断裂力学讲义(第五章)

5. 弹塑性断裂力学的基本概念

5.1Irwin对裂端塑性区的估计5.1.1Irwin对裂纹尖端塑性区尺寸的初步估计5.1.2Irwin对塑性区的第二步估计5.2Dugdale模型5.3裂端塑性区的形状5.4平面应力与平面应变的塑性区5.5裂纹尖端张开位移（CTOD）5.6J积分5.6.1弹塑性力学的难点5.6.2J积分的物理意义5.6.3J积分的线路无关性应用举例5.6.4J积分的能量解释5.1Irwin对裂端塑性区的估计由线弹性分析可知：随而变化，→0，→∞。这些解在的裂纹端点并不适用。这就是所谓的应力奇异性。在含裂纹的材料受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区（plasticzone）。对于非常脆的材料，塑性区可能很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计。可用线弹性理论的应力强度因子的概念来分析应力场。而当塑性较好的材料，塑性区尺寸比较大，进行必要的修正后，才能应用线弹性断裂力学的结果。若是塑性区尺寸大到超过裂纹长度，则线弹性断裂力学已不适应于这种情况，不能应用应力强度因子的概念。5.1.1Irwin对裂纹尖端塑性区尺寸的初步估计裂端正前方应力分布如图对I型裂纹时，∴平面应力时：(单向拉伸时的屈服强度)平面应变时：——泊松比由图可知，阴影部分的应力还没有完全被塑性区所松驰，∴Irwin初步估计的塑性区偏小。

5.1.2Irwin对塑性区的第二步估计

设为裂纹的有效长度∴，由决定。当r=λ时，当ρ<<a时，现在估计ρ的大小。假设面积A等于面积B(段，)，与Dugdale模型比较，Irwin是用面积A等于面积B求得，或者说，求得P。而Dugdale是用有效裂纹尖端应力奇异性消失求得P。Irwin利用有效裂纹的概念主要是用到线弹性应力分布规律求，等等。则：

当时，∴∵，∴第二步估计的，比大一倍。Irwin裂端塑性区的估计是建立在“小范围屈服”(smallscaleyielding)基础上的()。与成正比，与成反比。5.2Dugdale模型

Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑性区是狭长块状。类似于Irwin的有效裂纹长度的概念，他认为有效裂纹的长度为。（是塑性区尺寸）可以设想：当把有效裂纹的概念引进后，在的“－”方向的有效裂纹的作用有，按有效裂纹的假设应该有一定的位移。而实际情况是没有位移。∴可以认为在的上下裂纹表面作用有指向裂纹的。这一分布的不仅使裂纹表面不分开，而且使有效裂纹端点的应力奇异性消失。即：（在有效裂纹的端点）表示由分布力引起的应力强度因子。无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到一对集中拉力P的作用（单位厚度集中力）结合Dugdale模型：则：当时，，小范围屈服大范围屈服时，与相比不可忽略，直接利用求出。Dugdale模型的塑性区要比Irwin模型的塑性区大一些。5.3裂端塑性区的形状

Dugdale模型描述的裂端塑性区形状（狭长的）存在于低碳钢制成的压力容器与管道中，但对于高强度材料，其裂端塑性区的形状如何呢？将裂端应力场的线弹性断裂力学的公式代入：假定是平面应力问题：Mises屈服条件：将、代入Mises屈服条件，得（平面应变）（平面应力）VonMises

准则确定I型裂纹塑性区的形状。5.4平面应力与平面应变的塑性区

5.5裂纹尖端张开位移（CTOD）

裂纹张开位移——一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。简写为COD(crackopeningdisplacement)对I型裂纹：当时，即在裂纹面时，裂端的COD为COTD(cracktipopeningdisplacement)线弹性时，COTD=0。Irwin塑性区修正，裂纹端点移至有效裂纹端点，真正裂纹端点（）小范围屈服时，，，定义：裂端由不加载时的尖锐形状变成加载时的钝化形状，裂端塑性变形愈严重，裂端钝化愈明显，裂端似乎存在着裂端张开位移。力学上计算的CTOD建立在有效裂纹概念的基础之上。

(小范围屈服)启裂判据：CTOD≥临界值1断裂判据：CTOD≥临界值25.6J积分

5.6.1弹塑性力学的难点弹塑性力学的难点：裂端弹塑性应力场的封闭解难以得到。James.Rice提出Jintegral。定义：

——弹塑性应变能密度

——作用于ds积分单元上i方向的面力分量

——ds积分单元上i方向的位移分量可以证明：J积分与路径无关。→可选择远离裂端的应力应变场容易求得的积分路径来求积分而避开裂端应力应变场难以求得的路径积分。小范围屈服时：J=GI型裂纹，启裂判据：

K判据用于：1.脆性材料2.中低强度，延性较佳材料制成的大截面构件CTOD用于：薄壁压力容器、船壳等。延性断裂发生的三个阶段：1.裂纹的启裂2.亚临界裂纹扩展3.失稳断裂5.6.2J积分的物理意义

SandersandRice：线路C外部对内部做功的速率大于或等于储存于A中内能的改变率和不可恢复的损耗能量率之和。代入裂纹长度a，应用格林公式，，得：为纪念James.Rice，记为实际上，是和Irwin能量平衡公式意义一致的。对于线弹性体，J为Griffith的能量释放率。对于线弹性体，平面应变I型裂纹端点区：（平面应力和平面应变）平面应变：平面应力：以上等式的假设条件是：裂纹沿原方向扩展，小范围屈服。5.6.3J积分的线路无关性应用举例

无限长平板有对称的半无限长裂纹：在施以固定位移，上，面力为零，应变能也为零。∴，上，；为常数，为常数∴上：，，，，，∴施以固定力矩M：，为水平线，，，且面上自由，不受M的影响，，∴，上：（∵梁受M，，）∵为余能密度，设为，上的平均值∴5.6.4J积分的能量解释

J积分是一种能量观念的力学参量。

——给定面力

——给定位移∴线积分只在上

——平板总应变能

——外界对此弹性平板所做的功

定义：总势能∵，系统的势能总是随裂纹增长而减小，