第五章-受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲1

第五章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲15.2.2弯扭屈曲

对于截面单轴对称的单角钢、单槽钢或T形钢轴心压杆，形心和弯心不相重合。如果杆件在轴心力F作用下不能保持直线平衡而绕对称轴y弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免的要出现扭转。杆件的扭转平衡微分方程为：其中弯曲平衡的微分方程可以写为：两端铰接的杆件，杆端边界条件：当z=0时：当z=L时：2解得：令得：临界荷载式中：3我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设x轴为对称轴，如图所示：图5.4根据得：令由于上式可以写为：解得弯扭屈曲临界应力：4★偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩平面外的失稳。偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为：（5.32）（5.33）将式（5.32）对z微分二次，式（5.33）对z微分一次，得到：得到偏心压杆的临界荷载：5在钢结构设计中常常用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳。由梁整体失稳的临界弯矩为：利用这个关系式，并将Fe用M代替，得到：当Fω=Fy时，F/Fy与M/Mcr之间的关系是直线关系6第二节轴心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲临界荷载中性平衡方程剪心C沿x和y轴方向平移u和v，截面绕剪力中心扭转

角，点B(x,y)沿x和y轴方向位移为：假定屈曲时杆件处于弹性工作阶段和小变形状态，并假定截面的周边形状保持不变，无初始缺陷。7一中性平衡方程的建立(一)通过势能驻值原理来推导变形后微段长度：由于u`,v`是微小量，上式简化为：B点纵向纤维变形后的总长度为：B点纵向纤维变形后两端缩短为：8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点9式中应力

＝F/A在小条上的外力功为：对整根杆，压力F的外力功为：并考虑了因此，总势能为即：10二临界荷载的确定(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组如杆段简支时，边界条件为假设位移函数为：A、B和C—广义坐标或参变数n＝1,2,3,…—弹性曲线的半波数将它代入总势能表达式，并令：11得到线性齐次代数方程组为：特征方程为：或解此方程式所得F的最小根，即为所求的临界力Fcr。12三关于临界荷载的讨论－以两端简支的轴压杆为例(一)当杆件截面为双轴对称或点对称时截面形心与剪力中心重合，x0＝y0＝0：方程式的三个根为13得到最小临界力，将此三根代入(5.56)式，可得当F＝Fx和F＝Fy时，杆件为弯曲屈曲，当F＝F

时，杆件为扭转屈曲。对于双轴对称或点对称截面的轴压杆，只能发生绕其主轴弯曲屈曲或绕剪力中心的扭转屈曲，不会发生弯扭屈曲。14(二)当杆件截面为单轴对称(设y轴为对称轴)时，则x0＝0，弯曲屈曲弯扭屈曲(三)当杆件截面为不对称时，则必为弯扭屈曲，临界力为(5.58)式的三个根中最小值，并取n＝1。取n＝1，得到最小临界力。15除了上节所述的基本假定外，需再假设杆件截面具有足够的抗弯刚度，由偏心弯矩产生的弯曲变形很小，可以略去不计。16一中性平衡方程的建立(一)根据势能驻值原理来导出中性平衡状态时，截面上任意点B(x,y)的位移、应变能U和外力所作的功W的表达式与上一节表达式相同。将(5.66)代入(5.48)式，对整个截面积分，并注意O为形心，x和y轴为形心主轴，可得：式中

x和

y为不对称截面的几何特性。17体系总势能Ep的表达式为：18二临界荷载的确定(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组如杆段简支时，边界条件为假设位移函数为：A、B和C—广义坐标或参变数n＝1,2,3,…—弹性曲线的半波数根据势能驻值定理，令19A、B、C不同时为0的条件是其系数行列式△=0，则可以得到稳定方程为：得：解这个特征方程可得F的三个根，其最小根就是所求的临界荷载。20三关于临界荷载的讨论－以两端简支的轴压杆为例(一)当杆件为双轴对称，且压力F作用在一个对称轴(假定是y轴)上时，则x0=y0=ey=

x=y=0，此时方程形式为：或者式中：21临界力为上述三根中最小值，并取n＝1。当临界力为Px时，为绕x轴的弯曲屈曲，当临界力为其它根时，为弯扭屈曲。当为弯扭屈曲时：22(二)当杆件为单轴对称，且压力F作用在对称轴(假定是y轴)上时，则x0=ey=

x=0，此时方程式的形式为：杆件可能绕x轴弯曲屈曲，也可能是弯扭屈曲。(三)当杆件截面