板壳力学ch1-小挠度问题

136-1板壳力学研究生课程罗永峰李元齐2012年April.2010板壳力学134-2教材板壳理论何福保沈亚鹏西安交通大学出版社1993April.2010板壳力学134-3联系方式：罗永峰：土木大楼A73065980531

yfluo93@李元齐：土木大楼A72065980586

liyq@April.2010板壳力学134-4参考书徐芝纶.弹性力学.高等教育出版社,1992杨耀乾.平板理论.中国铁道出版社,1980MaanH.Jawad.Theoryanddesignofplateandshellstructures.NY,USA.1994成祥生.应用板壳理论.山东科学技术出版社,1989翁智远,王远功.弹性薄壳理论.高等教育出版社,1986R.Szilard.板的理论与分析.中国铁道出版社,1984平板理论April.2010板壳力学134-5平

板

理

论第一章薄板小挠度问题的经典解法

第二章薄板小挠度问题的差分及变分解

第三章薄板的振动

目录第四章薄板的稳定

April.2010板壳力学134-6第五章薄板大挠度理论

第六章薄板的有限元理论

第七章各向异性板目录第八章中厚板及厚板平

板

理

论April.2010板壳力学134-7平

板

理

论第一章

薄板小挠度弯曲问题的经典解法平板理论小挠度

(也称为线性?)问题的理论描述；经典求解方法。April.2010板壳力学134-8§1.1薄板的概念及基本假定平板理论1)平板

定义：两个平面间所围部分形成的连续实体；

特点：平板的两个平面尺寸远大于厚度。

2)中面定义：平分平板厚度的几何平面。

梁的轴线(中性轴线)?April.2010板壳力学134-9平板理论3)板的薄厚薄板——板厚远小于平面的最小尺寸(t/b=1/5~1/8)

厚板(中厚板)——t/b>1/5

膜——很薄且柔，抗弯刚度很弱或没有抗弯刚度

划分原则：考虑沿厚度方向(z向)的效应?April.2010板壳力学134-104)计算的基本假定——用于薄板弯曲小挠度理论

(1)垂直于中面方向的正应变

z

可忽略不计即中面的任一根法线上、板厚内的所有各点挠度相同,

沿板厚度不变。

——板厚度不变。平板理论与梁比较！April.2010板壳力学134-11平板理论yxz板中微元上的应力

z(

z)

y(

y)

x(

x)

yz(

yz)

zy(

zy)

xz(

xz)

zx(

zx)

xy(

xy)

yx(

yx)April.2010板壳力学134-12(2)应力分量

zx、

zy、

z

为次要应力,它们所引起的变形忽略不计(但平衡条件要考虑应力),即平板理论忽略

z

表明:假定薄板在外力作用下，其厚度t始终不变。忽略

zx、

zy

表明:原垂直于中面的法线在板变形后仍垂直于中面,且原垂直于中面的直线变形后仍为直线。—直法线假定

平截面假定??April.2010板壳力学134-13(3)薄板中面内各点无平行于中面的位移即板中面在xy平面内投影不变,也即中面无伸长或缩短

变形或者说中面无应力，属于中性面。(4)板中面挠度远小于其厚度(小变形假定)

工程上挠度小于板厚的1/5,既可满足精度要求。(5)板材为各向同性板(6)外荷垂直于中面作用(面内无荷载，中面无应力?)平板理论April.2010板壳力学134-14§1.2弹性曲面弯曲微分方程1.2.1应变-变形关系(几何关系或几何方程)1)正应变从板内取一微元dxdy,由几何关系可知,微元上任一距中面为z的任一线段dx的变形为:

xdx或

zxdx平板理论

xdxrx

April.2010板壳力学134-15平板理论同理Ky、

y

为在y方向的弯曲曲率及曲率半径。且有Kx、

x

为在x方向的弯曲曲率及曲率半径，与z

无关。

则上式简化后，x向的主应变为有几何关系April.2010板壳力学134-16上两式中，曲率Kx、Ky与板受弯后挠度有关。由曲率与变形的数学关系可知：平板理论在薄板小挠度弯曲变形理论中,挠度w对应于y,用w替换上式中的y

，则可得到x向曲率为April.2010板壳力学134-17平板理论在小变形条件下有同理可得y向曲率为根据基本假定(4)中的小变形假设，因April.2010板壳力学134-18

将曲率Kx、Ky代入以上应变表达式，可得到距中面为z

的点在板平面内的两个正应变：平板理论z=0，则

x=

y=0，即中面无变形或中面不受力(基本假定?)April.2010板壳力学134-19平板理论2)剪应变微元平面内几何变形(距中面为z)April.2010板壳力学134-20平板理论根据小变形假定

微元的剪切角

、

之和即为剪应变。剪切角

为则有April.2010板壳力学134-21平板理论同理可得到剪切角

由此，得到剪应变

xy

但是，剪应变

xy中的u、v未知。April.2010板壳力学134-22平板理论板弯曲变形后,中面由于板挠曲产生的x方向的挠曲角(或绕y轴的转角)为

x，

x与w的几何关系为根据中面不变形的基本假定(3),可得距中面为z

处的点的水平位移u可表示为即xApril.2010板壳力学134-23平板理论同理可得y向水平位移v

将求得的u、v代入剪应变表达式，得到

Kxy称为扭率April.2010板壳力学134-24平板理论

3)应变矩阵表达式参照弹性力学的写法小变形条件下，满足工程应用精度要求。April.2010板壳力学134-25平板理论1.2.2应力-变形方程(物理方程)由弹性力学的物理方程(三维)可知：根据板厚度方向无变形及直法线假定，则

April.2010板壳力学134-26

平板理论即则，在薄板小挠度弯曲理论中，主要应力矩阵变为April.2010板壳力学134-27

平板理论剪应力

zx、

zy需要通过积分求得，而非应变求得。需要特别注意的是,虽然忽略

z、

zx、

zy,但不能忽略应力

zx、

zy，否则，板单元受力无法平衡。即April.2010板壳力学134-28平板理论

1.2.3薄板中面内力表达式图示为横向荷载作用下，板单位长度上的内力April.2010板壳力学134-29平板理论

力矩的方向：

Mx——x

取某值的截面上，绕y

轴(旋转)的弯矩

My——y

取某值的截面上，绕x

轴(旋转)的弯矩

Mxy——x

取某值的截面上，绕x

轴(旋转)的扭矩

Myx——y

取某值的截面上，绕y

轴(旋转)的弯矩April.2010板壳力学134-30平板理论

与主要应力对应的薄板中面内力表达式为将应力-变形关系表达式代入，则有：April.2010板壳力学134-31平板理论

或April.2010板壳力学134-32平板理论

上面表达式中为板的弯曲刚度(单位宽度内)若

=0，板变为梁，形式为D=EI。特别需要说明：以上的内力分量均为板单位宽度的分量同时，没有给出剪力Qx、Qy分量，因

yz、

zx

未知，不能通过积分得到。April.2010板壳力学134-33平板理论

1.2.4薄板挠曲微分方程板单元内力图April.2010板壳力学134-34平板理论

首先建立薄板内力平衡方程1)由z向内力平衡条件,即

Fz=0得到简化后

(A)

April.2010板壳力学134-35平板理论

得到括号中项乘dy，后一微项可忽略，则得则对上式关于y微分可得(B)

2)由绕y轴弯矩平衡条件,即

Mx=0April.2010板壳力学134-36平板理论

(C)

3)由绕x轴弯矩平衡条件,即

My=0，同法可得则对上式关于x微分可得April.2010板壳力学134-37平板理论

将(B)、(C)代入(A),且有Mxy=Myx,得到上式称为:用内力表示的薄板小挠度弯曲微分方程或平衡方程

——力法方程4)薄板小挠度弯曲微分方程April.2010板壳力学134-38平板理论

将力矩Mx、My、Mxy与挠度w的关系,带入用内力表示的薄板小挠度弯曲微分方程中，可得或

其中

上式为矩形薄板小挠度弯曲控制微分方程。—位移法方程April.2010板壳力学134-39平板理论

5)板中的剪力由和可通过以上关于Qx、Qy与Mx、My的关系式导出无法求得剪力。April.2010板壳力学134-40平板理论6)用内力表示的应力分量(材料力学方法)最大正应力在板表面；最大剪应力

xz、

yz在板中面。April.2010板壳力学134-41§1.3边界条件平板理论1)边界的种类

(1)固支或夹支

(fixed、clamped)(2)简支(simplysupported,hinged)(3)部分约束(partiallyrestrained)(或称弹性约束)(4)自由(free)April.2010板壳力学134-42平板理论也反映

若OA边有初始变位，则上两式右边应为对应初值。2)边界条件的确定

(1)固支边(OA)

边界条件，x=0时：xyApril.2010板壳力学134-43平板理论

(2)简支边(OC)

边界条件，y=0时：也反映

或若边界有初始变形，则上两式右边不为0，用对应值代替。yxabApril.2010板壳力学134-44平板理论

(3)自由边(AB)

边界条件，y=b时，该边界上的力均为零，则

以上边界条件多出一项，原因是其中的Myx、Qy在忽略

yz、

zx后不为独立量,应将Myx、Qy合并为一项。方法：可将Myx分解为分布横向剪力,再与Qy合并.合并后的剪力称为“等效横向剪力”，用Vy表示。不忽略

yz、

zx,平衡方程为6阶,需要6个边界条件;忽略后,平衡方程变为4阶,需要4个边界条件。April.2010板壳力学134-45平板理论Myx的分解分布横向剪力为April.2010板壳力学134-46平板理论即等效横向剪力为0。则等效横向剪力Vy为相应的边界条件合并变为和April.2010板壳力学134-47平板理论

则，自由边界y=b

时的两个条件为用挠度w表示，则为若自由边界上有位移，则右边不为0若自由边界上有分布荷载，则右边不为0April.2010板壳力学134-48平板理论

同理，自由边界x=a(BC边)时的两个条件为用挠度w表示，则为若自由边界上有位移，则右边不为0若自由边界上有分布荷载，则右边不为0April.2010板壳力学134-49平板理论

两个自由边相交点的角点反力：

Mxy分解到板边时，在角点上有集中剪力产生AB边两端点的集中力

BC边两端点的集中力A端B端B端C端April.2010板壳力学134-50平板理论

A端、C端的集中力由不动边界平衡；而B端可能有多种边界条件，B端的合力为

①若AB、BC均为自由边，B点无支承，则在B点即

April.2010板壳力学134-51平板理论

②若B点自由(无支承)，且有集中力P，则在B点③若B点有支承，则在B点或

(

为支座沉降)

April.2010板壳力学134-52平板理论

(4)弹性边界(部分约束边界)

通常是板支承在梁上或其它弹性基础上。有4种类型：①支承梁的EI、GJ很大(

∞)——刚性边界、固支②支承梁的EI=GJ很小(0)——自由③支承梁的EI很大(∞)、GJ很小(0)——简支④支承梁的EI、GJ均有限,不能忽略时，弹性边界April.2010板壳力学134-53平板理论

弹性边界条件：

A)剪力边界条件梁、板相交处,力边界条件板边等效剪力=梁分布荷载板单位宽度等效剪力梁分布剪力(材料力学公式)April.2010板壳力学134-54平板理论

用挠度函数表示的剪力弹性边界条件：或April.2010板壳力学134-55(B)弯矩边界条件梁、板相交处，力矩边界条件板边缘分布弯矩=梁的分布扭矩平板理论板单位宽度弯矩：梁的分布扭矩：通过梁的扭转角确定。April.2010板壳力学134-56平板理论梁的扭转角变化率梁的扭矩用板的挠度表示板梁相交处，板绕y轴的转角为梁的扭转角，即April.2010板壳力学134-57平板理论

用板的挠度函数表示的弯矩弹性边界条件：梁的分布扭矩April.2010板壳力学134-58§1.4四边简支矩形板的纳维叶(Navier)解法

—四边简支矩形板在横向分布荷载作用下的小挠度问题解法

又称为双三角级数解法

(Doubleseriessolutionofsimplysupportedplates),1820年Navier首先成功解出了均布荷载作用下的简支矩形板(求得解析解)。1)基本方法

四边简支矩形板的边界条件为：平板理论April.2010板壳力学134-59薄板小挠度问题的平衡方程——控制微分方程平板理论力法方程：位移法方程：April.2010板壳力学134-60纳维叶假定解定为双重三角级数，即平板理论其中，m、n为任意正整数；Amn为待定常系数。由于每项正弦函数均满足简支边界条件，所以函数w自动满足边界条件。

w的精度与所取级数项数多少有关。April.2010板壳力学134-61纳维叶解的特点：平板理论1.各项均自动满足边界条件；2.各项函数均为x与y

的函数的乘积,x与y

的函数互不包含;3.各项函数两次求导后，函数不变。April.2010板壳力学134-62平板理论

将w

代入挠曲控制微分方程，得:为求系数Amn，需将横向荷载q(x,y)展为同样的级数形式

上式两边乘以

，再积分，可得系数April.2010板壳力学134-63平板理论

将展开的荷载q

代入挠曲控制微分方程,比较方程两边,同类项系数相等，得到:

由此可得到薄板在横向荷载作用下,小挠度弯曲问题的解。将w

代入各内力、应力表达式,即可求得横向荷载作用下,板弯曲后的内力、应力。

双三角级数法的缺点：计算应力时收敛很慢。April.2010板壳力学134-642)特殊情形

(1)均布荷载

即q=q0=常数则荷载项系数为平板理论

挠度函数的系数为April.2010板壳力学134-65平板理论

代入挠度函数，得到

内力为：

April.2010板壳力学134-66平板理论

内力表达式中的系数April.2010板壳力学134-67平板理论

板中最大挠曲变形、最大弯矩在处。

方板内力如下图所示,M1为对角线方向弯矩,M1曲线说明,在横向荷载作用下，板角会翘起。(2)集中荷载作用—(自学)April.2010板壳力学134-68§1.5矩形板的李维解法

—两对边简支矩形板在横向分布荷载作用下的小挠度问题解法平板理论

双级数复杂、收敛性差，1900年李维(Levy)提出单级数解法(singleseriessolution)。适于两对边简支长板，另两边边界任意。1)基本方法薄板弯曲控制微分方程的解，可表达为齐次解与特解两部分，完整解为薄板弯曲控制微分方程为April.2010板壳力学134-69(1)齐次解

其中，Ym(y)仅为y

的函数。满足两对边简支的边界条件：平板理论令满足方程April.2010板壳力学134-70平板理论

将代入薄板挠曲微分方程的齐次方程上式成立的条件是方括号中为0，即其解为

得到April.2010板壳力学134-71平板理论

将Ym(y)代入上面微分方程，得其根为

则，关于Ym(y)的解为或

April.2010板壳力学134-72平板理论

挠度函数w的齐次解可写为:

系数Am、Bm、Cm、Dm由边界条件确定。(2)特解wp=w*

令w*同样满足两对边简支的边界条件。满足方程April.2010板壳力学134-73

平板理论

将荷载q(x,y)

展开为同样的级数形式其中将w*代入板弯曲微分方程，比较两边同类项得到方程

其中，qm(y)

为已知量。April.2010板壳力学134-74平板理论

求解上面的微分方程，可得到fm(y)的解。由此得到w*

的解。(3)完整解

将上面得到的齐次解、特解w*叠加,可得到完整解w

系数Am、Bm、Cm、Dm由另外两边的边界条件确定。April.2010板壳力学134-75李维解的特点：平板理论1.各项均自动满足x

向边界条件；2.各项函数均为x

与y

的函数的乘积,x

与y

的函数互不包含;3.各项函数关于x

两次求导后，函数不变。April.2010板壳力学134-76平板理论

2)例子：四边简支矩形板，受均布荷载q=q0作用

将q=q0代入荷载展开式，得到由关于fm的微分方程可得

(常数)April.2010板壳力学134-77平板理论

fm的表达式为特解w*的表达式为April.2010板壳力学134-78平板理论另外，关于齐次解。根据图示坐标系,x轴为对称轴,w是y的偶函数,则齐次解中的系数Cm=Dm=0。又因w关于也对称，故中

m为偶数的项也为0。(m为偶数时，1-cosm

=0)则得系数Am、Bm由板另外两边的边界条件确定。

April.2010板壳力学134-79平板理论

其中

当板另外两边简支时，边界条件为：

可得April.2010板壳力学134-80平板理论

板的最大挠度发生在处，当板为正方形板时，a=b,

，可得April.2010板壳力学134-81§1.6圆形薄板在横向荷载作用下的弯曲平板理论1.6.1圆板弯曲基本方程描述圆板弯曲的坐标系统—极坐标系(柱面坐标系)

挠度和荷载表达形式为：w=w(r,

),q=q(r,

)April.2010板壳力学134-82平板理论在极坐标下的主应变为1)圆板变形几何关系根据薄板近似理论的基本假设,与中面平行的各面(厚度方向为z)上的径向和切向位移分别为径向:切向:April.2010板壳力学134-83平板理论

将位移u、v代入应变表达式广义变形分量(曲率和扭率)为April.2010板壳力学134-84平板理论

2)内力与变形的物理关系在极(柱面)坐标系中应力-应变关系

April.2010板壳力学134-85平板理论

将以上应变-位移关系代入，可得应力-变形关系由以上关系式可看出，应力沿厚度成线性分布。当z=0时，

r=

=

r

=0，表示板中面不变形。April.2010板壳力学134-86平板理论

由以上应力得到内力(单位宽度的力矩)其中，D—板的抗弯刚度April.2010板壳力学134-87微元体(dr,d

)上的内力、荷载平板理论3)平衡方程April.2010板壳力学134-88(1)在微元体(dr,d

)中，由平衡条件

Fz=0可得(a)平板理论(可略去)Qr、Q

为单位长度的剪力April.2010板壳力学134-89平板理论

(2)对微元最外边切向取力矩平衡

M

=0

简化并略去次要项qrdrd

,

可得(b)则进而得到Qr(c)April.2010板壳力学134-90平板理论

(3)对微元径向(

+d

边)取力矩平衡

Mr=0

简化并略去次要项可得(d)则进而得到Q

(e)April.2010板壳力学134-91平板理论

(4)用内力表示的平衡方程将式(b)、(d)代入式(a)，得到内力表示的平衡方程(f)

(5)用位移函数表示的平衡方程将力矩位移关系代入上式，可得到柱面坐标系下的圆板挠曲方程，位移表示的平衡方程其中(g)

April.2010板壳力学134-92平板理论

等效横向剪力4)剪力表达式将力矩-位移关系代入(c)、(e)，可得剪力-挠度关系April.2010板壳力学134-93平板理论5)用内力表示的应力分量(材料力学方法)最大正应力在板表面；最大剪应力

rz、

z在板中面。April.2010板壳力学134-94平板理论

1.6.2边界条件1)周边刚性固定r=a时，

2)周边简支于刚性支座上r=a时，

?April.2010板壳力学134-95平板理论3)周边自由边界r=a时，

需要考察板中心的边界条件：

r=0

时，w有限，其他条件???April.2010板壳力学134-96§1.7圆形薄板的轴对称弯曲平板理论

通常非对称的荷载及边界，难求解析解。1)弯曲方程若圆形薄板的几何形状、边界条件为轴对称，且荷载q=q(r)也为轴对称，则变形w=w(r)也为轴对称，即变形后中曲面为一簇旋转曲面——旋转曲面的定义；与变量

的关系?

则弹性曲面方程简化为——常微分方程:April.2010板壳力学134-97圆板轴对称弯曲微分方程—常微分方程—解为：w1为特解

c1、c2、c3、c4为常数，由边界条件确定。平板理论即

April.2010板壳力学134-98平板理论2)例子——圆板受均布荷载q(r)=q0作用对实心圆板(中心无孔)，边界条件为故，c1=c2=0，则对实心板

特解为通解为r=0

(板中心)时，w、、均为有限值April.2010板壳力学134-99平板理论

相应的内力为

April.2010板壳力学134-100平板理论

(1)若圆板周边固定则r=a时，(2)若圆板周边简支则r=a时，w=0，Mr=0April.2010板壳力学134-101§1.8圆形薄板在静水压力下的弯曲平板理论问题的来源？——水下板壳结构。其中,q0为均布压力为反对称分布压力静水压力可表示为：April.2010板壳力学134-102平板理论静水压力下的解可分为两项：

均布压力q0的解

+反对称分布压力的解均布压力q0作用下的解，采用圆板轴对称弯曲的方法。关于反对称分布压力作用下的解，需要另外求解，然后将两个解叠加。反对称分布压力可表示为：与

有关，不属于圆板轴对称弯曲问题。April.2010板壳力学134-103将代入圆板弯曲微分方程，得到令本式特解为代入方程组得

即得

平板理论April.2010板壳力学134-104平板理论由方程

得

故反对称荷载下变形为

板中心无孔时，挠度、内力为有限值，则c3=c4=0c1、c2

根据边界条件定

齐次解：令变形关于x轴对称April.2010板壳力学134-105§1.9变厚度矩形板平板理论薄板的内力：弯曲刚度：

由于厚度t为变量，则板的弯曲刚度D为变量。April.2010板壳力学134-106

若平分厚度的中面仍为平面,厚度t变化平缓,则上式仍成立。由力的平衡方程：可得：

因D为变量D=D(x,y)，上式变为是关于w的微分方程。平板理论April.2010板壳力学134-107§1.10变厚度圆形薄板平板理论

仅讨论轴对称变厚度圆板受轴对称荷载情形,其他情形难得解析解。1)平衡方程与挠曲方程微元体中，Mr、M

、Qr

与

无关，Mr

、Q

均为0以微元体中心切线为轴，取

M=0

April.2010板壳力学134-108简化后可得平板理论可得到2)轴对称条件下April.2010板壳力学134-109平板理论

定义薄板挠曲面的曲率半径为r

，与挠曲面的上任一点与法线(中点或原法线)的夹角为

，根据几何关系：则内力可改写为April.2010板壳力学134-110平板理论

因D是r

的函数(变厚度),代入平衡方程可得轴对称条件下的平衡方程剪力，可由

Fz=0求得

展开并略去并略去dQrdrd

项，则April.2010板壳力学134-111平板理论

2.特殊情形厚度成线性变，即t=cr，则代入挠曲微分方程，有April.2010板壳力学134-112平板理论

令

(因子)，上式变为上式的解分两部分：指数

April.2010板壳力学134-113平板理论

常数c1、c2由边界条件确定；

*由Qr(或q(r))确定。当取

=⅓时，微分方程简化为且

解为April.2010板壳力学134-114§1.11弹性(文克勒)地基上的板问题来源——机场跑道、道路、房屋基础、钢管砼柱、挡土墙、储料容器以及水工结构平板理论1)文克勒(Winkler)地基模型地基反力与挠度成正比、方向相反k—基床系数(地基模量),无张拉弹性地基April.2010板壳力学134-1152)文克勒地基上板的弯曲置于地基上的板所受的力：挠曲方程：平板理论April.2010板壳力学134-1163)文克勒地基上的四边简支矩形薄板采用双级数解(Navier)：

平板理论并将荷载展为双三角级数其中April.2010板壳力学134-117平板理论将w、q(x,y)的表达式代入挠曲方程，比较同类项系数得当q=q0为常数时

April.2010板壳力学134-118平板理论4)两对边简支，另两边自由的矩形板应用李维(单级数)解法

并将荷载展为三角级数代入挠曲方程，得

April.2010板壳力学134-119平板理论微分方程的解为：常数Am、Bm、Cm、Dm

由边界条件确定。其中April.2010板壳力学136-120平板理论5)其他地基模型解析法：弹性半空间体(Boussinesq)地基模型；

Pasternak

地基模型；

Kerr地基模型；数值法：离散化地基模型。April.2010板壳力学136-121§1.12