第九章多元函数微分学习题简解

PAGEPAGE13第八章多元函数微分学第页共18页基本训练11．设函数，求．答案：2．求下列函数的定义域：（1）；答案：；（2）；答案：；（3）；答案：3．求下列极限：（1）；提示：分母有理化；答案：2 （2）；答案：0（3）．提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小；答案：04．证明极限不存在：提示：令(x,y)沿不同的路径趋向于原点，极限等于不同的值.5．函数在何处是间断的？答案：在位于xOy平面的直线y=x上.6．讨论函数的连续性．提示：选取直线，则随着的变化而变化，即不存在，函数在除外任一点都连续.7．求下列函数的偏导数：(1)；答案：，（2）；答案：，（3）；答案：，（4）；答案：，8．设，证明函数在处偏导数存在，但不连续．简解：，同理；但时，,所以函数在处不连续．基本训练21．求下列函数的二阶偏导数：(1)，求，；答案：，(2)，求；答案：(3)，求．答案：02．设，证明．简解：，，同理可得，因此3．求下列函数的全微分：(1)；答案：（2），求；答案：(3)．答案：4．求函数当，，，时的全增量及全微分．答案：*5．设有一圆柱，它的底圆半径由cm增加到cm，其高由cm减少到cm，试确定其体积的近似变化．6．设，而，，求，．答案：，7．设，而，，求．答案：．8．设，而，求．答案：．基本训练31．设，而，，求．答案：．2．设，求，．两边取对数答案：，4．设，而，为可导函数，求证．解答：因为，故，所以5．求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶偏导数）：(1)；答案：，，（3）．答案：，，6．设，其中为可导函数，试求．简解：因为,,所以.7．求下列函数的二阶偏导数（其中有二阶连续的偏导数）：(1)，求；答案：.（2），求；答案：.(3)，求；简解：因为，所以.(4)，，求；答案：8．设，其中，是任意的二次可导函数，求证：．简证：因为,又,所以.基本训练41．设，求．提示：原方程就是，对方程两边关于求导;也可以用隐函数的求导方法求解，令,利用隐函数存在定理的求导公式来解.答案：.2．设，求，．答案：，.3．设，求，．简解：令，则，，所以，因此4．证明由方程（具有连续的偏导数，，，为常数）所确定的函数满足关系式．简解：（方法一）方程两边微分得因此，，得.（方法二）记则5．设，求，．答案：，7．设，其中是由方程所确定的函数，求．简解：令，则；，所以基本训练51．求曲线，在处的切线与法平面方程．答案：切线方程，法平面方程2．求出曲线，，上的点，使在该点的切线平行于平面．简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为，已知平面的法向量为.由题意得，即，解得或，故所求的点为，或3．求曲线在点处的切线方程．提示：曲线可以表示为，曲线上点处也就是时的切线的方向向量为.答案：切线方程或4．求曲面在处的切平面和法线方程．答案：切平面方程，法线方程5．求曲面在点处的切平面与法线方程．答案：切平面方程，法线方程6．在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出法线方程．答案：所求点为法线方程．7．求曲面上平行于平面的切平面方程．答案：切平面方程8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数：(1)，在点沿向量；提示：方向的方向余弦为；，，．(2)，在点处沿从点到的方向．提示：，方向的方向向量；所以方向的方向余弦为：；代入方向导数公式可得9．设从轴正向到方向的转角为，求函数在点处沿方向的方向导数．问为何值时，方向导数：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．提示：，，,所以当时，最大；当时，最小；当或时，．10．设，求及．答案：，11．设，求在点处的梯度，并问函数在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．答案：，函数在处沿方向取最大值，沿方向取最小值，沿或方向取值为零．基本训练61．问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．提示：，,，所以是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为．2．求下列函数的极值：(1)；答案：极大值为(2)；答案：极大值为，3．求函数在条件下的极值．答案：极小值为4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．简解：设水池的长宽高分别为，令,关于求偏导，求得驻点为，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为时，建筑材料最省.5．在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短．提示：目标函数为，条件函数为.为了求目标函数的最值，可设，求得可能极值点为，,代入,比较得所求点.6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为，截面是半径为的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数，试求与的值，使其容积最大．简解：令，求得唯一可能极值点为：；因此当，时，容积最大．7．在平面上求一点，使得它到点、点的距离平方之和为最小．提示：目标函数为，条件函数为,答案是点.本篇自测A卷一、填空题1．答案：2．答案：不存在3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：，或，（，）．4．答案：二、单项选择题1．答案：B2．提示：函数在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系全微分存在故答案为B.3．提示：参见第2小题提示，答案为A.4．提示：令，则，，所以曲面在点处法向量为：，从而可得C为正确答案.三、计算题1.提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,答案为0.答案：，3.提示：两边取对数得,两边关于求偏导得.故答案为：.4.答案：，5．答案：．6．答案：．7．答案：.8．答案：．9．提示：令,得或,令,得或;所以驻点为,利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为，极大值为.四、应用题1.简解：设切点为，则切点处的方向向量，已知平面的法向量.由题意得与垂直,即,所以,解得或.故所求点为:或.2.简解:令,分别求关于的偏导数得,解得可能极值点为：.比较的大小得所求点为：.3.简解:设第一卦限内的内接点为,由空间解析几何知识得:直角平行六面体的长宽高分别为,体积;故令答案为：长、宽、高分别为，，时，有最大体积．五、证明题1．简解:两边关于，求偏导得，，解得，,又，所以.2.简证:令，则，．所以曲面上任一点处的法向量为：故点处的切平面为即不论取何值，总能使上式恒成立；即切平面总通过点.本篇自测B卷一、填空题1．答案：．2．提示：分子有理化，原式.3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为:=.4．提示：函数可微分,则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在).答案为:函数可微分.二、单项选择题1．提示：令，则，代入得，故答案为B2．简解：.3．提示：切点为,方向向量为，所以答案为D.*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A错误；由题设条件知曲面的法向量为，故B错误；曲线在点的一个切向量为，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答案C正确而D错误.．三、计算题1.提示：因为，由夹逼准则得.2．答案：．3．简解：,所以.4．提示：两边关于求偏导得：,.也可以令，利用隐函数求偏导公式来计算.5．答案：6.简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：，所以.（解法二）方程两边关于求偏导得：，解得，同理得，所以.*7．简解：方程组两边对求偏导得：解关于，的二元一次方程组得，.四、应用题1.简解：曲面上任一点处切平面的法向量为，又已知直线的方向向量为：由题意,,即.解得，代入曲面方程得，故所求的切平面方程为，即.*2．简解：,,所以，沿梯度方向的方向导数最大，最大值为.令,由拉格朗