDEF是对称的平面图形，所以建系如图,

则为•功的取值范围

设4(2,0),B(l,㈣，G(0,V3).

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当尸点在AB上时,

PA=XBA=(X,-V3X),P^=P2+A^=(X,-V3X)+(-4,0)=(A-4,-712,

A€[0,1],所以句.囱=A(入-4)+3*=4*—4入€[-1,0].

当P在BG上，此时P点坐标为(m，D，me[0,1],则有益=,

PA=(2—m,—A/3)>PA-Pl5=m2—1G[—1,0].

综上取值范围为[-1,0].

15.【答案】里3

3

【解析】

【分析】

本题考查向量模的求解，向量数量积的应用，正弦定理的应用，综合性大，属于难题.

【解答】

(sinAsinB\_sinB

解：由6(tanA+tanB)=2ctanB,得sinB2shic・

\cos4cosB/cosB

整理得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

即sin(-A+B)=2sinCcosA,

又sin(A+B)=sinCf

所以cosA=：,

由・4d=2,得A6•A(^=bccosA=2,所以be=4,

又渴=+硝,

22

所以=1\/&4-C+2X2

国=#物+硝2

V

》，2bc+4=y/122y/3

J33

当且仅当b=c时，等号成立,

所以I褐I的最小值为竽.

16.【答案】也

4

【解析】

【分析】

本题在新定义下考查三角形面积公式，利用基本不等式求最值，属于综合题.

【解答】

解：

9=(PA+PB+PC)2=PA2+PB2+PC2+2(PA^PB+PAPC+PB-PC)》3(PA-PB+PA1

/.尸4•PB+PA•尸C+PB•PCW3./.SAABC=g(FAPB+PA-PC+PB•尸C)sin120°<苧

,当且仅当尸4=PB=P。时，等号成立.

sinAbsinB

17.【答案】解：(1)由正弦定理及1,知

sinB+sin.(76sinA+csinB

ab2

1

b+cab+bc

化简得，a24-62-c2=afc.

a2+fe2—c2_ab_1

由余弦定理知,cos(7

2ab2ab2

7T

因为Ce(o,；r),所以。=5.

(2)因为△4BC的面积s=gabsin。=x=2，^，所以ab=8,

由角平分线定理知，筮=：，因为4,D,3三点共线，所以

所以带=(#"(搐网》.谭严遗

16.曲、2/曲、2ca&-1163(而产3x64

即彳=(4)+E)+而可2彳七。

।T=(a+ft)2=(a+b)2

解得a+b=6,

所以a2+必=(a+-2ab=36-2x8=20,

由(1)知，c2=a2+b2-afe=20-8=12,所以

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【解析】本题考查正、余弦定理、平面向量在平面儿何中的应用，属于综合题.

18.【答案】(1)证明：如图，取P8中点G,连接AG，NG，

•.♦N为尸。的中点，

.-.NG//BC,且NG=/c,

O

又4M=3AD=2,BC=4,且ADUBC,

.-.AM//BC,且4M'=30，

则NG〃⑷Vf,且NG=AAf,

四边形AMNG为平行四边形，则NM〃4G,

♦;4GU平面P4B，N"C平面P4B，

/.MN〃平面「48；

(2)解:取中点Q,连接AQ,已知4B=AC,则有HQ_L3C,且QC=4M=2,

QC//AM,

则四边形AQCM为矩形，

即AMJ.MC，

•.•PA_L底面ABCD,P4U平面PAD，

二.平面ABCD_L平面PAD,

•.•平面ABCDn平面PAD=4D，CMU平面ABCD，

.•.CM_L平面PA。，又CAfU平面PNM,

则平面PNM_L平面PA。，

在平面PAD内，过A作AF_LPM,交PM于F,连接NF,

则/ANF为直线AV与平面PMN所成角，

在成△尸AC中，由N是P。的中点，

得⑷V=*PC=^y/PAi+PC2=，

在加△PAM中，由P4.4M=PM*AF,

_PA-AM_4x2_4A/5

得

AF=PM=,42+22=丁

4A/5

...___AF__8x/5

・・.smNAMF=--=

AN5=~25"

2

「.直线AN与平面尸”N所成角的正弦值为啦.

25

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转

化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.

(1)取中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG〃BC,且

NG=,再由已知得AM//BC,5.AM=qBC,得到NG//AM，且NG=4M，

说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM〃/1G,由线面平行的判定得到MN〃平

面「48；

⑵由勾股定理得CMLAD,进一步得到平面PNMJ•平面PAD，在平面PAD内，

过/作4FJ.PM，交PM于F，连接NF，则/ANF为直线AN与平面PMN所成

角.然后求解直角三角形可得直线？1N与平面PMN所成角的正弦值.

19.【答案】解：⑴因为过=(V3sinx,kcosx\,~^=(2A:cosx,2cosx),

所以g(x)=^'V—fc+l=2fcsin(2x+i)+1，

因为为W0,—,所以一可於出1(2/+》)1.

22\o/

①当k>0时，ff(x)€[-fc+l,2fc4-l],由题意得,2jfe+l'解得

0<fc<

2fc4-1>0

②当k<0时，ff(0；)€[2fc+l,-fc+l],由题意得J2(21+1)>_入+1'解得

1,c

--<k<0

o

③当6=0时,g(M=l,满足题目要求♦

综上可得

54

13y/2(TT\36913,、369

(2)h(x)=sin2x----------sin(x+—)4---=2sinrrcosx———(sinrr+cosa;)+—；

5\4y1005100

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令sinx+cosx=t,则sinxcosre=#一1,tW[1,阎.

故片产一a需=《一算+1寸109]

前卜

7T

因为任意的gwO〉,，总存在痣々60,—,使得g(±2))九(±D成立,

2

109991

所以2拈+1)提，即拈》端，故实数k的取值范围为端4％<*

【解析】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量的坐标运算,

不等式的存在性问题，属于较难题.

20.【答案】解：Q)10(sin^^)=7-cos2A,JUl|5(l+cosA)=8-2cos2A

17f

可得cosA=:，由A€(o,7T).,所以4=

2o

①法一：在△幺可■。与A4BM中，

由正弦定理得CM=4。B材=我

BinZCAM-ainZAMC^inZBAM-sinZ.AMB'

即需=卷=2,故病=2疑，

所以:^?=翅+挺,加2=黜2+怨+融彩=*

所以4人=也

3

7T

法二：在△ABC中，由AM■是NBAC的角平分线所以乙氏4M=ZW47=/

b

由SkABM+S^AMC=SAAB。知：

AB-AM-sin/BAM+：•AM-AC-sinZMAC=^-ABAC-sin/LBAC

Z/N

GP—,1,AM•sin^+—•21AM-sin1=—11•2•sinJ,解得AM=空6

20202o3

②由功=入在，得无方=立君+(1-X)Ad,(Ae[0,1])

又发=荏-前=(1-入)前-怒，

所以4£汽7自=[XA^4-(1-X)的.[(I-入)辐一福=2X—3€[-3,-1].

A5■迹的取值范围为[-3,-1]

②解法二：以AB所在直线为工轴，过点4垂直于AB的直线为？/轴，建立平面直角坐

标系，由b=2,c=l,、=不则4(0,0),B(l,0),C(l,V3).湘=(1,0),

□

前二(1,㈣

因为切=入赤，诞=屯1,

所以初=前+/=(1,逐一代内，Ci=B^-B^=(-A,-V3)-

所以初,灵=一小一6(逐一而入)=2》一3

由Ac[0J]，得加.在的取值范围为[-3,7]

【解析】本题考查解三角形和平面向量的综合应用，属于难题.

21.【答案】解：⑴g(a:)=sin3+k)-sin(亍一切

.5TT,.57r3

=sinxcos—+cosxam—+coax=遗sinx+-cosx，

6622

,\/33

故函数g(z)的伴随特征向量初叶=(一为~，5

(2)因为向量/=(1,遍)的相伴函数为/(x)

7T8

所以/(c)=sin++x/^cos*=2sin{x+—)=-,

3o

如4-

所以sin(c+』)=-,

Jo

_,/TV7T、7T7T»

因为a:e(一市>),所以£+QW(0,5),

o032

所以cos(①+】)=4/1—sin2(x+?，

3V35

£>

-7-rT-r7-r

3cos3sin-33

1434-&

-X-X1-

2551

LO

(3)函数h(r)=msin(x-1)=7n(sinxcos^—sin^cosx)=—msinx-^rrtcoax,

66622

若加=(_，乐1)为九3)的伴随向量，则妨=一2,

所以w(z)=h(1_/=-2s配吗一9一看=一24呜_》=2co«|>

设点PQ,2cos号，

又点4(一2,3)、B(2,6),

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所以无)=(6+2,288^—3),=(x—2,2cos^-6),

因