2020年初升高【数学】无忧衔接：04 一元二次方程根的分布（解析版）沪教版

『初中升高中-无忧衔接」

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奋斗

专题04一元二次方程根的分布

知钠梳理

二次方程依2+Zzx+c=0(。w0)的根从几何意义上来说就是二次函数/(%)=+bx+c与x轴交点

的横坐标，所以研究。犬+法+。=0的实根的情况，可从函数的图象上进行研究.

若在(-8,+8)内研究方程ax2+Z?x+c=0的实根情况，只需考查/々”af+6x+c与x轴交点的个

数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由△、/+々、%的值与符号，从而判断出实

根的情况.

若在区间(私同内研究二次方程。/+6:+。=0,则需由二次函数图象与区间关系来确定.

知钠转构

与零有关的根的分布

与尢有关的根的分布

与区间(见，〃)有关的根的分布

综合应用

分

两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于

布两个负根即两根都小于0

情

况

&<0,x2<0)(%>0,x2>0)0,一个大于0(X<0<%2)

【例1】已知方程2d-（根+1）%+根=0有两个不等正实根，求实数相的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】由

A>0

(m+1)2-8m>0

m<3-2A或加>3+2A/2=

-----^>0n\m>-1

22m>0

m>0

/(0)>0

0〈根<3—2行或加>3+2后即为所求的范围.

【例2】若方程三+(m-2)x+5-加=0的根满足下列条件，分别求出实数机的取值范围.

(1)方程两实根均为正数;

(2)方程有一正根一负根.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】分析讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行.代数方法与图象法是研究

二次方程根的分布问题的主要方法.

解1(1)由题意，得

A>0(m-2)2-4(5-m)>0

<玉+%〉0n<-(m-2)>0

xrx2>05—m>0

m<-4或加>4

=>sm<2=>m<-4.

m<5

所以，当冽4-4时，原方程两实根均为正数；

(2)由题意，得

A>0

<=>5-m<0nm>5.

王元2<0

所以，当机>5时，原方程有一正根一负根.

解2二次函数y=%2+(加一2)x+5-根的图象是开口向上的抛物线.

(1)如图，由题意，得

/(0)>05-m>0

-2〉0空三〉0

=>〃z4-4。

2a2

b

/(--)^0四—i+5-…

2a42

所以，当机4-4时，原方程两实根均为正数；

(2)如图，由题意，得

/(0)<0=>5-m<0=>m>5.

所以，当机>5时，原方程有一正根一负根.

Z?b

评注解2(1)中，条件-一〉0是必要的.若将此条件改为———<0,得到的二次函数的图象与原图

2a2a

象关于>轴对称，此时得到的根的值是两根均为负数的解.

1.已知关于x的方程x2-(m2+2m—3)x+2(m+l)=0的两个实数根互为相反数.

(1)实数加的值;

(2)关于x的方程(k+m)x—37〃—左—5=0的根均为整数，求出所有满足条件的实数上.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】⑴由题意，得卜+%="+2加-3=0,=加=_3；

王光2-2(m+l)<0.

(2)由机=一3,得方程］?—(左—3)%+4—左=0.由题意，得

玉+%2=左一3,

<nxrx2+玉+%2=1n(玉+1)(%+1)=2.

xrx2=4-k.

因为占,％2为整数，所以

X]+1=—1,1,玉二-2,0,

<+1=-2,2・=\x?=-3,1.

所求上的值为-2或4.

2.已知二次方程（2加+1）/一2初％+（机-1）二0有一正根和一负根，求实数机的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】由（2根+1）/（0）＜0即（2机+1）（机—1）＜0,从而得—g〈相＜1即为所求的范围.

余块二；与左有关的根的分布

【例3】若关于x的方程V+x+a=o的一个大于1、另一根小于1,求实数。的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】(%1-iXx2-i)<o,%工2—(玉+兀2)+1<0，a<-2.

【例4】若关于x的方程V+x+a=o的两根均小于1,求实数。的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

△二1一4〃20

1

［解析］<(玉+—1)<0，-2<a«—.

4

(x1-l)(x2-l)>0

【例5】已知二次函数）=（加+2）%2一（2加+4）x+（3相+3）与九轴有两个交点，一个大于1,一个小于1,

求实数zn的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】由（m+2）/（l）＜0B|J（m+2）（2m+l）＜0n-2＜nz＜g即为所求的范围.

【例6】己知二次方程尔"+（2根-3）x+4=0只有一个正根且这个根小于1,求实数机的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】由题意有方程在区间（0,1）上只有一个正根，则/（O）/（l）＜0n4（3机+l）＜0nm＜—；即

为所求范围.

【例7】若司，尤2是关于龙的方程三一Q左+1）x+犷+1=0的两个实数根，且下,々都大于

（1）求实数上的取值范围；（2）若%=工，求上的值.

工22

【难度】★★★

【答案】（1）左且左W1；（2）攵=7.

田-------

对点幡称

1.关于%的方程％2+（。2-1）X+。一2=0的一个根比1大，另一个根比1小，贝U（）

A-l<a<lB|ci|>1C-2<a<lDa<-2或a>1

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】设/(%)=%2+(〃2一1)%+。一2.由/(I)<0=>〃2+。一2<0,解得一2<。<1.所以，应选C.

1

2.实数%为何值时，方程9/—日+上—2=0的两根都大于一.

2

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】设/(%)=%2—6+左—2.由题意，得

Ak

/(——)=——+上一2Vo

〔2a4

71

所以，当上〉,时，原方程的两根都大于一.

22

3.若方程左元2—Q左+3)x+4左+2=0的根满足下列条件，分别求出实数k的取值范围.

(1)方程两实根均大于1；

(2)方程有一根比1大，一根比1小.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】分析本题的要求虽然与例1仅一字之差，由于“两实根均大于3”与

“△之0,玉+%>6,且玉9>9”不等价，因而解法有所变化。思路一，将原问题化归为例1求解；思路二,

运用图象法求解.

解1设x=t+l,原方程可化为

kt~—3/+3k—1-0o

(1)由题意，关于/的方程的两根均为正数，得

32—4左(3左一1)20

A>0

37、1+2行

%+>0=>-—>0n=^>k>----------

k6

电>0

安〉0

,k

所以，当左21+2夕时,原方程两实根均大于1；

6

（2）由题意，关于/的方程的两根为一正根和一负根，得

A>0

n北口<0n0”<L

宿<0k3

所以，当0＜左＜工时，原方程有一根比1大，一根比1小.

3

解2原方程可化为

（1）由函数/（x）=V一生土3%+竺土2的图象，得

kk

3k—1

>0

/(D>0k

-2〉o

2a

b(2左+3工(2左+3>।4左+2<0

/(--)^0

2a4k22P-k

1+277

6

所以，当—1+2行时,原方程两实根均大于1；

6

(2)由函数/(%)=》2—竺土竺士2的图象，得

kk

“I、八2左+34-k+2.I

f(V)<0=>l-------1------<0=>0<左<一.

kk3

所以，当0<左<工时，原方程有一根比I大，一根比I小.

3

4.(I)已知：tz,，是方程三+(2加一l)x+4-2加=0的两个根，且。<2</7,求772的取值范围;

(2)若炉+依+2=0的两根都小于-1,求。的取值范围.

【难度】★★

【答案】(1)m<-3；(2)2A/2<a<3.

两根有且仅有一根在/、

分一根在(m,九)内，另一根在

布

情两根都在(m,几)内内(图象有两种情

况(P，9)内，rn<n<p<q

况，只画了一种)

0

n<

A>0

寸

)

得/(

或

\

〈/

>0

出/(w)

<0

的"p)

*

)>o

结/(«

〉o

论jg)

b

---<n

m<--

2a

0

)/5)<

/(〃Z

<

0

(<7)<

Z(P)/

I

大yi

1

致y>

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A

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/(P)/

综

合

结

论

(n)<0

/(m)/

(一

⑹＜。

于(P)于

=0,

相+1

力a+2

1+2

方程

二次

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1,2)

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