2021-2022学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）（学生版+解析版）

2021-2022学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有

一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）在△A8C中，ZC=90°，AB=5,8。=4,则siM的值是（）

4334

A.B.C.D.

5543

2.（4分）如图，已知BD：DF=2：3,那么下列结论中，正确的是（)

A.CD：EF=2：5B.AB：CD=2：5C.AC：AE=2：5D.CE：EA=2：5

3.（4分）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点8处的俯角是50。，那么小

丽在地面点3处观察空中点A处的仰角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.（4分）已知点。是线段的中点，下列结论中正确的是（）

T1T

A.AC=BCB.AC4-BC=0C.BC=^ABD.\CA\=^BA\

5.（4分）下列对二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的描述中，不正确的是（）

A.抛物线开口向下

B.抛物线的对称轴是直线》=-1

C.抛物线与），轴的交点坐标是（0,3）

D.抛物线的顶点坐标是（-1,3）

6.（4分）如图，在△ABC中，NACB=90°,CD,CE分别是斜边AB上的高和中线，下

CD

B.tanZECB=

C.CD2=AD'DBD.Bd=2DB，EC

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应

位置】

T1TT

7.（4分）计算：2a—2（a-4b）=.

8.（4分）冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上

的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为米.

9.（4分）将抛物线y=2?+3先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线

的表达式是.

10.（4分）如果点A（2,yi）,8（5,”）在二次函数y=/-2x+”图象上，那么户

（填＞、=或＜）.

11.（4分）如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长.若以裙子腰节

为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176c〃?，那么裙子的

腰节到脚尖的距离为cm.（结果保留根号）

12.（4分）如图，ZVIBC中，AB=8,BC=1，点D、E分别在边A&AC上，已知AE=4,

NAED=NB,则线段OE的长为.

13.（4分）如图，8E是△A8C的角平分线，过点E作交边AB于点。.如果AO

=3,DE=2,则BC的长度为

A

14.（4分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x=-l,根据图中信息可求得该二次

函数的解析式为

15.（4分）小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了13米，到达距离地面

5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i=

16.（4分）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量n=a,AC=云,则向量晶=.（用

向量高+装的形式表示，其中x,y为实数）

17.（4分）如图，已知点A是抛物线图象上一点，将点A向下平移2个单位到点B,

再把点A绕点8顺时针旋转120°得到点C,如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐

标是

18.（4分）如图，在RtZXABC中，ZCAB=90°，A8=AC,点。为斜边8c上一点，且

BD=3CD,将△48。沿直线AD翻折，点B的对应点为B',则sinNCB'D=

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

sin60°+3tan30ocos60°

19.（10分）计算:

l-2cot450+cot30°

20.（10分）二次函数/（x）=/+"+c的自变量x的取值与函数），的值列表如下:

x…-2-10…234

y—f（x）-50330-5

（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标：

（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y=x上，并写

出平移后二次函数的解析式.

21.（10分）已知：如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AD=4,BC=6,对角线80,AC

相交于点E,过点A作A尸〃。C,交对角线BO于点F.

BF

（1）求--的值；

EF

（2）设n=二AD=bf请用向量2、%表示向量族.

22.（10分）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长A3

=4米，宽BC=2米，初始时点A、B、尸在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度

为1.3米.卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜

坡.

图1图2

（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；

（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全

轴距为0.7〃?.货厢对角线AC、80的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点

的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故.

当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全

事故吗？试说明你的理由.（精确到0.1米，参考值：sin37°«=0.60,cos37°-0.80,tan37

%0.75,71,1.4142）

23.（12分）如图，己知RtZ\ABC中，ZACB=90°,射线CD交AB于点。，点E是CO

上一点，且NAEC=NABC,联结BE.

（1）求证：XACDsXEBD：

（2）如果CD平分NAC8,求证：A^^IED-EC.

D

C

24.(12分)如图，抛物线)=—32+昔+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为线段

0A上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点。，交该抛物线于点E.

(1)求直线AB的表达式，直接写出顶点时的坐标；

(2)当以8,E,。为顶点的三角形与△CD4相似时，求点C的坐标；

点。为顶点作/8Z)E=/A,射线交边AB于点E,过点8作射线OE的垂线，垂足

为点F.

(1)当点。是边AC中点时，求tan/ABO的值；

(2)求证：AD・BF=BC,DE：

(3)当。E：EF=3：1时，求AE：EB.

2021-2022学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有

一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）在△ABC中，NC=90°,AB=5,BC=4,则sin4的值是（）

4334

A.-B•一C.一D.一

5543

【解答】解：在AABC中，ZC=90°,AB=5fBC=4f

则si但器=$

故选：A.

2.（4分）如图，已知AB〃CD〃EF,BD：DF=2：3,那么下列结论中，正确的是（）

A.CD-.EF=2：5B.AB：CD=2：5C.AC：AE=2：5D.CE：EA=2：5

【解答】解：VAB//CD//EF,

BDAC2

''DF~CE~3

.DB2AC2

"BF~2+3~AE~5

故选：C.

3.（4分）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°,那么小

丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：因为从点A看点8的俯角与从点8看点4的仰角互为内错角，大小相等.

所以无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°,

小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是50°.

故选：B.

4.（4分）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）

T1T

A.AC=BCB.AC+BC=0C.BCD.\CA\=^\BA\

【解答】解：•••点C是线段AB的中点,

TTT—>TT1T—>1

：.AC=CBxAC+BC=0；8C=—#8；\CA\=^BA\

；.A,B,C错误，力正确,

故选：D.

5.（4分）下列对二次函数y=-2（尤+1）2+3的图象的描述中，不正确的是（）

A.抛物线开口向下

B.抛物线的对称轴是直线》=-1

C.抛物线与y轴的交点坐标是（0,3）

D.抛物线的顶点坐标是（-1,3）

【解答】解：A、•."=-2<0,

抛物线的开口向下，正确，不合题意;

B、对称轴为直线x=-l,故本小题正确，不合题意;

C、令x=0,贝！Jy=-2+3=1,

所以抛物线与y轴的交点坐标是（0,1）,故不正确，符合题意;

。、抛物线的顶点坐标是（-1，3）,故本小题正确，不合题意;

故选：C.

6.（4分）如图，在AABC中，ZACB=90°,CD、CE分别是斜边48上的高和中线，下

列结论不一定成立的是（）

CD

B.tanZECB=

C.CD2=AD'DBD.BC2=2DB^EC

【解答】解：：/4C8=NCD4=90°,

AZA+ZACD=90°,NDCB+NACD=90°,

：.ZA=ZDCB,

故A成立;

,：CE是RtAACB斜边上的中线,

：.CE=BE,

:・/ECB=/EBC,

CD

：.tanZECB=tanZEBC=髭，

YE是AB的中点，

：.AE=BD+DE,

9

：AD=AE+DEf

：.AD^DB,

CD

•••tanNECBH器，

故8不成立；

VZACB=ZCDA=90°,

/.ZA=ZDCB,

AABCD^ACAD,

.CDDB

••—,

ADCD

：.CD2=AD'DB,

故C成立；

•：XBCDSXBAC,

,BCBD

••=,

BABC

：.BC2=BD'AB,

：CE是斜边4B上的中线，

：.AB=2CE,

:.Bd=2BD*CE,

故D正确，

故选：B.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应

位置】

T1TT3T1

7.（4分）计算：2Q—亍（a-4b）=-a+2b.

2~2

【解答】解:2a-1(a-4b)

T1T?

=2Q—2。+2b

3—*一

=2a+2b,

3Tt

故答案为：-Q+26,

2

8.(4分)冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上

的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为12米.

【解答】解：设旗杆的高度为x米，根据题意得：

2X

1.5一9,

解得：x=12.

故答案为：12.

9.(4分)将抛物线y=2?+3先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线

的表达式是y=2(x+l)2-1.

【解答】解：将抛物线y=2?+3先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛

物线的表达式是y=2(x+1)2+3-4,即y=2(x+1)2-1,

故答案为：y—2(x+1)2-1.

10.(4分)如果点A(2,yi),B(5,”)在二次函数y=/-2x+〃图象上，那么viVV2

(填＞、=或＜).

【解答】解：•••二次函数y=/-2x+〃的图象的对称轴是直线x=l,

在对称轴的右面)，随x的增大而增大，

,二点A(2,.yi)、B(5,”)是二次函数y=7-2x+”的图象上两点，

1＜2＜5,

故答案为：＜.

11.(4分)如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长.若以裙子腰节

为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm,那么裙子的

腰节到脚尖的距离为(88西-88)cm.(结果保留根号)

【解答】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为XO",

•••以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm,

xV5-1

••,

1762

Ax=88V5-88,

即裙子的腰节到脚尖的距离为（88函-88）cm,

故答案为：（8875-88）.

12.（4分）如图，ZVIBC中，AB=8,BC=7,点、D、E分别在边48、AC上，已知4E=4,

7

ZAED=/B,则线段DE的长为-.

.DEAE

BCAB

.DE4

••=—,

78

7

：.DE=

7

故答案为：-

13.（4分）如图，BE是△ABC的角平分线，过点E1作E£>〃8c交边A8于点。.如果AO

=3,DE=2,则3C的长度为芋.

A

【解答】解：・・・3E平分NA8C,

,NABE=NCBE.

•:DE//BC,

：.ZDEB=ZCBE,

：.NABE=NDEB.

:.BD=DE,

YDE〃BC,

：.AADE^AABC,

,ADDE

^AB~BC

VAD=3,DE=2,

・32

,・3+2―BC

；.BC=学，

故答案为：y.

14.（4分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x=-1,根据图中信息可求得该二次

函数的解析式为y=-/一2X+3

由题意得:

c=3

a+b+c=0

-投=T

2a

a=-1

解得:b=-2

c=3

...二次函数的解析式为：y=-f-2x+3,

故答案为：y=-/-2x+3.

15.（4分）小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了13米，到达距离地面

5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i=5：12.

【解答】解：由勾股定理得：小明移动的水平距离为：―32—52=12（米），

则该自动扶梯的坡度i=5：12,

故答案为：5：12.

TTTTT1.T

16.（4分）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量==则向量4G=二a+

-3

1T—T

-b.（用向量XQ+油的形式表示，其中x,y为实数）

【解答】解：如图，延长AE到〃，使得EH=AE,连接6”,CH.

*：AE=EHfBE=EC,

・・・四边形A3”。是平行四边形，

：.AC=BH,AC//BH,

*：AH=ABBH=a+b,

TG是重心,

：.AG=|AE,

"：AE=EH,

：.AG=

1TT1T1

-a+=-Q+-

36)33

IT1-

故答案为：b+”

A

17.（4分）如图，已知点A是抛物线y=/图象上一点，将点4向下平移2个单位到点B,

再把点A绕点B顺时针旋转120。得到点C,如果点。也在该抛物线上，那么点A的坐

【解答】解：如图，过。点作C£>J_x轴于作于区

VZBAC=120°,

AZEAC=120°-90°=30°,

•・・AB=2,

・'・AC=48=2,

：.AE=X2=V3,CE=^AC=1,

设A（m,zw2）,则C（B—m，团2+1）,

丁点C也在该抛物线上，

.*./n2+l=（V3—m）2,

解得m=字，

18.（4分）如图，在Rt/XABC中，ZCAB=90°，AB=AC,点。为斜边BC上一点，且

8O=3CQ,将△4BO沿直线AD翻折，点8的对应点为"，则sin/CB'D=—

【解答】解：过点。作OE1_A8于点E,

・・・将△A3。沿直线AD翻折,

：.AB=AB\ZBAD=ZB'AD,

9：AB=AC,

：.AC=AB\

：.ZAB'C=ZACB\

设N8AC=x,/CB'D=a,NC4Q=0,

VAB=ACfZCAB=90°,

ZB=ZACB=ZAB'D=45°,

：.2(a+45°)+x=180°,

.\2a=90°-x,

又・.・N8Zr>+/8A£>=N8AC+NCA8,

：.2(x+0)=90°+x,

・・・20=90°-x,

，a=S，

：.ZCB'D=ZCADf

'：CD.LAB,DELAB.

：.CA//DE9

CDAE1

JZCAD=ZADE=ZCB'D,—=—=

BDBE3

■:BE=DE,

,AE1

••—―，

DE3

设AE=a,则力E=3a,

：.AD=y/AE2+DE2=VTOw,

...sin/CB'。=$出/4。£=蔡=急=喘

故答案为：-

10

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

sin6Q0+3tan3Q°-cos60°

19.（10分）计算:

l-2cot450+cot30°

sin6Q0+3tan30ocos60°

【解答】解:

l-2cot450+cot30°

v^3-1ov/3y1

-21D入

1—2X1+V3

73，V3

T十彳

/3-1

总

73-1

3+y3

~?T

20.（10分）二次函数f（x）=/+6x+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下:

x…-2-10234

y=f（x）-503…30-5

（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；

（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y=x上，并写

出平移后二次函数的解析式.

【解答】解：（1）把（-1,0）,（0,3）,（3,0）分别代入〉=,〉+公+。（aWO）中，得

（a—b+c=0

jc=3.

（9Q+3b+c=0

（a=—1

解得｛b=2.

则该二次函数的解析式为：y=-/+2x+3,

Vy=-f+2]+3=-（x-1）2+4,

・・・顶点的坐标为（1,4）；

（2）.・•二次函数f（x）=/+4;+。的顶点坐标（1,4）；

・••二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为（4,4）或向下平移3个单位后抛

物线的顶点为（1,1）落在直线y=x上，则此时抛物线的解析式为：y=-（x-4）2+4

或y=-（x-1）2+l.

21.（10分）已知：如图，在梯形A8CQ中，AD//BC,AQ=4,BC=6,对角线BD,AC

相交于点过点A作A厂〃OC,交对角线8。于点F.

BF

（1）求力的值；

EF

（2）设48=a,AD=b9请用向量a、b表示向量

【解答】解：（1）•:AOHBC,

：.MADEsXCBE,

.ADDE4E2

••BC-BE-CE-3’

YA/〃CO,

aAEEF2

CE~DE~3

设EF=4x,则OE=6x,BF=5x,

.BF5

••-,

EF4

（2）VAD=4,BC=6,AD//BC,

：.BC=^AD,/XADEs^CBE,

T3TAEAD2

:.BC=56,—=----=一,

2ECBC3

2

：.AE=^ACf

**AB—a,

TT

•\BA=­a,

：.AC=BC-BA

3TT

=#+Q,

T2T

：.AE=AC

=亏（/+。）

3T2T

=Fb+qQ-

22.（10分）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长A3

=4米，宽BC=2米，初始时点A、B、尸在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度

为1.3米.卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜

坡.

（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全

轴距为0.7m.货厢对角线AC、8。的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点

的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故.

当斜坡A8的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全

事故吗?试说明你的理由.（精确到0.1米，参考值:sin37°k0.60,cos370*0.80,tan37

比0.75,V2«1.4142）

【解答】解：过点C作C7/LAF,垂足为H,过点B作BPLAF,垂足为P,过点B作

BQ±CH,垂足为Q,

图2

则四边形为矩形，

：.BP=QH,

在RtZXABP中，8P=ABsin37°=4X0.6=24(m),

：.BP=QH=2A(w),

'：BQ//AP,

；.NBAF=NQBA=37°,

/.ZCBQ^ZCBA-ZQBA^90°-37°=53°,

VZBQC=90°,

...NBCQ=90°-NCBQ=37°,

在Rt^BCQ中，Ce=BCcos370=2*0.8=1.6(m),

6+2.4+13=5.3(n?),

答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米；

(2)不会发生安全事故，

理由是：过点G作GOLAF,垂足为O,过点C作凡垂足为M,交AB于点/,

过点8作8NL4凡垂足为N,过点B作8KJ_CM,垂足为K,

c

图2

则四边形BNMK为矩形，

:・BN=KM,

在RtZXABN中，8N=A8sin45°=4x竿=2/(机),

：.BN=KM=2V2(m),

9：BK//AN,

：.ZBAN=ZKBA=45°,

：.ZCBK=ZCBA-ZKBA=90°-45°=45°,

在RtZ\BCK中，BK=BCcos45°=2x¥=7^(加)，

：.BK=CK=V2(m),

在Rt^BKI中，

,：ZKBA=45Q,

：.BK=KI=V2(〃?)，

：.1M=KM-Kl=V2Cm),

在Rt/\AMI中，

:NBAF=45°,

：.IM=AM=V2(〃i),

'JCM//GO,

.AGAO

"CG-OM'

：AG=CG,

：.AO=OM=^AM=«0.71(/»),

V0.71>0.7,

•••不会发生安全事故.

23.(12分)如图，已知RtZ\48C中，ZACB=90°,射线C£＞交A8于点D,点E是CZ)

上一点，且NAEC=/A8C,联结BE.

(1)求证：MACDs丛EBD；

(2)如果CD平分NAC2,求证：A»=2ED*EC.

C"---------------------

【解答】证明：（1）VZAEC^ZABC,NADE=/BDC,

：.△ADEs^CDB,

.ADDE

CDBD

又；NADC=NEDB,

：.△ACQSAEBQ；

（2）,:AADESACDB,

：.ZDCB^ZEAB,

'：/XACD^/^EBD,

:.NACD=NEBD,

VZACB=90Q,

NEAB+NEBD=ZDCB+ZACD=90°,

：.N4E8=90°,

•.^C£）平分NACB,

AZACD=ZBCD=45°,

；.NEBD=NEAB=45°,

：.EA=EB,

...△EAB是等腰直角三角形，

AZEAD=ZACE,ZAED=ZCEA,

■:XAEDsACEA,

.AEEC

ED-AE'

：.AE1=ED-EC,

"：AE1+EB2=AB2,

：.2AE?-=AB1,

：.AEr=^AB2,

1

:.-AB92=ED-EC,

2

：.AB2=2ED'EC.

24.(12分)如图，抛物线)=—学什2与x轴交于点A,与)，轴交于点B,C为线段

0A上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点。，交该抛物线于点E.

(1)求直线AB的表达式，直接写出顶点用的坐标；

(2)当以B,E,。为顶点的三角形与△CD4相似时，求点C的坐标；

【解答】解：(1)令y=0,则一冬+学x+2=0,

•\x=或x=3,

(3,0),

令x=0,则y=2,

：.B(0,2),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

.(b=2

,+&=0,

U=2

，y=一|x+2,

丁尸一冬+季+2=（X-1）2+瑞,

549

1•M(―,—)；

412

(2)VZADC=ZBDE,ZACD=90°,

.♦.△BED是直角三角形,

设CG,0),

①如图1,当NBEC=90°,时，BE//AC,

：.E(t,2),

¥+学什2=2,

.".z=0(舍)或r=I，

5

：.C(-,0)；

2

②如图2,当NEBD=90°时,

过点E作EQly轴交于点Q,

NBAO+/ABO=90°,ZABO+ZQBE=90°,

NQBE=NBAO,

△ABO-XBEQ,

AO—,即二=三

BQEQBQt

BQ=

E(/,2+%),

,349,10

n2+乎=-V+丁-t+2,

11

f=0（舍）或右皆,

11

C(——，0)；

8

115

综上所述：C点的坐标为（T0）或（?0）;

（3）如图3,作5A的垂直平分线交x轴于点Q,连接B。，过点B作