2022-2023学年四川省达州市渠县三江中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市渠县三江中学八年级（下）期末数

学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

5Xy

+_

在式子;竽学--9X+¥；邑中，分式的个数是（）

1.6+;78

xyx

A.5B.4C.3D.2

2.如图，△ABC中，4B=AC,点。在4c边上，且==则

的度数为（）

A.30°

B.40°

C.36°

D.70°

3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.M+(_以B.5m2-20mC.-x2-y2D,-x2+9

4.若代数式二书有意义，则实数x的取值范围是()

(x-3)

A.x>—1B.%>—1且%H3C.x>—1D.x>—1且x*3

5.如图，在RtZkABC中，/.ACB=90°,44=60。，AC=2,

将44BC绕点C按逆时针方向旋转得到小A'B'C,此时点A恰好

在边AB匕则点夕与点B之间的距离为（）

A.4

B.

C.3

D.C

6.把分式写此中的x,y同时扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A.扩大到原来的2倍B.扩大到原来的4倍C.缩小到原来的：D.

不改变

7.在△力BC中，乙4,乙B,乙C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果a：b：c=1：1：y/~2,那么△ABC是直角三角形

B.如果乙4=NB-NC,那么△ABC是直角三角形

C.如果a=^c,b=孰，那么△ABC为直角三角形

D.如果川=。2-c2,那么△ABC是直角三角形且NB=90。

8.如图，。48以）的对角线4C、80交于点。，4E平分NB4D

交BC于点E,且乙4DC=60。，AB=^BC,连接0E.下列结

论：①NCAD=30°;@S^ABCD=AB-AC;（3）0B=AB

@OE=\BC,成立的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3

m--x>-l-%的解集为x<4且关于y的分式方程悬+

（4-x>oy

1=言有整数解，那么符合条件的所有整数m的积为（）

A.0B.12C.4D.5

10.如图在。力BCO中，/.ABC=60°,BC=2AB=8,点、C关

于40的对称点为E,连接BE交4。于点F,点G为CD的中点，连

接EG,BG.则ABEG的面积为（）

A.16<3

B.140

C.8c

D.7c

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.已知a、b是AABC的两边，且满足a2-b2=ac—儿，则△ABC的形状是

12.若关于x的不等式x-a<-3的解集如图所示，则a的值是.

_I__________I_____I_____L_>.

-2-1012

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,OEJ.AB于。，交4c于点E,若BC=

BD,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,则△?1£>£■的周长是

14.若关于％的分式方程口=5+二有增根，则m的值为

15.如图，在平面宜角坐标系中，点4的坐标为(0,2),点B的

坐标为(4,0),在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条

件的C点有个.

16.如图，平面直角坐标系中，经过点B(-4,0)的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于

点4(一5，-1),则不等式7nx+2<kx+b<。的解集为

17.如图，在RtAABC中，Z.ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,

将△ABC绕点B顺时针旋转60。，得至必BDE,连接OC交4B于点F,则

△力(?尸与4BOF的周长之和为cm.

18.如图，。是△ABC内一点，BDA.CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是

AB.AC.CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是.

RC

三、解答题(本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题7.0分)

分解因式：x2(m—2)+9y2(2—m)

20.(本小题7.0分)

先化简.再求值：告(华£_X+2),其中X=一.

xz+4x+4'x+272

21.(本小题7。分)

解不等式或不等式组：

⑴号一竿“.

(X—3(%—2)〉4

(2)2x-l3x+2并写出该不等式组的最小整数解.

22.(本小题7.0分)

如图，在448。和4/)。8中，44=4。=90。，AC=BD,4C与BD相交于点。.

(1)求证：4ABe34DCB；

(2)求证：AOBC是等腰三角形.

23.(本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为4(1,3)、B(4,2)、C(3,4).

(1)将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△为BiG，请画出△&&G；

(2)画出△4BC关于原点。成中心对称的44282c2；

(3)若小公当6与42c2关于点P成中心对称，则点P的坐标是

24.(本小题7.0分)

如图，在△ABC中，AB=AC=7,BC=5,将△ABC绕点C旋转,使得点。落在AB边上，点

4落在点E处，连接4E.

(1)求证：四边形4BCE是平行四边形;

(2)求△4尸E的面积.

25.(本小题7.0分)

二月樱花开，四月樱桃红，随着樱桃成熟上市，某水果店花费6000元购进黄蜜樱桃，另花费

1000元购进红灯樱桃，黄蜜樱桃的进价是红灯樱桃的进价的2倍，黄蜜樱桃的数量比红灯樱

桃的数量多100千克.

(1)求红灯樱桃每千克的进价；

(2)该水果店第一周以40元/千克的价格售出红灯樱桃37n千克，第二周每千克售价降低了0.5m

元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的红灯樱桃剩余部分全部售罄、

若购进的红灯樱桃总利润不低于770元，求m的最小值.

26.(本小题7.0分)

已知：点。是△ABC边BC所在直线上的一个动点(点。与点B,C不重合)，Z.BAC=90°,AB=

AC=2,连接DA,点。绕点川顺时针转90。得到点E,连接BE,AE,DE.

图1图2备用图

(1)如图1,当点D在线段CB的延长线上时，请你判断线段BE与线段CD之间的关系，并证明你

判断的结论.

(2)如图2,当点。在线段BC上，且B0=2C。时，直接写出四边形力EBC的面积.

(3)点。绕点4逆时针转90。得到点F,连接CF,AF,DF,当NE4B=15。时，直接写出线段CF

的长.

27.(本小题7.0分)

如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点4的坐标为(14,0),

点B的坐标为(18,4「).

(1)填空：点C的坐标为;平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为；

(2)动点P从点0出发，沿。4方向以每秒1个单位的速度向终点4匀速运动，动点Q从点4出发,

沿力B方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动.设点

P运动的时间为t秒，求当t为何值时，4PQ。的面积是平行四边形OABC面积的一半？

(3)当APQC的面积是平行四边形04BC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点“，使

以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：在式点竽竿£；丹;%+墨守，

X2

分式的有：5言9X+墨--,

X

即分式有4个.

故选：B.

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.

本题主要考查分式的定义，注意兀不是字母，是常数，所以-不是分式，是整式.

2.【答案】C

【解析】解：设

•・•AD=BD,

••・乙4=Z.ABD=x,

・•・Z,BDC=2%,

•・・BD=BC,

:.乙C=Z.BDC—2%,

,・♦AB=ACf

:.Z-ABC=乙C=2%,

在^ABC中，Z,A+/.ABC+ZC=180°,

・•・x4-2x4-2x=180°,解得：x=36°,

••・Z-A=36°,

故选：C.

根据等腰三角形两底角相等以及三角形的外角性质定理，即可进行解答.

本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形等边对等角的性质以及三角形的一个外角等

于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：4、a2+i-bY，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；

B、5m2-207n=5m(m-4),无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；

C、-x2-y2,无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；

D、-x2+9=(3-%)(3+%),符合题意，故此选项正确.

故选：D.

直接利用平方差公式分解因式进而得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.

4.【答案】B

【解析］【解析】

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

解：由题意得，万+120且％-3。0,

解得：x>一1且x*3.

故选：B.

5.【答案】B

••・将△4BC绕点C按逆时针方向旋转得到^A'B'C,

乙BCB'=/.ACA',CB=CB',CA=CA',

"乙4=60°,

4a4'是等边三角形，AABC=30。，

Z.ACA'=60°,AB=2AC,

乙BCB'=60°,

BCB'是等边三角形,

BB'=BC,

在Rt△力BC中，AB=2AC=4,

BC=VAB2-AC2=742-22=2V-3-

•••BB'=2y/~3,

故选:B.

由旋转的性质，可证△ACA、ABCB'都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可.

本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质

是解题的关键.

6.【答案】。

【解析】解：将原式中的x,y分别用2x,2y代换进行计算得，

2x2xx2y+3x(2y)2

_8xy+12y2

=~~4^-

_4(2盯+3y2)

=-4/-

_2%y+3y2

=-

故选：D.

将原式中的x,y分别用2x,2y代换进行计算化简可得此题结果.

此题考查了分数基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识.

7.【答案】D

【解析】解：4、:a：b：c=1：1：V-2-

，设a=k,b—ktc~72k，

•••a2+b2=k2+k2=2k2,c2=(V-2/c)2=2k2,

a2+b2=c2,

•・.△ABC是直角三角形，

故A不符合题意；

B、•:NA=z_B-z.C,

•••Z.A+Z.C=Z.B,

V乙4+NB+“=180°,

2zB=180°,

乙B=90°,

••.△4BC是直角三角形，

故B不符合题意；

「3,4

C、a=-c,b=-c,

a2+b2=(|c)2+(1c)2=c2,

・•.△ABC为直角三角形，

故C不符合题意；

£＞、,；b2=a2—c2,

b2+c2=a2,

••.△ABC为直角三角形，

44=90°,

故。符合题意；

故选：D.

利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答.

本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内

角和定理是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

4ABC=Z.ADC=60°,/.BAD=120°,

v力E平分NB4。，

A^BAE=^.EAD=60°

：,△4BE是等边三角形，

:.AE=AB=BE,

■■■AB=^BC,

1

・•,AE=

・•・Z,BAC=90°,

/.Z.CAD=30°,故①正确；

•・•AC1AB,

••S团48co=48,AC9故②）正确，

VAB=^BC,OB=：BD,

•・,BD>BC,

.-.AB*OB,故③错误；

•••CE=BE,CO=OA,

OE=^AB,

OE=^BC,故④正确.

故选：C.

由四边形ZBCD是平行四边形，得到乙4BC=乙4。。=60。，/.BAD=120°,根据4E平分4BAD,

得至此BAE=Z.EAD=60。推出△ABE是等边三角形，由于4B=^BC,得到AE=：BC,得到△ABC

是直角三角形，于是得到NC4C=30。，故①正确；由于得到见M。=AB•AC,故②正

确，根据AB=2BC,OB=\BD,且BD>BC,得到ZB片OB,故③错误；根据三角形的中位线

定理得到0E=^4B,于是得到OE=[BC,故④正确.

本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面

积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：『一江‘T一”①，

,4-x>。②

解①得％<2m+2,

解②得x<4,

・••不等式组[小一1久N-1一”的解集为％<4,

14-x>0

・•・2m4-2>4,

/.m>1.

也+1=3,

y-22-y9

两边都乘以y-2,得

my+y—2=3y,

2

分式方程目+1=三有整数解，

y—zL-y

••TH-2=-2f—1,1,2,

・•・m=1,3,4,

•・・y—2。0,

・•・yH2,

•••二542,

m—2

：・m—2中1,

771。3,

771=1,4,

.-.1x4=4,

故c正确.

故选：c.

不等式组整理后，根据已知解集确定出6的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方

程有整数解确定出整数m的值，进而求出之积即可.

本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：如图，取BC中点H,连接4”，连接EC交4。于N,作EM_LCD交CD的延长线于M.

vBC=2AB,BH=CH,Z.ABC=60°,

.・.BA=BH=CH,

・•・△/B”是等边三角形，

・・・HA=HB=HC,

・・・Z,BAC=90°,

・•・Z.ACB=30°,

•・・EC1BC,乙BCD=180°-/LABC=120°,

:.^ACE=60°,Z.ECM=30。，

•・•BC=2AB=8,

CD=4,CN=EN=2「，

:・EC=4C，EM=2C，

•••S&BEG=S&BCE+SECG-S&BCG

111

-

=-x8X4A/3+5X2x2y/~3—~rS^ABCD

zz4-

=160+2c-

=147-3

故选：B.

如图，取BC中点H,连接AH,连接EC交AD于N,作EM1CO交CD的延长线于M.构建又^^=

S^BCE+SECG—SABCG计算即可；

本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的

判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常

考题型.

I1.【答案】等腰三角形

【解析】解：Ta?—/=ac—be,

:.(a+b)(a—b)—c(a—b)=0.

•••(a-b)(a+d—c)=0.

:在AABC中，a+b>c,

---a+b—c>0.

••a—b=0,即a=b.

・•.△4BC是等腰三角形.

故答案为：等腰三角形.

依据题意，由a?—扰=ac—be得(a+b)(a—b)—c(a—b)=0,再进行适当变形得(a—b)(a+

b-c)=0,结合三角形两边之和大于第三边，有a+b>c,从而可以得解.

本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.

12.【答案】2

【解析】解：rx-aW-3,

x<—3+a,

••x<-1,

-3+a=-1>解得a—2.

故答案为：2.

先用a表示出x的取值范围，再根据数轴上x的取值范围求出a的值即可.

本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示的不等式的解集得出关于a的一元一次

方程是解答此题的关键.

13.【答案】8cm

【解析】解：连接BE,

B

\"

\

i%//\\

i/\

CEA

vzf=90°,。£_1.48于。，

:•乙C=LBDE=90。,

在与中，

(BE=BE

18c=BD'

・・・Rt△BCEzRt△BDE(HL),

.•・DE=CE，

vAB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,

•••△4DE的周长=DE+AE+AD=CE+AE+AB-BD=AC+AB-BC=6+10-8=8(cm),

故答案为：8cm.

连接BE,利用HL证明RtABCE与Rt^BDE全等，利用全等三角形的性质解答即可.

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据"L得出Rt△BCE与Rt△BDE全等解答.

14.【答案】2

【解析】解：解％-3=0,

得x=3,

即x=3是该方程的增根，

两边同时乘以X—3,

得x-1=5(x—3)+m,

将x=3代入，

得3-1=5(3-3)+m,

解得m=2,

故答案为：2.

先确定该方程的增根是x=3,再将该方程化为整式方程后将增根x=3代入进行求解.

此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能准确理解增根产生的原因，并进行正确地求

解.

15.【答案】4

【解析】解：观察图形可知，若以点4为圆心，以4B为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合

条件的点由2个；

若以点B为圆心，以48为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与4重合的，应舍

掉，故只有1个；

线段4B的垂直平分线与y轴有1个交点；

符合条件的C点有：2+1+1=4(个)，

故答案为：4.

观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案.

本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案.

16.【答案］-4<x<-|

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系

是关键.

不等式mx+2<kx+b<0的解集就是图象上两个一次函数的图象都在x轴的下方，且y—mx+

2的图象在y=kx+b的图象的下边的部分所对应的自变量的取值范围.

【解答】

解：由图像可知，不等式巾％+2<依+6<0的解集是一4<%<-|.

故答案是：—4<x<—

17.【答案】42

【解析】解：•••将△力BC绕点B顺时针旋转60。，得到aBDE,

ABC=LBDE,Z-CBD=60°,

・•・BD=BC=12cm,

••.△BCD为等边三角形，

・•.CD=BC=CD=12cm,

在Rt△4CB中，AB=VAC2+BC2=V52+122=13，

△ACF^^BD尸的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+

12+12=42cm,

故答案为：42.

根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,可得△ABC^^BDE,乙CBD=60°,BD=BC=

12cm,从而得到△BCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm,在中，利用勾股

定理得到4B=13,所以△ACF^^BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+

AB+CD+BD,即可解答.

本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边.

18.【答案】11

【解析】

【分析】

利用勾股定理列式求出8C的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出

EH=FG=IAD,EF=GH=^BC,然后代入数据进行计算即可得解.

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于

第三边的一半是解题的关键.

【解答】

解：VBDLCD,BD=4,CD=3,

BC=VBD2+CD2=742+32=5，

•:E、F、G、H分别是48、AC,CD、BD的中点，

1i

；.EH=FG=次,EF=GH=^BC,

四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又力。=6,

二四边形EFGH的周长=6+5=11.

故答案为：11.

19.【答案】解:原式=x2(m—2)—9y2(m—2)=(m—2)(x2—9y2)=(m—2)(x+3y)(x—3y).

【解析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

20.【答案】解：原式=品+(黑心一案)

x—2.X—2

-0+2)2-x+2

x—2x+2

2

一(x+2)・x-2

1

=x+2f

112

当％=_弓时，原式=ZTE=§.

乙-2十

【解析】根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，把X的值代入计算，得到答案.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

21.【答案】解：(1)两边同乘6得：4%—2—3(5%+1)>6,

4%—2—15%—3N6,

-11%>11,

・•・%<-1.

(2)由%—3(%—2)>4,得：x<1,

由丁之工一1,得：x>-2,

则不等式组的解集为一2<x<l,

・•.该不等式组的最小整数解为-2.

【解析】(1)去分母后解不等式即可；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

22.【答案】证明：(1)在AABC和AOCB中，乙4=40=90。，AC=BD,

根据勾股定理：AB2=BC2-AC2；DC2=BC2-BD2；

AAB2=DC2=BC2-BD2,

:.AB=DC,

在Rt△ABC与Rt△DCB中｛":嚣

RtAABC^Rt△DCB[HL)

(2)•••△ABCWADCB,则NACB=4DBC,

在AOBC中，即N0CB=N0BC

・•.△OBC是等腰三角形.

【解析】(1)根据已知条件，用公理证：RtAABCmRt4DCB；

⑵利用Rt△ABC^Rt△OCB的对应角相等，即可证明4OBC是等腰三角形.

此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判

定与性质的理解和掌握.

23.【答案】解：(1)如图，△&B1G即为所求;

(2)如图，△&B2C2即为所求；

(3)(-2,0)

【解析】

解：(1)见答案

(2)见答案

(3)如图，点P的坐标是(-2,0).

故答案为:(—2,0).

【分析】

(1)依据AABC沿水平方向向左平移4个单位得AABiG，即可画出△4/16；

(2)依据中心对称的性质，即可得到△力BC关于原点。成中心对称的△々We2；

(3)连接两对对应点，其交点即为对称中心.

本题考查的是作图-旋转变换、平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题

的关键.

24.【答案】证明：⑴-：AB=AC,

••Z.B-Z.ACB,

•.•将△ABC绕点C旋转，使得点。落在4B边上，

AC=CE=AB,乙ACB=4DCE,CB=CD,

■■乙B=Z.CDB,

/.CDB=乙DCE,

：.AB//CE,

••・四边形ABCE是平行四边形.

(2)如图，过点C作CT14B于7,CK1DE^K,过点4作4/1EF于/.

•••BT=DT,

设CT=x,

•••CT2=BC2-BT2=AC2-AT2,

•••52—%2=72—(7—x)2,

25

/.x=一

14

BD=2x=y,CT=VBC2-BT2=J52-(y1)2=

2524

:,AD=AB-BD=7-q=胃

•■ShADE=\-AD-CT=\-A]-DE,

24

・国=工=4，

••CT749

...0•用=包=竺

.S&EFC一/EBCK.CK.FC"

•:乙CDB=LCDE,CT上DB,CKtDE,

・・・CT=CK,

AF_AJ_24

•t.~~~~~~，

FCCT49

24

・•・AF=^AC,

「24T241_15<1990/15

・•・S“EF=方S-EC=丙x5x7x

【解析】(1)证明A8〃CE,48=CE即可.

(2)如图，过点C作CT148于T,CK1DE于K,过点4作句1EF于/.证明2=需求出CT,△ACE

的面积，即可解决问题.

本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是求出4F：CF

的值.

25.【答案】解：(1)设红灯樱桃每千克的进价为%元，

根据题意，得智—100=史如，

2xx

解得x=20,

经检验，x=20是原分式方程的根，且符合题意，

答：红灯樱桃每千克的进价为20元；

(2)10004-20=50(千克)，

根据题意,得(40-20)-3m+20(40-0.5m-20)+(40X0.7-20)(50-3m-20)>770,

解得m>5,

答：m的最小值为5.

【解析】(1)设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克,

列分式方程，求解即可；

(2)根据购进的红灯樱桃总利润不低于770元，列一元一次不等式，求解即可.

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题

的关键.

26.【答案】解：(1)BE=CD,BE1CD.

证明：如图1,•••点。绕点4顺时针转90。得到点E,

AE=AD,Z.DAE=90°,

v/.BAC=90°,AB=AC,

••・Z-DAE=Z.BAC,

・•・Z.DAE+Z-DAB=4DAB+Z.BAC,

即484E=Z.CAD,图1

在△力BE和△力CO中，

AE=AD

Z.BAE=z.CADy

AB=AC

三△4CD(S4S),

图2

・•・BE—CD,Z-ABE—Z-ACB,

vZ.BAC=90°,AB=AC=2,

・•・Z.ABC=乙ACB=45°,

・・・Z,CBE=/.ABC+乙ABE=45°+45°=90°,

・•・BE1CD.

(2)方法一：如图2,过点A作AHLBC于点H,

vZ.BAC=90°,AB=AC=2,

・・・/,ABC=乙ACB=45°,

•••BC=-o=2A/-2,

cosz.ABCTcos45=—

vAH1BC,

・・・BH=CH=AH=V_2,

•・•BD=2CD,

.12y/~~2

•rr••CD=-BC=

c1/-r*AIT1x2y/~2i一7T2

S〉ACD=/D.AH=-xv2=-，

由旋转得：AE=AD,Z,DAE=90°,

•••乙DAE=Z.BAC,

三△4CD(SAS),

_2

^^ABE=3△AC。=

•・,S^ABC—g48-AC=1x2x2=2,

S四边形AEBC=S^ABE+S&ABC=,+2=I；

方法二：・・•/.BAC=90°,AB=AC=2,

**•S^ABC=248-AC=gx2x2=2,

・・・BD=2CD,

,CD_1

二~BC=3f

・S^ACD_*CDAH_CD_1

••S&ABC-^BCAH~BC~3f

S〉ACD—5sMBC=3»

由旋转得：AE=AD,/.DAE=90°,

・•・Z.DAE=Z-BAC,

•••△4BE*4CD(S/S),

__2

**,^c^ABE~30c。—g»

?，S四边形AEBC~S^ABE+S^ABC=3+2=3；

(3)①当点。在线段C8上时，如图3,过点4作4G18。于点G,

•・•乙BAC=90°,AB=AC=2,AG1BC,图3

:.AG=BG=CG=4C4G=/.BAG=45°,

•・・Z-EAB=15°,乙DAE=Z-BAC=90°,

・・・乙DAG=90°-15°-45°=30°,

:.DG=AG,tanzD/lG=y/~2•tan300=?，

:.BD=BG+DG=C+

・・・点。绕点4逆时针转90。得到点F,

/.Z.DAF=90°,AF=AD,

•・・Z-CAF+乙CAD=乙CAD+Z.BAD=90°,

・••Z-CAF=乙BAD,

•••△4CFwM80(SAS),

/.CF=BD=，7+?;

②当点。在线段BC的延长线上时，如图4,过点4作AG1BC于点、G,

v/-BAC=90°,AB=AC=2,AG1BC,

・・.AG=BG=CG=^-CAG=/.BAG=45°,

vAEAB=15°,/.DAE=Z.BAC=90°,

・・・乙DAG=90°+15°-45°=60°,

.・.DG=AG-tanZ.DAG=V'2-tan600=6,

:.BD=BG+DG=y/~~2+6»

•・・点。绕点4逆时针转90。得到点F,

・・・Z.DAF=90°,AF=AD,

，Z-DAF=Z-BAC,

Z.DAF+Z.DAC=4BAC+/.DAC,即“AF=乙BAD,

•••△aCFmAABD(SAS),

•••CF=BD=y/~^+V6;

综上所述，线段CF的长为C+?或，2+门.