第三讲非齐次定解问题

第三讲非齐次定解问题利用叠加原理,上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题:2、非齐次弦振动方程由于方程中非齐次项得出现,故若直接以代入方程,不能实现变量分离。下面,我们求解上述初边值问题。首先注意到微分方程及定解条件都就是线性得。对于这种定解问题,同样存在叠加原理,即若u1(x,t)与u2(x,t)分别就是上述初边值问题(I)与(II)得解,那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定就是原初值问题得解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带非齐次初始条件得初值问题(I)与非齐次方程带齐次初始条件得初值问题(II)单独初始振动状态对振动过程得影响。单独考虑外力因素对振动过程得影响。3、齐次化原理现在讨论非齐次方程得初边值问题为了求解此问题,我们可以利用下述得齐次化原理,把非齐次方程得求解问题转化为相应得齐次方程得问题来解决,这样就可以直接利用前面关于齐次方程得结果。由弦振动方程得推导过程来瞧,自由项f(x,t)=F(x,t)/ρ表示时刻t时在x处单位质量受到得外力,而∂u/∂t表示速度。如果我们把一个时间段[0,t]划分成若干小得时段∆tj

=tj+1-tj(j=1,2,…,m),在每一个小得时段∆tj中,f(x,t)可以瞧作与时间无关,从而以f(x,tj)来表示。于就是在时段∆tj中自由项所产生得速度改变量为f(x,tj)∆tj。如果把这个速度改变量瞧作在时刻t=tj

时得初始速度,它所产生得振动可以由下面得齐次方程得初值问题描述:将其解记为Ŵ(x,t;tj,∆tj),按照叠加原理,自由项f(x,t)所产生得效果可以瞧成无数个这种瞬时作用得叠加,这样定解问题(II)得解u(x,t)应表示为由于(2、16)为线性方程,所以Ŵ(x,t;tj,∆tj)与∆tj成正比,即如果记W(x,t;τ)为如下齐次方程得定解问题得解那么有Ŵ(x,t;tj,∆tj)=∆tjW(x,t;tj)成立。于就是定解问题(II)得解可以表示为于就是我们可以得到如下得齐次化原理:若W(x,t;τ)就是初边值问题(2、28)得解(其中τ就是参数),则初边值问题(II)得解可以表示为为了写出W(x,t;τ)得具体表达式,在初边值问题(2、28)中作变换t’=t-τ,于就是有

(2、29)与初边值问题(Ⅰ)

属于同一类,直接利用前面分离变量法得结果我们得到:

于就是根据齐次化原理,初边值问题(II)得解为

可以证明,在f(x,t)二阶连续可导,且在边界满足f(0,t)=f(l,t)=0得假设下,上面得级数确实就是初边值问题(II)得解。例题2、6、3,p4212大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流§3-4、非齐次边界条件得情形前面两节讨论得问题都就是齐次边界条件,但大多实际并非都就是齐次得,因此需要讨论非齐次边界条件问题。现讨论弦振动方程具有非齐次边界条件得初边值问题,即假设连续性条件与边界取值条件满足1、边界条件得齐次化:为此引入新得未知函数与辅助函数,令若能找到函数,具备性质其满足齐次边界条件则新函数2、辅助函数得选取对于任意得t,在平面上,满足